插值及其誤差

1、插值及其誤差xsin xcos xtan x1.5670.999 992 80.003 796 3263.411 251.5680.999 996 10.002 796 3357.611 061.5690.999 998 40.001 796 3556.690 981.5700.999 999 70.000 796 31255.765 59用表中的數(shù)據(jù)和任一插值公式求：（1）用tan x表格直接計(jì)算tan 1.569 5。（2）用sin 1.569 5和cos 1.569 5來(lái)計(jì)算tan 1.569 5。并討論這兩個(gè)結(jié)果中誤差變化的原因。插值：求過(guò)已知有限個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的近似函數(shù)。1 插值方法 下面

2、介紹幾種基本的、常用的插值：拉格朗日多項(xiàng)式插值、牛頓插值、分段線(xiàn)性插值、Hermite 插值和三次樣條插值。1.1 拉格朗日多項(xiàng)式插值 插值多項(xiàng)式 用多項(xiàng)式作為研究插值的工具，稱(chēng)為代數(shù)插值。其基本問(wèn)題是：已知函數(shù)在區(qū)間上個(gè)不同點(diǎn)處的函數(shù)值，求一個(gè)至多次多項(xiàng)式（1）使其在給定點(diǎn)處與同值，即滿(mǎn)足插值條件（2）稱(chēng)為插值多項(xiàng)式，稱(chēng)為插值節(jié)點(diǎn)，簡(jiǎn)稱(chēng)節(jié)點(diǎn)，稱(chēng)為插值區(qū)間。從幾何上看，次多項(xiàng)式插值就是過(guò)個(gè)點(diǎn)，作一條多項(xiàng)式曲線(xiàn)近似曲線(xiàn)。 次多項(xiàng)式（1）有個(gè)待定系數(shù)，由插值條件（2）恰好給出個(gè)方程（3）記此方程組的系數(shù)矩陣為，則是范德蒙特(Vandermonde)行列式。當(dāng)互不相同時(shí)，此行列式值不為零。因此方程組

3、（3）有唯一解。這表明，只要個(gè)節(jié)點(diǎn)互不相同，滿(mǎn)足插值要求（2）的插值多項(xiàng)式（1）是唯一的。 插值多項(xiàng)式與被插函數(shù)之間的差稱(chēng)為截?cái)嗾`差，又稱(chēng)為插值余項(xiàng)。當(dāng)充分光滑時(shí)，其中。 拉格朗日插值多項(xiàng)式實(shí)際上比較方便的作法不是解方程（3）求待定系數(shù)，而是先構(gòu)造一組基函數(shù)是次多項(xiàng)式，滿(mǎn)足令（4）上式稱(chēng)為次 Lagrange 插值多項(xiàng)式，由方程（3）解的唯一性，個(gè)節(jié)點(diǎn)的次Lagrange 插值多項(xiàng)式存在唯一。 用Matlab作Lagrange插值 Matlab中沒(méi)有現(xiàn)成的Lagrange插值函數(shù)，必須編寫(xiě)一個(gè)M文件實(shí)現(xiàn)Lagrange插值。 設(shè)個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)以數(shù)組輸入，個(gè)插值點(diǎn)以數(shù)組輸入，輸出數(shù)組為個(gè)插值。編寫(xiě)一

4、個(gè)名為lagrange.m的M文件：function y=lagrange(x0,y0,x);n=length(x0);m=length(x);for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s;endsin 1.5695=0.9999991749999999cos 1.5695=tan 1.5695=819.03428749992741.2 分段線(xiàn)性插值1.2.1 插值多項(xiàng)式的振蕩 用Lagrange插值多項(xiàng)式

5、近似，雖然隨著節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加，的次數(shù)變大，多數(shù)情況下誤差會(huì)變小。但是增大時(shí)，的光滑性變壞，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)很大的振蕩。理論上，當(dāng)，在內(nèi)并不能保證處處收斂于。Runge給出了一個(gè)有名的例子：對(duì)于較大的，隨著的增大，振蕩越來(lái)越大，事實(shí)上可以證明，僅當(dāng)時(shí)，才有，而在此區(qū)間外，是發(fā)散的。 高次插值多項(xiàng)式的這些缺陷，促使人們轉(zhuǎn)而尋求簡(jiǎn)單的低次多項(xiàng)式插值。1.2.2 分段線(xiàn)性插值 簡(jiǎn)單地說(shuō)，將每?jī)蓚€(gè)相鄰的節(jié)點(diǎn)用直線(xiàn)連起來(lái)，如此形成的一條折線(xiàn)就是分段線(xiàn)性插值函數(shù)，記作，它滿(mǎn)足，且在每個(gè)小區(qū)間上是線(xiàn)性函數(shù)。 可以表示為 有良好的收斂性，即對(duì)于， 用計(jì)算點(diǎn)的插值時(shí)，只用到左右的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，計(jì)算量與節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)。但越大，

