彈性水擊理論

1、第三章：彈性水擊理論如第一章第二節(jié)所述，在管道內(nèi)不穩(wěn)定分析中，把必須考慮管子和一體的彈性的情況稱為彈性水擊，簡稱水擊。在彈性水擊的情況下，管道各個截面上流量的變化不僅在時間上參差不齊，而且數(shù)值上也千差萬別， ，情況是十分復雜的，為了從簡到繁，本章從第一小段起，然后再研究全液流的情況。第一節(jié) 慣性水擊壓力的計算這一節(jié)研究在任何一個界面處，當流速發(fā)生DV的變化時所產(chǎn)生的壓力變化24。從管道上取長度為DL的微小段加以研究(圖3-1).由于慣性水擊壓力大，在研究此微小段的慣性水擊壓力時，完全可以忽略其坡度和摩阻，按水平、無摩阻分析。在穩(wěn)定流動中，微小段的水力狀態(tài)如圖3-1a所示，其兩端所受到的壓頭均為

2、H。假定下游毗鄰鄰段產(chǎn)生水擊，流速減小DV，壓頭相應地增加DH，如圖3-1b所示。此水擊以a的速度經(jīng)過Dt的時間傳到微小段的左端，如圖3-1c所示?？疾煳⑿《卧谒畵舨ㄍㄟ^前后的壓力變化，即可得到慣性水擊壓力DH的計算公式。在彈性水擊的情況下，微小段速度的變化時慣性水擊壓力作用Dt的時間之后，所以應當采用沖量變化等于棟梁變化的原理進行分析。在水擊波通過微小段的時間內(nèi)： 忽略高階微量，可得： 在忽略管子截面的變化，可得： 這里應當注意，Dt是微小段DL發(fā)生彈性形變和壓力變化所需要的時間，與前面所述的關閉閥門快慢等無關，例如即使是瞬時將閥門關閉，但它產(chǎn)生的壓力波仍需Dt的時間才能走完DL的路程，因此

3、DL/Dt=a。于是，可以得到慣性水擊壓力的計算公式： (3-1)式中：CW慣性水擊系數(shù)，第二節(jié) 水擊波傳播速度的計算一、 純液體中的波速(一)薄壁管(D/d>25)仍用圖3-1所示的微小段，研究DL的長度發(fā)生管子和液體的彈性變形、速度和壓力變化所需要的時間Dt，以確定水擊波的傳播速度a。根據(jù)質量守恒和連續(xù)性定地，在Dt時間內(nèi)流入和流出該微小段的液體質量的增量，等于該微小段液體質量的增量。在Dt時間內(nèi)流入該微小段的液體的質量為：流出微小段液體的質量為：忽略高階微量，得：故在Dt時間內(nèi)多流進的質量為：再從液體的壓縮和管壁的膨脹來考察該微小段內(nèi)液體質量的變化。在變化以前的質量為：在Dt以后的

4、質量為：忽略高階微量，得到：液體質量的增量為：因為，所以：等號兩邊都處以，并用a代替，整理后可得：而，帶入上式并消去DV，得到： (3-2) 下面對和這兩項在作處理。按照圖3-2，在單位長度上，水擊壓力對管壁的環(huán)向拉力(T)為，管壁上面的環(huán)向正應力為，環(huán)向應變?yōu)椋?，徑向變形：，乘以周長后，得到面積的增量為：。因此： (3-3)液體密度的變化取決于液體的壓縮性和壓力。液體的壓縮性可以用其體積模量K來表示： 、式中：V液體的體積。由此可得： (34)將式(3-3) 和(3-4)帶入(3-2)，可得到茹科夫斯基的水擊波傳播速度的公式為： (35)在上述推導中沒有考慮管道的固定情況，實際上認為在水擊時

5、管子只是承受環(huán)向正應力，截面變形僅僅是由于這個環(huán)向正應力引起的。這對于設置有伸縮器，可以自由伸縮的管道是正確的。若管道被固定，由于管道將處于環(huán)向和軸向雙正應力的情況下，這樣的推導就有些偏差。對于一端固定、另一端沒有固定的管道，水擊壓力對管道施加軸向拉力，管道上出現(xiàn)軸向正應力，使管子截面的變化減少，而管道的長度將略有增加。哈立維爾在1963年按照有這兩種尺寸的變化，推導出式(3-5)中的應為，這里的m是泊松因數(shù)。這樣結論已經(jīng)被許多文獻引用。但是按照斯特里特后來的分析3，軸向應力對管徑變化的影響當然應當計及，管道長度的影響則不應當考慮。這可做如下解釋：微笑段長度的延伸一方面造成容積增大，是液體質量

