數(shù)形結(jié)合的思想方法

1、數(shù)形結(jié)合的思想方法每一個(gè)幾何圖形中都蘊(yùn)藏著一定的數(shù)量關(guān)系，而數(shù)量關(guān)系又常常可以通過(guò)圖形的直觀性作出形象的描述。因此，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常常根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，將數(shù)的問(wèn)題利用形來(lái)觀察，提示其幾何意義；而形的問(wèn)題也常借助數(shù)去思考，分析其代數(shù)含義，如此將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙地結(jié)合起來(lái)，并充分利用這種“結(jié)合”，尋找解題思路，使問(wèn)題得到解決的方法，簡(jiǎn)言之，就是把數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和空間形式相結(jié)合起來(lái)加以考察的處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，稱之為數(shù)形結(jié)合的思想方法。數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來(lái)闡明

2、數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來(lái)精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問(wèn)題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的

3、取值范圍。一、 解題方法指導(dǎo)1轉(zhuǎn)換數(shù)與形的三條途徑： 通過(guò)坐標(biāo)系的建立，引入數(shù)量化靜為動(dòng)，以動(dòng)求解。 轉(zhuǎn)化，通過(guò)分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到另一個(gè)角度來(lái)考慮，如將轉(zhuǎn)化為勾股定理或平面上兩點(diǎn)間的距離等。 構(gòu)造，比如構(gòu)造一個(gè)幾何圖形，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，構(gòu)造一個(gè)圖表等。2運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的三種類型及思維方法：“由形化數(shù)” ：就是借助所給的圖形，仔細(xì)觀察研究，提示出圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，反映幾何圖形內(nèi)在的屬性?！坝蓴?shù)化形” ：就是根據(jù)題設(shè)條件正確繪制相應(yīng)的圖形，使圖形能充分反映出它們相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，提示出數(shù)與式的本質(zhì)特征?！皵?shù)形轉(zhuǎn)換” ：就是根據(jù)“數(shù)”與“形”既對(duì)立，又統(tǒng)一的特征，觀察圖形的形狀

4、，分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)，引起聯(lián)想，適時(shí)將它們相互轉(zhuǎn)換，化抽象為直觀并提示隱含的數(shù)量關(guān)系。二、 數(shù)形結(jié)合的思想方法的應(yīng)用(一) 解析幾何中的數(shù)形結(jié)合解析幾何問(wèn)題往往綜合許多知識(shí)點(diǎn)，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處命題，備受出題者的青睞，求解中常常通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想從動(dòng)態(tài)的角度把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的幾何圖形結(jié)合起來(lái)，達(dá)到研究、解決問(wèn)題的目的.  1. 與斜率有關(guān)的問(wèn)題【例1】已知：有向線段PQ的起點(diǎn)P與終點(diǎn)Q坐標(biāo)分別為P（-1，1），Q（2，2）.若直線lx+my+m=0與有向線段PQ延長(zhǎng)相交，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.    解：直線l的方程x+my+m=0可化為點(diǎn)斜式：y+1=-（x-

5、0），易知直線l過(guò)定點(diǎn)M（0，-1），且斜率為-.  l與PQ的延長(zhǎng)線相交，由數(shù)形結(jié)合可得：當(dāng)過(guò)M且與PQ平行時(shí)，直線l的斜率趨近于最??；當(dāng)過(guò)點(diǎn)M、Q時(shí)，直線l的斜率趨近于最大.    【點(diǎn)評(píng)】含有一個(gè)變量的直線方程可化為點(diǎn)斜式或化為經(jīng)過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程.本題是化為點(diǎn)斜式方程后，可看出交點(diǎn)M（0，-1）和斜率-.此類題目一般結(jié)合圖形可判斷出斜率的取值范圍.  2. 與距離有關(guān)的問(wèn)題【例2】求：y=（cos-cos+3）2+（sin-sin-2）2的最大（?。┲?【分析】可看成求兩動(dòng)點(diǎn)P（cos，sin）與Q（cos-3，sin+2）之間距離的最值問(wèn)

