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1、1群、環(huán)、域概念A(yù)1:加法的封閉性:如果a和b屬于G,則a+b也屬于GA2:加法結(jié)合律:對(duì)G中的任意元素a,b,c,a+(b+c)=(a+b)+cA3:加法單位元:G中存在一個(gè)元素0,使得對(duì)于G中的任意元素a,有a+0=0+aA4:加法逆元:對(duì)于G中的任意元素a,G中一定存在一個(gè)元素a,使得 a+(-a)=(-a)+a=0A5:加法交換律:對(duì)于G中的任意元素a和b,有a+b=b+aM1:乘法的封閉性:如果a和b屬于G,則ab也屬于GM2:乘法結(jié)合律:對(duì)于G中的任意元素a,b,c有a(bc)=(ab)cM3:乘法分配了:對(duì)于G中的任意元素a,b,c,有a(b+c)=ab+ac和(a+b)c=ac
2、+bcM4:乘法交換律:對(duì)于G中的任意元素a,b有ab=baM5:乘法單位元:對(duì)于G中的任意元素a,在G中存在一個(gè)元素1,使得a1=1a=aM6:無(wú)零因子:對(duì)于G中的元素a,b,若ab=0,則必有a=0或b=0M7:乘法逆元:如果a屬于G,且a不為0,則G中存在一個(gè)元素,使得 滿足A1-A4稱為群滿足A1-A5稱為可交換群滿足A1-M3稱為環(huán)滿足A1-M4稱為可交換換滿足A1-M6稱為整環(huán)滿足A1-M7稱為域2循環(huán)群:如果群中的每一個(gè)元素都是一個(gè)固定元素的冪(k為整數(shù)), 則稱群G是循環(huán)群。我們認(rèn)為元素a生成了群G,或者說(shuō)a是群G的 生成元。 循環(huán)群總是交換群3模運(yùn)算則稱整數(shù)a和b是模n同余的
3、,可以表示為:若b整除a。則用符號(hào):表示。其性質(zhì)可表示如下:如果a|1,那么a=-1或1。如果a|b,且b|a,那么a=b或a=-b任何不等于零的數(shù)整除0如果b|g且b|h,那么對(duì)任意整數(shù)m,n都有b|(mg+nh)證明性質(zhì): 如果b|g,那么,g為整數(shù)。 如果b|h,那么,h為整數(shù)。 于是: 因此b整除mg+nh.同余的性質(zhì):1如果n|(a-b),那么2隱含3,隱含性質(zhì)2和性質(zhì)3證明是我自己證的。性質(zhì)1證明: 如果,那么,為整數(shù)。使得, 則有即得。性質(zhì)2證明: 由得:即,滿足 由可推出,由性質(zhì)1可知成立則得證。性質(zhì)3證明:由性質(zhì)2證明過程知:滿足:由可以推出,由性質(zhì)1可知模算術(shù)運(yùn)算有如下性質(zhì)
4、:123性質(zhì)2性質(zhì)2是我自己證明的。性質(zhì)1證明: 設(shè),則,使得 那么有: 即得證。性質(zhì)2證明: 由性質(zhì)1證明過程知使得 那么有:性質(zhì)3證明: 前半段證明如上, 定義比n小的非負(fù)整數(shù)集合為。這個(gè)集合稱為剩余類集,或模n的剩余類。 中每一個(gè)整數(shù)都代表一個(gè)剩余類,我們可以將模n的剩余類表示為:,其中。 如果,那么若a與n互素,如果,那么 中整數(shù)模運(yùn)算性質(zhì):交換律: 結(jié)合律: 分配律:?jiǎn)挝辉?加法逆元(-w):對(duì)于中的任意w,存在一個(gè)z使得以下部分摘自劉嘉勇編P231加法逆元:對(duì)每一個(gè),存在一個(gè)u,使得w+u=0 mod n,記為u=-w,顯然在模 n下,-w=n-w。如果,則有 , 特例, 更一般
5、式:, 特例: 其中f(x)為任意給定的一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式以上部分摘自劉嘉勇P231最大公約數(shù):歐幾里得算法:對(duì)于任意非負(fù)整數(shù)a和任意正整數(shù)b有算法描述如下:設(shè)整數(shù) (1); (2)如果Y=0,返回X=gcd(a,b),否則繼續(xù); (3)R=XmodY (4); (5); (6)返回(2)擴(kuò)展的歐幾里得算法描述如下:Extended EUCLID(a,n) (1); (2)如果,返回,無(wú)逆元;否則繼續(xù); (3)如果,返回; (4); (5); (6); (7); (8)返回(2)。 有限域GF(P): 階為的有限域一般記為,GF代表伽羅瓦域。 給定一個(gè)素?cái)?shù)p,元素個(gè)數(shù)為p的有限域GF(p)被定義
