車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型

1、車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型一. 假設(shè)和簡化 反射點(diǎn)的切平面反射向量與z軸的夾角:線光源的功率其它符號均沿用題目所示二. 模型的建立建立坐標(biāo)系如下圖，記線光源長度為l ，功率為，B,C點(diǎn)的光強(qiáng)度分別為和，建立整個(gè)問題的數(shù)學(xué)模型。以下均以毫米為單位，由所給信息不難求出車燈反射面方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為。 I、模型分析位于點(diǎn)的單位能量的點(diǎn)光源反射到點(diǎn)C(0, 2600, 25015)的能量設(shè)反射點(diǎn)的坐標(biāo)為。記入射向量為，該點(diǎn)反射面外法線方向?yàn)?，可以得到反射向量滿足與向量共線.記,由從而得的表達(dá)式 由反射向量滿足與向量共線,應(yīng)有 其中為常數(shù)。從上述(1)、（4）式可解得或.由得反射點(diǎn)坐標(biāo)滿足以下兩組方程: 計(jì)

2、算上面式子可知,存在,當(dāng)時(shí)方程組（7）不存在滿足的實(shí)根，即無反射點(diǎn)。而當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)反射點(diǎn). 而第二組方程僅當(dāng)時(shí)存在滿足的一對實(shí)根，即有兩個(gè)反射點(diǎn)記為. 若反射點(diǎn)的坐標(biāo)為,則位于點(diǎn)的單位能量點(diǎn)光源經(jīng)點(diǎn)反射到C點(diǎn)的能量密度(單位面積的能量, 正比于光強(qiáng)度)為 其中 II、計(jì)算能量密度長的具有單位能量的線光源位于點(diǎn)的長的微小線光源段反射到C點(diǎn)的能量密度為 其中 那么，長的具有單位能量的線光源反射到C點(diǎn)的能量密度為 (15) 同理可得的表達(dá)式.相應(yīng)的反射點(diǎn)方程為相應(yīng)的而第二組方程的有兩個(gè)反射點(diǎn)的范圍為 若設(shè)線光源的功率為,則它反射到B點(diǎn)和C點(diǎn)的能量密度分別為和應(yīng)滿足 且。三. 模型求解由于很難進(jìn)行代數(shù)

3、積分，因此計(jì)算時(shí)，可以計(jì)算其數(shù)值積分。顯然應(yīng)具備下列性質(zhì)：其中為起亮值，為最大值點(diǎn)，為考察的最大范圍。也有同樣的性質(zhì)，且起亮值和最大值點(diǎn)均相應(yīng)地右移.數(shù)值求解,解記為,再求出,顯然有且。 取，即為問題的最優(yōu)值?，F(xiàn)在作簡單的說明。對于可行域中的任意一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)有（用到，減少）。當(dāng)，有，（用到, 增加）。這就說明了的確是最小值。 計(jì)算數(shù)值結(jié)果為。對于本題可以建立連續(xù)和離散兩種模型。前者可以將本題抽象成一個(gè)非線性規(guī)劃問題，但是求解的過程比較復(fù)雜，很容易陷入局部極小值的情況，而且對于問題第二問的求解沒什么幫助，但是優(yōu)點(diǎn)是如果初值取的好可以很精確的求出本題的結(jié)果。后者的優(yōu)點(diǎn)是對于算法而言不是很復(fù)雜，求解結(jié)

4、果很快，同時(shí)可以很方便的解決問題第二問，但是求解得到的結(jié)果不是很精確，而且只能給出數(shù)值解，并且將光離散成光線以后就不能體現(xiàn)光在傳播過程中的散射。在對本題研究中我們發(fā)現(xiàn)在各參賽隊(duì)的論文中出現(xiàn)了許多不同的模型和不同的方法。這充分顯示出建模競賽題的開放性,更體現(xiàn)了競賽對學(xué)生思維的開發(fā)和激勵(lì)。有些同學(xué)考慮了兩部分光線,即直射部分了反射部分,通過兩部分的疊加,從而求出屏幕上B,C兩點(diǎn)的光強(qiáng)這樣做更符合實(shí)際情況。有些同學(xué)則是將直射部分忽略，這樣做更容易求解。在求解過程中，有同學(xué)直接根據(jù)線光源上的點(diǎn)與反射點(diǎn)和屏幕上成像點(diǎn)的位置關(guān)系求出其函數(shù)表達(dá)式。雖然這樣求解更精確但是實(shí)際操作很困難。另一部分同學(xué)則是將線光

5、源看成是許多點(diǎn)光源組成，這樣就變成求解各點(diǎn)在屏幕上的光強(qiáng)。當(dāng)線光源分成一定數(shù)量的點(diǎn)光源時(shí)，屏幕上各點(diǎn)的光強(qiáng)就很接近實(shí)際的光強(qiáng)，但這樣需要進(jìn)行大量的計(jì)算，不過這是計(jì)算機(jī)軟件的模擬起到非常大的作用。各個(gè)參賽隊(duì)的模型不乏獨(dú)到之處。有些參賽隊(duì)采用光線跟蹤模型，用計(jì)算反射到B，c兩點(diǎn)各自領(lǐng)域中的光線條數(shù)來決定領(lǐng)域中接受到的反射光的功率?？紤]到均勻分布的光線由于反射點(diǎn)距離和反射方向的不同，因而具有不同的反射功率，他們巧妙地改變光線的分布，使每條光線反射的能量基本相同，大大地減少了數(shù)值模擬的誤差。有些參賽隊(duì)采用逆向思維的方式，注意到反射光線光程的可逆性，他們在跟蹤光線或分析反射點(diǎn)軌跡時(shí)，不是從光源上的點(diǎn)發(fā)出光線，而是從測試屏上的B，C點(diǎn)出發(fā)考慮問題。這一方法，在某些情況下可簡化問題，減少計(jì)算量。有些參賽隊(duì)將光線跟蹤法和分析反射點(diǎn)軌跡的方法結(jié)合起來，他們將B，C兩點(diǎn)處的反射光功率之比視作能從線光源上任何點(diǎn)發(fā)射的能反射到這兩點(diǎn)的光線數(shù)總和之比，于是將問題歸結(jié)為反射面上可將光源反射到B點(diǎn)和C點(diǎn)的反射點(diǎn)的軌跡的測度之比。此法雖有忽略反射點(diǎn)不同反射的能量也不