6、題.  解：兩動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：x2+y2=1和（x+3）2+（y-2）2=1，轉(zhuǎn)化為求兩曲線上兩點(diǎn)之間距離的最值問(wèn)題.如圖：    3. 與截距有關(guān)的問(wèn)題【例3】若直線y=x+k與曲線x=恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的取值范圍.  解：曲線x=是單位圓x2+y2=1的右半圓（x0），k是直線y=x+k在y軸上的截距.    由數(shù)形結(jié)合知：直線與曲線相切時(shí)，k=-，由圖形：可得k=-，或-1<k1.  4. 與定義有關(guān)的問(wèn)題【例4】求拋物線y2=4x上到焦點(diǎn)F的距離與到點(diǎn)A（3，2）的距離之和為最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求這個(gè)最小值

7、.【分析】要求PA+PF的最小值，可利用拋物線的定義，把PF轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，化曲為直從而借助數(shù)形結(jié)合解決相關(guān)問(wèn)題.     解：P是拋物線y2=4x上的任意一點(diǎn)，過(guò)P作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線，垂足為D，連PF（F為拋物線的焦點(diǎn)），由拋物線的定義可知：  .  過(guò)A作準(zhǔn)線l的垂線，交拋物線于P，垂足為Q，顯然，直線AQ之長(zhǎng)小于折線APD之長(zhǎng)，因而所求的點(diǎn)P即為AQ與拋物線交點(diǎn).  AQ直線平行于x軸，且過(guò)A（3，2），所以方程為y=2，代入y2=4x得x=1.  P（1，2）與F、A的距離之和最小，最小距離為4

8、.【點(diǎn)評(píng)】 （1）化曲線為直線是求距離之和最有效的方法，在橢圓，雙曲線中也有類似問(wèn)題.  （2）若點(diǎn)A在拋物線外，則點(diǎn)P即為AF與拋物線交點(diǎn)（內(nèi)分AF）.  (二) 數(shù)形結(jié)合在函數(shù)中的應(yīng)用  1. 利用數(shù)形結(jié)合解決與方程的根有關(guān)的問(wèn)題方程的解的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，從而把代數(shù)與幾何有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，使問(wèn)題的解決得到簡(jiǎn)化.【例5】已知方程x2-4x+3=m有4個(gè)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍    .【分析】此題并不涉及方程根的具體值，只求根的個(gè)數(shù)，而求方程的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求兩條曲線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題來(lái)解決. 

9、解：方程x2-4x+3m根的個(gè)數(shù)問(wèn)題就是函數(shù)y=x2-4x+3與函數(shù)y=m圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).  作出拋物線y=x2-4x+3=（x-2）2-1的圖象，將x軸下方的圖象沿x軸翻折上去，得到y(tǒng)=x2-4x+3的圖象，再作直線y=m，如圖所示：由圖象可以看出，當(dāng)0<m<1時(shí)，兩函數(shù)圖象有4交點(diǎn)，故m的取值范圍是（0，1）.    數(shù)形結(jié)合可用于解決方程的解的問(wèn)題，準(zhǔn)確合理地作出滿足題意的圖象是解決這類問(wèn)題的前提.  2. 利用數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題  函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一條重要性質(zhì)，也是高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題之一.在解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)，我們

10、常需要先確定函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，數(shù)形結(jié)合是確定函數(shù)單調(diào)性常用的數(shù)學(xué)思想，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間形象直觀地反映在函數(shù)的圖象中.【例6】確定函數(shù)y=的單調(diào)區(qū)間.    畫(huà)出函數(shù)的草圖，由圖象可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-，0，1，），函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為0，1.  3. 利用數(shù)形結(jié)合解決比較數(shù)值大小的問(wèn)題【例7】已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足下列三個(gè)條件：對(duì)任意的xR都有f（x+4）=f（x）；對(duì)任意的0x1<x22，都有f（x1）<f（x2）；y=f（x+2）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.則f（4.5），f（6.5），f（7）的大小關(guān)系是  

11、      .  解：由：T=4；由：f（x）在，上是增函數(shù)；由：f（x）f（x），所以f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱.由此，畫(huà)出示意圖便可比較大小.    顯然，f（4.5）<f（7）<f（6.5）.  4. 利用數(shù)形結(jié)合解決抽象函數(shù)問(wèn)題 抽象函數(shù)問(wèn)題是近幾年高考中經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題，是高考中的難點(diǎn).利用數(shù)形結(jié)合常能使我們找到解決此類問(wèn)題的捷徑.【例8】 設(shè)f（x），g（x）分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，在區(qū)間a，b（a<b<0）上，f（x）g（x）+f（x）  g（x

