天津理工大學概率論與數理統(tǒng)計習題答案詳解

1、 第 5 章 大數定律與中心極限定理一、 填空題：1.設隨機變量，方差，則由切比雪夫不等式有 .2.設是n個相互獨立同分布的隨機變量，對于，寫出所滿足的切彼雪夫不等式 ，并估計 .3. 設隨機變量相互獨立且同分布, 而且有, , 令, 則對任意給定的, 由切比雪夫不等式直接可得 .解：切比雪夫不等式指出：如果隨機變量滿足：與都存在, 則對任意給定的, 有, 或者由于隨機變量相互獨立且同分布, 而且有 所以4. 設隨機變量X滿足：, 則由切比雪夫不等式, 有. 解：切比雪夫不等式為：設隨機變量X滿足, 則對任意 的, 有由此得5、設隨機變量，則 .6、設為相互獨立的隨機變量序列，且服從參數為的泊

2、松分布，則 . 7、設表示n次獨立重復試驗中事件A出現的次數，是事件A在每次試驗中出現的概率，則 .8. 設隨機變量, 服從二項分布, 其中, 那么, 對于任 一實數x, 有 0 .9. 設為隨機變量序列,為常數, 則依概率收斂于是指 1 ,或 0 。10. 設供電站電網有100盞電燈, 夜晚每盞燈開燈的概率皆為0.8. 假設每盞燈開關是相 互獨立的, 若隨機變量X為100盞燈中開著的燈數, 則由切比雪夫不等式估計, X落 在75至85之間的概率不小于. 解：, 于是 二計算題：1、在每次試驗中，事件A發(fā)生的概率為0.5，利用切比雪夫不等式估計，在1000次獨立試驗中，事件A發(fā)生的次數在450

3、至550次之間的概率. 解：設表示1000次獨立試驗中事件A發(fā)生的次數，則2、一通信系統(tǒng)擁有50臺相互獨立起作用的交換機. 在系統(tǒng)運行期間, 每臺交換機能清晰接受信號的概率為0.90. 系統(tǒng)正常工作時, 要求能清晰接受信號的交換機至少45臺. 求該通信系統(tǒng)能正常工作的概率.解：設X表示系統(tǒng)運行期間能清晰接受信號的交換機臺數, 則由此 P(通信系統(tǒng)能正常工作)3、某微機系統(tǒng)有120個終端, 每個終端有5%的時間在使用, 若各終端使用與否是相互獨立 的, 試求有不少于10個終端在使用的概率. 解：某時刻所使用的終端數7由棣莫弗拉普拉斯定理知4、某校共有4900個學生, 已知每天晚上每個學生到閱覽室

4、去學習的概率為0.1, 問閱覽室 要準備多少個座位, 才能以99%的概率保證每個去閱覽室的學生都有座位.解：設去閱覽室學習的人數為, 要準備k個座位.查分布表可得 要準備539個座位,才能以99%的概率保證每個去閱覽室學習的學生都有座位.5隨機地擲六顆骰子 ，試利用切比雪夫不等式估計：六顆骰子出現的點數總和不小于9且不超過33點的概率。 解：設 h表 示 六 顆 骰 子 出 現 的 點 數 總 和。 xi，表 示 第 i 顆 骰 子 出 現 的 點 數 ，i = 1，2，6 x1， x2， ，x6 相 互 獨 立 ， 顯 然 6. 設隨機變量 相互獨立，且均服從指數分布 為 使 ， 問： 的最

5、小值應如何 ？解: 由 切 比 雪 夫 不 等 式 得 即 , 從 而 n ³ 2000 ， 故 n 的 最 小 值 是 2000 7抽樣檢查產品質量時，如果發(fā)現次品多于10個，則拒絕接受這批產品，設某批產品次品率為10%，問至少應抽取多少個產品檢查才能保證拒絕接受該產品的概率達到0.9?解： 設n為至少應取的產品數，是其中的次品數，則，而所以由中心極限定理知，當n充分大時，有， 由查表得 8(1)一個復雜系統(tǒng)由100個相互獨立的元件組成，在系統(tǒng)運行期間每個元件損壞的概率為0.1，又知為使系統(tǒng)正常運行，至少必需要有85個元件工作，求系統(tǒng)的可靠程度(即正常運行的概率)；(2)上述系統(tǒng)假

6、設有n個相互獨立的元件組成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使系統(tǒng)正常運行，問n至少為多大時才能保證系統(tǒng)的可靠程度為0.95?解：(1)設表示正常工作的元件數，則，由中心極限定理可知(2)設表示正常工作的元件數，則 9一部件包括10部分，每部分的長度是一隨機變量，相互獨立且具有同一分布，其數學期望為2 mm ，均方差為0.05 mm，規(guī)定總長度為20 ± 0.1 mm 時產品合格，試求產品合格的概率。已 知 ：( 0.6 ) = 0.7257；( 0.63 ) = 0.7357。解：設 每 個 部 分 的 長 度 為 Xi ( i = 1, 2, , 10 ) E ( Xi )

7、= 2 = m, D( Xi ) = s2 = ( 0.05 ) 2 ,依題意 ，得合格品的概率為 10計算機在進行加法計算時，把每個加數取為最接近它的整數來計算，設所有取整誤差是相 互獨立的隨機變量，并且都在區(qū)間0.5，0.5 上服從均勻分布，求1200個數相加時誤 差總和的絕對值小于10的概率。已知：(1)=0.8413；(2)=0.9772。解：設 x1 ， x2 ， xn 表示取整誤差, 因它們在 0.5 ，0.5 上服從均勻分布 ， 故 有 根 據 同 分 布 的 中 心 要 極 限 定 理 ， 得 =( 1 ) (1 ) = 2 ( 1 )1= 2 ´ 0.84131 =

8、 0.682611將一枚硬幣連擲100次，試用隸莫佛-拉普拉斯定理計算出現正面的次數大于60的概 率 。已知 ：(1) = 0.8413；(2) = 0.9772 ； 當 x > 4 , (x) =1。解：設 x 為 擲 100次中出現正面的次數 ，它服從二項分布B ( 100， )這 里 由 隸 莫 佛 - 拉 普 拉 斯 定 理 ， 得 查 N ( 0， 1 ) 分 布 函 數 表 ， 得 P 60 < x £ 100 = 10.977 = 0.023 . 12 .有甲、乙兩種味道和顏色都極為相似的名酒各4杯. 如果從中挑4杯, 能將甲種酒全部 挑出來, 算是成功一次. (1)某人隨機地去猜, 問他成功一次的概率是多少？(2)某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒. 他連續(xù)試驗10次, 成功3次. 試推斷他是猜對 的, 還是他確有區(qū)分的能力(各次試驗是相互獨立的). 解：(1)設A=試驗成功一次, 則有(2)設X：試驗10次成功的次數, 則由于因此隨機事件是一個小概率事件, 根據“小概率事件在一次試驗中是不大可能發(fā)生的”的原理, 隨機事件是不大可能發(fā)生的, 但它卻發(fā)生了, 因此我們要以斷定此人確有區(qū)分酒的能力.13. 保險公司新增一個保險品種：每被保險人年交納保費為100元, 每被保險人出事賠付金 額為2萬元. 根據統(tǒng)計, 這類被保險人年出事概率為0.