2007年高考數(shù)學(xué)試題湖南卷（理科）

1、2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）全解全析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1復(fù)數(shù)等于（ ）ABCD【答案】C 【解析】2不等式的解集是（ ）ABCD【答案】D 【解析】由得，所以解集為.3設(shè)是兩個集合，則“”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分又不必要條件【答案】B【解析】由韋恩圖知;反之，4設(shè)是非零向量，若函數(shù)的圖象是一條直線，則必有（ ）ABCD【答案】A 【解析】,若函數(shù)的圖象是一條直線，即其二次項系數(shù)為0， 0， 5設(shè)隨機變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，已知，則=

2、（ ）A0.025B0.050C0.950D0.975【答案】C 【解析】服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布， 6函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點個數(shù)是（ ）A4B3C2D1【答案】B.【解析】由圖像易知交點共有3個。7下列四個命題中，不正確的是（ ）A若函數(shù)在處連續(xù)，則B函數(shù)的不連續(xù)點是和C若函數(shù)、滿足，則D【答案】C.【解析】的前提是必須都存在！8棱長為1的正方體的8個頂點都在球的表面上，分別是棱，的中點，則直線被球截得的線段長為（ ）ABCD【答案】D.【解析】正方體對角線為球直徑，所以，在過點E、F、O的球的大圓中，由已知得d=，所以EF=2r=。9設(shè)分別是橢圓（）的左、右焦點，若在其右準(zhǔn)線上存在 使線段的

3、中垂線過點，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】由已知P，所以的中點Q的坐標(biāo)為，由 當(dāng)時，不存在，此時為中點，綜上得10設(shè)集合， 都是的含兩個元素的子集，且滿足：對任意的，（，），都有（表示兩個數(shù)中的較小者），則的最大值是（ ）A10 B11 C12 D13【答案】B【解析】含2個元素的子集有15個，但1，2、2，4、3，6只能取一個；1，3、2，6只能取一個；2，3、4，6只能取一個，故滿足條件的兩個元素的集合有11個。二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分把答案填在橫線上11圓心為且與直線相切的圓的方程是 【答案】【解析】半徑R=，所以圓的方程為12在中，角所

4、對的邊分別為，若，b=，則 【答案】【解析】由正弦定理得，所以13函數(shù)在區(qū)間上的最小值是 【答案】16【解析】 14設(shè)集合，（1）的取值范圍是 ；（2）若，且的最大值為9，則的值是 【答案】（1） （2）【解析】（1）由圖象可知的取值范圍是（2）若令t=，則在（0，b）處取得最大值，所以0+2b=9，所以b=.15將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖1所示的0-1三角數(shù)表從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，第次全行的數(shù)都為1的是第 行；第61行中1的個數(shù)是 第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5

5、行 1 1 0 0 1 1 圖1【答案】，32【解析】由不完全歸納法知，全行都為1的是第行； 故第63行共有64個1，逆推知第62行共有32個1，第61行共有32個1。三、解答題：本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟16（本小題滿分12分）已知函數(shù)，（I）設(shè)是函數(shù)圖象的一條對稱軸，求的值（II）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間解：（I）由題設(shè)知因為是函數(shù)圖象的一條對稱軸，所以，即（）所以當(dāng)為偶數(shù)時，當(dāng)為奇數(shù)時，（II）當(dāng)，即（）時，函數(shù)是增函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）17（本小題滿分12分）某地區(qū)為下崗人員免費提供財會和計算機培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能力.每名下崗人員可以

6、選擇參加一項培訓(xùn)、參加兩項培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，已知參加過財會培訓(xùn)的有60%，參加過計算機培訓(xùn)的有75%.假設(shè)每個人對培訓(xùn)項目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響（I）任選1名下崗人員，求該人參加過培訓(xùn)的概率；（II）任選3名下崗人員，記為3人中參加過培訓(xùn)的人數(shù)，求的分布列和期望解：任選1名下崗人員，記“該人參加過財會培訓(xùn)”為事件，“該人參加過計算機培訓(xùn)”為事件，由題設(shè)知，事件與相互獨立，且，（I）解法一：任選1名下崗人員，該人沒有參加過培訓(xùn)的概率是所以該人參加過培訓(xùn)的概率是解法二：任選1名下崗人員，該人只參加過一項培訓(xùn)的概率是該人參加過兩項培訓(xùn)的概率是所以該人參加過培訓(xùn)的概率是（II

