微積分與矩形面積

1、積分1）問題的提出求曲邊梯形的面積可以用矩形面積近似取代曲邊梯形面積. 顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積（圖一）圖二中用四個小矩形逼近（圖二）圖三中用九個小矩形逼近（圖三）曲邊梯形面積的近似值為：當?shù)确珠g隔無窮多時：（圖四）2）定積分的定義上式的這個極限稱為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記為：3）定積分的幾何意義曲邊梯形的面積：曲邊梯形的面積的負值：（圖五）圖五中曲線與坐標軸所圍區(qū)域的面積為：4）定積分的性質5）原函數(shù)與不定積分的概念定義：如果在區(qū)間 內，可導函數(shù)的導函數(shù)為，即，都有或，那么函數(shù)就稱為或在區(qū)間內的原函數(shù)。 例：，是的原函數(shù)，是在區(qū)間內的原函數(shù)原函數(shù)并非唯一，如：

2、，C為任意常數(shù) 不定積分的定義：在區(qū)間內，函數(shù)的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為在區(qū)間內的不定積分，記為6）積分的基本計算°由不定積分的定義可知，尋找原函數(shù)是計算的關鍵例如：微分運算與求不定積分的運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導公式得出積分公式. 如：°定積分是特殊條件下的不定積分這稱為牛頓萊布尼茨公式例1:求 解： 例2: 求 解： 例3:求 解:  結束語:發(fā)展獨立思考和獨立創(chuàng)新的一般能力，應當始終放在首位，而不應當把知識放在首位。如果一個人掌握了他的學科的基礎理論，并且學會了獨立思考與工作，他必定會找到自己的道路。而且比起那些主要以獲取細節(jié)知識為其訓練內容

3、的人來，他一定會更好適應進步和變化愛因斯坦7. 定積分的基本思想是化整為零、以不變代變，積零為整，再取極限四個部分。的幾何意義是由，圍成的曲邊梯形的面積（代數(shù)和）。矩形方法就是用小矩形面積代替小曲邊梯形的面積，然后求和以獲得定積分的近似值（見圖）。試選擇一個簡單的定積分題目利用定積分近似計算的矩形公式計算之，觀察后者隨著節(jié)點的增多，計算值與準確值的誤差變化。圖1定積分的幾何意義3.3.3應用實驗   本實驗研究轉售機器的最佳時間問題。1定積分定義面積問題（資料）在極限部分我們已經(jīng)討論拋物線下的面積問題?，F(xiàn)在我們討論一個更一般的面積問題。設函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)的，且是非負的，如

4、圖1所示。如何求由曲線與直線與軸所圍成的區(qū)域的面積呢？ 我們現(xiàn)在有兩個問題要解決，一是給出面積的定義，一是找出計算面積的方法。微積分的巨大功績就在于用干凈利落的方法同時解決了這兩問題。由圖1所示的圖形稱為曲邊梯形。求曲邊梯形的面積的方法與求拋物線下的面積的方法是一樣的。圖1 曲邊梯形 把區(qū)間分成份，分點為小區(qū)間的長度分別為, 過各分點作平行于軸的直線，這些直線把曲邊梯形分成個小曲邊梯形，設第個小曲邊梯形的面積為在每個小區(qū)間上，任取一點，即過點引平行于軸的直線，交曲線于點點的縱坐標為過作平行于軸的直線，與直線交成一個小矩形，如圖2中的陰影部分所示，這個小矩形的面積為，即圖2小

5、矩形面積  把個小矩形的面積加起來，就得到曲邊梯形面積的一個近似值： =令 符號“”為希臘字母，念作“西格瑪”，它表示一種求和運算。當分點無限增多，即無限增大，而小區(qū)間的長度無限縮小時，如果和的極限存在，我們就很自然地定義曲邊梯形的面積為和的極限： 由此我們提出的問題也就解決了。因為我們已經(jīng)給出了曲邊梯形面積的定義，并且給出了計算面積的方法，但是在一般情況下，用求極限的方法去計算面積是太困難了，我們還需要找出更為簡便的方法，這將在后面給出。定積分概念的起源與應用定積分的概念起源于求平面圖形的面積和其他一些實際問題。定積分的思想在古代數(shù)學家的工作中，就已經(jīng)有了萌芽。比如古希臘時期阿基米

