曲線曲面積分部分難題解答

1、曲線、曲面積分部分難題解答1（P201,第1題）計(jì)算下列標(biāo)量函數(shù)的曲線積分（第一型曲線積分）：（），為拋物線上從原點(diǎn)到點(diǎn)的??；（），為聯(lián)結(jié)點(diǎn)、和的三角形圍線；（），為圓周；（），為螺線的 一段??；（），為曲線上從點(diǎn)到的一段弧.解：（），（令）（）解：;， （）解法一：所以，解法二：化為極坐標(biāo)表示：所以，（） 2（P201,第2題）設(shè)有某種物質(zhì)分布在橢圓上，其密度求它的總質(zhì)量.解：不妨假設(shè)，其中（公式）3（P202,第3題）設(shè)曲線的長度為，而函數(shù)在包含的某個(gè)區(qū)域內(nèi)連續(xù).證明： 證明：由第一型曲線積分的定義故 4（P202,第4題）從原點(diǎn)到點(diǎn)沿下列不同路徑分別計(jì)算第二型曲線積分 （1）.為直線段；

2、（2）.為拋物線上的弧；（3）.為從點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)到點(diǎn)的折線.解：（1）（2）（3）5（P202,第5題）計(jì)算曲線積分（1）.為從點(diǎn)點(diǎn)的上半圓周；（2）.為從點(diǎn)點(diǎn)的直線段；（3）.為逆時(shí)針方向的圓周解：（1） .（2）（3）.6（P202,第6題）計(jì)算沿逆時(shí)針方向的圓周的曲線積分解：，所以，7（P202,第7題）計(jì)算下列曲線積分，曲線的方向與參數(shù)增加方向：（），為拋物線；（），為折線；（），的參數(shù)方程為；解：（）（）設(shè)點(diǎn)則; 原式（）8（P202,第8題）設(shè)曲線的長度為，而函數(shù)在包含的某個(gè)區(qū)域內(nèi)連續(xù).證明： 證明：設(shè)由第二型曲線積分的定義及柯西不等式故 9（P209,第1題）求下列曲面塊的面積：（）球

3、面包含在圓柱面內(nèi)的那部分面積；（）圓錐面被圓柱面截下的那一部分；（）圓柱面被圓柱面截下的那一部分.解：（）畫出示意圖. 將曲面方程化為，則.（）畫出示意圖. 由曲面方程，得.（）利用對(duì)稱性（僅在第一卦限內(nèi)計(jì)算），曲面（為在第一卦限的那部分，其面積設(shè)為）向面上的投影區(qū)域?yàn)? 將曲面方程化為，則，所以，.10（P209,第2題）求下列曲面積分：（），式中為四面體的表面；（），式中為圓柱體的表面；（），式中為球面的表面.解：（）其中 ，；，；，；，；（）其中 ，；，；其向面上的投影區(qū)域?yàn)? 將曲面方程化為，則 ，所以，或者（）由積分區(qū)域的對(duì)稱性，及被積函數(shù)的奇偶性知，顯然11（P210,第3題）證明

4、泊松公式其中為球面，為連續(xù)函數(shù).證明：取新的空間直角坐標(biāo)系，其中原點(diǎn)不變，使坐標(biāo)平面與平面重合，并使軸垂直于平面.則有 其實(shí)根據(jù)坐標(biāo)系選取方法的描述，我們不難看出軸上的單位向量就可取作平面的單位法線向量.則（注意到，顯然為點(diǎn)到平面的距離）.則 顯然在新坐標(biāo)系下，球面的形狀并未改變（仍記為），且它的方程應(yīng)為（因?yàn)樵谛碌淖鴺?biāo)系下，任何一個(gè)球面上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離仍然為1.）得： 當(dāng)固定時(shí)，表示垂直于軸平面上的一個(gè)圓周.進(jìn)一步，我們把化為參數(shù)方程表示：因此， 曲面的元素故12（P210,第4題）設(shè)某種物質(zhì)均勻分布在球面上（認(rèn)為分布密度）.求它對(duì)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解：由公式 由對(duì)稱性其中，則，所以，.因此

5、 13（P217,第1題）沿圓錐面的下側(cè)，求曲面積分，其中解：化為第一型曲面積分計(jì)算.的向下的法向量，所以故（根據(jù)第一型曲面積分的計(jì)算方法）14（P217,第2題）沿橢球面的外側(cè)，求曲面積分解：把分割為兩個(gè)部分.其中，（上側(cè)）；（下側(cè)）.向面上的投影區(qū)域均為故作變量代換： 由二重積分的換元法. 其中 所以所以，由輪換對(duì)稱性，知： ；故15（P217,第3題）沿球面的外側(cè)，求曲面積分解：把分割為兩個(gè)部分.其中，（上側(cè)）；（下側(cè)）.向面上的投影區(qū)域均為 故 作變量代換： 由二重積分的換元法. 其中 所以（1）同理；由輪換對(duì)稱性，知： ； 故16（P217,第4題）設(shè)為長方體的表面.沿外側(cè)求曲面積分

