微積分與矩形面積

1、積分1）問(wèn)題的提出求曲邊梯形的面積可以用矩形面積近似取代曲邊梯形面積. 顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積（圖一）圖二中用四個(gè)小矩形逼近（圖二）圖三中用九個(gè)小矩形逼近（圖三）曲邊梯形面積的近似值為：當(dāng)?shù)确珠g隔無(wú)窮多時(shí)：（圖四）2）定積分的定義上式的這個(gè)極限稱(chēng)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記為：3）定積分的幾何意義曲邊梯形的面積：曲邊梯形的面積的負(fù)值：（圖五）圖五中曲線(xiàn)與坐標(biāo)軸所圍區(qū)域的面積為：4）定積分的性質(zhì)5）原函數(shù)與不定積分的概念定義：如果在區(qū)間 內(nèi)，可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，即，都有或，那么函數(shù)就稱(chēng)為或在區(qū)間內(nèi)的原函數(shù)。 例：，是的原函數(shù)，是在區(qū)間內(nèi)的原函數(shù)原函數(shù)并非唯一，如：

2、，C為任意常數(shù) 不定積分的定義：在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱(chēng)為在區(qū)間內(nèi)的不定積分，記為6）積分的基本計(jì)算°由不定積分的定義可知，尋找原函數(shù)是計(jì)算的關(guān)鍵例如：微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式. 如：°定積分是特殊條件下的不定積分這稱(chēng)為牛頓萊布尼茨公式例1:求 解： 例2: 求 解： 例3:求 解:  結(jié)束語(yǔ):發(fā)展獨(dú)立思考和獨(dú)立創(chuàng)新的一般能力，應(yīng)當(dāng)始終放在首位，而不應(yīng)當(dāng)把知識(shí)放在首位。如果一個(gè)人掌握了他的學(xué)科的基礎(chǔ)理論，并且學(xué)會(huì)了獨(dú)立思考與工作，他必定會(huì)找到自己的道路。而且比起那些主要以獲取細(xì)節(jié)知識(shí)為其訓(xùn)練內(nèi)容

3、的人來(lái)，他一定會(huì)更好適應(yīng)進(jìn)步和變化愛(ài)因斯坦7. 定積分的基本思想是化整為零、以不變代變，積零為整，再取極限四個(gè)部分。的幾何意義是由，圍成的曲邊梯形的面積（代數(shù)和）。矩形方法就是用小矩形面積代替小曲邊梯形的面積，然后求和以獲得定積分的近似值（見(jiàn)圖）。試選擇一個(gè)簡(jiǎn)單的定積分題目利用定積分近似計(jì)算的矩形公式計(jì)算之，觀(guān)察后者隨著節(jié)點(diǎn)的增多，計(jì)算值與準(zhǔn)確值的誤差變化。圖1定積分的幾何意義3.3.3應(yīng)用實(shí)驗(yàn)   本實(shí)驗(yàn)研究轉(zhuǎn)售機(jī)器的最佳時(shí)間問(wèn)題。1定積分定義面積問(wèn)題（資料）在極限部分我們已經(jīng)討論拋物線(xiàn)下的面積問(wèn)題。現(xiàn)在我們討論一個(gè)更一般的面積問(wèn)題。設(shè)函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)的，且是非負(fù)的，如

4、圖1所示。如何求由曲線(xiàn)與直線(xiàn)與軸所圍成的區(qū)域的面積呢？ 我們現(xiàn)在有兩個(gè)問(wèn)題要解決，一是給出面積的定義，一是找出計(jì)算面積的方法。微積分的巨大功績(jī)就在于用干凈利落的方法同時(shí)解決了這兩問(wèn)題。由圖1所示的圖形稱(chēng)為曲邊梯形。求曲邊梯形的面積的方法與求拋物線(xiàn)下的面積的方法是一樣的。圖1 曲邊梯形 把區(qū)間分成份，分點(diǎn)為小區(qū)間的長(zhǎng)度分別為, 過(guò)各分點(diǎn)作平行于軸的直線(xiàn)，這些直線(xiàn)把曲邊梯形分成個(gè)小曲邊梯形，設(shè)第個(gè)小曲邊梯形的面積為在每個(gè)小區(qū)間上，任取一點(diǎn)，即過(guò)點(diǎn)引平行于軸的直線(xiàn)，交曲線(xiàn)于點(diǎn)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為過(guò)作平行于軸的直線(xiàn)，與直線(xiàn)交成一個(gè)小矩形，如圖2中的陰影部分所示，這個(gè)小矩形的面積為，即圖2小