6、德在公元前240年左右，就曾用求和的方法計算過拋物線弓形及其他圖形的面積。公元 263 年我國劉徽提出的割圓術，也是同一思想。在歷史上，積分觀念的形成比微分要早。但是直到牛頓和萊布尼茨的工作出現(xiàn)之前（17世紀下半葉），有關定積分的種種結果還是孤立零散的，比較完整的定積分理論還未能形成，直到牛頓-萊布尼茨公式建立以后，計算問題得以解決，定積分才迅速建立發(fā)展起來。牛頓和萊布尼茨對微積分的創(chuàng)建都作出了巨大的貢獻，但兩人的方法和途徑是不同的。牛頓是在力學研究的基礎上，運用幾何方法研究微積分的；萊布尼茲主要是在研究曲線的切線和面積的問題上，運用分析學方法引進微積分要領的。牛頓在微積分的應用上更多地結合了

7、運動學，造詣精深；但萊布尼茲的表達形式簡潔準確，勝過牛頓。在對微積分具體內容的研究上，牛頓先有導數(shù)概念，后有積分概念；萊布尼茲則先有積分概念，后有導數(shù)概念。雖然牛頓和萊布尼茲研究微積分的方法各異，但殊途同歸。各自獨立地完成了創(chuàng)建微積分的盛業(yè)，榮耀應由他們兩人共享。定積分概念的理論基礎是極限。人類得到比較明晰的極限概念，花了大約2000年的時間。在牛頓和萊布尼茨的時代，極限概念仍不明確。因此牛頓和萊布尼茨建立的微積分的理論基礎還不十分牢靠，有些概念還比較模糊，由此引起了數(shù)學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論，并引發(fā)了“第二次數(shù)學危機”。經(jīng)過十八、十九世紀一大批數(shù)學家的努力，特別是柯西首先成功地建立

8、了極限理論，魏爾斯特拉斯進一步給出了現(xiàn)在通用的極限的 （）定義，極限概念才完全確立，微積分才有了堅實的基礎，也才有了我們今天在教材中所見到的微積分?，F(xiàn)代教科書中有關定積分的定義是由黎曼給出的。 一、從阿基米德的窮竭法談起【引例】從曲線與直線，所圍圖形的面積。 如圖：在區(qū)間  上插入  個等分點 ，得曲線上點 ，過這些點分別向軸，軸引垂線，得到階梯形。它們的面積分別為：   故可得到面積值為  為了便于理解阿基米德的思想，我們先引入曲邊梯形的概念。所謂曲邊梯形是指這樣的圖形，它有三條邊是直線段，其中兩條是平行的，第三

9、條與前兩條垂直叫做底邊，第四條邊是一條曲線弧叫做曲邊，這條曲邊與任意一條垂直于底邊的直線至多只交于一點。根據(jù)這一定義，引例所求圖形的面積便是一個曲邊梯形的面積。運行程序gs0501.m，可更深刻地了解阿基米德窮竭法思想。 二、曲邊梯形的面積計算設連續(xù)函數(shù)，求由曲邊，直線，及 軸所圍成的曲邊梯形的面積。如圖，在區(qū)間上任意地插入個分點區(qū)間分劃成  個小區(qū)間 ，且記小區(qū)間的長度為過每個分點作平行于軸的直線段，這些直線段將曲邊梯形分劃成個窄小的曲邊梯形，用記第  個窄小的曲邊梯形的面積。(由于曲邊梯形的高在上是連續(xù)變化的，在很短小的一段區(qū)間上它的變化也很小，即可近似地視為

10、不變。因此，在每個小區(qū)間上，可用其中某一點的高來近似代替該小區(qū)間上小曲邊梯形的變化高，用相應的小矩形面積來近似小曲邊梯形的面積。)具體地對第  個窄小曲邊梯形，在其對應區(qū)間上任意地取一點，以作為近似高，以矩形面積近似。即     于是，很明顯地小區(qū)間的長度越小，近似程度就越好；要使得近似程度越好，只需都越來越小。因此，為了得到面積的精確值，我們只需將區(qū)間無限地細分，使得每個小區(qū)間的長度都趨向于零。若記   ，則每個小區(qū)間的長度趨向于零價于 。從而      

11、60;                          (1) 三、變速直線運動的路程設某物體作直線運動，已知速度是時間間隔上的連續(xù)函數(shù)，且，求物體在時間間隔內所經(jīng)過的路程。在時間間隔內任意地插入個分點將分劃成個時間區(qū)間各時間區(qū)間的長度依次為記各時間區(qū)間內物體運動所經(jīng)過的路程依次為在時間間隔，物體所經(jīng)過的路程的近似值為  即：將物體在上的速度視為不變的，以來近似代替。很自然地，當這一時間間隔段很短時，這種近似是合理的。于是可給出的近似值     為得到的精確值， 只需讓每個小時間間隔段的長度均趨向于零。若記  則