6、分段越多，插值誤差越小。實(shí)際上用函數(shù)表作插值計(jì)算時(shí)，分段線(xiàn)性插值就足夠了，如數(shù)學(xué)、物理中用的特殊函數(shù)表，數(shù)理統(tǒng)計(jì)中用的概率分布表等。 1.2.3 用Matlab實(shí)現(xiàn)分段線(xiàn)性插值 用 Matlab 實(shí)現(xiàn)分段線(xiàn)性插值不需要編制函數(shù)程序，Matlab 中有現(xiàn)成的一維插值函數(shù)interp1。y=interp1(x0,y0,x,'method')method指定插值的方法，默認(rèn)為線(xiàn)性插值。其值可為：'nearest'最近項(xiàng)插值'linear'線(xiàn)性插值'spline'逐段3次樣條插值'cubic'保凹凸性3次插值。 所有的插值

7、方法要求x0是單調(diào)的。 當(dāng) x0 為等距時(shí)可以用快速插值法，使用快速插值法的格式為'*nearest'、'*linear'、'*spline'、'*cubic'。1.3 樣條插值 許多工程技術(shù)中提出的計(jì)算問(wèn)題對(duì)插值函數(shù)的光滑性有較高要求，如飛機(jī)的機(jī)翼外形，內(nèi)燃機(jī)的進(jìn)、排氣門(mén)的凸輪曲線(xiàn)，都要求曲線(xiàn)具有較高的光滑程度，不僅要連續(xù)，而且要有連續(xù)的曲率，這就導(dǎo)致了樣條插值的產(chǎn)生。1.3.1 樣條函數(shù)的概念 所謂樣條（Spline）本來(lái)是工程設(shè)計(jì)中使用的一種繪圖工具，它是富有彈性的細(xì)木條或細(xì)金屬條。繪圖員利用它把一些已知點(diǎn)連接成一條光滑曲線(xiàn)

8、（稱(chēng)為樣條曲線(xiàn)），并使連接點(diǎn)處有連續(xù)的曲率。 數(shù)學(xué)上將具有一定光滑性的分段多項(xiàng)式稱(chēng)為樣條函數(shù)。具體地說(shuō)，給定區(qū)間的一個(gè)分劃如果函數(shù)滿(mǎn)足： （1）在每個(gè)小區(qū)間上是次多項(xiàng)式； （2）在上具有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。則稱(chēng)為關(guān)于分劃的次樣條函數(shù)，其圖形稱(chēng)為次樣條曲線(xiàn)。稱(chēng)為樣條節(jié)點(diǎn)，稱(chēng)為內(nèi)節(jié)點(diǎn)，稱(chēng)為邊界點(diǎn)，這類(lèi)樣條函數(shù)的全體記做，稱(chēng)為次樣條函數(shù)空間。 顯然，折線(xiàn)是一次樣條曲線(xiàn)。 若，則是關(guān)于分劃的次多項(xiàng)式樣條函數(shù)。次多項(xiàng)式樣條函數(shù)的一般形式為其中和均為任意常數(shù)，而在實(shí)際中最常用的是k =2和3的情況，即為二次樣條函數(shù)和三次樣條函數(shù)。二次樣條函數(shù)：對(duì)于上的分劃，則（5）其中。三次樣條函數(shù)：對(duì)于上的分劃，則（6）其中。

9、利用樣條函數(shù)進(jìn)行插值，即取插值函數(shù)為樣條函數(shù)，稱(chēng)為樣條插值。例如分段線(xiàn)性插值是一次樣條插值。下面我們介紹二次、三次樣條插值。1.3.2 二次樣條函數(shù)插值 首先，我們注意到中含有個(gè)特定常數(shù)，故應(yīng)需要個(gè)插值條件，因此，二次樣條插值問(wèn)題可分為兩類(lèi)： 問(wèn)題（1）： 已知插值節(jié)點(diǎn)和相應(yīng)的函數(shù)值以及端點(diǎn)（或）處的導(dǎo)數(shù)值（或），求使得（7） 事實(shí)上，可以證明這兩類(lèi)插值問(wèn)題都是唯一可解的。 對(duì)于問(wèn)題（1），由條件（7） 引入記號(hào)為未知向量，為已知向量。 于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求方程組的解的問(wèn)題，即可得到二次樣條函數(shù)的表達(dá)式。1.3.3 三次樣條函數(shù)插值 由于中含有個(gè)特定常數(shù)，故應(yīng)需要個(gè)插值條件，已知插值節(jié)點(diǎn)和相應(yīng)的