5、矩形面積  把個(gè)小矩形的面積加起來(lái)，就得到曲邊梯形面積的一個(gè)近似值： =令 符號(hào)“”為希臘字母，念作“西格瑪”，它表示一種求和運(yùn)算。當(dāng)分點(diǎn)無(wú)限增多，即無(wú)限增大，而小區(qū)間的長(zhǎng)度無(wú)限縮小時(shí)，如果和的極限存在，我們就很自然地定義曲邊梯形的面積為和的極限： 由此我們提出的問(wèn)題也就解決了。因?yàn)槲覀円呀?jīng)給出了曲邊梯形面積的定義，并且給出了計(jì)算面積的方法，但是在一般情況下，用求極限的方法去計(jì)算面積是太困難了，我們還需要找出更為簡(jiǎn)便的方法，這將在后面給出。定積分概念的起源與應(yīng)用定積分的概念起源于求平面圖形的面積和其他一些實(shí)際問(wèn)題。定積分的思想在古代數(shù)學(xué)家的工作中，就已經(jīng)有了萌芽。比如古希臘時(shí)期阿基米

6、德在公元前240年左右，就曾用求和的方法計(jì)算過(guò)拋物線(xiàn)弓形及其他圖形的面積。公元 263 年我國(guó)劉徽提出的割圓術(shù)，也是同一思想。在歷史上，積分觀(guān)念的形成比微分要早。但是直到牛頓和萊布尼茨的工作出現(xiàn)之前（17世紀(jì)下半葉），有關(guān)定積分的種種結(jié)果還是孤立零散的，比較完整的定積分理論還未能形成，直到牛頓-萊布尼茨公式建立以后，計(jì)算問(wèn)題得以解決，定積分才迅速建立發(fā)展起來(lái)。牛頓和萊布尼茨對(duì)微積分的創(chuàng)建都作出了巨大的貢獻(xiàn)，但兩人的方法和途徑是不同的。牛頓是在力學(xué)研究的基礎(chǔ)上，運(yùn)用幾何方法研究微積分的；萊布尼茲主要是在研究曲線(xiàn)的切線(xiàn)和面積的問(wèn)題上，運(yùn)用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分要領(lǐng)的。牛頓在微積分的應(yīng)用上更多地結(jié)合了

7、運(yùn)動(dòng)學(xué)，造詣精深；但萊布尼茲的表達(dá)形式簡(jiǎn)潔準(zhǔn)確，勝過(guò)牛頓。在對(duì)微積分具體內(nèi)容的研究上，牛頓先有導(dǎo)數(shù)概念，后有積分概念；萊布尼茲則先有積分概念，后有導(dǎo)數(shù)概念。雖然牛頓和萊布尼茲研究微積分的方法各異，但殊途同歸。各自獨(dú)立地完成了創(chuàng)建微積分的盛業(yè)，榮耀應(yīng)由他們兩人共享。定積分概念的理論基礎(chǔ)是極限。人類(lèi)得到比較明晰的極限概念，花了大約2000年的時(shí)間。在牛頓和萊布尼茨的時(shí)代，極限概念仍不明確。因此牛頓和萊布尼茨建立的微積分的理論基礎(chǔ)還不十分牢靠，有些概念還比較模糊，由此引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長(zhǎng)達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的爭(zhēng)論，并引發(fā)了“第二次數(shù)學(xué)危機(jī)”。經(jīng)過(guò)十八、十九世紀(jì)一大批數(shù)學(xué)家的努力，特別是柯西首先成功地建立

