因式分解（二）（教師版）

1、.初中數(shù)學(xué) 備課組老師 班級學(xué)生 日期 月日上課時間 教學(xué)內(nèi)容 因式分解二知識精要知識點(diǎn)1 十字相乘法 1.什么是二次三項(xiàng)式多項(xiàng)式,稱為字母的二次三項(xiàng)式,其中稱為二次項(xiàng),為一次項(xiàng),為常數(shù)項(xiàng).例如：和都是關(guān)于的二次三項(xiàng)式.在多項(xiàng)式中，假如把看作常數(shù)，就是關(guān)于的二次三項(xiàng)式；假如把看作常數(shù)，就是關(guān)于的二次三項(xiàng)式.在多項(xiàng)式中，把看作一個整體，即，就是關(guān)于的二次三項(xiàng)式.同樣，多項(xiàng)式，把看作一個整體，就是關(guān)于的二次三項(xiàng)式.十字相乘法是適用于二次三項(xiàng)式的因式分解的方法.2.十字相乘法的根據(jù)和意義利用十字相乘法分解因式，本質(zhì)上是逆用多項(xiàng)式的乘法法那么.如在多項(xiàng)式乘法中有：反過來可得：假如二次三項(xiàng)式能把常數(shù)項(xiàng)分

2、解成兩個因數(shù)，的積，并且為一次項(xiàng)系數(shù)，那么它就可以運(yùn)用公式分解因式.例如中常數(shù)項(xiàng)是，可以分解為，而且2+1=3，恰好是一次項(xiàng)的系數(shù)，所以.在對多項(xiàng)式分解因式時，也可以借助于畫十字穿插線來分解，分解為，常數(shù)項(xiàng)分解為，把它們用穿插線來表示：按十字穿插相乘，它們積的和是.所以.一般地，可以用十字穿插線表示為：利用十字穿插線來分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法.3.用十字相乘法分解的多項(xiàng)式的特征1必須是一個二次三項(xiàng)式；2二次項(xiàng)的系數(shù)為1時，常數(shù)項(xiàng)能分解成兩個因數(shù)和的積 ，且這兩個因數(shù)的和正好等于一次項(xiàng)系數(shù)，這種方法的特征是“拆常數(shù)項(xiàng)，湊一次項(xiàng).公式中的可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式；

3、3對于二次項(xiàng)系數(shù)不是1的二次三項(xiàng)式，都是整數(shù)且來說，假如存在四個整數(shù)，使，那么它的特征是“拆兩頭，湊中間，這里要確定四個常數(shù)，分析和嘗試都要比首項(xiàng)系數(shù)是1的情況復(fù)雜，因此，一般要借助 “畫十字穿插線的方法來確定.例如，用十字相乘法分解因式，因?yàn)榘词执┎逑喑?，它們的積的和是.所以.4.用十字相乘法因式分解時要注意的符號規(guī)律 為了減少嘗試次數(shù)，掌握十字相乘法分解因式的符號規(guī)律，可以幫助大家更快的運(yùn)用 十字相乘法分解因式，符號規(guī)律是：當(dāng)常數(shù)項(xiàng)是“+號時，分解的兩個一次二項(xiàng)式中間同號；假設(shè)一次項(xiàng)是“+的，那么兩個一次二項(xiàng)式中間都是“+號；假設(shè)一次項(xiàng)是“-的，那么兩個一次二項(xiàng)式中間都是“-號.當(dāng)常數(shù)項(xiàng)

4、是“-號時，分解的兩個一次二項(xiàng)式的因式中間異號；假設(shè)一次項(xiàng)是“+的，那么穿插相乘積正的絕對值大；假設(shè)一次項(xiàng)是“-的，那么穿插相乘積負(fù)的絕對值大.當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時，先提出負(fù)號，使二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，然后再看常數(shù)項(xiàng).用十字相乘法分解因式，還要防止以下兩種錯誤出現(xiàn)：一是沒有認(rèn)真地驗(yàn)證穿插相乘的兩個積的和是否等于一次項(xiàng)系數(shù)；二是由十字相乘寫出的因式漏寫字母.例1 把以下各式分解因式： 1 2 = =例2 把以下各式分解因式： 1 2 例3 把以下各式分解因式： 1 2 3 4 知識點(diǎn)2 分組分解法1.分組分解法的意義 有的多項(xiàng)式各項(xiàng)沒有公因式，也不能直接運(yùn)用公式分解因式，但是某些項(xiàng)通過適當(dāng)?shù)慕Y(jié)合成為

5、一組，利用分組可以進(jìn)展多項(xiàng)式的局部分解，然后，綜合起來，再從總體上用提取公因式法和十字相乘法繼續(xù)進(jìn)展分解，直到分解出最后結(jié)果.這種分解因式的方法叫做分組分解法.2.分組的原那么 分組分解法適用于不能直接使用提取公因式法、公式法和十字相乘法的多項(xiàng)式. 分組分解法比較靈敏，其關(guān)鍵在于分組要適當(dāng)，它的分組原那么是： 分組后能直接提取公因式； 分組后能直接運(yùn)用公式.分組分解法并不是一種獨(dú)立的因式分解的方法.通過對多項(xiàng)式進(jìn)展適當(dāng)?shù)姆纸M，把多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為可以應(yīng)用根本方法即提取公因式法或公式法分解的構(gòu)造形式，使之具有公因式，或者符合公式的特點(diǎn)等，從而到達(dá)可以利用根本方法進(jìn)展分解因式的目的.我們有目的地將多項(xiàng)式

