大學(xué)高等數(shù)學(xué)第二冊(cè)復(fù)習(xí)資料

1、高等數(shù)學(xué)第二冊(cè)第七章 空間解析幾何與向量代數(shù)在這一章中，首先建立空間直角坐標(biāo)系，引進(jìn)自由向量，并以坐標(biāo)和向量為基礎(chǔ)，用代數(shù)的方法討論空間的平面和直線，在此基礎(chǔ)上，介紹一些常用的空間曲線與曲面。通過這一章的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)空間想象能力，嫻熟的向量代數(shù)的計(jì)算能力和推理、演繹的邏輯思維能力。也為學(xué)習(xí)多元微積分做準(zhǔn)備。重點(diǎn)：曲面方程，曲線方程難點(diǎn)：較深刻地理解曲面（平面）、曲線（直線）方程，并能把握方程所表示的圖形的特征。（一）1空間笛卡爾坐標(biāo)系的構(gòu)成：空間的一個(gè)定點(diǎn)，連同三個(gè)兩兩互相垂直的有序向量組，稱為笛卡爾坐標(biāo)系。當(dāng)，的相互關(guān)系和右手拇指、食指、中指相同時(shí)，稱為右手坐標(biāo)系。在通常的討論中，常用右手笛卡

2、爾坐標(biāo)系。關(guān)于一般的坐標(biāo)系稱為仿射坐標(biāo)系，有興趣的同學(xué)可參閱空間解析幾何這類專業(yè)教材。2空間向量可以從兩個(gè)途徑來認(rèn)識(shí)：由定義：具有大小和方向的量稱為向量，因此可由方向（可由方向角來確定）連同大?。ｉL(zhǎng)）來確定（注意，這樣定義的向量稱為自由向量，簡(jiǎn)稱向量，自由向量與起點(diǎn)和終點(diǎn)無關(guān)）。書上往往用黑體字母表示，手寫時(shí)用黑體并不方便，常在字母上面加一個(gè)箭頭表示，例：，等?？捎上蛄康淖鴺?biāo)來把握向量。必須分清向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)這兩個(gè)概念，一般情況下，設(shè)的始點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，即向量的坐標(biāo)與向量的起點(diǎn)及終點(diǎn)的坐標(biāo)間有下列關(guān)系：，。因此，若確定了向量的坐標(biāo)，則這個(gè)向量就確定了。當(dāng)向量的起點(diǎn)與坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合時(shí)，

3、向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)的坐標(biāo)在數(shù)值上相等。3在學(xué)習(xí)向量的代數(shù)運(yùn)算時(shí)，利用幾何或物理模型比較容易掌握。如求向量的加法和減法可以平行四邊形或以力的相加或相減為模型，求兩向量的數(shù)量積可以求力在某段路程上所作的功為模型，求兩向量的向量積可以求力關(guān)于某點(diǎn)的力矩為模型，并要熟練掌握每種運(yùn)算的算律。4一個(gè)平面具有各種形式的方程，如點(diǎn)法式，三點(diǎn)式，截距式，一般式。在學(xué)習(xí)平面的各種形式的方程時(shí)，對(duì)方程中常數(shù)的幾何意義應(yīng)引起充分的注意。如：平面方程，則為平面的一個(gè)法向量，建立平面的方程時(shí)應(yīng)根據(jù)條件靈活處理。點(diǎn)法式方程是應(yīng)用較方便，常用的方程類型，這是因?yàn)樵谟懻撈矫鎲栴}時(shí)，平面的法向量常常起著關(guān)鍵性的作用。5確定空

