投資模型的數學理論與經濟學分析

1、投資模型的數學理論與經濟學分析1 經濟增長模型中的道格拉斯函數 公司或企業(yè)部門的經濟發(fā)展是主要是提高生產力水平，擴大生產規(guī)模，合理利用生產資源，盡可能實現生產效益的最大化。提高生產力水平主要靠三個技術指標：投資額的不斷提高，勞動力的數量與能力的提高以及技術水平的改進與提高。美國經濟學家道格拉斯（Douglas）用這三個指標構造了反映經濟增長水平的道格拉斯生產函數。現討論生產函數的推導問題。 用分別表示所研究地區(qū)或企業(yè)部門的經濟生產總值、投資資金總額和勞動力規(guī)模。生產總值依賴于投資額，勞動力規(guī)模與技術水平，因此可以假設具有函數關系。其中是這個時期的技術水平，通?？烧J為內的某確定常數。設關于具有足

2、夠階可微，則有展開式： 于是有線性近似：因此得到生產投資的Cobb-Douglas數學模型 （1）這是一個一階擬線性偏微分方程，特征方程為 （2）兩個首次積分為 （3）于是（1）的通解為，為二元連續(xù)可微函數。 這里，表示單位勞動力的產值，表示單位勞動力的投資資金。顯然，生產函數關于都應該是增函數（人多力量大，錢多好辦事！），但增加的速度不能太快也不可能無限增大（否則，人太多會浪費，也會有不必要的負擔，資金太多也是一種閑置！），因此，應該有 ， （4） 根據上面討論和（4）的要求，選取，為待定常數，將代入通解表示式得 （5）當時它剛好滿足（4），這就是經濟增長模型的著名Douglas生產函數。

3、另一方面，令代入（1），得到 （6）顯然，當，時，（6）式恒成立。于是，可取， （7）從而有 ， （8）這個結果與（5）一致。而如果令代入（1），得到 （9）顯然，當，時，（6）式恒成立。于是，可取， （10）從而有 ， （11）這個結果與（8）在本質上也是一致的。投資模型所描述的偏微分方程（1）的形如（8）的解是滿足Douglas生產函數假設條件下的具有任意階精度的解。事實上，有定理1 形如的二元函數具有性質 （12）其中為形式組合數。證明 對用數學歸納法證明 首先，當時，有 ，這樣，（12）式對成立。其次，假設對任意形如的二元函數，都有（12）式對成立，即?，F在，考慮當時的情形： 。 （1

4、3）注意到，都是與具有相同的形式，于是對它們應用前面的歸納假設，（13）式變?yōu)椋?（14）再注意到，所以 （15）即（12）式對亦成立。于是，利用數學歸納法原理，（12）式對都成立。推論1 形如的二元函數當，時，具有性質 （16）證明 根據定理結論和形式組合數以下特征可知當，和時，總有，。因而（16）式成立。推論2 形如的二元函數當，時，在處的泰勒級數展式為 （17）證明 由二元函數泰勒級數展開公式和推論1得到。結合推論2和投資模型所描述的偏微分方程（1），可知形如（8）的二元函數是滿足Douglas生產函數假設條件下的具有任意階精度的解。這個結果充分揭示了Douglas生產函數的無比正確性和

5、合理性。對于研究多種生產模式的產值模型。有假設某集團公司由個子公司組成，第個子公司的設備和資產權重、資金總額、職工總數、生產總值分別為。而資產在產值中所占份額為，職工在產值中所占份額為，?？紤]該集團公司在Douglas生產函數假設下總產值的計算問題。定理2 集團公司在Douglas生產函數假設下總產值， （18）2 參數的經濟學意義與確定方法 對的道格拉斯生產函數，仍然滿足（1），即，于是， （19）容易驗證，因此，參數的經濟學意義是資金投資在產值中占有的比重，而是勞動力在產值中占有的比重，的大小直接反映了資金與勞動力對創(chuàng)造產值的權重大小。而分別表示資金投資改變對產值的變化率（影響程度），勞動

