曲線曲面積分部分難題解答

1、曲線、曲面積分部分難題解答1（P201,第1題）計算下列標量函數的曲線積分（第一型曲線積分）：（），為拋物線上從原點到點的??；（），為聯結點、和的三角形圍線；（），為圓周；（），為螺線的 一段?。唬ǎ?，為曲線上從點到的一段弧.解：（），（令）（）解：;， （）解法一：所以，解法二：化為極坐標表示：所以，（） 2（P201,第2題）設有某種物質分布在橢圓上，其密度求它的總質量.解：不妨假設，其中（公式）3（P202,第3題）設曲線的長度為，而函數在包含的某個區(qū)域內連續(xù).證明： 證明：由第一型曲線積分的定義故 4（P202,第4題）從原點到點沿下列不同路徑分別計算第二型曲線積分 （1）.為直線段；

2、（2）.為拋物線上的?。唬?）.為從點經點到點的折線.解：（1）（2）（3）5（P202,第5題）計算曲線積分（1）.為從點點的上半圓周；（2）.為從點點的直線段；（3）.為逆時針方向的圓周解：（1） .（2）（3）.6（P202,第6題）計算沿逆時針方向的圓周的曲線積分解：，所以，7（P202,第7題）計算下列曲線積分，曲線的方向與參數增加方向：（），為拋物線；（），為折線；（），的參數方程為；解：（）（）設點則; 原式（）8（P202,第8題）設曲線的長度為，而函數在包含的某個區(qū)域內連續(xù).證明： 證明：設由第二型曲線積分的定義及柯西不等式故 9（P209,第1題）求下列曲面塊的面積：（）球

3、面包含在圓柱面內的那部分面積；（）圓錐面被圓柱面截下的那一部分；（）圓柱面被圓柱面截下的那一部分.解：（）畫出示意圖. 將曲面方程化為，則.（）畫出示意圖. 由曲面方程，得.（）利用對稱性（僅在第一卦限內計算），曲面（為在第一卦限的那部分，其面積設為）向面上的投影區(qū)域為. 將曲面方程化為，則，所以，.10（P209,第2題）求下列曲面積分：（），式中為四面體的表面；（），式中為圓柱體的表面；（），式中為球面的表面.解：（）其中 ，；，；，；，；（）其中 ，；，；其向面上的投影區(qū)域為. 將曲面方程化為，則 ，所以，或者（）由積分區(qū)域的對稱性，及被積函數的奇偶性知，顯然11（P210,第3題）證明

4、泊松公式其中為球面，為連續(xù)函數.證明：取新的空間直角坐標系，其中原點不變，使坐標平面與平面重合，并使軸垂直于平面.則有 其實根據坐標系選取方法的描述，我們不難看出軸上的單位向量就可取作平面的單位法線向量.則（注意到，顯然為點到平面的距離）.則 顯然在新坐標系下，球面的形狀并未改變（仍記為），且它的方程應為（因為在新的坐標系下，任何一個球面上的點到原點的距離仍然為1.）得： 當固定時，表示垂直于軸平面上的一個圓周.進一步，我們把化為參數方程表示：因此， 曲面的元素故12（P210,第4題）設某種物質均勻分布在球面上（認為分布密度）.求它對于軸的轉動慣量.解：由公式 由對稱性其中，則，所以，.因此

5、 13（P217,第1題）沿圓錐面的下側，求曲面積分，其中解：化為第一型曲面積分計算.的向下的法向量，所以故（根據第一型曲面積分的計算方法）14（P217,第2題）沿橢球面的外側，求曲面積分解：把分割為兩個部分.其中，（上側）；（下側）.向面上的投影區(qū)域均為故作變量代換： 由二重積分的換元法. 其中 所以所以，由輪換對稱性，知： ；故15（P217,第3題）沿球面的外側，求曲面積分解：把分割為兩個部分.其中，（上側）；（下側）.向面上的投影區(qū)域均為 故 作變量代換： 由二重積分的換元法. 其中 所以（1）同理；由輪換對稱性，知： ； 故16（P217,第4題）設為長方體的表面.沿外側求曲面積分

