2007年高考數(shù)學試題湖北卷（理科）

1、2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（湖北卷）數(shù)學（理工農(nóng)醫(yī)類）全解全析 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1如果的展開式中含有非零常數(shù)項，則正整數(shù)的最小值為（）35610答案：選解析：由展開式通項有 由題意得，故當時，正整數(shù)的最小值為5，故選點評：本題主要考察二項式定理的基本知識，以通項公式切入探索，由整數(shù)的運算性質(zhì)易得所求。本題中“ 非零常數(shù)項”為干擾條件。易錯點：將通項公式中誤記為，以及忽略為整數(shù)的條件。 2將的圖象按向量平移，則平移后所得圖象的解析式為（）答案：選解析：法一 由向量平移的定義，在平移前、后的圖像上任意取

2、一對對應點，則，帶入到已知解析式中可得選 法二 由平移的意義可知，先向左平移個單位，再向下平移2個單位。點評：本題主要考察向量與三角函數(shù)圖像的平移的基本知識，以平移公式切入，為簡單題。易錯點：將向量與對應點的順序搞反了，或死記硬背以為是先向右平移個單位，再向下平移2個單位，誤選3設和是兩個集合，定義集合，如果，那么等于（）答案：選解析：先解兩個不等式得，。由定義，故選點評：本題通過考察兩類簡單不等式的求解，進一步考察對集合的理解和新定義的一種運算的應用，體現(xiàn)了高考命題的創(chuàng)新趨向。此處的新定義一般稱為兩個集合的差。易錯點：對新定義理解不全，忽略端點值而誤選，以及解時出錯。4平面外有兩條直線和，如

3、果和在平面內(nèi)的射影分別是和，給出下列四個命題：ABCDA1B1C1D1；與相交與相交或重合；與平行與平行或重合其中不正確的命題個數(shù)是（）1234答案：選解析：由射影的概念以及線線垂直關系的判定方法，可知均錯, 具體可觀察如圖的正方體： 但不垂直，故錯；但在底面上的射影都是 故錯；相交，但異面，故錯；但異面，故錯點評：本題主要考察空間線面之間位置關系，以及射影的意義理解。關鍵是要理解同一條直線在不同平面上的射影不同；線在面內(nèi)，線面平行，線面相交的不同位置下，射影也不相同。要從不用的方向看三垂線定理，充分發(fā)揮空間想象力。易錯點：空間想象力不夠，容易誤判、正確，而錯選或5已知和是兩個不相等的正整數(shù)，

4、且，則（ ）A0B1CD答案：選C解析：法一 特殊值法，由題意取，則，可見應選C法二 令，分別取和，則原式化為所以原式=（分子、分母1的個數(shù)分別為個、個）點評：本題考察數(shù)列的極限和運算法則，可用特殊值探索結論，即同時考察學生思維的靈活性。當不能直接運用極限運算法則時，首先化簡變形，后用法則即可。本題也體現(xiàn)了等比數(shù)列求和公式的逆用。易錯點：取特值時忽略和是兩個不相等的正整數(shù)的條件，誤選B；或不知變形而無法求解，或者認為是型而誤選B，看錯項數(shù)而錯選D6若數(shù)列滿足（為正常數(shù)，），則稱為“等方比數(shù)列”甲：數(shù)列是等方比數(shù)列；乙：數(shù)列是等比數(shù)列，則（ ）A甲是乙的充分條件但不是必要條件B甲是乙的必要條件但

5、不是充分條件C甲是乙的充要條件D甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件答案：選B解析：由等比數(shù)列的定義數(shù)列，若乙：是等比數(shù)列，公比為，即則甲命題成立；反之，若甲：數(shù)列是等方比數(shù)列，即 即公比不一定為， 則命題乙不成立，故選B點評：本題主要考察等比數(shù)列的定義和創(chuàng)新定義的理解、轉換。要是等比數(shù)列，則公比應唯一確定。易錯點：本題是易錯題。由，得到的是兩個等比數(shù)列，而命題乙是指一個等比數(shù)列，忽略等比數(shù)列的確定性，容易錯選CxyMF1F2DLO7雙曲線的左準線為，左焦點和右焦點分別為和；拋物線的準線為，焦點為與的一個交點為，則等于 （ ）ABCD答案：選A解析：由題設可知點同時滿足雙曲線和拋物線的定義，