6、的某些項(xiàng)組成一組，從部分考慮，使每組可以分解，從而到達(dá)整個多項(xiàng)式因式分解的目的，至于如何恰當(dāng)?shù)胤纸M，需要詳細(xì)問題詳細(xì)分析，但分組時要有預(yù)見性，要統(tǒng)籌考慮，減少盲目性，分組的好壞直接影響到因式分解能否順利進(jìn)展.通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)，不斷總結(jié)規(guī)律，便能掌握分組的技巧.3.常用的分組方法方法一：分組后能提取公因式1按字母分組.例如：分解因式：可以按某一字母為準(zhǔn)分組，假設(shè)按含有字母的分為一組，含有字母的分為一組，即，這樣就產(chǎn)生了公因式.2按系數(shù)分組.例如：分解因式：，我們觀察到前兩項(xiàng)的系數(shù)之比和后兩項(xiàng)系數(shù)之比恰好相等，即，那么.3按次數(shù)分組.例如：分解因式：，此多項(xiàng)式有兩個三次項(xiàng)，有兩個二次項(xiàng)，有兩個一次項(xiàng)

7、，按次數(shù)分組為：.方法二：分組后能運(yùn)用公式例如：，可以把前三項(xiàng)作為一組，它是一個完全平方式，可以分解為.而又是平方差形式的多項(xiàng)式，還可以繼續(xù)分解.方法三：重新分組例如：分解因式，此多項(xiàng)式必須先去括號，進(jìn)展重新分組. .4.分組分解法分解因式的幾點(diǎn)注意1分組分解法主要應(yīng)用于四項(xiàng)以上包括四項(xiàng)的多項(xiàng)式的因式分解.2解題時仍應(yīng)首先考慮公因式的提取，公式法的應(yīng)用，其次才考慮分組.3分組方法的不同，僅僅是因?yàn)榉纸獾氖侄尾煌鞣N手段的目的都是把原多項(xiàng)式進(jìn)展因式分解.4對于四項(xiàng)式的兩兩分組，盡管方法不唯一，但是并不是任何兩項(xiàng)分組都可以到達(dá)目的，分組要注意合理性，四項(xiàng)式中的另一種三項(xiàng)、一項(xiàng)分組，這三項(xiàng)的一組中

8、應(yīng)使其成為完全平方公式，而剩下的一項(xiàng)必須能寫成某個式子的平方，且又與完全平方的式子的符號相反，那么得到的形式，再用平方差公式分解.5五項(xiàng)式一般采用三項(xiàng)、兩項(xiàng)分組.6六項(xiàng)式采用三、三分組，或三、二、一分組，或二、二、二分組.7原多項(xiàng)式中帶有括號時一般采用不便于分組時可先將括號去掉，整理后再分組分解.例1：分解因式1 2 3 4 例2：分解因式1 2 3 4 例3：分解因式1 2 3 4 穩(wěn)固練習(xí)一填空題1.以下式子由左到右的變形中，屬于因式分解的是 C A. B.C. D.2.以下各式的因式分解結(jié)果正確的選項(xiàng)是 B A. B.C. D.3.二次三項(xiàng)式分解因式的結(jié)果如下：；.其中正確的個數(shù)為 C

9、A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 4.用分組分解法將分解因式，以下分組方式中不恰當(dāng)?shù)氖?D A. B.C. D.5.把多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果是 A A. B. C. D.6.把多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果是 C A. B. C. D.二填空題1. . 2. .3. 24 = . 4. 15 = .5. + 20 = +5 +4. 6. .7. 2 5 . 8. .9. . 10. .11.分解因式：1= .2 .三簡答題1.用十字相乘法將以下各式分解因式：1 2 3 4 5 6 7； 8； 9； 10； 11； 12； 13； 14； 15； 16； 17. 2.用十字相乘法將以下各式分解因式：1

10、； 2； 3； 4； 5； 6； 7； 8； 9. 四解答題1.多項(xiàng)式可分解為兩個整系數(shù)的一次因式的積，求的值. 解：或2.把分解因式. 解： 3.是整數(shù)，試證明能被6整除. 證明：.當(dāng)為整數(shù)時，、是三個連續(xù)的自然數(shù)，其中必有一個為偶數(shù)，一個為3的倍數(shù)，故能被6整除.所以能被6整除. 4.，求. 解： 5.假如，求、的值. 解：， ， . 6.把進(jìn)展因式分解. 解：家庭作業(yè)一.填空題1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 二解答題1.把以下各式因式分解：1 2 3 4 5 6 7 8 9 2.在整數(shù)范圍內(nèi)可以因式分解，求自然數(shù)的值，并把它們分解因式. 解：，由于為自然數(shù)，所以=2+-2=0或者=4+-1=3. 當(dāng)時，； 當(dāng)時，.3.求的值. 解： .4.求的值. 解： 解得 所以.5.假如一個三角形的邊長為