6、 解：把分割為六個部分.其中 的上側；的下側；的前側；的后側；的右側；的左側.注意到除外，其余四片曲面在面上的投影為零，因此17（P225第1題）利用格林公式計算下面的曲線積分（的方向為正方向）：（），為圓周；（），為橢圓；（），為曲線；（），為區(qū)域；18（P225第2題）求，（為常數）其中是自點經過圓周的上半部分到點O(0,0)的半圓周.（提示：作輔助線后用格林公式）.解：. 所以，由格林公式：. 所以， （因為，）19（P225第5題）設函數在正半軸上有連續(xù)導數且若在右半平面內沿任意閉合光滑曲線，都有求函數解：，都是右半平面上的連續(xù)函數，由于在右半平面內沿任意閉合光滑曲線，都有故有 即 化

7、簡，得 （1）為一階線性微分方程，其通解為 代入條件，得 故 20（P226第6題）設是以光滑曲線為正向邊界的有界閉區(qū)域，而函數在閉區(qū)域上具有連續(xù)的二階偏導數且記證明：其中 表示函數沿邊界曲線外法線方向的方向導數.證明：設為曲線的正向的切線向量，其方向余弦為、，則有，故 ，（由兩型曲線積分之間的聯系）（格林公式） 21（P226第7題）在第6題的假設和記號下，證明：證明：仿上題 （由兩型曲線積分之間的聯系）（格林公式）移項，即得 22（P227第8題）格林第二公式若函數和都滿足第6題中的假設，證明：證明： （由兩型曲線積分之間的聯系）（格林公式） （1）由輪換對稱性，知 （2）于是23（P22

8、7第9題）計算高斯(Gauss)積分其中為簡單（光滑）閉合曲線，為不在上的點到上動點的向量，而為上動點處的法向量.解：設為曲線的正向的切線向量，其方向余弦為、，則有 ，又設 ，則故記 則它們在平面內除點外處處連續(xù)，且（一） 若點在所包圍的區(qū)域外，原式=0；（二） 若點在所包圍的區(qū)域內，以點為中心作一個充分小的圓取逆時針方向，使之完全包含在為邊界的區(qū)域內.記介于和之間的區(qū)域為.則在由格林公式可得：所以，（格林公式）.24（P227第10題）利用斯托克斯公式重新計算積分（例3）其中是曲線方向為從軸正方向往負方向看去是順時針方向.解一：由斯托克斯公式.取為平面上由橢圓所圍成的那一小塊曲面.（取下側）

9、，因此,）解二：（直接計算）其中，所以，.25（P238第1題）下面的向量場是否為保守場？若是，并求位勢解：（1）這里，因為，所以是定義在全平面上的保守場.所以，是某一個函數的全微分.故可取則，所求的位勢為 解：這里；所以，為定義在全空間上的保守場.所以，是某一個函數的全微分.（二）現取取如圖所示，從沿軸到點再沿平行于軸的直線到點最后沿平行于軸的直線到點于是則，所求的位勢為 26（P238第2題）證明式（14-31），并由此求下面的曲線積分：解：（一）要證式（14-31）成立，即要證若平面區(qū)域內保守力場有位勢，則對內的任意兩點，有事實上，因為為保守力場，故在內與路徑無關，而只取決于路徑的起點、

10、終點.令 （1）則可證明也是在內的一個勢函數.故 ，對任意成立 （2）取，并注意到（因為沿閉合曲線的積分為零），得（2）式中再取，并注意到得即 又由（1）式，注意到的記號，得（二）中，因為 ，所以，是某一個函數的全微分.故可取所以 中，因為；所以，是某一個函數的全微分.（二）現取取如圖所示，從沿軸到點再沿平行于軸的直線到點最后沿平行于軸的直線到點于是所以 27（P238第5題）驗證下列方程我全微分方程，并求通解：解：這里，.因為，是全微分方程.故：通解為：.這里，.因為，所以方程是全微分方程.故：因此，所求方程的通解為：.28（P238第6題）設函數在凸區(qū)域（即包含區(qū)域內任意兩點間的連線）內連

