平面向量與復(fù)數(shù)修改1

1、第一講 平面向量的概念及其線性運算考綱解析主要考點有：向量的加法、減法的運算及其幾何意義；向量數(shù)乘的運算、幾何意義及性質(zhì)；兩個向量共線的含義向量基本概念及線性運算在高考試題中經(jīng)常以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，考查內(nèi)容主要以向量運算的幾何意義、向量的共線條件為主新課標卷對考生的要求更高，且具有一定的創(chuàng)新理念熟練掌握向量的加減法運算以及向量與實數(shù)的積是解決向量問題的關(guān)鍵，也是高考考查的重點，尤其是向量加減的幾何意義及向量共線的條件，是歷年高考考查的熱點考點梳理1平面向量的有關(guān)概念：(1)向量:既有 又有 的量，向量可以用有向線段來表示向量的大小叫做向量的 (或 ) (2)零向量:長度為 的向量，記為，

2、其方向是 (3)單位向量:長度等于 的向量(4)平行向量:方向 或 的非零向量，也叫做 (5)相等向量:長度 且方向 的向量(6)的相反向量:與長度 ,方向 的向量2. 向量的線性運算（1）向量的加法：幾何意義： 法則或 法則運算性質(zhì)： = （交換律）， = ( 結(jié)合律)（2）向量的減法是加法的逆運算，記作：,幾何意義： 法則表示為從向量的終點指向向量的終點的向量（3）向量的分解：已知向量，O為平面內(nèi)任意一點，則；3實數(shù)與向量的積：（1）定義：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，規(guī)定：|=|.當0時，的方向與的方向相同；當0時，的方向與的方向相反；當=0時，與平行.（2）運算律：)= ，= ，()

3、= 當=0時，m=n=，而m,n不一定相等.（3）向量共線條件：，共線（a0）存在唯一的實數(shù)，使 .（4）中點公式：若P為線段AB中點，O為任意一點，則有.課前熱身1下列命題正確的是 （ ）A.與共線，與共線，則與也共線B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點C.向量與不共線，則與都是非零向量D.有相同起點的兩個非零向量不平行2(2009·湖南)如圖，D、E、F分別是ABC的邊AB、BC、CA的中點，則 ( )A.0B.0C.0D.03已知O、A、B是平面上的三個點,直線AB上有一點C，滿足20，則( )A2 B2 C. D4已知平面上不共線的四點O，A，B，C.

4、若320，則等于_5設(shè)a，b是兩個不共線的向量，若2akb，ab，2ab，且A，B，D三點共線，則實數(shù)k的值等于_重點難點方法1. 平面向量的概念的應(yīng)用例1下列命題中：有向線段就是向量，向量就是有向線段；向量與向量平行，則與的方向相同或相反；向量 與向量 共線，則、四點共線；如果，那么.正確的個數(shù)為 ()A.1B.2 C.3 D.0思路點撥：正確理解向量的有關(guān)概念是解決本題的關(guān)鍵.注意到特殊情況，否定某個命題只要舉出一個反例即可.聽課筆記： 歸納點評：向量及有關(guān)概念是是很重要的基礎(chǔ)，要正確理解有關(guān)概念，在解答概念問題時，若思考不嚴密，只注意到了向量、均不為零向量的情形，極易出現(xiàn)錯誤.變式訓練：

5、1.判斷下列命題是否正確，不正確的說明理由. (1)若向量與同向，且|，則； (2)若向量|，則與的長度相等且方向相同或相反； (3)對于任意向量|，且與的方向相同，則； (4)由于零向量方向不確定，故不能與任意向量平行； (5)起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量.2.向量的線性運算 向量的加法、減法、實數(shù)與向量與乘積等線性運算，在向量問題中起著十分重要的作用，對于三角形法則和平行四邊形法則不但要會，而且要非常熟練，特別要注意數(shù)乘向量的定義 例2如圖，在ABC中，D、E為邊AB的兩個三等分點，=3a，=2b，求，ABCDE思路點撥: 根據(jù)三角形法則，可選擇向量所在，由，只需找出與

6、的關(guān)系即可聽課筆記:歸納點評: 這類問題主要是利用向量的加、減法的定義以及向量加法的三角形法則和平行四邊形法則來解兩個向量的和、差向量變式訓練2: 在所在的平面上有一點，滿足，則與的面積之比是 ( )A B C D變式訓練3:已知ABCD的兩條對角線AC與BD交于E，O是任意一點，求證：+=43平面向量的共線問題例3設(shè)是不共線的向量,已知向量,若A,B,D三點共線,求k的值思路點撥：證明存在實數(shù)，使得聽課筆記:歸納點評: 利用共線向量定理=，關(guān)鍵是用一個向量將另一個向量表示出來變式訓練4:已知A、B、C、P為平面內(nèi)四點，求證：A、B、C三點在一條直線上的充要條件是存在一對實數(shù)m、n，使=m+n