8、了極限理論，魏爾斯特拉斯進(jìn)一步給出了現(xiàn)在通用的極限的 （）定義，極限概念才完全確立，微積分才有了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，也才有了我們今天在教材中所見(jiàn)到的微積分?，F(xiàn)代教科書(shū)中有關(guān)定積分的定義是由黎曼給出的。 一、從阿基米德的窮竭法談起【引例】從曲線(xiàn)與直線(xiàn)，所圍圖形的面積。 如圖：在區(qū)間  上插入  個(gè)等分點(diǎn) ，得曲線(xiàn)上點(diǎn) ，過(guò)這些點(diǎn)分別向軸，軸引垂線(xiàn)，得到階梯形。它們的面積分別為：   故可得到面積值為  為了便于理解阿基米德的思想，我們先引入曲邊梯形的概念。所謂曲邊梯形是指這樣的圖形，它有三條邊是直線(xiàn)段，其中兩條是平行的，第三

9、條與前兩條垂直叫做底邊，第四條邊是一條曲線(xiàn)弧叫做曲邊，這條曲邊與任意一條垂直于底邊的直線(xiàn)至多只交于一點(diǎn)。根據(jù)這一定義，引例所求圖形的面積便是一個(gè)曲邊梯形的面積。運(yùn)行程序gs0501.m，可更深刻地了解阿基米德窮竭法思想。 二、曲邊梯形的面積計(jì)算設(shè)連續(xù)函數(shù)，求由曲邊，直線(xiàn)，及 軸所圍成的曲邊梯形的面積。如圖，在區(qū)間上任意地插入個(gè)分點(diǎn)區(qū)間分劃成  個(gè)小區(qū)間 ，且記小區(qū)間的長(zhǎng)度為過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作平行于軸的直線(xiàn)段，這些直線(xiàn)段將曲邊梯形分劃成個(gè)窄小的曲邊梯形，用記第  個(gè)窄小的曲邊梯形的面積。(由于曲邊梯形的高在上是連續(xù)變化的，在很短小的一段區(qū)間上它的變化也很小，即可近似地視為

10、不變。因此，在每個(gè)小區(qū)間上，可用其中某一點(diǎn)的高來(lái)近似代替該小區(qū)間上小曲邊梯形的變化高，用相應(yīng)的小矩形面積來(lái)近似小曲邊梯形的面積。)具體地對(duì)第  個(gè)窄小曲邊梯形，在其對(duì)應(yīng)區(qū)間上任意地取一點(diǎn)，以作為近似高，以矩形面積近似。即     于是，很明顯地小區(qū)間的長(zhǎng)度越小，近似程度就越好；要使得近似程度越好，只需都越來(lái)越小。因此，為了得到面積的精確值，我們只需將區(qū)間無(wú)限地細(xì)分，使得每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度都趨向于零。若記   ，則每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度趨向于零價(jià)于 。從而      

11、60;                          (1) 三、變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，已知速度是時(shí)間間隔上的連續(xù)函數(shù)，且，求物體在時(shí)間間隔內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程。在時(shí)間間隔內(nèi)任意地插入個(gè)分點(diǎn)將分劃成個(gè)時(shí)間區(qū)間各時(shí)間區(qū)間的長(zhǎng)度依次為記各時(shí)間區(qū)間內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路程依次為在時(shí)間間隔，物體所經(jīng)過(guò)的路程的近似值為  即：將物體在上的速度視為不變的，以來(lái)近似代替。很自然地，當(dāng)這一時(shí)間間隔段很短時(shí)，這種近似是合理的。于是可給出的近似值     為得到的精確值， 只需讓每個(gè)小時(shí)間間隔段的長(zhǎng)度均趨向于零。若記  則