11、續(xù)可微分且（常數）.證明：對于內任意兩點，都有 其中表示點之間的距離.證明：由于為凸區(qū)域，故線段整個屬于.設點的坐標為，點的坐標為，且令 考慮一元函數 （1）顯然， （2）且在上可微，并且 （3）于是，由微分學中值定理知 （4）由（4）式可知 29（P238第7題）求向量場沿下列曲線的環(huán)量：（）為圓周；為圓周（分為左、右半圓周分別計算）.解：（）（格林公式） （）30（P238第8題）求其中解：31（P238第9題）證明： .解：設，則31（P246第1題）利用奧-高公式計算下列各曲面積分：（），沿球面外側；（），沿正方體外表面；（），沿錐面的下側；（）沿上半球面的上側.解：（）（奧-高公式）

12、（）（奧-高公式）=3（）若?。ㄉ蟼龋?則與一起構成一個封閉曲面.記它們所圍成的空間閉區(qū)域為.在上利用奧-高公式，便得： （奧-高公式）（）所以 （）沿上半球面的上側.若?。ㄏ聜龋?則與一起構成一個封閉曲面.記它們所圍成的空間閉區(qū)域為.在上利用奧高公式，便得：32（P246第2題）設為光滑封閉曲面，為常向量.證明：為上點處的單位外法向量證明：設（奧-高公式）33（P246第3題）證明等式其中為包圍空間有界區(qū)域的光滑封閉曲面，為曲面上動點處的單位外法向量，為連接定點與動點處的向量證明：設33（P247第4題）計算高斯積分其中為光滑封閉曲面，為上動點處的外法向量，點，為連接點與動點處的向量，證明：

13、設；記所圍成的區(qū)域為（1）當曲面不包圍定點時，則故由奧高公式， （2）當曲面包圍定點時，則我們以點為中心，以為半徑作一球包圍在曲面內，此球面記以（取外側）.將奧高公式用于上，則有33（P247第5題）設光滑曲面包圍有界閉區(qū)域，而函數在閉區(qū)域上二階連續(xù)可微分.證明證明：方向導數 ，其中.則（奧高公式）34（P247第6題）在第5題的假設下，函數也在上二階連續(xù)可微分.證明：（格林第一公式）；（格林第二公式）證明：（1）（奧高公式）（奧高）35（P247第7題）調和函數 若函數在區(qū)域（或閉區(qū)域）上二階連續(xù)可微分，且則稱函數在上為調和函數. 設函數光滑曲面包圍有界閉區(qū)域上二階連續(xù)可微分，且在內有（即是

14、調和函數）.證明：（）；（提示：見第5題）（）（提示：見格林第一公式）；（），式中點為區(qū)域內的點，是連接點與曲面上動點的向量，而為上動點處的外單位法向量（提示：利用格林第二公式）.證明：（）由P247第5題的結論知（）由格林第一公式，知（）令則；同理有；同理；當時，現我們以點為球心，且以足夠小為半徑作一球包圍在曲面內，此球面記以（取外側）.將格林第二公式即用于上（這里，）；所以于是式由端第一項（因為（）：）式右端第二項（因為）注意到在球面（外側）上，又故式中第二項（由積分中值定理）其中為球面上一點.當時，故式中第二項因此式最終化為注意到式左端其實與無關，所以即36（P248第8題）設函數以點為球心且以為半徑的閉球上為調和函數，為該球的球面.證明：（平均值定理）（即球心的函數值等于球面上所有函數值的平均值）.證明：根據P247第7題之（），知（因為P247第7題之（）：）37（P248第9題）求向量場自內向外穿出球面的通量.解：所求通量即為（奧高公式）38（P248第10題）求向量場自內向外穿出圓柱體表面的通量.解：所求通量即為（奧高公式）39（P248第11題）證明：（）（）證明：（）設則 （）由于故 40（P248第12題）設，二階連續(xù)可微分.（）求（）在什么條件下？解：（）同理同理 ；因此 要