10、函數(shù)值，這里提供了個(gè)條件，還需要2個(gè)邊界條件。 常用的三次樣條函數(shù)的邊界條件有3種類(lèi)型： （1）。由這種邊界條件建立的樣條插值函數(shù)稱(chēng)為的完備三次樣條插值函數(shù)。 特別地，時(shí)，樣條曲線(xiàn)在端點(diǎn)處呈水平狀態(tài)。 如果不知道，我們可以要求與在端點(diǎn)處近似相等。這時(shí)以為節(jié)點(diǎn)作一個(gè)三次Newton插值多項(xiàng)式，以作一個(gè)三次 Newton插值多項(xiàng)式，要求由這種邊界條件建立的三次樣條稱(chēng)為的Lagrange三次樣條插值函數(shù)。（2）。特別地時(shí)，稱(chēng)為自然邊界條件。（3），（這里要求）此條件稱(chēng)為周期條件。1.3.4 三次樣條插值在Matlab中的實(shí)現(xiàn) 在Matlab中數(shù)據(jù)點(diǎn)稱(chēng)之為斷點(diǎn)。如果三次樣條插值沒(méi)有邊界條件，最常用的方

11、法，就是采用非扭結(jié)（not-a-knot）條件。這個(gè)條件強(qiáng)迫第1個(gè)和第2個(gè)三次多項(xiàng)式的三階導(dǎo)數(shù)相等。對(duì)最后一個(gè)和倒數(shù)第2個(gè)三次多項(xiàng)式也做同樣地處理。 Matlab中三次樣條插值也有現(xiàn)成的函數(shù)： y=interp1(x0,y0,x,'spline')； y=spline(x0,y0,x)； pp=csape(x0,y0,conds)，y=ppval(pp,x)。其中x0，y0是已知數(shù)據(jù)點(diǎn)，x是插值點(diǎn)，y是插值點(diǎn)的函數(shù)值。 對(duì)于三次樣條插值，提倡使用函數(shù)csape，csape的返回值是pp形式，要求插值點(diǎn)的函數(shù)值，必須調(diào)用函數(shù)ppval。pp=csape(x0,y0)：使用默認(rèn)的邊

12、界條件，即Lagrange邊界條件。pp=csape(x0,y0,conds)中的conds指定插值的邊界條件，其值可為：'complete' 邊界為一階導(dǎo)數(shù)，即默認(rèn)的邊界條件'not-a-knot' 非扭結(jié)條件'periodic' 周期條件'second' 邊界為二階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)的值0, 0。'variational' 設(shè)置邊界的二階導(dǎo)數(shù)值為0,0。 對(duì)于一些特殊的邊界條件，可以通過(guò)conds的一個(gè)1×2矩陣來(lái)表示，conds元素的取值為1，2。此時(shí)，使用命令pp=csape(x0,y0_ext,co

13、nds)其中y0_ext=left, y0, right，這里left表示左邊界的取值，right表示右邊界的取值。 conds(i)=j的含義是給定端點(diǎn)i 的j 階導(dǎo)數(shù)，即conds的第一個(gè)元素表示左邊界的條件，第二個(gè)元素表示右邊界的條件，conds=2,1表示左邊界是二階導(dǎo)數(shù)，右邊界是一階導(dǎo)數(shù)，對(duì)應(yīng)的值由left和right給出。2 源程序clcclear allclose allx0=1.567 1.568 1.569 1.570;% y0=0.9999928 0.9999961 0.9999984 0.9999997;y00=0.0037963 0.0027963 0.0017963

14、0.0007963;y0=263.41125 357.61106 556.69098 1255.76559;x=1.5695;digits(16);y1=vpa(lagrange(x0,y0,x) %調(diào)用前面編寫(xiě)的Lagrange插值函數(shù)y2=vpa(interp1(x0,y0,x) %分段線(xiàn)性插值y3=vpa(interp1(x0,y0,x,'spline') %邊界為一階導(dǎo)數(shù)的三次樣條插值pp1=csape(x0,y0); y4=vpa(ppval(pp1,x) %邊界為一階導(dǎo)數(shù)的三次樣條插值pp2=csape(x0,y0,'second'); y5=vpa

15、(ppval(pp2,x) %邊界為二階導(dǎo)數(shù)的三次樣條插值y1=vpa(lagrange(x0,y00,x) y2=vpa(interp1(x0,y00,x)y3=vpa(interp1(x0,y00,x,'spline')pp1=csape(x0,y00); y4=vpa(ppval(pp1,x)pp2=csape(x0,y00,'second'); y5=vpa(ppval(pp2,x)3 結(jié)果3.1 Lagrange插值結(jié)果sin1.56950.99999917499999990cos1.56950.00-0sin1.5695/ cos 1.5695771

16、.425730926449659820.20405438626494428004e-4tan1.5695819.034287499927403.2分段線(xiàn)性插值結(jié)果sin1.56950.9999990500000000-0cos1.56950.00-0sin1.5695/ cos 1.5695771.425634498143153910.20280435958963498322e-4tan1.5695906.228284999948203.3 邊界為一階導(dǎo)數(shù)的三次樣條插值sin1.56950.99999917499999990cos1.56950.00-0sin1.5695/ cos 1.5695771.425730926450228250.20405438627231302622e-4tan1.5695819.034287499927203.4 邊界為一階導(dǎo)數(shù)的三次樣條插值（使用csape）sin1.56950.99999917499999990cos1.56950.00-0sin1.5695/ cos 1.5695771.425730926449659820.20405438626494428004e-4tan1.5695