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1、第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面第一節(jié) 復(fù)數(shù)及其幾何表示1、復(fù)數(shù)域每個復(fù)數(shù)具有的形狀,其中和,是虛數(shù)單位;和分別稱為的實部和虛部,分別記作,。復(fù)數(shù)和相等是指它們的實部與虛部分別相等。如果,則可以看成一個實數(shù);如果,那么稱為一個虛數(shù);如果,而,則稱為一個純虛數(shù)。復(fù)數(shù)的四則運算定義為:復(fù)數(shù)在四則運算這個代數(shù)結(jié)構(gòu)下,構(gòu)成一個復(fù)數(shù)域,記為C。2、復(fù)平面:C也可以看成平面,我們稱為復(fù)平面。作映射:,則在復(fù)數(shù)集與平面之建立了一個1-1對應(yīng)。橫坐標(biāo)軸稱為實軸,縱坐標(biāo)軸稱為虛軸;復(fù)平面一般稱為z-平面,w-平面等。復(fù)數(shù)可以等同于平面中的向量,。向量的長度稱為復(fù)數(shù)的模,定義為:;向量與正實軸之間的夾角稱為復(fù)數(shù)的輻角,定義為
2、:()。復(fù)數(shù)的共軛定義為:;復(fù)數(shù)的三角表示定義為:;復(fù)數(shù)加法的幾何表示:設(shè)、是兩個復(fù)數(shù),它們的加法、減法幾何意義是向量相加減,幾何意義如下圖:關(guān)于兩個復(fù)數(shù)的和與差的模,有以下不等式:(1)、;(2)、;(3)、;(4)、;(5)、;(6)、;例1 試用復(fù)數(shù)表示圓的方程: ()其中,a,b,c,d是實常數(shù)。解:方程為 ,其中。例2、設(shè)、是兩個復(fù)數(shù),證明利用復(fù)數(shù)的三角表示,我們可以更簡單的表示復(fù)數(shù)的乘法與除法:設(shè)、是兩個非零復(fù)數(shù),則有則有 即,其中后一個式子應(yīng)理解為集合相等。同理,對除法,有即,其后一個式子也應(yīng)理解為集合相等。例3、設(shè)、是兩個復(fù)數(shù),求證:例4、作出過復(fù)平面C上不同兩點a,b的直線及過不共線三點 a,b,c的圓的表示式。 解:直線:;圓:利用復(fù)數(shù)的三角表示,我們也可以考慮復(fù)數(shù)的乘冪:令,則進(jìn)一步,有共有-個值。例5、求的所有值。解:由于,所以有其中,。3、復(fù)球面與無窮大:在點坐標(biāo)是 的三維空間中,把 xOy面看作就是面??紤]球面:取定球面上一點稱為球極。我們可以建立一個復(fù)平面C到之間的一個1-1對應(yīng):,。我們稱上面的映射為球極射影。對應(yīng)于球極射影為,我們引入一個新的非正常復(fù)數(shù)無窮遠(yuǎn)點,稱為擴(kuò)充
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