平面向量與復(fù)數(shù)修改1

1、第一講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算考綱解析主要考點(diǎn)有：向量的加法、減法的運(yùn)算及其幾何意義；向量數(shù)乘的運(yùn)算、幾何意義及性質(zhì)；兩個(gè)向量共線的含義向量基本概念及線性運(yùn)算在高考試題中經(jīng)常以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，考查內(nèi)容主要以向量運(yùn)算的幾何意義、向量的共線條件為主新課標(biāo)卷對考生的要求更高，且具有一定的創(chuàng)新理念熟練掌握向量的加減法運(yùn)算以及向量與實(shí)數(shù)的積是解決向量問題的關(guān)鍵，也是高考考查的重點(diǎn)，尤其是向量加減的幾何意義及向量共線的條件，是歷年高考考查的熱點(diǎn)考點(diǎn)梳理1平面向量的有關(guān)概念：(1)向量:既有 又有 的量，向量可以用有向線段來表示向量的大小叫做向量的 (或 ) (2)零向量:長度為 的向量，記為，

2、其方向是 (3)單位向量:長度等于 的向量(4)平行向量:方向 或 的非零向量，也叫做 (5)相等向量:長度 且方向 的向量(6)的相反向量:與長度 ,方向 的向量2. 向量的線性運(yùn)算（1）向量的加法：幾何意義： 法則或 法則運(yùn)算性質(zhì)： = （交換律）， = ( 結(jié)合律)（2）向量的減法是加法的逆運(yùn)算，記作：,幾何意義： 法則表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量（3）向量的分解：已知向量，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則；3實(shí)數(shù)與向量的積：（1）定義：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，規(guī)定：|=|.當(dāng)0時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)0時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)=0時(shí)，與平行.（2）運(yùn)算律：)= ，= ，()

3、= 當(dāng)=0時(shí)，m=n=，而m,n不一定相等.（3）向量共線條件：，共線（a0）存在唯一的實(shí)數(shù)，使 .（4）中點(diǎn)公式：若P為線段AB中點(diǎn)，O為任意一點(diǎn)，則有.課前熱身1下列命題正確的是 （ ）A.與共線，與共線，則與也共線B.任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四頂點(diǎn)C.向量與不共線，則與都是非零向量D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行2(2009·湖南)如圖，D、E、F分別是ABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，則 ( )A.0B.0C.0D.03已知O、A、B是平面上的三個(gè)點(diǎn),直線AB上有一點(diǎn)C，滿足20，則( )A2 B2 C. D4已知平面上不共線的四點(diǎn)O，A，B，C.

4、若320，則等于_5設(shè)a，b是兩個(gè)不共線的向量，若2akb，ab，2ab，且A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值等于_重點(diǎn)難點(diǎn)方法1. 平面向量的概念的應(yīng)用例1下列命題中：有向線段就是向量，向量就是有向線段；向量與向量平行，則與的方向相同或相反；向量 與向量 共線，則、四點(diǎn)共線；如果，那么.正確的個(gè)數(shù)為 ()A.1B.2 C.3 D.0思路點(diǎn)撥：正確理解向量的有關(guān)概念是解決本題的關(guān)鍵.注意到特殊情況，否定某個(gè)命題只要舉出一個(gè)反例即可.聽課筆記： 歸納點(diǎn)評：向量及有關(guān)概念是是很重要的基礎(chǔ)，要正確理解有關(guān)概念，在解答概念問題時(shí)，若思考不嚴(yán)密，只注意到了向量、均不為零向量的情形，極易出現(xiàn)錯(cuò)誤.變式訓(xùn)練：

5、1.判斷下列命題是否正確，不正確的說明理由. (1)若向量與同向，且|，則； (2)若向量|，則與的長度相等且方向相同或相反； (3)對于任意向量|，且與的方向相同，則； (4)由于零向量方向不確定，故不能與任意向量平行； (5)起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量.2.向量的線性運(yùn)算 向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量與乘積等線性運(yùn)算，在向量問題中起著十分重要的作用，對于三角形法則和平行四邊形法則不但要會(huì)，而且要非常熟練，特別要注意數(shù)乘向量的定義 例2如圖，在ABC中，D、E為邊AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，=3a，=2b，求，ABCDE思路點(diǎn)撥: 根據(jù)三角形法則，可選擇向量所在，由，只需找出與

6、的關(guān)系即可聽課筆記:歸納點(diǎn)評: 這類問題主要是利用向量的加、減法的定義以及向量加法的三角形法則和平行四邊形法則來解兩個(gè)向量的和、差向量變式訓(xùn)練2: 在所在的平面上有一點(diǎn)，滿足，則與的面積之比是 ( )A B C D變式訓(xùn)練3:已知ABCD的兩條對角線AC與BD交于E，O是任意一點(diǎn)，求證：+=43平面向量的共線問題例3設(shè)是不共線的向量,已知向量,若A,B,D三點(diǎn)共線,求k的值思路點(diǎn)撥：證明存在實(shí)數(shù)，使得聽課筆記:歸納點(diǎn)評: 利用共線向量定理=，關(guān)鍵是用一個(gè)向量將另一個(gè)向量表示出來變式訓(xùn)練4:已知A、B、C、P為平面內(nèi)四點(diǎn)，求證：A、B、C三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在一對實(shí)數(shù)m、n，使=m+n

