投資模型的數(shù)學理論與經(jīng)濟學分析

1、投資模型的數(shù)學理論與經(jīng)濟學分析1 經(jīng)濟增長模型中的道格拉斯函數(shù) 公司或企業(yè)部門的經(jīng)濟發(fā)展是主要是提高生產(chǎn)力水平，擴大生產(chǎn)規(guī)模，合理利用生產(chǎn)資源，盡可能實現(xiàn)生產(chǎn)效益的最大化。提高生產(chǎn)力水平主要靠三個技術(shù)指標：投資額的不斷提高，勞動力的數(shù)量與能力的提高以及技術(shù)水平的改進與提高。美國經(jīng)濟學家道格拉斯（Douglas）用這三個指標構(gòu)造了反映經(jīng)濟增長水平的道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)。現(xiàn)討論生產(chǎn)函數(shù)的推導問題。 用分別表示所研究地區(qū)或企業(yè)部門的經(jīng)濟生產(chǎn)總值、投資資金總額和勞動力規(guī)模。生產(chǎn)總值依賴于投資額，勞動力規(guī)模與技術(shù)水平，因此可以假設(shè)具有函數(shù)關(guān)系。其中是這個時期的技術(shù)水平，通?？烧J為內(nèi)的某確定常數(shù)。設(shè)關(guān)于具有足

2、夠階可微，則有展開式： 于是有線性近似：因此得到生產(chǎn)投資的Cobb-Douglas數(shù)學模型 （1）這是一個一階擬線性偏微分方程，特征方程為 （2）兩個首次積分為 （3）于是（1）的通解為，為二元連續(xù)可微函數(shù)。 這里，表示單位勞動力的產(chǎn)值，表示單位勞動力的投資資金。顯然，生產(chǎn)函數(shù)關(guān)于都應(yīng)該是增函數(shù)（人多力量大，錢多好辦事?。黾拥乃俣炔荒芴煲膊豢赡軣o限增大（否則，人太多會浪費，也會有不必要的負擔，資金太多也是一種閑置?。虼?，應(yīng)該有 ， （4） 根據(jù)上面討論和（4）的要求，選取，為待定常數(shù)，將代入通解表示式得 （5）當時它剛好滿足（4），這就是經(jīng)濟增長模型的著名Douglas生產(chǎn)函數(shù)。

3、另一方面，令代入（1），得到 （6）顯然，當，時，（6）式恒成立。于是，可取， （7）從而有 ， （8）這個結(jié)果與（5）一致。而如果令代入（1），得到 （9）顯然，當，時，（6）式恒成立。于是，可取， （10）從而有 ， （11）這個結(jié)果與（8）在本質(zhì)上也是一致的。投資模型所描述的偏微分方程（1）的形如（8）的解是滿足Douglas生產(chǎn)函數(shù)假設(shè)條件下的具有任意階精度的解。事實上，有定理1 形如的二元函數(shù)具有性質(zhì) （12）其中為形式組合數(shù)。證明 對用數(shù)學歸納法證明 首先，當時，有 ，這樣，（12）式對成立。其次，假設(shè)對任意形如的二元函數(shù)，都有（12）式對成立，即。現(xiàn)在，考慮當時的情形： 。 （1

4、3）注意到，都是與具有相同的形式，于是對它們應(yīng)用前面的歸納假設(shè)，（13）式變?yōu)椋?（14）再注意到，所以 （15）即（12）式對亦成立。于是，利用數(shù)學歸納法原理，（12）式對都成立。推論1 形如的二元函數(shù)當，時，具有性質(zhì) （16）證明 根據(jù)定理結(jié)論和形式組合數(shù)以下特征可知當，和時，總有，。因而（16）式成立。推論2 形如的二元函數(shù)當，時，在處的泰勒級數(shù)展式為 （17）證明 由二元函數(shù)泰勒級數(shù)展開公式和推論1得到。結(jié)合推論2和投資模型所描述的偏微分方程（1），可知形如（8）的二元函數(shù)是滿足Douglas生產(chǎn)函數(shù)假設(shè)條件下的具有任意階精度的解。這個結(jié)果充分揭示了Douglas生產(chǎn)函數(shù)的無比正確性和

5、合理性。對于研究多種生產(chǎn)模式的產(chǎn)值模型。有假設(shè)某集團公司由個子公司組成，第個子公司的設(shè)備和資產(chǎn)權(quán)重、資金總額、職工總數(shù)、生產(chǎn)總值分別為。而資產(chǎn)在產(chǎn)值中所占份額為，職工在產(chǎn)值中所占份額為，?？紤]該集團公司在Douglas生產(chǎn)函數(shù)假設(shè)下總產(chǎn)值的計算問題。定理2 集團公司在Douglas生產(chǎn)函數(shù)假設(shè)下總產(chǎn)值， （18）2 參數(shù)的經(jīng)濟學意義與確定方法 對的道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)，仍然滿足（1），即，于是， （19）容易驗證，因此，參數(shù)的經(jīng)濟學意義是資金投資在產(chǎn)值中占有的比重，而是勞動力在產(chǎn)值中占有的比重，的大小直接反映了資金與勞動力對創(chuàng)造產(chǎn)值的權(quán)重大小。而分別表示資金投資改變對產(chǎn)值的變化率（影響程度），勞動