6、力的改變對產值的變化率（影響程度）。通常，現實問題的道格拉斯生產函數中的參數是未知的，它需要用的實際數據來推測出來的。建議用以下兩種方法來實現參數的確定問題：（1） 投資產值比重均值法 根據的經濟學意義和，對實際數據，用代替，即。如果有數據 ，可以計算 ， （20）對由（20）確定的中滿足的數組取平均值作為值，或者對中滿足且比較接近的那些數的數組取平均值作為值。（2） 對數數據擬合系數法 對道格拉斯生產函數作對數處理，得到, （21）由此可知，是和的凸線性組合（即線性組合系數為正且和為1）。于是，如果有數據 ，可以構造三維點列，用此三維數組進行數據擬合找出函數關系，如果并且，則把作為該實際問題

7、的道格拉斯生產函數中的參數值。當然，也可以把作為該實際問題的一般形式的道格拉斯生產函數中的參數值?，F以我國某城市1993-2011年三個經濟指數的模擬統計數據為例（見下表），說明形如的Douglas生產函數中參數的確定與數據模擬問題。我國某城市經濟統計模擬數據表（注單位為千億元，單位為百萬人）年份t產值 Q投資 K勞動力L年份t產值 Q投資 K勞動力L19930.2680.0914.81820032.4531.7046.74619940.5490.2544.98720042.7682.0026.80719950.6530.3125.12820053.0682.2916.89519960.761

8、0.3795.27820063.2762.4946.98219970.9060.4755.43620073.6162.8417.06419980.8620.4415.53320083.7612.9857.13919990.9140.4526.47520094.0513.2927.20920001.0730.5596.54920104.4583.7317.30320011.4180.8086.61520115.1334.3507.37420022.0141.3076.68120124.6527.653問題求解 （1）首先用投資產值比重均值方法來確定參數值。這里，按照所給數據和（20）式，可以計算

9、出：0.585363, 0.678483, 0.680583, 0.717613, 0.721825, 0.734288, 0.734862, 0.745937, 0.749723, 0.750795, 0.752231, 0.753403, 0.765133, 0.770177, 0.791131, 0.829596, 0.912637, 2.41848這組數據除最后的2.41848外均為01之間的數，取它們的平均值得到0.745516，所以可以選擇作為該城市Douglas生產函數的參數值。同時，注意到上面的計算數據很多都在0.710.792之間，所以取其中的數組0.717613, 0.72

10、1825, 0.734288, 0.734862, 0.745937, 0.749723, 0.750795, 0.752231, 0.753403, 0.765133, 0.770177, 0.791131的平均值得到0.748927，所以可以選擇作為該城市Douglas生產函數的參數值。（2）再用對數數據擬合系數方法來確定參數值。這里，按照所給數據，編寫符號運算程序：q = 0.268, 0.549, 0.653, 0.761, 0.906, 0.862, 0.914, 1.073, 1.418, 2.014, 2.453, 2.768, 3.068, 3.276, 3.616, 3.76

11、1, 4.051, 4.458, 5.133;k = 0.091, 0.254, 0.312, 0.379, 0.475, 0.441, 0.452, 0.559, 0.808, 1.307, 1.704, 2.002, 2.291, 2.494, 2.841, 2.985, 3.292, 3.731, 4.350;l = 4.818, 4.987, 5.128, 5.278, 5.436, 5.533, 6.475, 6.549, 6.615, 6.681, 6.746, 6.807, 6.895, 6.982, 7.064, 7.139, 7.209, 7.303, 7.374;f = L

12、ogq;g = Logk;h = Logl;y = Tablegi, hi, fi, i, 19;Fity, s, t, s, t運行后得到結果：0.734806 s + 0.266007 t，于是有，并且。所以把作為該實際問題的道格拉斯生產函數中的參數值。最后，根據上面求得參數的三個近似值，我們按照投資與勞動力來模擬產值數據及誤差分析比較（見下表）。參數值對該城市經濟統計模擬數據的計算數據比較分析表年份t產值 Q投資 K勞力L產值 產值 產值 誤差率%19930.2680.0914.8180.2498930.2465440.2607352.710719940.5490.2544.9870.5

13、418810.5364230.5594211.8981919950.6530.3125.1280.6361710.6301450.6555160.38523219960.7610.3795.2780.7408730.7342690.76204909060.4755.4360.8832910.8760010.9066310.06964919980.8620.4415.5330.8394840.8322950.8625150.059742219990.9140.4526.4750.8899510.8819330.91566500730.5596.