7、，且m+n=1變式訓(xùn)練:5已知、是兩個(gè)不共線的向量，若它們起點(diǎn)相同，、t（+）三向量的終點(diǎn)在一直線上，則實(shí)數(shù)t=_五.及時(shí)突破1. 判斷下列命題是否正確，并說明理由：（1）共線向量一定在同一條直線上。（）（2）所有的單位向量都相等。（）（3）向量共線，共線，則共線。（）（4）向量共線，則（）（5）向量，則。（）（6）平行四邊形兩對邊所在的向量一定是相等向量。（）2. 在四邊形ABCD中，“”是“四邊形ABCD為梯形”的A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件D、既不充分也不必要條件3已知向量，若向量共線，則下列關(guān)系一定成立的是（ ）A、 B、 C、 D、或4D、E、F分別是ABC的BC

8、、CA、AB上的中點(diǎn)，且， ，給出下列命題，其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ） A、1 B、2 C、3 D、45已知：，則下列關(guān)系一定成立的是（ ）A、A，B，C三點(diǎn)共線 B、A，B，D三點(diǎn)共線C、C，A，D三點(diǎn)共線 D、B，C，D三點(diǎn)共線 6. 中，分別是的中點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，若，試以，表示、 課時(shí)訓(xùn)練”1.設(shè)都是單位向量，則下列結(jié)論中正確的是 A B C D 2.已知正方形的邊長為，則 A. B. C. D. 3. 已知向量，且，則 .(用表示)4.已知，為線段上距較近的一個(gè)三等分點(diǎn)，為線段上距較近的一個(gè)三等分點(diǎn)，則用表示的表達(dá)式為 （ ）A. B . C. D. 5.（2010湖南）若非零向量，滿

9、足|，則與的夾角為 （ ）A. 300 B. 600 C. 1200 D. 15006.（2010全國卷2）中，點(diǎn)在上，平分若，則 （ ）（A） （B） （C） （D）7. 已知向量不共線，為實(shí)數(shù)，則當(dāng)時(shí)，有 ， . 8. 若菱形的邊長為，則 . 9.已知,則的取值范圍是 . 10.試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.11已知，且，試求t關(guān)于k的函數(shù)。12.已知，設(shè)，如果，那么為何值時(shí)，三點(diǎn)在一條直線上？ 參考答案:知識梳理：1.大小.方向.長度.模； 2.0 ；3.1個(gè)單位； 4.相同.相反 ； 5.方向相同或相反； 6.相等 相同；7.相等.相反（1）三角形，平行四邊形；

10、,（2）三角形（3）（）=（）， （+）=+， （+）=+.課前熱身：1. 不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個(gè)向量、在同一直線上.不正確.單位向量模均相等且為1，但方向并不確定.不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的.、正確.不正確.如圖與共線，雖起點(diǎn)不同，但其終點(diǎn)卻相同.2. 選A. ()0.3. 選A. 22()，2.故選A.4.由已知得：()2()202，根據(jù)數(shù)乘的意義可得：2.5. 填.由于A，B，D三點(diǎn)共線，故，又2k，2，故由2k(2)可解得k4.重點(diǎn)難點(diǎn)方法例1.不正確，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段；不正確，若與

11、中有一個(gè)為零向量時(shí)，零向量的方向是不確定的，故兩向量方向不一定相同或相反；不正確，共線向量所在的直線可以重合，也可以平行；不正確，如0時(shí)，則與不一定共線.變式訓(xùn)練：1.錯(cuò)、錯(cuò)、對、錯(cuò)、對例2. =+ = 3a+2b，因D、E為的兩個(gè)三等分點(diǎn)，故=ab =， =3aab =2ab，=2abab=ab變式訓(xùn)練2:由,得,即,所以點(diǎn)是邊上的第二個(gè)三等分點(diǎn).故例3 , 使得 變式訓(xùn)練3:證明 充分性，由=mn， mn=1， 得 =mn（） =（mn）n=n， =nA、B、C三點(diǎn)共線必要性:由A、B、C 三點(diǎn)共線知，存在常數(shù)，使得=， 即 +=（+）=（1）=（1），m=1，n=，mn=1， =mn變式

12、訓(xùn)練3:E是對角線AC和BD的交點(diǎn) =- ,=- 在OAE中，+=同理 += ， += ，+=以上各式相加，得 +=4變式訓(xùn)練:4如圖, 、t（+）三向量的終點(diǎn)在一直線上,5-1-3存在實(shí)數(shù)使:t（+）=（）得（t）=（t）又、不共線，t=0且t=0 解得t= 及時(shí)突破:1.（1）錯(cuò)。因?yàn)閮蓚€(gè)向量的方向相同或相反叫共線向量，而兩個(gè)向量所在直線平行時(shí)也稱它們?yōu)楣簿€向量，即共線向量不一定在同一條直線上。（2）錯(cuò)。單位向量是指長度等于1個(gè)單位長度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的意義。（3）錯(cuò)。注意到零向量與任意向量共線，當(dāng)為零向量時(shí)，它不成立。（想一想：你能舉出反例嗎？又若時(shí)，此結(jié)論成立嗎？）（4）對。因共線向量又叫平行向量。（5）錯(cuò)。平行向量與平行直線是兩個(gè)不同概念，AB、CD也可能是同一條直線上。（6）錯(cuò)。平行四邊形兩對邊所在的向量也可能方向相反。2. 選A . Þ 四邊形ABCD為梯形，但反之不成立.選A3. 選D. 提示：考慮情況要充分。4. 選D. 提示：結(jié)合圖形及向量加減法的幾何意義，易得4個(gè)命題均是正確命題.5. 選C. 解析：，所以C，A，D三點(diǎn)共線6.是的重心，課時(shí)訓(xùn)練: 1.選C. 提示：因?yàn)槭菃挝幌蛄浚?2.選C. 提示：， 3. 選 4. 提示：， ， 5.C 6.B【解析】因?yàn)槠椒?，由角平分線定理得，所以D為AB的