4、間一條直線的方法很多，在高等數(shù)學(xué)中把它歸結(jié)為由直線上的一個(gè)定點(diǎn)和與直線平行的一個(gè)非零向量來確定，或?qū)⑺闯蓛蓚€(gè)平面的交線。空間直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程與參數(shù)式方程，二維空間中的直線均有對(duì)應(yīng)的形式，但要注意，只有空間直線可看成兩個(gè)平面的交線。6在高等數(shù)學(xué)中，常用的曲面方程為：橢球面方程，當(dāng)或或時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面，當(dāng)時(shí)，為球面方程。雙曲面方程 錐面方程拋物面方程，其中柱面方程，母線平行于軸的柱面方程，母線平行于軸的柱面方程旋轉(zhuǎn)面方程母線（二）1向量在軸上的投影是個(gè)常用的概念，要注意向量在軸上的投影是一個(gè)數(shù)量而不是一個(gè)向量，也不是一個(gè)線段。設(shè)向量，其中投影軸為，點(diǎn)，在軸上的投影分別為，若取與軸同方向的單位向量為

5、，則有稱為在軸上的投影。因此向量在軸上的投影不是有向線段，而是一個(gè)數(shù)值，記為，易知，其中為與軸的夾角。2向量在坐標(biāo)軸上的投影稱為向量的坐標(biāo)。3向量的數(shù)量積，向量積一覽表：定義，其中是同時(shí)垂直于，的單位向量，且，按右手系排列坐標(biāo)表示，特征性質(zhì)即即幾何應(yīng)用點(diǎn)到平面的距離為，(*1)，其中為平面的單位法向量，是上的任一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，(*1)式給出動(dòng)點(diǎn)所滿足的平面的方程。點(diǎn)到直線的距離為，(*2)，其中為直線上的單位向量，是直線上的任一點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，(*2)式給出動(dòng)點(diǎn)所滿足的直線的方程。4要熟練掌握平面，直線的各種形式的方程互化，關(guān)鍵在于明確在各種形式的方程中，各個(gè)量（常量、變量）的幾何意義以及它們之間的關(guān)系

6、，在此基礎(chǔ)上，互化是容易做到的。如建立平面的三點(diǎn)式方程時(shí)，若硬記公式則不容易記牢的，但從三個(gè)向量共面的角度去思考就能牢牢地記住。5要深刻理解空間直角坐標(biāo)系下平面的方程是一個(gè)關(guān)于，的一次方程。反之，任何一個(gè)關(guān)于，的一次方程都表示一個(gè)平面。6平面與平面、直線與直線、平面與直線間的位置關(guān)系均是通過平面的法向量間，直線的方向向量間，或平面法向量與直線的方向向量間的位置關(guān)系來討論，因此可歸結(jié)為向量問題來解決。如：兩個(gè)平面間的夾角問題通過它們的法向量的夾角來解決。7常用的曲面方程見（A）中6，要真正掌握這些曲面的形狀、特征，可以用“平行平面截割法”，也就是用一族平行平面（一般平行于坐標(biāo)面）來截割曲面，研究

7、所截得的一族曲線是怎樣變化的，從這一族截線的變化情況即可推想出所表示的曲面的整體形狀，這是認(rèn)識(shí)曲面的重要方法，它的基本思想是把復(fù)雜的空間圖形歸結(jié)為比較容易認(rèn)識(shí)的平面曲線。8空間曲線一般由兩個(gè)曲面相交而得，這樣的曲面有無窮多個(gè)，若曲線的形狀不易把握時(shí)，可先將兩個(gè)曲面方程通過消去未知數(shù)的方法得兩個(gè)過曲線的射影柱面的方程，而射影柱面的形狀是較容易把握的。9空間曲面和曲線除了利用圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系建立方程外，還常用參數(shù)方程來表示。參數(shù)方程的特征是方程中既有表示坐標(biāo)的變量，也有坐標(biāo)以外的其他變量（稱參數(shù)），且坐標(biāo)變量，分別可以表示成參數(shù)的函數(shù)。10曲線（直線）的參數(shù)方程均含一個(gè)參數(shù)，曲面（平面