6、為整數(shù)的集合,其運(yùn)算為模p的算術(shù)運(yùn)算。 乘法逆元:任意,存在使得求最大公因式:我們可以通過定義最大公因式來(lái)擴(kuò)展域上的多項(xiàng)式和整數(shù)運(yùn)算之間的類比。如果:1.c(x)能同時(shí)整除a(x)和b(x)。 2.a(x)和b(x)的任何因式都是c(x)的因式。 就稱多項(xiàng)式c(x)為a(x)和b(x)的最大公因式。 此定義等價(jià)定義與:gcda(x),b(x)是能同時(shí)整數(shù)a(x)和b(x)的多項(xiàng)式中次數(shù)最高的一個(gè)。多項(xiàng)式模運(yùn)算: 如果定義了合適的運(yùn)算,那么每一個(gè)這樣的集合S都是一個(gè)有限域。定義由 如下幾條組成:1. 該運(yùn)算遵循基本代數(shù)規(guī)則中的普通多項(xiàng)式運(yùn)算規(guī)則2. 系數(shù)運(yùn)算以P為模,即遵循有限域上的運(yùn)算規(guī)則3.
7、 如果乘法運(yùn)算結(jié)果是次數(shù)大于n-1的多項(xiàng)式,那么必須將其除以某個(gè)次數(shù)為n的既約多項(xiàng)式m(x)并取余式。對(duì)于多項(xiàng)式f(x),這個(gè)余式可表示為r(x)=f(x) mod m(x)素?cái)?shù)任意整數(shù)都可以惟一地因子分解為:,其中均為素?cái)?shù),且指數(shù)皆為正整數(shù)。費(fèi)馬定理:p是素?cái)?shù),a是與p互素的正整數(shù),則 或者 顯然有歐拉函數(shù):歐拉函數(shù)是一個(gè)定義在正整數(shù)集上的函數(shù),的值等于小于n 且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)。歐拉函數(shù)有性質(zhì)如下: 1.如果n是素?cái)?shù),則 2.如果,p和q是素?cái)?shù),且p不等于q則 歐拉定理:對(duì)任何互素的兩個(gè)整數(shù)a和n,有。歐拉定理有如下推論。1. n為素?cái)?shù)時(shí),有,即費(fèi)馬定理。2. 由歐拉定理,有進(jìn)一步有
8、,3. 若n=pq,p和q是素?cái)?shù),p不等于q,則有。4. 若n=pq,p和q是素?cái)?shù),p不等于q,而,仍有中國(guó)剩余定理:設(shè)正整數(shù)兩兩互素,記,則同余在模M同余的意義下,有唯一解,其中:如果,則至少有一個(gè)整數(shù)m(即)滿足。滿足上式的最小正整數(shù)m為模n下a的階(又稱次數(shù))。本原根:如果a的階等于,則稱a為n的本原根(又稱素根)有些材料上稱本原元性質(zhì):如果a是n的本原根,則在模n下互不相同,且均與n互素。注意:模n下的本原根并不具備唯一性,且并非所有的整數(shù)n都有本原根,只有以下形式的整數(shù)才有本原根:,其中a為整數(shù),p為奇素?cái)?shù)。離散對(duì)數(shù):設(shè)p為以素?cái)?shù),a是p的本原根,則在模p下產(chǎn)生1到p-1之間的所有值,且每一個(gè)值僅出現(xiàn)一次。因此:對(duì)于任意,都存在唯一的正整數(shù),使得這樣,模p下a的方冪運(yùn)算為:,稱x為模p下以a為底y的對(duì)數(shù),記為:,以上運(yùn)算定義在模p有限域上的,所以稱為離散對(duì)數(shù)運(yùn)算。性質(zhì)
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