7、，且m+n=1變式訓練:5已知、是兩個不共線的向量，若它們起點相同，、t（+）三向量的終點在一直線上，則實數(shù)t=_五.及時突破1. 判斷下列命題是否正確，并說明理由：（1）共線向量一定在同一條直線上。（）（2）所有的單位向量都相等。（）（3）向量共線，共線，則共線。（）（4）向量共線，則（）（5）向量，則。（）（6）平行四邊形兩對邊所在的向量一定是相等向量。（）2. 在四邊形ABCD中，“”是“四邊形ABCD為梯形”的A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件D、既不充分也不必要條件3已知向量，若向量共線，則下列關(guān)系一定成立的是（ ）A、 B、 C、 D、或4D、E、F分別是ABC的BC

8、、CA、AB上的中點，且， ，給出下列命題，其中正確命題的個數(shù)是（ ） A、1 B、2 C、3 D、45已知：，則下列關(guān)系一定成立的是（ ）A、A，B，C三點共線 B、A，B，D三點共線C、C，A，D三點共線 D、B，C，D三點共線 6. 中，分別是的中點，為與的交點，若，試以，表示、 課時訓練”1.設(shè)都是單位向量，則下列結(jié)論中正確的是 A B C D 2.已知正方形的邊長為，則 A. B. C. D. 3. 已知向量，且，則 .(用表示)4.已知，為線段上距較近的一個三等分點，為線段上距較近的一個三等分點，則用表示的表達式為 （ ）A. B . C. D. 5.（2010湖南）若非零向量，滿

9、足|，則與的夾角為 （ ）A. 300 B. 600 C. 1200 D. 15006.（2010全國卷2）中，點在上，平分若，則 （ ）（A） （B） （C） （D）7. 已知向量不共線，為實數(shù)，則當時，有 ， . 8. 若菱形的邊長為，則 . 9.已知,則的取值范圍是 . 10.試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.11已知，且，試求t關(guān)于k的函數(shù)。12.已知，設(shè)，如果，那么為何值時，三點在一條直線上？ 參考答案:知識梳理：1.大小.方向.長度.模； 2.0 ；3.1個單位； 4.相同.相反 ； 5.方向相同或相反； 6.相等 相同；7.相等.相反（1）三角形，平行四邊形；

10、,（2）三角形（3）（）=（）， （+）=+， （+）=+.課前熱身：1. 不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量、在同一直線上.不正確.單位向量模均相等且為1，但方向并不確定.不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的.、正確.不正確.如圖與共線，雖起點不同，但其終點卻相同.2. 選A. ()0.3. 選A. 22()，2.故選A.4.由已知得：()2()202，根據(jù)數(shù)乘的意義可得：2.5. 填.由于A，B，D三點共線，故，又2k，2，故由2k(2)可解得k4.重點難點方法例1.不正確，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段；不正確，若與

11、中有一個為零向量時，零向量的方向是不確定的，故兩向量方向不一定相同或相反；不正確，共線向量所在的直線可以重合，也可以平行；不正確，如0時，則與不一定共線.變式訓練：1.錯、錯、對、錯、對例2. =+ = 3a+2b，因D、E為的兩個三等分點，故=ab =， =3aab =2ab，=2abab=ab變式訓練2:由,得,即,所以點是邊上的第二個三等分點.故例3 , 使得 變式訓練3:證明 充分性，由=mn， mn=1， 得 =mn（） =（mn）n=n， =nA、B、C三點共線必要性:由A、B、C 三點共線知，存在常數(shù)，使得=， 即 +=（+）=（1）=（1），m=1，n=，mn=1， =mn變式

12、訓練3:E是對角線AC和BD的交點 =- ,=- 在OAE中，+=同理 += ， += ，+=以上各式相加，得 +=4變式訓練:4如圖, 、t（+）三向量的終點在一直線上,5-1-3存在實數(shù)使:t（+）=（）得（t）=（t）又、不共線，t=0且t=0 解得t= 及時突破:1.（1）錯。因為兩個向量的方向相同或相反叫共線向量，而兩個向量所在直線平行時也稱它們?yōu)楣簿€向量，即共線向量不一定在同一條直線上。（2）錯。單位向量是指長度等于1個單位長度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的意義。（3）錯。注意到零向量與任意向量共線，當為零向量時，它不成立。（想一想：你能舉出反例嗎？又若時，此結(jié)論成立嗎？）（4）對。因共線向量又叫平行向量。（5）錯。平行向量與平行直線是兩個不同概念，AB、CD也可能是同一條直線上。（6）錯。平行四邊形兩對邊所在的向量也可能方向相反。2. 選A . Þ 四邊形ABCD為梯形，但反之不成立.選A3. 選D. 提示：考慮情況要充分。4. 選D. 提示：結(jié)合圖形及向量加減法的幾何意義，易得4個命題均是正確命題.5. 選C. 解析：，所以C，A，D三點共線6.是的重心，課時訓練: 1.選C. 提示：因為是單位向量， 2.選C. 提示：， 3. 選 4. 提示：， ， 5.C 6.B【解析】因為平分，由角平分線定理得，所以D為AB的