8、）的參數(shù)方程含兩個(gè)參數(shù)。簡(jiǎn)單的參數(shù)方程消去參數(shù)后可化得普通方程，但并不是所有的參數(shù)方程都能化成普通方程的。（三）1三個(gè)向量相乘有混合積和雙重向量積，其中雙重向量積的討論可見空間解析幾何這類專業(yè)教材，對(duì)于混合積在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用較多，它具有一個(gè)十分重要的幾何意義，即當(dāng)，不共面時(shí)，的絕對(duì)值等于，為棱的平行六面體的體積。因此利用混合積可以解決求一類體積的問題。2三個(gè)以上的向量相乘的問題總可轉(zhuǎn)化為三個(gè)向量相乘，因此可歸結(jié)為三個(gè)向量相乘來討論。3混合積的坐標(biāo)表示與特征性質(zhì)設(shè)，則，共面。4在學(xué)習(xí)曲面與空間曲線時(shí)，應(yīng)注意兩點(diǎn)： 空間曲面方程的定義與平面曲線方程的定義相類似，通常將曲面看成具有某種特征性質(zhì)的空間

9、點(diǎn)的軌跡，用方程來表示，從集合的觀點(diǎn)來看，曲面就是所有滿足方程的點(diǎn)的集合。 要充分理解空間曲線一般方程的定義。 這里強(qiáng)調(diào)用通過空間曲線的任意兩個(gè)曲面的方程來表示，即用通過空間曲線的兩個(gè)曲面方程聯(lián)立起來表示空間曲線。若由方程和表示的兩個(gè)曲面，除去曲線：上的點(diǎn)是它們的公共點(diǎn)外，再也沒有別的公共點(diǎn)，則用表示它們交線的方程。但要注意，聯(lián)立任意的兩個(gè)曲面方程，它們可能不表示任何空間曲線，例如，從代數(shù)上看這是一個(gè)矛盾方程組，不存在解；從幾何上看，這是兩個(gè)同心的球面，它們沒有任何的公共點(diǎn)。第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用學(xué)習(xí)指導(dǎo)一、知識(shí)脈絡(luò) 二、重點(diǎn)和難點(diǎn)1重點(diǎn)：求極限、求偏導(dǎo)數(shù)、求全微分、求極值。2難點(diǎn)：極

10、限存在、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微之間的關(guān)系，復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)。三、問題與分析1與僅當(dāng)前者存在時(shí)，才相等。2二重極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微間的關(guān)系極限連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在可微 3多元函數(shù)中極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、一階微分形式的不變性、初等函數(shù)的連續(xù)性、最值定理、介值定理均與一元函數(shù)中相應(yīng)內(nèi)容和結(jié)論對(duì)應(yīng)。4二重極限與二次極限是本質(zhì)不同的兩個(gè)概念。(1) 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿任意路徑趨于時(shí)，若都以同一數(shù)值為其極限，則這樣得到的極限為二重極限；當(dāng)，先后相繼地趨于，時(shí)的極限為二次極限。(2) 兩個(gè)二次極限存在且相等，不能得出二重極限存在。例如：，容易驗(yàn)證兩個(gè)二次極限，但是不存在。(3) 二重極限存在，不能得出二次極

11、限存在。例如：，因?yàn)樵诓缓袃蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面點(diǎn)集上有定義，當(dāng)時(shí)，有。由于有界變量與無窮小量的乘積仍是無窮小量，可得，對(duì)任意給定的，由于，而不存在，所以不存在。因此先對(duì)后對(duì)的二次極限不存在。同理也不存在。5學(xué)習(xí)二次極限應(yīng)注意以下三個(gè)問題：(1) 兩個(gè)二次極限分別存在時(shí)不能保證它們一定相等，因此不能任意地交換求極限的先后順序。例：，則，。(2) 二次極限中一個(gè)存在，另一個(gè)可以不存在。例：，容易驗(yàn)證，而不存在。(3) 兩個(gè)二次極限都可以不存在。例：。容易驗(yàn)證與都不存在。6學(xué)習(xí)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)應(yīng)注意的問題：求多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵是搞清各個(gè)變量之間的復(fù)合關(guān)系，常用一種“樹形圖”的圖形直觀地給出因變