6、力的改變對產(chǎn)值的變化率（影響程度）。通常，現(xiàn)實問題的道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)中的參數(shù)是未知的，它需要用的實際數(shù)據(jù)來推測出來的。建議用以下兩種方法來實現(xiàn)參數(shù)的確定問題：（1） 投資產(chǎn)值比重均值法 根據(jù)的經(jīng)濟學意義和，對實際數(shù)據(jù)，用代替，即。如果有數(shù)據(jù) ，可以計算 ， （20）對由（20）確定的中滿足的數(shù)組取平均值作為值，或者對中滿足且比較接近的那些數(shù)的數(shù)組取平均值作為值。（2） 對數(shù)數(shù)據(jù)擬合系數(shù)法 對道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)作對數(shù)處理，得到, （21）由此可知，是和的凸線性組合（即線性組合系數(shù)為正且和為1）。于是，如果有數(shù)據(jù) ，可以構(gòu)造三維點列，用此三維數(shù)組進行數(shù)據(jù)擬合找出函數(shù)關(guān)系，如果并且，則把作為該實際問題

7、的道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)中的參數(shù)值。當然，也可以把作為該實際問題的一般形式的道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)中的參數(shù)值。現(xiàn)以我國某城市1993-2011年三個經(jīng)濟指數(shù)的模擬統(tǒng)計數(shù)據(jù)為例（見下表），說明形如的Douglas生產(chǎn)函數(shù)中參數(shù)的確定與數(shù)據(jù)模擬問題。我國某城市經(jīng)濟統(tǒng)計模擬數(shù)據(jù)表（注單位為千億元，單位為百萬人）年份t產(chǎn)值 Q投資 K勞動力L年份t產(chǎn)值 Q投資 K勞動力L19930.2680.0914.81820032.4531.7046.74619940.5490.2544.98720042.7682.0026.80719950.6530.3125.12820053.0682.2916.89519960.761

8、0.3795.27820063.2762.4946.98219970.9060.4755.43620073.6162.8417.06419980.8620.4415.53320083.7612.9857.13919990.9140.4526.47520094.0513.2927.20920001.0730.5596.54920104.4583.7317.30320011.4180.8086.61520115.1334.3507.37420022.0141.3076.68120124.6527.653問題求解 （1）首先用投資產(chǎn)值比重均值方法來確定參數(shù)值。這里，按照所給數(shù)據(jù)和（20）式，可以計算

9、出：0.585363, 0.678483, 0.680583, 0.717613, 0.721825, 0.734288, 0.734862, 0.745937, 0.749723, 0.750795, 0.752231, 0.753403, 0.765133, 0.770177, 0.791131, 0.829596, 0.912637, 2.41848這組數(shù)據(jù)除最后的2.41848外均為01之間的數(shù)，取它們的平均值得到0.745516，所以可以選擇作為該城市Douglas生產(chǎn)函數(shù)的參數(shù)值。同時，注意到上面的計算數(shù)據(jù)很多都在0.710.792之間，所以取其中的數(shù)組0.717613, 0.72

10、1825, 0.734288, 0.734862, 0.745937, 0.749723, 0.750795, 0.752231, 0.753403, 0.765133, 0.770177, 0.791131的平均值得到0.748927，所以可以選擇作為該城市Douglas生產(chǎn)函數(shù)的參數(shù)值。（2）再用對數(shù)數(shù)據(jù)擬合系數(shù)方法來確定參數(shù)值。這里，按照所給數(shù)據(jù)，編寫符號運算程序：q = 0.268, 0.549, 0.653, 0.761, 0.906, 0.862, 0.914, 1.073, 1.418, 2.014, 2.453, 2.768, 3.068, 3.276, 3.616, 3.76

11、1, 4.051, 4.458, 5.133;k = 0.091, 0.254, 0.312, 0.379, 0.475, 0.441, 0.452, 0.559, 0.808, 1.307, 1.704, 2.002, 2.291, 2.494, 2.841, 2.985, 3.292, 3.731, 4.350;l = 4.818, 4.987, 5.128, 5.278, 5.436, 5.533, 6.475, 6.549, 6.615, 6.681, 6.746, 6.807, 6.895, 6.982, 7.064, 7.139, 7.209, 7.303, 7.374;f = L

