4不等式的應(yīng)用

1、不等式的應(yīng)用一、知識梳理：1.幾個(gè)重要不等式（1）（2）若則（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號）（3）如果a,b都是正數(shù)，那么 （當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號）2、最值定理：若則：如果P是定值, 那么當(dāng)x=y時(shí)，S的值最_； 如果S是定值, 那么當(dāng)x=y時(shí)，P的值最_. 注意： 前提：“一正、二定、三相等”，如果沒有滿足前提，則應(yīng)根據(jù)題目創(chuàng)設(shè)情境；還要注意選擇恰當(dāng)?shù)墓剑?“和定 積最大，積定 和最小”，可用來求最值； 均值不等式具有放縮功能，如果有多處用到，請注意每處取等的條件是否一致。3、不等式的應(yīng)用是不等式的重點(diǎn)內(nèi)容，它在中學(xué)數(shù)學(xué)有著廣泛的應(yīng)用，主要表現(xiàn)在： (1)求函數(shù)的定義域、值域； (2)求函數(shù)的最值

2、； (3)討論函數(shù)的單調(diào)性； (4)研究方程的實(shí)根分布； (5)求參數(shù)的取值范圍； (6)解決與不等式有關(guān)的應(yīng)用題. 4、不等式與數(shù)學(xué)各知識點(diǎn)聯(lián)系緊密，主要有:運(yùn)用不等式研究函數(shù)問題（單調(diào)性、最值等）；運(yùn)用不等式研究方程解的問題；運(yùn)用不等式研究幾何關(guān)系問題（如相切、相交、相離，圓內(nèi)、圓外）.5、數(shù)學(xué)有關(guān)知識點(diǎn)轉(zhuǎn)化為不等式問題，其轉(zhuǎn)化的途徑有：利用幾何意義；利用判別式；應(yīng)用變量的有界性；應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性；應(yīng)用均值不等式.二、填空題1、（*）若實(shí)數(shù)a、b滿足_2、（*）函數(shù)的值域?yàn)?3、（*）函數(shù)在區(qū)間上恒為正，則的取值范圍是 4、（*）若函數(shù)，則與的大小關(guān)系是 5、（*）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的

3、取值范圍是 6、（*）已知，則不等式的解集是 _ 7、（*）若正數(shù)a、b滿足ab=a+b+3，則ab的取值范圍是_ 8、（*）已知f(x)、g(x)都是奇函數(shù)，f(x)0的解集是(a2，b)，g(x)0的解集是(，)，則f(x)·g(x)0的解集是 9、（*）知x、y，則使恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍是_.10、（*）若不等式，在上恒成立，則的取值范圍是 方法提煉： 三、解答題11、（*）若，且，求證：方法提煉： 12、（*）老師給學(xué)生出了這樣一道題：“已知兩正數(shù)x,y 滿足x+y=1,求z=的最小值”兩個(gè)學(xué)生甲，乙的解法分別是：甲解：因?yàn)閷>0,恒有,從而z=4,所以z的最小值是

4、4。乙解：，所以z的最小值是。請你分析他們誰解的對，為什么？如果都不對，請寫出你的解題過程。方法提煉： 13、（*）若，求的最大值和最小值。方法提煉： 14、（*） 圍建一個(gè)面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口，如圖所示，已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m,新墻的造價(jià)為180元/m,設(shè)利用的舊墻的長度為x(單位：元)。（）將y表示為x的函數(shù)： （）試確定x,使修建此矩形場地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用方法提煉： 15、（*）已知f(x)是定義在1，1上的奇函數(shù)，且f (1)=1，若m、n1

5、，1，m+n0時(shí)有（1）判斷f (x)在1，1上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（2）解不等式:； （3）若f (x)對所有x1，1，1，1恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍方法提煉： 答案：1、 4 2、 3、 0a2 4、 5、6、 7、ab9 8、 9、 10、11、證明：，又，即同理，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立12、解：分析：甲解：等號成立的條件是相矛盾。 乙解：等號成立的條件是，與相矛盾。因此兩個(gè)同學(xué)的解答都是錯(cuò)誤的。正解：z=，令t=xy, 則，由在上單調(diào)遞減,故當(dāng)t=時(shí) 有最小值,所以當(dāng)時(shí)z有最小值。13、解： 當(dāng)時(shí) 有最小值-1當(dāng)時(shí)有最大值314、解：（1）設(shè)矩形的另一邊長為a m則-45x-18

6、0(x-2)+180·2a=225x+360a-360高考資源網(wǎng)由已知xa=360,得a=,所以y=225x+ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (II).當(dāng)且僅當(dāng)225x=時(shí)，等號成立.即當(dāng)x=24m時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是10440元. w.w.15分析：可利用定義法判斷單調(diào)性，再利用單調(diào)性解決問題（2），問題（3）只要f (x)max解：(1)任取1x1<x21，則f (x1)f (x2)= f (x1)+f (x2)=1x1<x21，x1+（x2）0， 由已知0，又x1x20，f (x1)f (x2)0，即f (x)在1，1上為增函數(shù) （2）f (x)在1，1上為增函數(shù)，故有 （3）由(1)可知：f（x）在1，1上是增函數(shù)，且f (1)=1，