假設(shè)檢驗(yàn)考試知識

1、 八、假設(shè)檢驗(yàn)這一部分，“數(shù)學(xué)一”和“數(shù)學(xué)三”的考試大綱、考試容和要求完全一致“數(shù)學(xué)二”不考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，“數(shù)學(xué)四”不考數(shù)理統(tǒng)計(jì)、考試大綱要求 考試容考試大綱規(guī)定的考試容為：顯著性檢驗(yàn) 假設(shè)檢驗(yàn)兩類錯誤 單個與兩個正態(tài)總體的均值和方差的假設(shè)檢驗(yàn) 考試要求(1) 理解“假設(shè)”的概念與其類型，理解顯著性檢驗(yàn)的基本思想，掌握假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟，會構(gòu)造簡單假設(shè)的顯著性檢驗(yàn)；(2) 理解假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯誤，并且對于較簡單的情形，會計(jì)算兩類錯誤的概率；(3) 了解正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)、考試容提要統(tǒng)計(jì)估計(jì)和統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的兩類基本問題統(tǒng)計(jì)估計(jì)，是根據(jù)樣本估計(jì)總體參數(shù)或分布統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，首先提出關(guān)于總體

2、參數(shù)（或概率分布）某種“假設(shè)”，然后根據(jù)樣本來檢驗(yàn)所提“假設(shè)”是否成立 假設(shè)的概念和類型 “假設(shè)”指關(guān)于總體的論斷或命題、猜測或推測、設(shè)想或假說為便于敘述，常用字母“H”表示假設(shè)假設(shè)可以分為：基本假設(shè)（原假設(shè)）與備選假設(shè)，參數(shù)假設(shè)與非參數(shù)假設(shè)，簡單假設(shè)與復(fù)合假設(shè)1、基本假設(shè)與備選假設(shè)兩個二者必居其一的假設(shè)H0和H1，其中一個稱為基本假設(shè)，而另一個則稱為備選假設(shè)一般，用H0表示基本假設(shè)，而用H1表示備選假設(shè)基本假設(shè)亦稱為原假設(shè)或零假設(shè)，備選假設(shè)亦稱為對立假設(shè)對于兩個相互對立的假設(shè)，一般把欲重點(diǎn)考察而且統(tǒng)計(jì)分析便于操作和處理的的假設(shè)視為基本假設(shè)，并且在統(tǒng)計(jì)分析的過程中始終假定基本假設(shè)成立例如，以表

3、示不合格品率，以表示給定的值，則H0：基本假設(shè)，H1：備選假設(shè)；H0：兩個地區(qū)人口的性別比一樣基本假設(shè)，H1：兩個地區(qū)人口的性別比不同備選假設(shè)LL2、簡單假設(shè)與復(fù)合假設(shè) 完全決定總體分布的假設(shè)稱為簡單假設(shè)，否則稱為復(fù)合假設(shè)例如，關(guān)于某事件概率的假設(shè)，：簡單假設(shè)，而：復(fù)合假設(shè)；：總體服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布簡單假設(shè)，：總體服從正態(tài)分布復(fù)合假設(shè)3、參數(shù)假設(shè)與非參數(shù)假設(shè) 參數(shù)假設(shè)，是在總體分布的數(shù)學(xué)形式已知的情況下，關(guān)于其中未知參數(shù)的假設(shè)非參數(shù)假設(shè)，又稱做無分布假設(shè)，是在總體分布的數(shù)學(xué)形式未知（或不確知）的情況下，關(guān)于總體的一般性假設(shè)例如，已知總體服從正態(tài)分布時，關(guān)于其均值或方差的假設(shè)是參數(shù)假設(shè)；“H：總體

4、X服從正態(tài)分布”、“H：兩個總體同分布”是非參數(shù)假設(shè)有些假設(shè)雖然用一個或若干個參數(shù)表述（例如，H：），但是當(dāng)總體分布的數(shù)學(xué)形式未知時，也屬于非參數(shù)假設(shè)的疇不過習(xí)慣上類似的假設(shè)仍按參數(shù)假設(shè)對待有時把不能用有限個參數(shù)表示的假設(shè)稱做非參數(shù)假設(shè)注意，假設(shè)類型的區(qū)分并不是絕對的，而在一定意義上是描述性的然而，需要了解假設(shè)類型的區(qū)分，因?yàn)閷τ诓煌愋偷募僭O(shè)，處理的方式有所不同顯著性檢驗(yàn) 統(tǒng)計(jì)假設(shè)的檢驗(yàn)，指按照一定規(guī)則根據(jù)樣本判斷所作假設(shè)的真?zhèn)?，并作出接受還是否定假設(shè)的決定決定假設(shè)取舍的規(guī)則，稱做檢驗(yàn)準(zhǔn)則，簡稱為檢驗(yàn)顯著性檢驗(yàn)是基于“小概率原則”的一種檢驗(yàn)1、顯著性水平按照“小概率原則”：對于根據(jù)檢驗(yàn)問題的