14、5491.045711.0371.073610.057139320011.4180.8086.6151.379751.369921.411140.48371620022.0141.3076.6811.979731.968782.014590.0294320032.4531.7046.7462.418542.407252.454410.057441920042.7682.0026.8072.733562.722212.769590.057484520053.0682.2916.8953.032533.021193.06850.016204320063.2762.4946.9823.2413.22

15、9683.27690.027421220073.6162.8417.0643.582173.571093.617250.034656220083.7612.9857.1393.726683.715643.761610.01621120094.0513.2927.2094.018794.00814.052640.040463320104.4583.7317.3034.426464.416374.458390.0086750820115.1334.3507.3744.975364.966445.003532.5222520124.6527.653其中單位為千億元，單位為百萬人，誤差率是對應計算產值

16、與模擬數據產值的誤差率（按公式計算）。可以看出大部分的計算是很接近的。如果計算相應誤差率可以發(fā)現誤差率多在1.06%8.02%之間，因此，對數數據擬合系數方法的計算結果遠比投資產值比重均值方法精確得多。但是，如果運行符號運算程序：h = ListPlotq, PlotJoined -> True, DisplayFunction -> Identity, PlotStyle -> Hue0.95h1 = ListPlotq1, PlotJoined -> True, DisplayFunction -> Identity,PlotStyle -> Hue0.

17、4h2 = ListPlotq2, PlotJoined -> True, DisplayFunction -> Identity, lotStyle -> Hue0.6h3 = ListPlotq3, PlotJoined -> True, DisplayFunction -> Identity, PlotStyle -> Hue0.8ShowGraphicsArrayh, h1, h2, h3, DisplayFunction -> $DisplayFunctionShowh, h1, h2, h3, DisplayFunction -> $

18、DisplayFunction即把數據表中的的四組數據同時擬合圖形的話，它們是十分相近的（見下圖所示）。把它們在同一坐標系繪制，可以發(fā)現四條曲線幾乎重合（見下圖所示）。這樣，一旦擁有了某個企業(yè)、城市、省份、甚至國家的產值、資金和勞動力這三個經濟指標數據，就可以適當選取上述方法來確定出道格拉斯生產函數中的參數（近似）值，從而可以模擬計算某個節(jié)點的產值。例如對模擬數據表中的2012年投資與勞力數據和，就可以預測出該城市2012年的產值約為5.28032千億元。順便指出，對的道格拉斯生產函數，上面的討論和例子仍然可以實現。3 資金與勞動力的優(yōu)化問題 道格拉斯生產函數中的投資與勞動力對的貢獻通常不是等

19、效的，并不是越多越大。因此有一個如何取適當值時最大的問題，即生產效益最大化問題。這個問題與投資資金的回報以及勞動報酬密切相關，現假設投資資金是貸款，每年需要支付其貸款的利息，利率為，而個體勞動力平均工資水平為，于是生產效益函數為 （22）要使這個生產函數在取得最大，則有，即 ，也就是， 所以有，因此有 （23）根據（23）式結果，可以知道，當投資資金與勞動的比重依照分配時，可以使得生產效益最大化。作為人力資源部門，應該根據這個準則來制訂投資計劃、勞動編制、平均工資標準等。4 勞動生產率增長問題 用分別表示所研究地區(qū)或企業(yè)部門的時間時的經濟生產總值、投資資金總額和勞動力規(guī)模。按照上面討論，為內的

20、某個常數，為投資資金與勞動的比重的關系參數。注意到 ，這里，分別表示時刻的單位勞動力的生產產值，時刻的單位勞動力的投資資金。于是， （24）反映了單位勞動力的投資資金與單位勞動產值的關系。通常，稱為勞動生產率，稱為勞動投資率。相應地，稱為產值增長率，稱為投資增長率，稱為勞動增長率。為研究勞動生產率與產值增長率等之間的關系，進一步假設：（1） 投資增長率與經濟總產值成正比，為比例系數，即 （2） 勞動增長率以比例系數來刻畫，表示勞動力數量增加，表示勞動力數量減少或不變。即 根據（24）及含義，和上面假設，可以得到投資增長與勞動力變化的數學模型： （25）由此求出 （26）于是， （27） ， （