12、ogq;g = Logk;h = Logl;y = Tablegi, hi, fi, i, 19;Fity, s, t, s, t運行后得到結(jié)果：0.734806 s + 0.266007 t，于是有，并且。所以把作為該實際問題的道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)中的參數(shù)值。最后，根據(jù)上面求得參數(shù)的三個近似值，我們按照投資與勞動力來模擬產(chǎn)值數(shù)據(jù)及誤差分析比較（見下表）。參數(shù)值對該城市經(jīng)濟統(tǒng)計模擬數(shù)據(jù)的計算數(shù)據(jù)比較分析表年份t產(chǎn)值 Q投資 K勞力L產(chǎn)值 產(chǎn)值 產(chǎn)值 誤差率%19930.2680.0914.8180.2498930.2465440.2607352.710719940.5490.2544.9870.5

13、418810.5364230.5594211.8981919950.6530.3125.1280.6361710.6301450.6555160.38523219960.7610.3795.2780.7408730.7342690.76204909060.4755.4360.8832910.8760010.9066310.06964919980.8620.4415.5330.8394840.8322950.8625150.059742219990.9140.4526.4750.8899510.8819330.91566500730.5596.

14、5491.045711.0371.073610.057139320011.4180.8086.6151.379751.369921.411140.48371620022.0141.3076.6811.979731.968782.014590.0294320032.4531.7046.7462.418542.407252.454410.057441920042.7682.0026.8072.733562.722212.769590.057484520053.0682.2916.8953.032533.021193.06850.016204320063.2762.4946.9823.2413.22

15、9683.27690.027421220073.6162.8417.0643.582173.571093.617250.034656220083.7612.9857.1393.726683.715643.761610.01621120094.0513.2927.2094.018794.00814.052640.040463320104.4583.7317.3034.426464.416374.458390.0086750820115.1334.3507.3744.975364.966445.003532.5222520124.6527.653其中單位為千億元，單位為百萬人，誤差率是對應(yīng)計算產(chǎn)值

16、與模擬數(shù)據(jù)產(chǎn)值的誤差率（按公式計算）?？梢钥闯龃蟛糠值挠嬎闶呛芙咏?。如果計算相應(yīng)誤差率可以發(fā)現(xiàn)誤差率多在1.06%8.02%之間，因此，對數(shù)數(shù)據(jù)擬合系數(shù)方法的計算結(jié)果遠比投資產(chǎn)值比重均值方法精確得多。但是，如果運行符號運算程序：h = ListPlotq, PlotJoined -> True, DisplayFunction -> Identity, PlotStyle -> Hue0.95h1 = ListPlotq1, PlotJoined -> True, DisplayFunction -> Identity,PlotStyle -> Hue0.

17、4h2 = ListPlotq2, PlotJoined -> True, DisplayFunction -> Identity, lotStyle -> Hue0.6h3 = ListPlotq3, PlotJoined -> True, DisplayFunction -> Identity, PlotStyle -> Hue0.8ShowGraphicsArrayh, h1, h2, h3, DisplayFunction -> $DisplayFunctionShowh, h1, h2, h3, DisplayFunction -> $

18、DisplayFunction即把數(shù)據(jù)表中的的四組數(shù)據(jù)同時擬合圖形的話，它們是十分相近的（見下圖所示）。把它們在同一坐標系繪制，可以發(fā)現(xiàn)四條曲線幾乎重合（見下圖所示）。這樣，一旦擁有了某個企業(yè)、城市、省份、甚至國家的產(chǎn)值、資金和勞動力這三個經(jīng)濟指標數(shù)據(jù)，就可以適當選取上述方法來確定出道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)中的參數(shù)（近似）值，從而可以模擬計算某個節(jié)點的產(chǎn)值。例如對模擬數(shù)據(jù)表中的2012年投資與勞力數(shù)據(jù)和，就可以預測出該城市2012年的產(chǎn)值約為5.28032千億元。順便指出，對的道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)，上面的討論和例子仍然可以實現(xiàn)。3 資金與勞動力的優(yōu)化問題 道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)中的投資與勞動力對的貢獻通常不是等

19、效的，并不是越多越大。因此有一個如何取適當值時最大的問題，即生產(chǎn)效益最大化問題。這個問題與投資資金的回報以及勞動報酬密切相關(guān)，現(xiàn)假設(shè)投資資金是貸款，每年需要支付其貸款的利息，利率為，而個體勞動力平均工資水平為，于是生產(chǎn)效益函數(shù)為 （22）要使這個生產(chǎn)函數(shù)在取得最大，則有，即 ，也就是， 所以有，因此有 （23）根據(jù)（23）式結(jié)果，可以知道，當投資資金與勞動的比重依照分配時，可以使得生產(chǎn)效益最大化。作為人力資源部門，應(yīng)該根據(jù)這個準則來制訂投資計劃、勞動編制、平均工資標準等。4 勞動生產(chǎn)率增長問題 用分別表示所研究地區(qū)或企業(yè)部門的時間時的經(jīng)濟生產(chǎn)總值、投資資金總額和勞動力規(guī)模。按照上面討論，為內(nèi)的