12、）>0，且f（x）·g（x）有最小值.則函數(shù)y=f（x）·g（x）在區(qū)間b，-a上（）.  . 是增函數(shù)且有最小值  . 是減函數(shù)且有最小值  . 是增函數(shù)且有最大值  . 是減函數(shù)且有最大值  【解析】 f（x）g（x）+f（x）g（x）=f（x）·g（x）>0.  y=f（x）·g（x）在區(qū)間a，b（a<b<0）上是增函數(shù)，  又 f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù).  y=f（x）·g（x）是奇函數(shù).  因此它

13、的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，作出示意圖，易知函數(shù)y=f（x）·g（x）在區(qū)間-b，-a上是增函數(shù)且有最大值，因此選.  （三）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解不等式1. 求參數(shù)的取值范圍【例9】若不等式>ax的解集是x|0<x4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）.  . ，）. （，  . （，）. （，  解：令f（x），g（x）=ax，則f（x）的圖象是以（，）為圓心，以為半徑的圓的上半部分，包括點(diǎn)（，），不包括點(diǎn)（，）；g（x）ax的圖象是通過(guò)原點(diǎn)、斜率為a的直線，由已知>ax的解集是x|0<x4，  即要求半圓在直線的上方，由圖可知

14、a<0，所以選.   【點(diǎn)評(píng)】 本題很好的體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在解題中的妙用.  【例10】 若x（，）時(shí)，不等式（x-1）2<logax恒成立，則a的取值范圍是（）.  . （0，1）. （，）  . （，. ，  解：設(shè)y1=（x1）2（1<x<2），y2=logax.  由圖可知若y1<y2（1<x<2），則a>1.    y1=（x-1）2過(guò)（，）點(diǎn)，當(dāng)y2=logax也過(guò)（，）點(diǎn)，即a=2時(shí)，恰有y1<y2（1<x<2） 

15、 <a2時(shí)（x-1）2<logax在x（，）上成立，故選.【點(diǎn)評(píng)】 例、例兩題的求解實(shí)際上綜合運(yùn)用了函數(shù)與方程以及數(shù)形結(jié)合的思想方法.  2. 解不等式【例11】已知f（x）是上的偶函數(shù)，且在，）上是減函數(shù)，f（a）（a>0），那么不等式xf（x）<0的解集是（）.  . x|0<x<a  . x|-a<x<0或x>a  . x|-a<x<a  . x|x<-a或0<x<a    解：依題意得f（x）是上的偶函數(shù)，且在，）上是減函數(shù)，f（a）

16、（a>0），可得到f（x）圖象，又由已知xf（x）<0，可知x與f（x）異號(hào)，從圖象可知，當(dāng)x（-a，）（a，+）時(shí)滿足題意，故選.【例12】 設(shè)函數(shù)f（x）2，求使f（x）的取值范圍.  【解法】由f（x）得2.      易求出g（x）和h（x）的圖象的交點(diǎn)立時(shí)，x的取值范圍為，+）.  【解法3】 由的幾何意義可設(shè)1（，），（，），（x，y），則，可知的軌跡是以1、為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，其中右頂點(diǎn)為（，），由雙曲線的圖象和x+1x-1知x.【點(diǎn)評(píng)】 本題的三種解法都是從不同角度構(gòu)造函數(shù)或不等式的幾何意義，讓不等式的解

17、集直觀地表現(xiàn)出來(lái)，體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的思想，給我們以“柳暗花明”的解題情境.（四）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解三角函數(shù)題  縱觀近三年的高考試題，巧妙地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)解決一些問(wèn)題，可以簡(jiǎn)化計(jì)算，節(jié)省時(shí)間，提高考試效率，起到事半功倍的效果. 【例13】函數(shù)f（x）=sinx+2sinx，x，的圖象與直線y=k有且僅有個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是    . 【分析】本題根據(jù)函數(shù)解析式，畫(huà)出圖象，可以直觀而簡(jiǎn)明地得出答案，在有時(shí)間限制的高考中就能大大地節(jié)約時(shí)間，提高考試的效率.    解：函數(shù)f（x）由圖象可知：1<

18、k<3.【例14】當(dāng)0<x<時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為（）.  . .    . .   解：y=則y為點(diǎn)（，）與點(diǎn)（sin2x，3cos2x）兩點(diǎn)連線的斜率，又點(diǎn)的軌跡方程（0<<），即x2+（x<0），如圖，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線ly=kx+5與橢圓x2+（x<0）相切時(shí)，k有最小值，故選.    【例15】若sin+cos=tan（0<<），則（）.    解：令f（x）=sinx+cosx=sin（x+ ）（0<<），g（x）=tanx，畫(huà)出圖象，從圖