21、28）。 （29）由（27）（29）可以分別討論產值增長率、勞動生產率、勞動投資率的增長問題。為此，將（27）（29）改寫為，（30）， （31）。 （32）容易知道，增長分別等價于增長，分別等價于關于的導數大于0，而。所以有下面進一步討論結果。（1）產值增長的條件 此時根據（30）式可以知道，需要，而，所以應有， （33）這里，為最初的單位勞動力投資，顯然遠遠大于1。而，。當時，通常，因此總成立，即（33）式在任何時刻總能實現，也就是說，在勞動力數量增加時，勞動總產值總是增長的；當時，即（33）式也成立，也就是說，在勞動力數量不變時，勞動總產值也可以保持繼續(xù)增長；當時，是時間的單調減函數，由

22、解得，于是，當時，（33）式總不成立，勞動總產值在任意時刻總是衰減的，這就是說要提高產值，必須增加勞動力數量；當時，在有限時間內，（33）式可以成立，也就是說，在勞動力數量減小時，勞動總產值在有限時間區(qū)間內可以保持增長的。當時間時，（33）式不成立，也就是說，在勞動力數量減小時，勞動總產值在有限時間區(qū)間后必然出現衰減，這就是說，在后必須增加勞動力數量，才可以避免生產總產值的下滑趨勢。（2）單位勞動產值增長的條件 此時根據（31），（32）式知道，需要，而 。這里，為最初的單位勞動力投資，顯然遠遠大于1。而，。所以應有，即，注意到，所以。這表明，單位勞動產值增長的條件是勞動力增長率要小于投資增長

23、率。如果投資增長速度放慢，勞動力增長也要放慢。投資放慢說明經濟狀態(tài)不好（經濟危機的信號?。?，此時的就業(yè)壓力大，失業(yè)率上升，這與現實經濟生活中真實情況是完全吻合的。5 道格拉斯函數的注記 道格拉斯生產函數是計量經濟學中最主要的數學模型。應當指出，道格拉斯生產函數，并不是滿足（1），（4）的唯一表示形式。事實上，選取，為待定常數，將代入（1）的通解表示式得 ，當，時，不僅也剛好滿足（4），而且， （34）當時是（18）式的特殊情形，因此是更廣泛意義的經濟增長模型，不妨稱為廣義Douglas生產函數。例如，對前面討論的某城市經濟統計模擬數據的例子。用，來擬合形如的生產產值的預測函數。運行符號運算：q

24、 = 0.268, 0.549, 0.653, 0.761, 0.906, 0.862, 0.914, 1.073, 1.418, 2.014, 2.453, 2.768, 3.068, 3.276, 3.616, 3.761, 4.051, 4.458, 5.133;k = 0.091, 0.254, 0.312, 0.379, 0.475, 0.441, 0.452, 0.559, 0.808, 1.307, 1.704, 2.002, 2.291, 2.494, 2.841, 2.985, 3.292, 3.731, 4.350;l = 4.818, 4.987, 5.128, 5.27

25、8, 5.436, 5.533, 6.475, 6.549, 6.615, 6.681, 6.746, 6.807, 6.895, 6.982, 7.064, 7.139, 7.209, 7.303, 7.374;y = Tableki, li, qi, i, 19;Fity, s0.7455*t(1 - 0.7455), s0.7348*t(1 - 0.7348), s, t得到結果：0.9911647770827514s0.7455t0.2545+ 0.0234690764651333s0.7348 t0.2652于是得到廣義Douglas生產函數 （35）按照此產值預測函數可以得到新的由投資與勞動力數據模擬產值數據及誤差分析比較（見下表）。按（35）式對該城市經濟統計模擬數據的計算數據比較分析表年份t產值 Q投資 K勞力L按（35）式模擬產值 誤差率%19930.2680.0914.8180.2538225.290419940.5490.2544.9870.5502590.22923719950.6530.3125.1280.6459781.0754219960.7610.3795.2780.7522621.1482519970.9060.4755.4360.8968241.0