6、完成變化的時間延長，從而有降低波速和水擊壓力的趨勢；另一方面又拖動著液流增加流速，加速向微小段補充液體，從而有提高波速和水擊壓力的趨勢，而這兩種效應恰恰互相抵消。因此，式(3-5)中的應變?yōu)?。對于全部固定、軸向不能延伸的管道，如埋地管道，則二次性軸向正應力會削弱一次性環(huán)向正應力對管子截面變化的作用，使其變化減小。哈立維爾推倒公式(3-5)終的應為。綜上所述，水擊波傳播速度的通用公式為14。 (36)式中：r液體的密度； K液體的體積模量；見表3-1； E管材的彈性模量，鋼材一般取為； D管子的平均內(nèi)徑； d管子的壁厚；y因數(shù)，管道僅一端固定時；全部固定時；可自由伸縮時；m管材的泊松因數(shù)。表3-

7、1 某些液體的體積模量1液體名稱(體積模量)/(0.1MPa)2030405090水23900(24400)22150(22600)21750(22200)丙烷1760(1800)1370(1400)1040(1060)715(730)丁烷3560(3640)3020(3080)2510(2560)2130(2170)汽油9160(9350)7600(7750)煤油13600(13900)12050(12300)潤滑油15600(13900)13800(14100)原油7213815相對密度(0.83)15300(15600)13500(13800)12250(12500)15相對密度(0.9

8、0)19200(19600)17350(17700)15600(15900)表3-2 某些管材的彈性模量和泊松因數(shù)鋼鑄鐵黃銅鋁合金硬聚氯乙烯橡膠混凝土E(105MPa)2.02.10.81.70.781.10.680.730.240.288´10-50.140.3m0.240.280.250.360.330.450.470.10.15在通用公式里，1/K、yD/(Ed)兩項分別反映液體的彈性、管子的彈性和結構對波速的影響。某些液體和管材的K、E、m值見表3-1和3-2。前面已經(jīng)指出，對于一般的鋼制管道，水擊波在水中的傳播速度大約為12001400m/s；在油品中大約為10001100

9、m/s。(二)其它管子對其它管子仍用公式(3-6)計算，只需要對其中的某些參數(shù)作相應的變換4。1.厚壁管(D/d<25)因數(shù)y按以下方法確定：管道僅一端固定時： (37)全部固定時： (38)可自由伸縮時： (39)2.圓形隧道可以把圓形隧道當作是管壁極厚、全部固定的厚壁管，按式(3-8)，在這種情況下d/D之值較大，等號右邊的第一項可忽略不計，于是可簡化為： (310)3.復壁管管壁有兩種以上材料的管子稱為復壁管，例如鋼筋混凝土管，可以把這種管子變換為當量均質管。下面舉例說明變換的方法。圖3-3為夾鋼筒和鋼筋混凝土管。在制造時收緊鋼筋使內(nèi)層混凝土受預應力(壓應力)，故這層混凝土具有彈性

10、，在計算波速時應予以考慮。外層混凝土沒有預正應力，可認為不能承受拉伸荷載，在計算波速不予考慮。換算方法如下。(1)把鋼筋“均勻化”，當量為一個壁厚為ds的鋼筒。(2)把壁厚為d1的混凝土內(nèi)襯當量為壁厚為的鋼管(3)把鋼筋混凝土管當量為d當?shù)匿摴埽?(4)以D+d當/2作為當量管的直徑；(5)用式(3-6)計算當量管的水擊波速。二、 含氣液體內(nèi)的波速液體內(nèi)夾帶有氣體時，體積模量和密度發(fā)生變化，其變化程度和液體中氣體的含量和所受的壓力有關系。皮爾索爾推導出了含氣液體內(nèi)的波速公式。推導過程如下3：流體的體積模量可表達為： (a)式中DV/V為體積應變。對于液體： (b)對于氣體： (c)含氣液體的體

11、積為： (d)在增壓DP的作用下，此體積變化為： (e)聯(lián)解(b)（e）四式，可得： (f)就所研究的情況而言，可以認為氣體狀態(tài)的變化處于等溫過程(等于液體的溫度)，故可取K氣=P(P是絕對壓力)；又,于是式(f)可寫為： (g)將式(g)帶入(a)，可得含氣液體的體積模量為： (h)式(h)中，V氣/V混是在絕對壓力P下，氣體在單位含氣液體內(nèi)的體積含量。在水里瞬變中，壓力是隨地點和時間而變的，為了使其他含量獨立于壓力，宜將體積含量轉變?yōu)橘|量含量。按照克拉柏龍方程： (i)式中：m氣體的物質質量 M氣體的摩爾質量； R摩爾氣體常數(shù)； T熱力學溫度。令mu為氣體在單位含氣液體體積內(nèi)的含量，則在體