6、且在雙曲線右支上,故 由定義可得 故原式，選A點評：本題主要考察雙曲線和拋物線的定義和性質(zhì)，幾何條件列方程組，消元后化歸曲線的基本量的計算，體現(xiàn)數(shù)形結合方法的重要性。易錯點：由于畏懼心理而胡亂選擇，不能將幾何條件有機聯(lián)系轉化，缺乏消元意識。8已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為A和，且，則使得 為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)是（ ）A2B3C4D5答案：選D解析：由等差數(shù)列的前項和及等差中項，可得 ，故時，為整數(shù)。故選D點評：本題主要考察等差數(shù)列的性質(zhì)，等差中項的綜合應用，以及部分分式法，數(shù)的整除性 是傳統(tǒng)問題的進一步深化，對教學研究有很好的啟示作用。易錯點：不能將等差數(shù)列的項與前項和進行合理轉化，胡亂選擇

7、。9連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為和，記向量與向量的夾角為，則的概率是（ ）ABCD答案：選C解析：由向量夾角的定義，圖形直觀可得，當點位于直線上及其下方時，滿足，點的總個數(shù)為個，而位于直線上及其下方的點有個，故所求概率，選C點評：本題綜合考察向量夾角，等可能事件概率的計算以及數(shù)形結合的知識和方法。易錯點：不能數(shù)形直觀，確定點的位置，或忽略夾角范圍中的，而誤選A10已知直線（是非零常數(shù)）與圓有公共點，且公共點的橫坐標和縱坐標均為整數(shù)，那么這樣的直線共有（ ）A60條B66條C72條D78條答案：選A解析：可知直線的橫、縱截距都不為零，即與坐標軸不垂直，不過坐標原點，而圓上的整數(shù)點共有12個，分別

8、為，前8個點中，過任意一點的圓的切線滿足，有8條；12個點中過任意兩點，構成條直線，其中有4條直線垂直軸，有4條直線垂直軸，還有6條過原點（圓上點的對稱性），故滿足題設的直線有52條。綜上可知滿足題設的直線共有條，選A點評：本題主要考察直線與圓的概念，以及組合的知識，既要數(shù)形結合，又要分類考慮，要結合圓上點的對稱性來考慮過點的直線的特征。是較難問題易錯點：不能準確理解題意，甚至混淆。對直線截距式方程認識不明確，認識不到三類特殊直線不能用截距式方程表示；對圓上的整數(shù)點探索不準確，或分類不明確，都會導致錯誤，胡亂選擇。二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分把答案填在答題卡相應位置上11已

9、知函數(shù)的反函數(shù)是，則 ； 答案：解析：由互反函數(shù)點之間的對稱關系，取特殊點求解。在上取點，得點 在上，故得；又上有點，則點在 點評：本題主要考察反函數(shù)的概念及其對稱性的應用。直接求反函數(shù)也可，較為簡單。易錯點：運算錯誤導致填寫其他錯誤答案。12復數(shù)，且，若是實數(shù)，則有序實數(shù)對可以是 （寫出一個有序實數(shù)對即可）答案：或滿足的任意一對非零實數(shù)對解析：由復數(shù)運算法則可知，由題意得 ，答案眾多，如也可。點評： 本題主要考察復數(shù)的基本概念和運算，有一般結論需要寫出一個具體結果，屬開放性問題。易錯點：復數(shù)運算出錯導致結果寫錯，或審題馬虎，只寫出，不合題意要求。xyo313設變量滿足約束條件則目標函數(shù)的最小

10、值為 答案：解析：由約束條件得如圖所示的三角形區(qū)域， 令，顯然當平行直線過點時，取得最小值為點評：本題主要考察線性規(guī)劃的基本知識，考察學生的動手能力作圖觀察能力。易錯點：不能準確畫出不等式組的平面區(qū)域，把上下位置搞錯，以及把直線間的相對位置搞錯，找錯點的位置而得到錯誤結果。14某籃運動員在三分線投球的命中率是，他投球10次，恰好投進3個球的概率（用數(shù)值作答）答案： 解析：由題意知所求概率點評：本題考察次獨立重復試驗中，某事件恰好發(fā)生次的概率，直接用公式解決。易錯點：把“恰好投進3個球”錯誤理解為某三次投進球，忽略“三次”的任意性。（毫克）（小時）15為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消