12、量、中間變量及自變量的關(guān)系，幫助我們記憶公式，以便進(jìn)行正確運(yùn)算。例如：，zuvyx畫出“樹形圖”則 7學(xué)習(xí)方向?qū)?shù)應(yīng)注意的問題(1) 是單側(cè)極限。因?yàn)椋詫?shí)際上是。(2) 是雙側(cè)極限。時(shí)，可正、可負(fù)，因此時(shí)，與不一定相等，時(shí)，與也不一定相等。(3) 梯度是一個(gè)向量，當(dāng)?shù)姆较蚺c梯度方向相同時(shí)，方向?qū)?shù)達(dá)到最大值。8最小二乘法在數(shù)學(xué)建模中有廣泛的應(yīng)用，要注意領(lǐng)會(huì)其精神實(shí)質(zhì)。四、解題示范例1：求解：原式一般地，用定義證明二重極限不存在有二種途徑：(1) 找到兩條特殊的途徑，得出沿這兩條途徑趨于時(shí)，的極限值不等；(2) 找到一條特殊的途徑證明沿此途徑趨于時(shí)，的極限不存在。例2：求解：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿趨于時(shí)，

13、則當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿趨于時(shí)，則故原極限不存在。例3：求當(dāng)，時(shí)的全微分。解：因，故。例4：求的一階偏導(dǎo)數(shù)，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。解：將三個(gè)中間變量按順序編為1，2，3號(hào)，畫出“樹形圖”u=fx(1)xy(2)xyz(3)xyz故 例5：求函數(shù)在點(diǎn)處沿從點(diǎn)到點(diǎn)的方向的方向?qū)?shù)。解： ， 因?yàn)?所以例6設(shè)，取，作為新自變量，試變換方程。解：，故即7設(shè)由確定，求。解：由兩邊對(duì)求導(dǎo)： 從而 (1) 原式兩邊對(duì)求導(dǎo) 從而 (2)(1)式兩邊對(duì)求導(dǎo) 將(2)代入得：第九章 重積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)一、知識(shí)脈絡(luò) 二、重點(diǎn)和難點(diǎn)1重點(diǎn)：求二重積分、求三重積分2難點(diǎn)：將二重積分化為二次積分，將三重積分化為三次積分三、問題與分析1重

14、積分中有4個(gè)關(guān)鍵步驟：任意分割積分區(qū)域；在分割后的小區(qū)域中任意取點(diǎn)；求和；求極限；2計(jì)算重積分的關(guān)鍵是化為累次積分，根據(jù)具體題目，要能正確選擇坐標(biāo)系以及要正確考慮積分的先后次序；3二重積分的幾何意義：當(dāng)時(shí)，表示以曲面為頂，以為底的曲頂柱體體積；當(dāng)時(shí)，的面積；4二重積分的物理意義：當(dāng)表示平面薄片的面密度時(shí)， 表示的質(zhì)量；5三重積分的物理意義：當(dāng)表示空間立體的體密度時(shí)，表示的質(zhì)量。四、計(jì)算二重積分時(shí)，應(yīng)注意的問題1選系：當(dāng)積分區(qū)域是圓域或圓域的一部分，被積分函數(shù)含有或兩個(gè)積分變量之比，時(shí)，一般可選用極坐標(biāo)系來計(jì)算；2選序：當(dāng)選用直角坐標(biāo)系時(shí)，要考慮積分次序，先對(duì)哪個(gè)變量積分較好；3積分區(qū)域的對(duì)稱性