12、積V混中，氣體的總質量為V混mu，于是上式可寫為： (j)將式(j)帶入式(h)中可得： (k)含氣液體的密度為： (l)實際上，上述推導只有在液體中的含氣量很小時才能適用，否則就會形成兩相流，故上式可近似的取為： (m)將式(k)內(nèi)地K液改為K后，仍用1/K混置換式(3-6)內(nèi)地1/K，含氣液體的密度仍可取液體的密度r，則可得到含氣液體的波速公式為： (3-11)聯(lián)解式(3-6)和(3-11)可得： (3-12)式中：a對給定的系統(tǒng)為常數(shù)，其導出單位為壓力的平方， (3-13)mu單位體積內(nèi)氣體的質量；M氣體的摩爾質量，其數(shù)值等于氣體的相對分子量；R摩爾氣體常數(shù)，等于8.31J/(mol.K

13、);T熱力學溫度，取液體的溫度；P絕對壓力，取液體的壓力。某些氣體的相對分子質量和摩爾質量見表3-3.空氣氧氣氮氣氫氣CO2水蒸氣相對分子質量約29322824418摩爾質量/(g/mol)約29322824418從式(3-12)看出，除了氣體的含量之外，液體壓力對含氣液體的波速有巨大的影響；波速隨壓力的增大而急劇增加，直至基本上等于純液體內(nèi)的波速。在水力瞬變過程中，壓力是地點和時間的函數(shù)，P的具體取法將在下章第四節(jié)討論。例題3-1已知輸水管道的，假定水中含有空氣，其體積含量按標準狀態(tài)計，試計算含氣液體在、T=293K下的波速。解：按式(3-6)，水中波速為：在標準狀態(tài)下，空氣的密度約為1.2

14、9kg/m3。本例中單位體積內(nèi)的空氣質量為按式(3-13):按式(3-12)第三節(jié) 水擊的基本微分方程至此，我們已經(jīng)可以計算一條管道中的一個微小段管子在某一時刻流速變化量為已知時的慣性水擊壓力?，F(xiàn)在，要計算整條管道上任何一個截面在任何一個時刻的慣性水擊壓力，并能夠計及摩阻的影響，計算該處的總壓力。為此，應用意大利學者阿列維于1902年所推導出的水擊基本微分方程，即運動微分方程和連續(xù)性微分方程14。一、運動微分方程不穩(wěn)定流動的運動方程已經(jīng)在第二章反復的用到了，在那里認為它可以描述整條管道，但這里它只能描述一個微小段，因為各微小段的流量及其變化情況是千差萬別的。從圖3-4所示的管道的管道中取長度為

15、Dx的微小段液體來考察，其受力情況如圖3-5所示，液體密度的變化在此分析中影響很小，可以忽略不計。在時刻t，該微笑段在管軸方向有以下幾個作用力：液體壓力： 地心吸引力的軸向分量為：摩擦阻力：從現(xiàn)在起，將摩擦項中的Q2-m，寫成的形式。因為在水擊過程中，流動的方向可能改變，而摩擦阻力總是與作用力反向的，況且計算機也不能進行負值的2-m次冪的運算。設合力與液流同方向，則有：將F1、F2、F3、Gx、S的值代入，得：該微小段液體的質量為rwDx，它在力F的作用下產(chǎn)生加速度d(Q/w)/dt,因為Q=f(x,t)，按微分法則：由此可建立微小段的運動方程為：整理得到： (3-14)在實際的計算中，動水壓

16、力P換成該壓頭距基準面的高度H更為方便。從圖3-14看出：而在一般的情況下，管道各個截面的高程不隨時間變化，可以直接寫成，于是 (3-15)將式(3-15) 帶入(3-14)，得到： (3-16)式(3-16)是完整形式的運動微分方程。在大多數(shù)情況下，尤其在長輸管道中，故可以將此式近似的簡化為： (3-17)運動微分方程也可以用于剛性水柱理論，這時，整條管道各個截面上的流量和流量的變化速率是相同的，不是地點(x)的函數(shù)，于是可將運動微分方程寫為：將此式整理后進行積分，得到：即可得到剛性水柱理論的運動方程：在運動微分方程(3-17)中有Q和H兩個變量，僅有這個方程不能求解，必須再有一個方程，就是