6、 解：把分割為六個(gè)部分.其中 的上側(cè)；的下側(cè)；的前側(cè)；的后側(cè)；的右側(cè)；的左側(cè).注意到除外，其余四片曲面在面上的投影為零，因此17（P225第1題）利用格林公式計(jì)算下面的曲線積分（的方向?yàn)檎较颍海ǎ?，為圓周；（），為橢圓；（），為曲線；（），為區(qū)域；18（P225第2題）求，（為常數(shù)）其中是自點(diǎn)經(jīng)過圓周的上半部分到點(diǎn)O(0,0)的半圓周.（提示：作輔助線后用格林公式）.解：. 所以，由格林公式：. 所以， （因?yàn)椋?9（P225第5題）設(shè)函數(shù)在正半軸上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且若在右半平面內(nèi)沿任意閉合光滑曲線，都有求函數(shù)解：，都是右半平面上的連續(xù)函數(shù)，由于在右半平面內(nèi)沿任意閉合光滑曲線，都有故有 即 化

7、簡，得 （1）為一階線性微分方程，其通解為 代入條件，得 故 20（P226第6題）設(shè)是以光滑曲線為正向邊界的有界閉區(qū)域，而函數(shù)在閉區(qū)域上具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)且記證明：其中 表示函數(shù)沿邊界曲線外法線方向的方向?qū)?shù).證明：設(shè)為曲線的正向的切線向量，其方向余弦為、，則有，故 ，（由兩型曲線積分之間的聯(lián)系）（格林公式） 21（P226第7題）在第6題的假設(shè)和記號(hào)下，證明：證明：仿上題 （由兩型曲線積分之間的聯(lián)系）（格林公式）移項(xiàng)，即得 22（P227第8題）格林第二公式若函數(shù)和都滿足第6題中的假設(shè)，證明：證明： （由兩型曲線積分之間的聯(lián)系）（格林公式） （1）由輪換對(duì)稱性，知 （2）于是23（P22

8、7第9題）計(jì)算高斯(Gauss)積分其中為簡單（光滑）閉合曲線，為不在上的點(diǎn)到上動(dòng)點(diǎn)的向量，而為上動(dòng)點(diǎn)處的法向量.解：設(shè)為曲線的正向的切線向量，其方向余弦為、，則有 ，又設(shè) ，則故記 則它們?cè)谄矫鎯?nèi)除點(diǎn)外處處連續(xù)，且（一） 若點(diǎn)在所包圍的區(qū)域外，原式=0；（二） 若點(diǎn)在所包圍的區(qū)域內(nèi)，以點(diǎn)為中心作一個(gè)充分小的圓取逆時(shí)針方向，使之完全包含在為邊界的區(qū)域內(nèi).記介于和之間的區(qū)域?yàn)?則在由格林公式可得：所以，（格林公式）.24（P227第10題）利用斯托克斯公式重新計(jì)算積分（例3）其中是曲線方向?yàn)閺妮S正方向往負(fù)方向看去是順時(shí)針方向.解一：由斯托克斯公式.取為平面上由橢圓所圍成的那一小塊曲面.（取下側(cè)）

9、，因此,）解二：（直接計(jì)算）其中，所以，.25（P238第1題）下面的向量場是否為保守場？若是，并求位勢解：（1）這里，因?yàn)椋允嵌x在全平面上的保守場.所以，是某一個(gè)函數(shù)的全微分.故可取則，所求的位勢為 解：這里；所以，為定義在全空間上的保守場.所以，是某一個(gè)函數(shù)的全微分.（二）現(xiàn)取取如圖所示，從沿軸到點(diǎn)再沿平行于軸的直線到點(diǎn)最后沿平行于軸的直線到點(diǎn)于是則，所求的位勢為 26（P238第2題）證明式（14-31），并由此求下面的曲線積分：解：（一）要證式（14-31）成立，即要證若平面區(qū)域內(nèi)保守力場有位勢，則對(duì)內(nèi)的任意兩點(diǎn)，有事實(shí)上，因?yàn)闉楸Ｊ亓?，故在?nèi)與路徑無關(guān)，而只取決于路徑的起點(diǎn)、

10、終點(diǎn).令 （1）則可證明也是在內(nèi)的一個(gè)勢函數(shù).故 ，對(duì)任意成立 （2）取，并注意到（因?yàn)檠亻]合曲線的積分為零），得（2）式中再取，并注意到得即 又由（1）式，注意到的記號(hào)，得（二）中，因?yàn)?，所以，是某一個(gè)函數(shù)的全微分.故可取所以 中，因?yàn)?；所以，是某一個(gè)函數(shù)的全微分.（二）現(xiàn)取取如圖所示，從沿軸到點(diǎn)再沿平行于軸的直線到點(diǎn)最后沿平行于軸的直線到點(diǎn)于是所以 27（P238第5題）驗(yàn)證下列方程我全微分方程，并求通解：解：這里，.因?yàn)?，是全微分方?故：通解為：.這里，.因?yàn)椋苑匠淌侨⒎址匠?故：因此，所求方程的通解為：.28（P238第6題）設(shè)函數(shù)在凸區(qū)域（即包含區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)間的連線）內(nèi)連

