數(shù)值計算課程設計 四階RungeKutta方法

1、 湖南工業(yè)大學課 程 設 計資 料 袋 理 學院（系、部） 2013 學年第 2 學期 課程名稱 數(shù)值計算方法 指導教師 職稱 副教授 學生姓名 專業(yè)班級 信息與計算科學班 學號學生姓名 專業(yè)班級 信息與計算科學1002班 學號學生姓名 專業(yè)班級 信息與計算科學 學號 題 目 四階Runge-Kutta方法 成 績 起止日期 2013 年 6 月24日 2013 年 7月 5日目 錄 清 單序號材 料 名 稱資料數(shù)量備 注1課程設計任務書12課程設計說明書13張 湖南工業(yè)大學課程設計任務書 2012 2013 學年第 2 學期 理 學院（系、部） 信息與計算科學 專業(yè) 1002 班級課程名稱：

2、 數(shù)值計算方法 設計題目： 四階Runge-Kutta方法 完成期限：自 2013 年 6 月 24 日至 2013 年 7月 5 日共 2 周內(nèi)容及任務1、 設計題目：四階Runge-Kutta方法的應用2、 設計目的：編寫關于四階Runge-Kutta Matlab程序求解微分方程的初值問題。進度安排起止日期工作內(nèi)容6.24 -6.26進行選題及審題6.27 -6.30資料準備并進行計算 7.01 -7.05課程設計報告書些階段主要參考資料數(shù)值計算方法 黃云清 舒適編著 科學出版社指導教師（簽字）： 年 月 日系（教研室）主任（簽字）： 年 月 日數(shù)值計算方法設計說明書四階Runge-Ku

3、tta方法起止日期： 2013 年 6 月 24 日 至 2013 年 7月 5 日學生姓名班級信息與計算科學班學號 成績指導教師(簽字)理學院（院、部）2013年7月5日目 錄一、 摘要5二、 問題重述5三、 方法原理及實現(xiàn)5四、 計算公式或算法5五、 Matlab程序6六、 測試數(shù)據(jù)及結(jié)果6七、 結(jié)果分析10八、方法改進10九、心得體會10十、參考文獻101、 摘要本課程設計主要內(nèi)容是用四階Runge-Kutta方法解決常微分方程組初值問題的數(shù)值解法，通過分析給定題目使用Matlab編寫程序計算結(jié)果并繪圖，最后對計算結(jié)果進行分析，得到結(jié)論。2、 問題重述 在計算機上實現(xiàn)用四階Runge-K

4、utta求一階常微分方程初值問題 的數(shù)值解，并利用最后繪制的圖形直觀分析近似解與準確解之間的比較。三、方法原理及實現(xiàn)龍格-庫塔(Runge-Kutta)方法是一種在工程上應用廣泛的高精度單步算法。由于此算法精度高，采取措施對誤差進行抑制，所以其實現(xiàn)原理也較復雜。該算法是構(gòu)建在數(shù)學支持的基礎之上的。龍格庫塔方法的理論基礎來源于泰勒公式和使用斜率近似表達微分，它在積分區(qū)間多預計算出幾個點的斜率，然后進行加權(quán)平均，用做下一點的依據(jù)，從而構(gòu)造出了精度更高的數(shù)值積分計算方法。如果預先求兩個點的斜率就是二階龍格庫塔法，如果預先取四個點就是四階龍格庫塔法。經(jīng)典的方法是一個四階的方法，它的計算公式是：四、計算

5、公式或算法1 輸入（編寫或調(diào)用計算的函數(shù)文件），2 3For End 4輸出五、Matlab 程序x=a:h:b;y(1)=y1;n=(b-a)/h+1;for i=2:n fk1=f(x(i-1),y(i-1); fk2=f(x(i-1)+h/2,y(i-1)+fk1*h/2); fk3=f(x(i-1)+h/2,y(i-1)+fk2*h/2); fk4=f(x(i-1)+h,y(i-1)+fk3*h); y(i)=y(i-1)+h*(fk1+2*fk2+2*fk3+fk4)/6;endy六、測試數(shù)據(jù)及結(jié)果用調(diào)試好的程序解決如下問題：應用經(jīng)典的四階Runge-Kutta方法解初值問題 ?。?