19、象上看出交點(diǎn)的橫從標(biāo)xP>.再令，則sin+cos=.366，tan=1.732>1.367，由圖象知xP應(yīng)小于.故選.  【點(diǎn)評(píng)】 本題首先構(gòu)造函數(shù)f（x），g（x），再利用兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)位置確定>，淘汰了、兩選項(xiàng)，然后又用特殊值估算，結(jié)合圖象確定選項(xiàng)，起到了出奇制勝的效果.【例16】 已知函數(shù)f（x）是定義在（，）上的奇函數(shù)，當(dāng)0<x<3時(shí)f（x）圖象如下圖所示，那么不等式f（x）cosx<0的解集是（）.    解：函數(shù)f（x）定義在（，）上，且是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)圖象性質(zhì)可知，f（x）在（，）上的圖象如圖所示，若使

20、f（x）cosx<0，只需f（x）與cosx異號(hào)，即圖象須分別分布在x軸上下側(cè)，由圖可知，有三部分區(qū)間符合條件要求，即（，）（，）（，），故選B.【點(diǎn)評(píng)】已知函數(shù)的一部分圖象，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得到函數(shù)的另一部分圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想，可以先畫(huà)出完整的函數(shù)圖象，再研究有關(guān)問(wèn)題.【例17】中，則的周長(zhǎng)為（）.    解：本題是我們常用三角恒等變形和正弦定理通過(guò)一定量的計(jì)算來(lái)完成的，但是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，可以很快解決問(wèn)題.為此，延長(zhǎng)到，使，則，由正弦定理  即sin（B+），故選.  （五）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解復(fù)數(shù)題  【例18】設(shè)|z|5，|z|

21、2, |z|，求的值?！痉治觥?利用復(fù)數(shù)模、四則運(yùn)算的幾何意義，將復(fù)數(shù)問(wèn)題用幾何圖形幫助求解?！窘狻?如圖，設(shè)z、z后，則、如圖所示 y A D O B x C由圖可知，|，AODBOC，由余弦定理得：cosAOD (±)2± y A D O x 【另解】設(shè)z、如圖所示。則|，且cosAOD，sinAOD±，所以(±)2±，即2±?！咀ⅰ勘绢}運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合法”，把共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)與復(fù)平面上的向量表示、代數(shù)運(yùn)算的幾何意義等都表達(dá)得淋漓盡致，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的生動(dòng)活潑。 一般地，復(fù)數(shù)問(wèn)題可以利用復(fù)數(shù)的幾何意義而將問(wèn)題變成幾何問(wèn)題，也可利用復(fù)數(shù)

22、的代數(shù)形式、三角形式、復(fù)數(shù)性質(zhì)求解。本題設(shè)三角形式后轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題的求解過(guò)程是：設(shè)z5(cossin)，zsin)，則|z|(5cos2cos)(5sin2sin)|，所以cos(),sin()±，cos()sin()(±)2±。本題還可以直接利用復(fù)數(shù)性質(zhì)求解，其過(guò)程是：由|z|得：（z）(z)zzzz254zz13,所以zz16,再同除以z得4，設(shè)z，解得z2±。幾種解法，各有特點(diǎn)，由于各人的立足點(diǎn)與思維方式不同，所以選擇的方法也有別。一般地，復(fù)數(shù)問(wèn)題可以應(yīng)用于求解的幾種方法是：直接運(yùn)用復(fù)數(shù)的性質(zhì)求解；設(shè)復(fù)數(shù)的三角形式轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題求解；設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形

23、式轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題求解；利用復(fù)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題求解。四、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問(wèn)題時(shí)，要注意如下幾點(diǎn)在解題時(shí)，有時(shí)把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，以形直觀地表達(dá)數(shù)來(lái)解決，往往使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化.但是，依賴圖象直觀解題，也要注意如下幾個(gè)問(wèn)題.1、注意圖象延伸趨勢(shì)【例19】 判斷命題：“當(dāng)a>1時(shí)，關(guān)于x的方程ax=logax無(wú)實(shí)解.”正確與否.  錯(cuò)解：在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=ax及y=logax的圖象（a>1）（如圖1），可見(jiàn)它們沒(méi)有公共點(diǎn)，所以方程無(wú)實(shí)解，命題正確.    【評(píng)析】 實(shí)際上對(duì)不同的實(shí)數(shù)a，y=ax和y=logax的圖象的