5、要求，選擇的一個 “充分小”的數(shù)（01）, 當(dāng)事件的概率時，就認(rèn)為是“實(shí)際不可能事件”，而稱做顯著性水平顯著性水平的選取要根據(jù)實(shí)際問題要求而定，常選=0.001, 0.01, 0.05, 0.10等2、顯著性檢驗(yàn)的基本步驟(1)明確基本假設(shè) 把欲考察的問題以基本假設(shè)的形式提出，并且在作出最后的判斷之前，始終在“假設(shè)成立”的前提下進(jìn)行分析(2) 規(guī)定顯著性水平（01或：2 (至少兩部有質(zhì)量問題，包括=2,3,4,5)例8.3(兩類錯誤概率)關(guān)于泊松隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)流的強(qiáng)度 (每分鐘出現(xiàn)的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)的期望數(shù)) 有兩個二者必居其一的假設(shè)，：=0.5和：=1以表示十分鐘出現(xiàn)的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)數(shù)設(shè)檢驗(yàn)規(guī)則為：當(dāng)7時否定接

6、受，則檢驗(yàn)的第一類錯誤概率= ；檢驗(yàn)的第二類錯誤概率= (只要求寫出表達(dá)式) 分析 由于服從參數(shù)為10的泊松分布，則例8.6（否定域） 假定總體X，關(guān)于總體X的數(shù)學(xué)期望的假設(shè)；基于來自總體X的容量為9的簡單隨機(jī)樣本，得樣本均值則假設(shè)H0的水平0.05的否定域?yàn)椋?分析 在已知=1的情況下，假設(shè)的檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量因此假設(shè)H0的水平=0.05的否定域?yàn)槔?.10 假設(shè)總體X服從正態(tài)分布；是來自總體X簡單隨機(jī)樣本，是已知常數(shù)，是樣本均值考慮的形如的水平為0.05的否定域，則其中的未知常數(shù)分析 檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量因此，有；由此可見選擇題例8.11(兩類錯誤概率) 假定總體X，關(guān)于總體X的數(shù)學(xué)期望有兩個假設(shè)：設(shè)是

7、來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，是樣本均值；以表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布水平雙側(cè)分位數(shù)；則在4個選項(xiàng)所列舉的H0的水平=0.05的否定域中，第二類錯誤概率最小的否定域是(A) (B) (C) (D) C 分析 應(yīng)選(C)由于總體的方差等于1已知，可見假設(shè)檢驗(yàn)應(yīng)使用統(tǒng)計(jì)量顯然，由于都是簡單假設(shè)，可見檢驗(yàn)的第一類錯誤概率；第二類錯誤概率為經(jīng)計(jì)算，得注意，該題的計(jì)算量是很大的不過，解選擇題時應(yīng)盡量避免計(jì)算，要發(fā)揮“直觀判斷力”統(tǒng)計(jì)量的值實(shí)質(zhì)上反映與0的差異，因此當(dāng)其值大于某個臨界值時否定最合理例8.13（檢驗(yàn)）考慮正態(tài)總體和相互獨(dú)立，其中4個分布參數(shù)都未知設(shè)和是分別來自和的簡單隨機(jī)樣本，樣本均值分別為和，樣本方差相

8、應(yīng)為和，則檢驗(yàn)假設(shè)H0：使用檢驗(yàn)的前提條件是(A) (B) (C) = (D) C 分析 因?yàn)闄z驗(yàn)使用統(tǒng)計(jì)量，只有當(dāng)選項(xiàng)（C）即=成立時才能導(dǎo)出統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布分布，并且根據(jù)分布來構(gòu)造檢驗(yàn)解答題 例8.15(兩類錯誤概率)設(shè)新購進(jìn)五部移動機(jī)，關(guān)于其質(zhì)量有如下假設(shè)：最多一部有質(zhì)量問題采用如下檢驗(yàn)規(guī)則：若在隨意取出的兩部中發(fā)現(xiàn)其中有存在質(zhì)量問題者，則否定試就假設(shè)和備選假設(shè)的各種可能情形，求此檢驗(yàn)的兩類錯誤概率解 以表示隨意取出的兩部中有質(zhì)量問題的件數(shù)，則是假設(shè)的否定域以表示有質(zhì)量問題的機(jī)部數(shù)；記當(dāng)有質(zhì)量問題機(jī)為部時否定的概率，其中易見，對于=0和=1，是第一類錯誤概率；對于=2,3,4,5，是第二