15、與被積函數(shù)的奇偶性的正確配合，例如當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)，應(yīng)配合被積函數(shù)關(guān)于的奇偶性；4特例：當(dāng)被積分函數(shù)的變量可分離，并且積分區(qū)域?yàn)閮舌忂叿謩e與兩坐標(biāo)軸平行的矩形時(shí)，則二重積分可化為兩個(gè)定積分的乘積。五、解題示范例1： 改變二次積分的積分次序。解：積分區(qū)域：改寫為：故。例2：計(jì)算，其中是由直線及拋物線所圍成的區(qū)域。解：積分區(qū)域?yàn)椋?，于是注意：如果先?duì)后對(duì)積分，此時(shí)為，于是。由于的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，積分難以進(jìn)行，故本積分不能按此次序。例3：計(jì)算，其中為。解：用極坐標(biāo)，此時(shí)為：于是注：如用直角坐標(biāo)，則由于不能用初等函數(shù)表示，積分就難以進(jìn)一步計(jì)算。例4：計(jì)算，其中為平面，所圍成的四面體。解

16、：積分區(qū)域?yàn)?，于是原?。例5：求，其中是由曲面及所圍成的區(qū)域。解：積分區(qū)域?yàn)?，于是原?例6：求，其中由不等式，所確定。解：直角坐標(biāo)變換為球面坐標(biāo)，于是為故原式 。 第十章 曲線積分與曲面積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)一、內(nèi)容提要(一) 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分1定義：，其中表示第個(gè)小弧段的弧長(zhǎng)。2性質(zhì)：具有與定積分類似的性質(zhì)。如線性性質(zhì)，對(duì)積分路徑的可加性等。3計(jì)算：(1) 若曲線的界數(shù)方程為，()且，在上連續(xù)，在上連續(xù)，則。(2) 若曲線的方程為且在連續(xù)，上連續(xù)，則。(3) 若曲線的極坐標(biāo)方程為()，且在上連續(xù)，在上連續(xù)，則。(4) 若空間曲線的方程為，在上連續(xù)在上連續(xù)，則。(二) 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分1定義：其物理

17、意義是變務(wù)沿有向弧段所作的功，即2性質(zhì)：除了與弧長(zhǎng)的曲線積分相同的性質(zhì)外，應(yīng)注意方向性3計(jì)算：(1) 若曲線的參數(shù)方程為，且曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的的值為和，又，在或上連續(xù)，在上連續(xù)，則(2) 若曲線的直角坐標(biāo)方程為，且曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的的值為和，又在或上連續(xù)，則(3) 若空間曲線的參數(shù)方程為，且曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的的值為和，又，在或上連續(xù)，則(三) 格林公式，曲線積分與路徑無關(guān)的條件1格林公式設(shè)和及一階導(dǎo)數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，則有其中分段光滑曲線是區(qū)域的正向邊界。2四個(gè)等價(jià)命題若，在單連通區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則在內(nèi)下列四個(gè)命題相互等價(jià)：(1) 曲線積分與路徑無關(guān)，其中是中分段光滑曲

18、線；(2) 沿中任一分段光滑閉曲線有。(3) 對(duì)內(nèi)的任一點(diǎn)有。(4) 在內(nèi)存在一函數(shù)使，則有3兩種曲線積分之間的關(guān)系其中，是上任一點(diǎn)方向上的切向量的方向余弦。(四) 對(duì)面積的曲面積分1定義：，其中()是曲面塊上的第個(gè)塊的面積。物理意義是密度的曲面塊的質(zhì)量當(dāng)時(shí)為面積。2計(jì)算若曲面可用單值函數(shù)表示設(shè)為在平面上的投影區(qū)域，則若曲面的方程為單值函數(shù)若，設(shè)和為在平面和平面上的投影，則曲面積分可類似地化成重積分：或 (五) 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分1定義：其中表示的第子塊在平面上的投影，含義類似。物理意義：設(shè)流體密度為1，流速為，則單位時(shí)間內(nèi)流進(jìn)有向曲面指定一側(cè)的流量為2計(jì)算若曲面的方程為，則(當(dāng)為曲面的上、下側(cè)