24、延伸趨勢(shì)不同.例如當(dāng)a=2時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解；而當(dāng)a=時(shí)，x=2是方程的解.說(shuō)明兩圖象向上延伸時(shí)，一定相交，交點(diǎn)在直線y=x上.2、注意圖象伸展“速度”【例20】比較2n與n2的大小，其中n2，且nN+.  錯(cuò)解：在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=2x及y=x2的圖象（如圖2）.  由圖可知，兩圖象有一個(gè)公共點(diǎn).  當(dāng)x=2時(shí)，2x=x2；  當(dāng)x>2時(shí)，2x<x2.  當(dāng)n=2時(shí)，2n=n2；  當(dāng)n>2，且nN+時(shí)，2n<n2.    【評(píng)析】事實(shí)上，當(dāng)n=4時(shí)，2n與n2也相等；當(dāng)n=5時(shí)，

25、2n>n2.錯(cuò)因是沒(méi)有充分注意到兩個(gè)圖象在x2時(shí)的遞增“速度”！要比較兩個(gè)圖象的遞增速度，確實(shí)很難由圖象直觀而得.本題可以先猜想，后用數(shù)學(xué)歸納法證明.本題的正確答案是  當(dāng)n=2、4時(shí)，2n=n2；  當(dāng)n=3時(shí)，2n<n2；  當(dāng)n5時(shí)，nN+時(shí)，2n>n2.  證明略.3、注意數(shù)形等價(jià)轉(zhuǎn)化【例21】已知方程x2+2kx-3k=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)在-1與3之間，求k的取值范圍.    錯(cuò)解：令f（x）=x2+2kx-3k，結(jié)合題意畫(huà)出圖象3中的（1），再由圖象列出不等    解略.【評(píng)析】 事實(shí)上，不

26、等式組（*）并不與題意等價(jià)，圖象3中的（2）也滿足不等式組（*），但兩實(shí)根均大于3，還可以舉出兩實(shí)根均小于-1的反例.若不等式組（*）與圖3中的（1）等價(jià)，需加上條件-3<k<1.因此，數(shù)形轉(zhuǎn)化要注意等價(jià)性.4、注意仔細(xì)觀察圖象【例22】已知關(guān)于x、y的方程組    （a>b>0）有四組實(shí)數(shù)解，求a、b、m應(yīng)滿足的關(guān)系.  錯(cuò)解：已知方程組中的兩個(gè)方程分別是橢圓和拋物線的方程，原方程組有四組實(shí)數(shù)解等價(jià)于橢圓與拋物線有四個(gè)不同的公共點(diǎn).由圖4知，m<-b，且<a，即-a2<m<-b.    【評(píng)析】

27、 觀察圖象過(guò)于草率！事實(shí)上，圖5也是一種可能的情形，即當(dāng)=a時(shí)，仍有可能為四組解.例如當(dāng)a=2，b=1，m=-4時(shí)，可得解集為：（，），（，），（，），（）.  現(xiàn)用數(shù)形結(jié)合求解：  考慮一元二次方程  a2y2+b2y-（m+a2）b2=0，  令=0（即相切情形），  解得m=-，  結(jié)合圖象，    注意到m<-b，則a、b、m應(yīng)滿足的關(guān)系是-<m<-b.  從以上看出，有些問(wèn)題可以用圖象解決，但要認(rèn)真分析，有些問(wèn)題很難由圖象直觀而得，值得注意.5. 數(shù)形結(jié)合也有簡(jiǎn)繁之分 

28、0;   數(shù)形結(jié)合的核心與靈魂是“結(jié)合”.解題時(shí)，由于觀察與聯(lián)想的視角不同，會(huì)出現(xiàn)不同的“結(jié)合”，“結(jié)合”得好就得到好的解題方法，“結(jié)合”得不好就使解題過(guò)程繁瑣且易出錯(cuò)，“結(jié)合”的優(yōu)劣反映出了我們的基礎(chǔ)與能力，也反映出我們思維靈活性與創(chuàng)造性的水平，“結(jié)合”的優(yōu)化選擇，應(yīng)是數(shù)形結(jié)合法研究的重要一環(huán).為便于說(shuō)明，我們先看幾例：【例23】已知方程mx=x+m有兩個(gè)相異實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.  視角一：視方程mx=x+m兩邊的代數(shù)式為兩個(gè)函數(shù)，分別畫(huà)出函數(shù)y=mx，y=x+m的圖象（如圖1），由于兩個(gè)函數(shù)中都含有m，故需進(jìn)一步對(duì)m進(jìn)行分類討論，情況復(fù)雜.圖1僅表示m>0時(shí)