6、） 步驟一：編寫函數(shù)具體程序.1.求解解析解程序：dsolve(Dy=(y2+y)/t,y(1)=-2,t)結(jié)果：2.綜合編寫程序如下：a=1;b=3;h=0.5;y(1)=-2;x(1)=a;n=(b-a)/h+1;yy(1)=-2;for i=2:n k1=(y(i-1)2+y(i-1)/x(i-1); k2=(y(i-1)+h*k1/2)2+(y(i-1)+h*k1/2)/(x(i-1)+h/2); k3=(y(i-1)+h*k2/2)2+(y(i-1)+h*k2/2)/(x(i-1)+h/2); k4=(y(i-1)+h*k3)2+(y(i-1)+h*k3)/(x(i-1)+h); y

7、(i)=y(i-1)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;% 四階Runge-Kutta公式解 x(i)=x(i-1)+h; %有解區(qū)間的值 yy(i)=-x(i)/(x(i)-1/2); %解析解 s(i)=abs(y(i)-yy(i); %誤差項endx y yy s（2）步驟二：執(zhí)行上述Runge-Kutta算法，計算結(jié)果為1.00001.50002.00002.50003.0000-2.0000-1.4954-1.3306-1.2480-1.1985-2.0000-1.5000-1.3333-1.2500-1.200000.00460.00280.00200.0015（3）使用

8、Matlab繪圖函數(shù)“plot(x,y)”繪制問題數(shù)值解和解析解的圖形。數(shù)值解的圖形：plot(x,y)解析解的圖形plot(x,yy)（4）使用Matlab中的ode45求解，并繪圖。編寫函數(shù)如下：%ode.mfunction dy=ode(x,y)dy=(y2+y)/x; T,Y=ode45(ode,1 3,-2);plot(T,Y)運行結(jié)果如下：7、 結(jié)果分析由圖可知此方法與精確解的契合度非常好，基本上與精度解保持一致，由此可見四階Runge-Kutta方法是一種高精度的單步方法。8、 方法改進同時，由于誤差的存在，我們總想盡可能的是誤差趨近于零，常用的就是傳統(tǒng)的增加取值的個數(shù)。最后，我

9、們通過改變步長來進行改進。具體實現(xiàn)：（1）h=0.1a=1;b=3;h=0.1;y(1)=-2;x(1)=a;n=(b-a)/h+1;yy(1)=-2;for i=2:n k1=(y(i-1)2+y(i-1)/x(i-1); k2=(y(i-1)+h*k1/2)2+(y(i-1)+h*k1/2)/(x(i-1)+h/2); k3=(y(i-1)+h*k2/2)2+(y(i-1)+h*k2/2)/(x(i-1)+h/2); k4=(y(i-1)+h*k3)2+(y(i-1)+h*k3)/(x(i-1)+h); y(i)=y(i-1)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;% 四階Runge

10、-Kutta公式解 x(i)=x(i-1)+h; %有解區(qū)間的值 yy(i)=-x(i)/(x(i)-1/2); %解析解 s(i)=abs(y(i)-yy(i); %誤差項endx y yy s結(jié)果：（2） h=0.2a=1;b=3;h=0.2;y(1)=-2;x(1)=a;n=(b-a)/h+1;yy(1)=-2;for i=2:n k1=(y(i-1)2+y(i-1)/x(i-1); k2=(y(i-1)+h*k1/2)2+(y(i-1)+h*k1/2)/(x(i-1)+h/2); k3=(y(i-1)+h*k2/2)2+(y(i-1)+h*k2/2)/(x(i-1)+h/2); k4=

11、(y(i-1)+h*k3)2+(y(i-1)+h*k3)/(x(i-1)+h); y(i)=y(i-1)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;% 四階Runge-Kutta公式解 x(i)=x(i-1)+h; %有解區(qū)間的值 yy(i)=-x(i)/(x(i)-1/2); %解析解 s(i)=abs(y(i)-yy(i); %誤差項endx y yy s結(jié)果： （3） h=0.4a=1;b=3;h=0.4;y(1)=-2;x(1)=a;n=(b-a)/h+1;yy(1)=-2;for i=2:n k1=(y(i-1)2+y(i-1)/x(i-1); k2=(y(i-1)+h*k1/2)

12、2+(y(i-1)+h*k1/2)/(x(i-1)+h/2); k3=(y(i-1)+h*k2/2)2+(y(i-1)+h*k2/2)/(x(i-1)+h/2); k4=(y(i-1)+h*k3)2+(y(i-1)+h*k3)/(x(i-1)+h); y(i)=y(i-1)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;% 四階Runge-Kutta公式解 x(i)=x(i-1)+h; %有解區(qū)間的值 yy(i)=-x(i)/(x(i)-1/2); %解析解 s(i)=abs(y(i)-yy(i); %誤差項endx y yy s結(jié)果：通過上述的一些結(jié)果得出，四階的Runge-Kutta方法的誤差取決于步長的選取，因此，在實驗的時候我們需要慎重的選取。一方面：我們要減少誤差，另一方面：我們也需要盡可能的減少計算次數(shù)。9、 心得體會 課程設計，至今我們小組三人感慨頗多，的確，從我們參考，設計到定稿，從理論到實踐，在整整兩星期的時間里，可以說是苦多于甜，但是可以學到很多很多的東西，同時不僅可以鞏固以前所學過的知識，而且學到很多在書本上沒有學到的知識。通過