指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算

1、 指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算【課標(biāo)要求】（1）通過(guò)具體實(shí)例（如細(xì)胞的分裂，考古中所用的14C的衰減，藥物在人體內(nèi)殘留量的變化等），了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景；（2）理解有理指數(shù)冪的含義，通過(guò)具體實(shí)例了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算。（3）理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；通過(guò)閱讀材料，了解對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用；【命題走向】指數(shù)與對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算，在歷年的高考中一般不單獨(dú)命題。大多以指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等基本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合運(yùn)算推理，能運(yùn)用它們的性質(zhì)解決具體問(wèn)題。為此，我們要熟練掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，明確算理，能對(duì)常見(jiàn)的指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型

2、函數(shù)進(jìn)行變形處理?！疽c(diǎn)精講】1、整數(shù)指數(shù)冪的概念。（1）概念： n個(gè)a (2)運(yùn)算性質(zhì)： 兩點(diǎn)解釋： 可看作 = 可看作 =2、根式：（1）定義：若 則x叫做a的n次方根。（2）求法：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)：正數(shù)的n次方根為正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根為負(fù)數(shù) 記作： 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)（互為相反數(shù)） 記作： 負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根 0的任何次方根為0名稱：叫做根式 n叫做根指數(shù) a叫做被開(kāi)方數(shù)（3）公式： ；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) ； 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí) 3、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪（1）有關(guān)規(guī)定： 事實(shí)上， 若設(shè)a>0, ，由n次根式定義, 次方根，即：（2）同樣規(guī)定：；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義。

3、（3）指數(shù)冪的性質(zhì)：整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)推廣到有理指數(shù)冪。 （注）上述性質(zhì)對(duì)r、R均適用。4、對(duì)數(shù)的概念（1）定義：如果的b次冪等于N，就是，那么數(shù)稱以為底N的對(duì)數(shù)，記作其中稱對(duì)數(shù)的底，N稱真數(shù)。以10為底的對(duì)數(shù)稱常用對(duì)數(shù)，記作；以無(wú)理數(shù)為底的對(duì)數(shù)稱自然對(duì)數(shù)，記作；（2）基本性質(zhì)：真數(shù)N為正數(shù)（負(fù)數(shù)和零無(wú)對(duì)數(shù)）；2）；4）對(duì)數(shù)恒等式：。（3）運(yùn)算性質(zhì)：如果則；R）。（4）換底公式：兩個(gè)非常有用的結(jié)論；?！咀ⅰ恐笖?shù)方程和對(duì)數(shù)方程主要有以下幾種類型：(1) af(x)=bÛf(x)=logab, logaf(x)=bÛf(x)=ab; （定義法）(2) af(x)=ag(x)&

4、#219;f(x)=g(x), logaf(x)=logag(x)Ûf(x)=g(x)>0（轉(zhuǎn)化法）(3) af(x)=bg(x)Ûf(x)logma=g(x)logmb(取對(duì)數(shù)法)(4) logaf(x)=logbg(x)Ûlogaf(x)=logag(x)/logab(換底法)【典例解析】題型1：指數(shù)運(yùn)算例1（1）計(jì)算：；（2）化簡(jiǎn) （3）化簡(jiǎn)：。（4）化簡(jiǎn)： 例2已知，求的值。題型2：對(duì)數(shù)運(yùn)算例3計(jì)算（1）；（2）；（3）。例4設(shè)、為正數(shù)，且滿足 （1）求證：；（2）若，求、的值。例5。（1）已知 log 18 9 = a , 18 b = 5 , 求

5、 log 36 45 （用 a, b 表示）（2）設(shè) 求證： 題型4：指數(shù)、對(duì)數(shù)方程例6：解方程（1） （2）例7設(shè)關(guān)于的方程R），（1）若方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（2）當(dāng)方程有實(shí)數(shù)解時(shí)，討論方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，并求出方程的解。.【鞏固練習(xí)】1.若，則的值為A50 B58 C89 D111 （ ）2.若，則= ；3.已知的值域?yàn)?，7，則的取值范圍是 （）A.，B. C. D.4若則 5. 已知(a>0) ，則 .6.（1）；（2）.7. 若，求的值 8.解下列指數(shù)方程： (1) (2) (3) (4) 9.解下列對(duì)數(shù)方程 (1) (2) (3) (4)10.如果函數(shù)在區(qū)間-1，1