29、的示意圖.    視角二：由m0，先將原方程變形，得x-1=x，再視方程x-1=x兩邊的代數(shù)式為兩個(gè)函數(shù)，分別畫(huà)出函數(shù)y=x-1，y=x的圖象（如圖2），由圖易看出：    當(dāng)0<<1或-1<<0，即m<-1或m>1時(shí)，圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，此時(shí)原方程有兩個(gè)相異實(shí)根.  視角三：用分離參數(shù)法，先將原方程化為=m.  分別作出函數(shù)y=，y=m的圖象（如圖3），由圖易看出，當(dāng)m<-1，m>1時(shí)，兩函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，此時(shí)原方程有兩個(gè)相異實(shí)根.    視角四：用分離參數(shù)

30、法，先將原方程化為.  當(dāng)x>0時(shí)，得1-=，當(dāng)x<0時(shí)，得-1-=.  分別作出函數(shù)y=，y=的圖象（如圖4），由圖易看出，當(dāng)0<<1或-1<<0，即當(dāng)m>1或m<-1時(shí)，兩函 數(shù)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，此時(shí)原方程有兩個(gè)相異實(shí)根.    可見(jiàn)，例1的各解雖同是數(shù)形結(jié)合，但大有簡(jiǎn)繁之分，視角二優(yōu)于視角一，視角一中兩函數(shù)中的都含有m，因而他們的圖象也是變化的，雖可以通過(guò)討論而獲得結(jié)論，但討論時(shí)容易因考慮不周而產(chǎn)生漏解，視角三雖看圖直觀明了，但圖象不易作出，而視角四既比視角三作圖方便，又比視角二簡(jiǎn)單，不用討論，這

31、是因?yàn)橐暯嵌€有一個(gè)函數(shù)中含有m，而視角四中已不含m，所以這里以視角四為最理想. 【例24】已知函數(shù)f（x）=ax2+bx且2f（1）4，1f（-1）2，求f（-2）的取值范圍.這是我們常出錯(cuò)的題，其代數(shù)解法有待定系數(shù)法、特征函數(shù)法、三角代換法等，而眾所周知的數(shù)形結(jié)合法是線性規(guī)劃法.  這類問(wèn)題可看作一個(gè)條件極值問(wèn)題，即變量a、b在  2a+b4      1a-b2      這兩個(gè)約束條件下，求目標(biāo)函數(shù)y=4a-2b的最大（?。┲祮?wèn)題.約束條件2a+b4，1a-b2的解集是非空集，

32、在坐標(biāo)平面上表示的區(qū)域是由直線：a+b=4，a+b=2，a-b=2，a-b=1所圍成的封閉圖形（圖5中的陰影部分）.    y的大小又可以看作直線b=2a-y在b軸上截距的大小，從圖中易知當(dāng)直線b=2a-y經(jīng)過(guò)A（，），C（3，1）時(shí)截距分別為最小f（-2）=5和最大f（-2）=10.  所以5f（-2）10.  其實(shí)還可有如下數(shù)形結(jié)合法：    要求f（-2）的取值范圍，只要確定f（-2）的最大（?。┲?，即找到f（x）的圖象在x=-2時(shí)的最高點(diǎn)F與最低點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，為此只要確定f（x）經(jīng)過(guò)E、F時(shí)的函數(shù)表達(dá)式，由于f（x）=ax2+bx是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（c=0）的拋物線系，所以只要再有兩點(diǎn)就可確定，由已知2f（1）4，1f（-1）2，知f（x）在x=1時(shí)的最高點(diǎn)B（1，4），最低點(diǎn)A（1，2），f（x）在x=-1時(shí)的最高點(diǎn)D（-1，2），最低點(diǎn)C（-1，1），（如圖6），由拋物線的圖象特征易知經(jīng)過(guò)F點(diǎn)的圖象就是經(jīng)過(guò)O、B、D的圖象C2，經(jīng)過(guò)E點(diǎn)的圖象就是經(jīng)過(guò)O、A、C的圖象C1，于是：&