19、時(shí)分別取正、負(fù)號(hào))類似地，若曲面的方程為則(當(dāng)為曲面的前、后側(cè)時(shí)分別取正、負(fù)號(hào))若曲面的方程為則(當(dāng)為曲面的右、左側(cè)時(shí)分別取正、負(fù)號(hào))3兩類曲面積分的關(guān)系其中，是有向曲面上點(diǎn)處的法向量的方向余弦。(六) 高斯公式設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面所圍成，函數(shù)、在上是有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則其中中的整個(gè)邊界的外側(cè)。(七) 斯托克斯公式設(shè)為分段光滑的有向空間閉曲線，為以為邊界的分片光滑的有向曲面，的正向與的側(cè)符合右手法則，函數(shù)、在包含曲面在內(nèi)的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)是有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有 (八) 通量與散度、環(huán)量與流量設(shè)向量場(chǎng)通量(或流量) ，其中為上點(diǎn)處的單位法向量。散度：對(duì)坐標(biāo)的曲面積分與的形狀無關(guān)的充要條

20、件是散度為零。旋度：環(huán)流量：向量場(chǎng)沿有向閉線的環(huán)流量為二、基本要求(一) 理解曲線、曲面積分的定義，掌握曲線、曲面積分的計(jì)算方法；(二) 掌握第二類曲線、曲面積分與路徑、形狀無關(guān)的條件及其判斷方法；(三) 了解通量與環(huán)流量與旋度的概念，并掌握它們的計(jì)算方法；(四) 掌握各類曲線、曲面積分之間的關(guān)系；(五) 掌握曲線、曲面的積分的有關(guān)應(yīng)用(求面積、求曲線段和曲面塊的重心坐標(biāo)等)；(六) 掌握高斯公式和斯托克斯公式及其應(yīng)用。三、注意的幾點(diǎn)(一) 第一類曲線積分的計(jì)算應(yīng)掌握弧長(zhǎng)微分的基本公式所有形式的計(jì)算公式均可由此推出，第一類曲面積分也有類的公式。(二) 第二類曲線積分與積分曲線的方向有關(guān)第二類曲

21、面積分與曲面空間有關(guān)(三) 第一類曲面積分的計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意“一投、二代、三換”以及利用積分區(qū)域的對(duì)線性和被積函數(shù)的第二類曲面積分的計(jì)算應(yīng)注意“一投、二代、三定號(hào)”。(四) 利用第二類曲線積分求平面圖形面積是格林公式的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用可利下面各式計(jì)算面積：。(五) 利用格林公式時(shí)，要注意條件：1曲線是閉曲線，錄不封閉則應(yīng)添加曲線使其封閉；2函數(shù)和在封閉曲線圍成的區(qū)域內(nèi)應(yīng)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；3曲線積分的方向是正向，即逆時(shí)針方向。利用高斯公式時(shí)也應(yīng)注意類似問題。(六) 有關(guān)重心公式線度的空間曲線的重心公式， 面度為的空間曲面的重心坐標(biāo)，。第十一章無窮級(jí)數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)重點(diǎn)：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念和基本

22、性質(zhì)，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂域的討論，函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開及其應(yīng)用難點(diǎn)：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判斷，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂域的討論、一致收斂性的判斷，將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)，求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)，將周期函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)（一）A1 無窮級(jí)數(shù)是形如的無窮和式, 簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)。其中稱為級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)或通項(xiàng)。若()都是數(shù), 則稱級(jí)數(shù)為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù); 若=()，都是定義在某個(gè)區(qū)間I上的函數(shù), 則稱級(jí)數(shù)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。A2 級(jí)數(shù)( )的前n項(xiàng)的和: 稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)( 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) )的部分和。對(duì)于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，若(有限值)，則稱級(jí)數(shù)收斂,并稱S為級(jí)數(shù)的和,記為S=,并稱級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)第項(xiàng)后的余項(xiàng)。若不存在, 則稱級(jí)數(shù)發(fā)散。對(duì)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，