11、續(xù)可微分且（常數(shù)）.證明：對(duì)于內(nèi)任意兩點(diǎn)，都有 其中表示點(diǎn)之間的距離.證明：由于為凸區(qū)域，故線段整個(gè)屬于.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且令 考慮一元函數(shù) （1）顯然， （2）且在上可微，并且 （3）于是，由微分學(xué)中值定理知 （4）由（4）式可知 29（P238第7題）求向量場沿下列曲線的環(huán)量：（）為圓周；為圓周（分為左、右半圓周分別計(jì)算）.解：（）（格林公式） （）30（P238第8題）求其中解：31（P238第9題）證明： .解：設(shè)，則31（P246第1題）利用奧-高公式計(jì)算下列各曲面積分：（），沿球面外側(cè)；（），沿正方體外表面；（），沿錐面的下側(cè)；（）沿上半球面的上側(cè).解：（）（奧-高公式）

12、（）（奧-高公式）=3（）若取（上側(cè)）.則與一起構(gòu)成一個(gè)封閉曲面.記它們所圍成的空間閉區(qū)域?yàn)?在上利用奧-高公式，便得： （奧-高公式）（）所以 （）沿上半球面的上側(cè).若取（下側(cè)）.則與一起構(gòu)成一個(gè)封閉曲面.記它們所圍成的空間閉區(qū)域?yàn)?在上利用奧高公式，便得：32（P246第2題）設(shè)為光滑封閉曲面，為常向量.證明：為上點(diǎn)處的單位外法向量證明：設(shè)（奧-高公式）33（P246第3題）證明等式其中為包圍空間有界區(qū)域的光滑封閉曲面，為曲面上動(dòng)點(diǎn)處的單位外法向量，為連接定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)處的向量證明：設(shè)33（P247第4題）計(jì)算高斯積分其中為光滑封閉曲面，為上動(dòng)點(diǎn)處的外法向量，點(diǎn)，為連接點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)處的向量，證明：

13、設(shè)；記所圍成的區(qū)域?yàn)椋?）當(dāng)曲面不包圍定點(diǎn)時(shí)，則故由奧高公式， （2）當(dāng)曲面包圍定點(diǎn)時(shí)，則我們以點(diǎn)為中心，以為半徑作一球包圍在曲面內(nèi)，此球面記以（取外側(cè)）.將奧高公式用于上，則有33（P247第5題）設(shè)光滑曲面包圍有界閉區(qū)域，而函數(shù)在閉區(qū)域上二階連續(xù)可微分.證明證明：方向?qū)?shù) ，其中.則（奧高公式）34（P247第6題）在第5題的假設(shè)下，函數(shù)也在上二階連續(xù)可微分.證明：（格林第一公式）；（格林第二公式）證明：（1）（奧高公式）（奧高）35（P247第7題）調(diào)和函數(shù) 若函數(shù)在區(qū)域（或閉區(qū)域）上二階連續(xù)可微分，且則稱函數(shù)在上為調(diào)和函數(shù). 設(shè)函數(shù)光滑曲面包圍有界閉區(qū)域上二階連續(xù)可微分，且在內(nèi)有（即是

14、調(diào)和函數(shù)）.證明：（）；（提示：見第5題）（）（提示：見格林第一公式）；（），式中點(diǎn)為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，是連接點(diǎn)與曲面上動(dòng)點(diǎn)的向量，而為上動(dòng)點(diǎn)處的外單位法向量（提示：利用格林第二公式）.證明：（）由P247第5題的結(jié)論知（）由格林第一公式，知（）令則；同理有；同理；當(dāng)時(shí)，現(xiàn)我們以點(diǎn)為球心，且以足夠小為半徑作一球包圍在曲面內(nèi)，此球面記以（取外側(cè)）.將格林第二公式即用于上（這里，）；所以于是式由端第一項(xiàng)（因?yàn)椋ǎ海┦接叶说诙?xiàng)（因?yàn)椋┳⒁獾皆谇蛎妫ㄍ鈧?cè)）上，又故式中第二項(xiàng)（由積分中值定理）其中為球面上一點(diǎn).當(dāng)時(shí)，故式中第二項(xiàng)因此式最終化為注意到式左端其實(shí)與無關(guān)，所以即36（P248第8題）設(shè)函數(shù)以點(diǎn)為球心且以為半徑的閉球上為調(diào)和函數(shù)，為該球的球面.證明：（平均值定理）（即球心的函數(shù)值等于球面上所有函數(shù)值的平均值）.證明：根據(jù)P247第7題之（），知（因?yàn)镻247第7題之（）：）37（P248第9題）求向量場自內(nèi)向外穿出球面的通量.解：所求通量即為（奧高公式）38（P248第10題）求向量場自內(nèi)向外穿出圓柱體表面的通量.解：所求通量即為（奧高公式）39（P248第11題）證明：（）（）證明：（）設(shè)則 （）由于故 40（P248第12題）設(shè)，二階連續(xù)可微分.（）求（）在什么條件下？解：（）同理同理 ；因此 要