7、）因為每個人的選擇是相互獨立的，所以3人中參加過培訓(xùn)的人數(shù)服從二項分布，即的分布列是01230.0010.0270. 2430.729的期望是（或的期望是）18（本小題滿分12分）如圖2，分別是矩形的邊的中點，是上的一點，將，分別沿翻折成，并連結(jié)，使得平面平面，且連結(jié)，如圖3AEBCFDG圖2圖3（I）證明：平面平面；（II）當(dāng)，時，求直線和平面所成的角解：解法一：（）因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面（II）過點作于點，連結(jié)由（I）的結(jié)論可知，平面，所以是和平面所成的角因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，故因為，所以可在上取一點，使，又因為，所以四邊形是矩形由題

8、設(shè)，則所以，因為平面，所以平面，從而故，又，由得故即直線與平面所成的角是解法二：（I）因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，從而又，所以平面因為平面，所以平面平面（II）由（I）可知，平面故可以為原點，分別以直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），由題設(shè)，則，相關(guān)各點的坐標(biāo)分別是，所以，設(shè)是平面的一個法向量，由得故可取過點作平面于點，因為，所以，于是點在軸上因為，所以，設(shè)（），由，解得，所以設(shè)和平面所成的角是，則故直線與平面所成的角是19（本小題滿分12分）如圖4，某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風(fēng)景點和居民區(qū)的公路，點所在的山坡面與山腳所在水平面所成的二面角為（），且，點到平面的距

9、離（km）沿山腳原有一段筆直的公路可供利用從點到山腳修路的造價為萬元/km，原有公路改建費用為萬元/km當(dāng)山坡上公路長度為km（）時，其造價為萬元已知，（I）在上求一點，使沿折線修建公路的總造價最??；（II） 對于（I）中得到的點，在上求一點，使沿折線修建公路的總造價最?。↖II）在上是否存在兩個不同的點，使沿折線修建公路的總造價小于（II）中得到的最小總造價，證明你的結(jié)論AEDBHP解：（I）如圖，由三垂線定理逆定理知，所以是山坡與所成二面角的平面角，則，設(shè)，則記總造價為萬元，據(jù)題設(shè)有當(dāng)，即時，總造價最?。↖I）設(shè)，總造價為萬元，根據(jù)題設(shè)有則，由，得當(dāng)時，在內(nèi)是減函數(shù)；當(dāng)時，在內(nèi)是增函數(shù)故當(dāng)

10、，即（km）時總造價最小，且最小總造價為萬元（III）解法一：不存在這樣的點，事實上，在上任取不同的兩點，為使總造價最小，顯然不能位于 與之間故可設(shè)位于與之間，且=，總造價為萬元，則類似于（I）、（II）討論知，當(dāng)且僅當(dāng)，同時成立時，上述兩個不等式等號同時成立，此時，取得最小值，點分別與點重合，所以不存在這樣的點 ，使沿折線修建公路的總造價小于（II）中得到的最小總造價解法二：同解法一得當(dāng)且僅當(dāng)且，即同時成立時，取得最小值，以上同解法一20（本小題滿分12分）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的動直線與雙曲線相交于兩點（I）若動點滿足（其中為坐標(biāo)原點），求點的軌跡方程；（II）在軸上是否存在定

11、點，使為常數(shù)？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：由條件知，設(shè)，解法一：（I）設(shè)，則則，由得即于是的中點坐標(biāo)為當(dāng)不與軸垂直時，即又因為兩點在雙曲線上，所以，兩式相減得，即將代入上式，化簡得當(dāng)與軸垂直時，求得，也滿足上述方程所以點的軌跡方程是（II）假設(shè)在軸上存在定點，使為常數(shù)當(dāng)不與軸垂直時，設(shè)直線的方程是代入有則是上述方程的兩個實根，所以，于是因為是與無關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時=當(dāng)與軸垂直時，點的坐標(biāo)可分別設(shè)為，此時故在軸上存在定點，使為常數(shù)解法二：（I）同解法一的（I）有當(dāng)不與軸垂直時，設(shè)直線的方程是代入有則是上述方程的兩個實根，所以 由得當(dāng)時，由得，將其代入有整理得當(dāng)時，點的坐標(biāo)為，滿足上述方程當(dāng)與軸垂直時，求得，也滿足上述方程故點的軌跡方程是（II）假設(shè)在軸上存在定點點，使為常數(shù)，當(dāng)不與軸垂直時，由（I）有，以上同解法一的（II）21（本小題滿分13分）已知（）是曲線上的點，是數(shù)列的前項和，且滿足，（I）證明：數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列；（II）確定的取值集合，使時，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；（III）證明：當(dāng)時，弦（）的斜率隨單調(diào)遞增解：（I）當(dāng)時，由已知得因為，所以 于是 由得 于是 由得， 所以，即數(shù)列是常數(shù)數(shù)列（II）由有，所以由有，所以，而 表明：數(shù)列和分別是以，為