6、上的最大值是14，求的值。11.設(shè)若時(shí)有意義，求實(shí)數(shù)的范圍?！舅季S總結(jié)】1（其中）是同一數(shù)量關(guān)系的三種不同表示形式，因此在許多問(wèn)題中需要熟練進(jìn)行它們之間的相互轉(zhuǎn)化，選擇最好的形式進(jìn)行運(yùn)算.在運(yùn)算中，根式常?；癁橹笖?shù)式比較方便，而對(duì)數(shù)式一般應(yīng)化為同應(yīng)化為同底；2要熟練運(yùn)用初中學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式各種乘法公式；進(jìn)行數(shù)式運(yùn)算的難點(diǎn)是運(yùn)用各種變換技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆項(xiàng)、添項(xiàng)、換元等等，這些都是經(jīng)常使用的變換技巧，必須通過(guò)各種題型的訓(xùn)練逐漸積累經(jīng)驗(yàn)；3解決含指數(shù)式或?qū)?shù)式的各種問(wèn)題，要熟練運(yùn)用指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)，更關(guān)鍵是熟練運(yùn)用指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，其中單調(diào)性是使用率比較高

7、的知識(shí)；【課后作業(yè)】1.計(jì)算。1）； （2）2.化簡(jiǎn)下列各式（結(jié)果用有理數(shù)指數(shù)冪表示）：（1）； （2）；3.化簡(jiǎn)下列各式（結(jié)果用有理數(shù)指數(shù)冪表示）：（1）； （2）4.已知，求下列各式的值：（1）； （2）； （3）；5.計(jì)算：（1）；（2）；（3）6.（1）已知，用表示；（2）設(shè)，用表示；7. 設(shè)，且，求的最小值。8. （1）已知，求的值。答案詳解題型1：指數(shù)運(yùn)算例1 解：（1）原式=；（2）原式= = （注意復(fù)習(xí)，根式開(kāi)平方）（3）原式=。（4）原式點(diǎn)評(píng)：根式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題就是將根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解，對(duì)化簡(jiǎn)求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式保留；一般

8、的進(jìn)行指數(shù)冪運(yùn)算時(shí)，化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)運(yùn)算，同時(shí)兼顧運(yùn)算的順序。例2 解：，又，。點(diǎn)評(píng)：本題直接代入條件求解繁瑣，故應(yīng)先化簡(jiǎn)變形，創(chuàng)造條件簡(jiǎn)化運(yùn)算。題型2：對(duì)數(shù)運(yùn)算例3解：（1）原式 ；（2）原式 ；（3）分子=；分母=；原式=。點(diǎn)評(píng)：這是一組很基本的對(duì)數(shù)運(yùn)算的練習(xí)題，雖然在考試中這些運(yùn)算要求并不高，但是數(shù)式運(yùn)算是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本功，通過(guò)這樣的運(yùn)算練習(xí)熟練掌握運(yùn)算公式、法則，以及學(xué)習(xí)數(shù)式變換的各種技巧。例4 證明：（1）左邊；解：（2）由得，由得 由得由得，代入得， 由、解得，從而。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于含對(duì)數(shù)因式的證明和求值問(wèn)題，還是以對(duì)數(shù)運(yùn)算法則為主，將代數(shù)式化簡(jiǎn)到最見(jiàn)形

9、式再來(lái)處理即可。題型3：指對(duì)數(shù)式的簡(jiǎn)單應(yīng)用例5 （1） 解： log 18 9 = a log 18 2 = 1 - a 18 b = 5 log 18 5 = b （2） 證： 題型4：指數(shù)、對(duì)數(shù)方程例6： 解（1）但必須： 舍去 （2）, , 例7 解：（1）原方程為，時(shí)方程有實(shí)數(shù)解；（2）當(dāng)時(shí)，方程有唯一解；當(dāng)時(shí)，.的解為；令的解為；綜合、，得1）當(dāng)時(shí)原方程有兩解：；2）當(dāng)時(shí)，原方程有唯一解；3）當(dāng)時(shí)，原方程無(wú)解。點(diǎn)評(píng)：具有一些綜合性的指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題，問(wèn)題的解答涉及指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)、參數(shù)討論、方程討論等各種基本能力，這也是指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題的特點(diǎn)，題型非常廣泛，應(yīng)通過(guò)解題學(xué)習(xí)不斷積累經(jīng)驗(yàn)?！眷柟叹毩?xí)】1. 答案: C 易得；2、 -2 3、答案:D 先求出范圍