11、毒已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（小時）成正比；藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關系式為（為常數(shù)），如圖所示據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：（I）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（小時）之間的函數(shù)關系式為；（II）據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時，學生方可進教室，那么， 藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過小時后，學生才能回到教室答案：（I）（II）解析：（I）由題意和圖示，當時，可設（為待定系數(shù)），由于點在直線上，；同理，當時，可得（II）由題意可得，即得或或 ，由題意至少需要經(jīng)過小時后，學生才能回到教室點評：本題考察函數(shù)、不等式的實際應用，以

12、及識圖和理解能力。易錯點：只單純解不等式，而忽略題意，在（II）中填寫了其他錯誤答案。三、解答題：本大題共6小題，共75分16本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計算、解三角形、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)等基本知識，考查推理和運算能力解：（）設中角的對邊分別為，則由，可得，（），即當時，；當時，17本小題主要考查頻率分布直方圖、概率、期望等概念和用樣本頻率估計總體分布的統(tǒng)計方法，考查運用概率統(tǒng)計知識解決實際問題的能力解：（）分組頻數(shù)頻率40.04250.25300.30290.29100.1020.02合計1001.00樣本數(shù)據(jù)頻率/組距1.301.341.381.421.461.501.54（）纖度

13、落在中的概率約為，纖度小于1.40的概率約為（）總體數(shù)據(jù)的期望約為18本小題主要考查線面關系、直線與平面所成角的有關知識，考查空間想象能力和推理運算能力以及應用向量知識解決數(shù)學問題的能力解法1：（），是等腰三角形，又是的中點，又底面于是平面又平面，平面平面（） 過點在平面內(nèi)作于，則由（）知平面連接，于是就是直線與平面所成的角在中，；設，在中，ADBCHV，又，即直線與平面所成角的取值范圍為解法2：（）以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，于是，從而，即同理，即又，平面又平面平面平面ADBCVxyz（）設直線與平面所成的角為，平面的一個法向量為，則由得可取，又，于是，又

14、，即直線與平面所成角的取值范圍為解法3：（）以點為原點，以所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，于是，從而，即同理，即又，平面又平面，平面平面（）設直線與平面所成的角為，平面的一個法向量為，則由，得ADBCVxy可取，又，于是，又，即直線與平面所成角的取值范圍為解法4：以所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則設ADBCVxyz（），即，即又，平面又平面，平面平面（）設直線與平面所成的角為，設是平面的一個非零法向量，則取，得可取，又，于是，關于遞增，即直線與平面所成角的取值范圍為19本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數(shù)學知

15、識進行推理運算的能力和解決問題的能力解法1：（）依題意，點的坐標為，可設，NOACByx直線的方程為，與聯(lián)立得消去得由韋達定理得，于是，當時，（）假設滿足條件的直線存在，其方程為，的中點為，與為直徑的圓相交于點，的中點為，NOACByxl則，點的坐標為，令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線解法2：（）前同解法1，再由弦長公式得，又由點到直線的距離公式得從而，當時，（）假設滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，將直線方程代入得，則設直線與以為直徑的圓的交點為，則有令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線2

16、0本小題主要考查函數(shù)、不等式和導數(shù)的應用等知識，考查綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力解：（）設與在公共點處的切線相同，由題意，即由得：，或（舍去）即有令，則于是當，即時，；當，即時，故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，于是在的最大值為（）設，則故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，于是函數(shù)在上的最小值是故當時，有，即當時，21本小題主要考查數(shù)學歸納法、數(shù)列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題能力和推理能力解法1：（）證：用數(shù)學歸納法證明：（）當時，原不等式成立；當時，左邊，右邊，因為，所以左邊右邊，原不等式成立；（）假設當時，不等式成立，即，則當時，于是在不等式兩邊同乘以得，所以即當時，不等式也成立綜合（）（）知，對一切正整數(shù)，不等式都成立（）證：當時，由（）得，于是，（）解：由（）知，當時，即即當時，不存在滿足該等式的正整數(shù)故只需要討論的情形：當時，等式不成立；當時，