17、連續(xù)性方程。二、連續(xù)性微分方程仍取圖3-4所示的微小段進行研究，圖3-6表示該微笑容積在時刻t至時刻t+Dt期間的平均變化情況。在Dt時間內(nèi)，流入該微小段的液體質量為：流出該微小段的液體質量為：故在Dt時間內(nèi)多流進的質量為（忽略高階微量）： 又因為，假定該微小時刻液體在時刻t具有平均截面積w和平均密度r，此時刻的液體質量為：而在t+Dt時刻，液體的質量為：液體的質量的增量為(忽略高階微量)：因為，所以可得：等式兩邊同時除以rw，并用dx/dt表示V，整理后可得：式中，第一項的括號等于dw/dt，第二項的括號等于，于是該式可寫為： (3-18)式(3-18)中，第一項描述管道截面積隨時間變化的情

18、況，由式(3-3)可得： (3-19)式(3-18)中，第二項描述密度隨時間變化的情況，由式(3-4)可得： (3-20)將(3-19)和(3-20)帶入 (3-18)可得到： (3-21)而按照(3-5)，故上式可以寫為： (3-21a)現(xiàn)在對這一項進行分析。從理論上講，。這就是說，水擊的連續(xù)性方程中有管道的坡度項，過去的文獻一直是按照此方法處理的。但是后來懷利教授分析10，從水擊計算所采用的方法來看，水擊的連續(xù)性方程中不應該有坡度項。因為水擊計算通常是在穩(wěn)態(tài)的基礎上進行的，以穩(wěn)定流動為初始條件；而在穩(wěn)定流動的連續(xù)性方程中，一般即既忽略水力坡降線的影響，又忽略管道坡度的影響，即把動水壓力的影

19、響忽略不計，按管道各截面上的體積流量相同來處理。為了使瞬態(tài)連續(xù)性方程與穩(wěn)態(tài)的連續(xù)性方程相銜接，也應將管道坡度的影響去掉，因此： (3-22)將式(3-22)帶入(3-21a)，并以流量置換流速，得到： (3-21a)應為H=f(x,t),，故上式可寫成： (3-23)式(3-23)是完整形式的連續(xù)性微分方程，在大多數(shù)情況下，尤其在長輸管道中，可以將此式近似簡化為 (3-24)三、水擊基本微分方程組綜上所述，水擊的基本微分方程為：(一)、完整的運動方程： (3-25)連續(xù)性方程： (3-26)(二)、近似的運動方程： (3-27)連續(xù)性方程： (3-28)基本微分方程組全面而確切地描述了水擊過程

20、中各個變量之間的關系，但是難以得到分析解。四、波動方程由于水擊基本微分方程組難以求解，早期求助于忽略某些項而得到近似解。最有名的是忽略近似方程組中的摩阻項而得到的波動方程1，3，它是形形色色的圖解法的理論基礎。在有了特征線解法的今天，波動方程及圖解法已經(jīng)黯然失色，因此我們只對此作簡要的介紹，目的在于承前啟后，并借助之說明水擊基本微分方程的物理意義。近似的水擊基本微分方程組忽略摩阻項后可寫為：運動方程： (3-29)連續(xù)性方程： (3-30)將公式(3-29)對x求導，得到： (3-31)將公式(3-30)對t求導，得到： (3-32)聯(lián)解式(3-31)和式(3-32)消去Q，得到： (3-33

21、)用類似的方法，將式(3-29)對t求導，式(3-30)對x求導，小區(qū)H，得： (3-34) 式 (3-33)和式(3-34) 具有波動方程的形式，由德國數(shù)學家黎曼(Reiman)解出，為： (3-35) (3-36)波動方程給出了管道任意截面x在任一時刻t的壓頭和流量的變化值，說明它們的變化是和這兩個波合成的結果，前者叫做直接波，后者叫做反射波。直接波和反射波都是t和x的函數(shù)，但具體數(shù)值則完全有邊界條件決定，與t和x的值無關?，F(xiàn)以圖(3-7)作略為具體的描述。假設在t=0的時刻將終端閥門關閉，則在閥門處產(chǎn)生慣性水擊壓頭，用函數(shù)F(t+x/a)來代表，此函數(shù)為F(0+L/a)= F(L/a)=DH。到了時刻t，波行駛到L-x處，x=L-at，,波峰依然是F(L/a)所代表的DH。這個波是隨時間向上游推進的。在t<L/a的時間內(nèi)，沒有反射波，即f(t-x/a)=0。當t=L/a時，產(chǎn)生反射波-DH，用函數(shù)f(L/a-0/a)代表，f(L/a)=- DH。不難證明，這個波是隨時間向下游推進的，且都是f(L/a)。由此可見，當管道突然關閉閥門產(chǎn)生水擊時，在忽略摩阻的情況下，管道各截面上壓頭和流量的變化是數(shù)值不變的兩個波來回傳播的結果。緩慢關閉閥門的分析可以按這個原理進行。第四節(jié) 水擊波衰減和管道充裝已經(jīng)知道，對于水力摩阻接近于、甚至大大超過水擊壓力的管道，忽略摩阻