23、若使函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂(發(fā)散)，則稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)(發(fā)散點(diǎn))；一切收斂(發(fā)散)點(diǎn)的集合，叫做函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂(發(fā)散)域。在收斂域上，記，稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)，并稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的余項(xiàng)。A3 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判斷是本章的重點(diǎn)，容易證明數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的必要條件是級(jí)數(shù)的通項(xiàng)滿足，因此若通項(xiàng)不趨于零，則級(jí)數(shù)必發(fā)散。除了定義,以下基本性質(zhì)也有助于我們判別數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性。（1） 若收斂，則亦收斂, 且=；（2） 若與均收斂，則亦收斂, 且=；（3） 在級(jí)數(shù)前面添加或去掉有限項(xiàng)后所得的級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)的斂散性相同；（4） 收斂級(jí)數(shù)的各項(xiàng)按規(guī)則加括號(hào)后所得的級(jí)數(shù)仍然收斂按某規(guī)則加括號(hào)后所得的級(jí)數(shù)發(fā)

24、散，則原級(jí)數(shù)發(fā)散；（5） 柯西收斂原則。A4 以下幾個(gè)重要的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，其斂散性已經(jīng)明確：(1) 等比級(jí)數(shù), 當(dāng)時(shí)收斂,當(dāng)時(shí)發(fā)散;(2) 調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散;(3) p-級(jí)數(shù),當(dāng)時(shí)發(fā)散; 時(shí)收斂;(4) 倒階乘級(jí)數(shù)收斂.A5 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂域的討論也是本章的重點(diǎn)之一。本章我們著重研究?jī)煞N函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：冪級(jí)數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)。冪級(jí)數(shù)是形如的級(jí)數(shù)。冪級(jí)數(shù)的收斂域, 除端點(diǎn)外是關(guān)于對(duì)稱的區(qū)間，兩端點(diǎn)處是否收斂需單獨(dú)檢驗(yàn), 其中稱為收斂半徑。冪級(jí)數(shù)我們著重討論的情況，即級(jí)數(shù)，因?yàn)閮缂?jí)數(shù)一般形式可以通過變量替換化為。此級(jí)數(shù)收斂區(qū)間的求法為：先求, 則收斂半徑; 再檢驗(yàn)兩端點(diǎn)處是否收斂, 從而收斂域=收斂的端點(diǎn)。A6

25、掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的定義及其判別方法，最常用的方法是維爾斯特拉斯判別法：設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義在數(shù)集D上，是收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若對(duì)一切有，則一致收斂。其它還有阿貝爾判別法和狄利克雷判別法。一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，逐項(xiàng)微分或逐項(xiàng)積分運(yùn)算后的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，其和函數(shù)等于原函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)的微分或積分。此性質(zhì)在求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)及函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開中有著重要應(yīng)用。（二）B1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)就是通項(xiàng)的級(jí)數(shù)。它是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中比較簡(jiǎn)單的一類級(jí)數(shù)，其收斂的充要條件是部分和有上界。判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，除了上述收斂的充要條件，還有如下常用方法：（1） 比較法：若，而收斂，則收斂；若，而發(fā)散，則發(fā)散。比較法的極限形式如下：若(), 則與同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。在比較法中，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性常借助于一些已知的正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性來判斷。如已知發(fā)散，由此推得若(),則發(fā)散。又如已知p-級(jí)數(shù),當(dāng)時(shí)收斂，由此推得若()，且，則收斂。（2） 比值法若,當(dāng)時(shí)，則（3） 根值法若當(dāng)時(shí)，則B2 關(guān)于冪級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算,設(shè)與的收斂半徑分別為和，則在內(nèi)有 =；()()=,其中 =。 在比可能小得多的區(qū)間內(nèi)有 =其中