9、類錯誤概率，其中因此，有將計(jì)算結(jié)果列在下面的表中例8.13的計(jì)算表假 設(shè)有質(zhì)量問題部數(shù) 0 1 2 3 4 5第一類錯誤概率 0 0.4第二類錯誤概率 0.3 0.1 0 0例8.16(構(gòu)造t檢驗(yàn))假設(shè)總體服從正態(tài)分布，其中參數(shù)和未知；關(guān)于數(shù)學(xué)期望有如下假設(shè)：=，其中是已知常數(shù)試根據(jù)來自總體簡單隨機(jī)樣本，建立假設(shè)的顯著性檢驗(yàn)的水平否定域解 分別以和S表示樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差由(6.15)式知統(tǒng)計(jì)量服從自由度為=n1的t分布因此，有，其中是自由度為=n1的t分布水平0.05雙側(cè)分位數(shù)于是，是假設(shè)的顯著性水平為的否定域例8.17（檢驗(yàn)） 假設(shè)某種鋼筋的抗拉強(qiáng)度X服從正態(tài)分布現(xiàn)在從一批新產(chǎn)品鋼筋中隨

10、意抽出了10條，測得樣本標(biāo)準(zhǔn)差kg，抗拉強(qiáng)度平均比老產(chǎn)品的平均抗拉強(qiáng)度多20 kg問抽樣結(jié)果是否說明新產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度比老產(chǎn)品有明顯提高？解 需要檢驗(yàn)假設(shè)，其中表示老產(chǎn)品的平均抗拉強(qiáng)度由題的條件知，樣本容量n=10，樣本標(biāo)準(zhǔn)差=30；=20，其中表示10條鋼筋的抗拉強(qiáng)度算術(shù)平均值樣本均值檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量服從自由度為9的t分布對于=20，=30和n=10，得統(tǒng)計(jì)量t的值為2.1082；由附表2可見=2.262，在顯著性水平0.05下應(yīng)否定，即說明新產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度比老產(chǎn)品有明顯提高例8.18(t檢驗(yàn))環(huán)境保護(hù)條例的標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，在排放的工業(yè)廢水中有害物質(zhì)A的含量不得超過1按制度每周隨機(jī)抽樣化驗(yàn)4份水樣，以表

11、示4份水樣中有害物質(zhì)A的含量的算術(shù)平均值()假設(shè)化驗(yàn)結(jié)果，試求在水平0.05下可以認(rèn)為“有害物質(zhì)A的含量超標(biāo)”的的臨界值C解 問題可以化為假設(shè)：=1對假設(shè)：=1的檢驗(yàn)問題，屬于表8.1的情形2，假設(shè)的水平0.05否定域?yàn)樵撌街屑此笈R界值，其中=1，20.10，是4次化驗(yàn)結(jié)果的樣本標(biāo)準(zhǔn)差，=2.353是自由度為3的分布水平0.10雙側(cè)分位數(shù)將有關(guān)數(shù)據(jù)代入后得=1+1.177S，即當(dāng)時，否定假設(shè)：=1，認(rèn)為“有害物質(zhì)A的含量超標(biāo)”如4份水樣中有害物質(zhì)A的含量的算術(shù)平均值=0.12，標(biāo)準(zhǔn)差S=0.05，則= 1.06例8.19(檢驗(yàn)和檢驗(yàn))對某種袋裝食品的質(zhì)量管理標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：每袋平均凈重500g，

12、標(biāo)準(zhǔn)差不大于10g現(xiàn)在從要出廠的一批這種袋裝食品中隨意抽取了14袋，測量每袋的凈重，得如下數(shù)據(jù)：500.90，490.01，501.63，500.73，515.87，511.85，498.39，514.23，487.96，525.01，509.37，509.43，488.46，497.15假設(shè)這種袋裝食品每袋的重量服從正態(tài)分布試在顯著性水平=0.05下，檢驗(yàn)這一批袋裝食品每袋平均凈重和標(biāo)準(zhǔn)差是否符合標(biāo)準(zhǔn)（取顯著性水平0.10）解 問題的要求檢驗(yàn)假設(shè)：=500和假設(shè)：10樣本容量為；經(jīng)計(jì)算可得=503.64，=123.43(1) 檢驗(yàn)假設(shè)：=500，屬于表8.2中的情形1，用t檢驗(yàn)，有由表8.2知的否定域?yàn)閂=由(6.20)式知統(tǒng)計(jì)量服從自由度為=n1=13的分布將=14，=503.64，代如上式，得=1.23由附表4查出自由度為13的t分布水平0.20和0.30的雙側(cè)分位數(shù)：=1.771由于=1.230.77時認(rèn)為機(jī)床的精度降低了（顯著性水