20、某個常數(shù)，為投資資金與勞動的比重的關(guān)系參數(shù)。注意到 ，這里，分別表示時刻的單位勞動力的生產(chǎn)產(chǎn)值，時刻的單位勞動力的投資資金。于是， （24）反映了單位勞動力的投資資金與單位勞動產(chǎn)值的關(guān)系。通常，稱為勞動生產(chǎn)率，稱為勞動投資率。相應(yīng)地，稱為產(chǎn)值增長率，稱為投資增長率，稱為勞動增長率。為研究勞動生產(chǎn)率與產(chǎn)值增長率等之間的關(guān)系，進一步假設(shè)：（1） 投資增長率與經(jīng)濟總產(chǎn)值成正比，為比例系數(shù)，即 （2） 勞動增長率以比例系數(shù)來刻畫，表示勞動力數(shù)量增加，表示勞動力數(shù)量減少或不變。即 根據(jù)（24）及含義，和上面假設(shè)，可以得到投資增長與勞動力變化的數(shù)學模型： （25）由此求出 （26）于是， （27） ， （

21、28）。 （29）由（27）（29）可以分別討論產(chǎn)值增長率、勞動生產(chǎn)率、勞動投資率的增長問題。為此，將（27）（29）改寫為，（30）， （31）。 （32）容易知道，增長分別等價于增長，分別等價于關(guān)于的導數(shù)大于0，而。所以有下面進一步討論結(jié)果。（1）產(chǎn)值增長的條件 此時根據(jù)（30）式可以知道，需要，而，所以應(yīng)有， （33）這里，為最初的單位勞動力投資，顯然遠遠大于1。而，。當時，通常，因此總成立，即（33）式在任何時刻總能實現(xiàn)，也就是說，在勞動力數(shù)量增加時，勞動總產(chǎn)值總是增長的；當時，即（33）式也成立，也就是說，在勞動力數(shù)量不變時，勞動總產(chǎn)值也可以保持繼續(xù)增長；當時，是時間的單調(diào)減函數(shù)，由

22、解得，于是，當時，（33）式總不成立，勞動總產(chǎn)值在任意時刻總是衰減的，這就是說要提高產(chǎn)值，必須增加勞動力數(shù)量；當時，在有限時間內(nèi)，（33）式可以成立，也就是說，在勞動力數(shù)量減小時，勞動總產(chǎn)值在有限時間區(qū)間內(nèi)可以保持增長的。當時間時，（33）式不成立，也就是說，在勞動力數(shù)量減小時，勞動總產(chǎn)值在有限時間區(qū)間后必然出現(xiàn)衰減，這就是說，在后必須增加勞動力數(shù)量，才可以避免生產(chǎn)總產(chǎn)值的下滑趨勢。（2）單位勞動產(chǎn)值增長的條件 此時根據(jù)（31），（32）式知道，需要，而 。這里，為最初的單位勞動力投資，顯然遠遠大于1。而，。所以應(yīng)有，即，注意到，所以。這表明，單位勞動產(chǎn)值增長的條件是勞動力增長率要小于投資增長

23、率。如果投資增長速度放慢，勞動力增長也要放慢。投資放慢說明經(jīng)濟狀態(tài)不好（經(jīng)濟危機的信號?。?，此時的就業(yè)壓力大，失業(yè)率上升，這與現(xiàn)實經(jīng)濟生活中真實情況是完全吻合的。5 道格拉斯函數(shù)的注記 道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)是計量經(jīng)濟學中最主要的數(shù)學模型。應(yīng)當指出，道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)，并不是滿足（1），（4）的唯一表示形式。事實上，選取，為待定常數(shù)，將代入（1）的通解表示式得 ，當，時，不僅也剛好滿足（4），而且， （34）當時是（18）式的特殊情形，因此是更廣泛意義的經(jīng)濟增長模型，不妨稱為廣義Douglas生產(chǎn)函數(shù)。例如，對前面討論的某城市經(jīng)濟統(tǒng)計模擬數(shù)據(jù)的例子。用，來擬合形如的生產(chǎn)產(chǎn)值的預測函數(shù)。運行符號運算：q

24、 = 0.268, 0.549, 0.653, 0.761, 0.906, 0.862, 0.914, 1.073, 1.418, 2.014, 2.453, 2.768, 3.068, 3.276, 3.616, 3.761, 4.051, 4.458, 5.133;k = 0.091, 0.254, 0.312, 0.379, 0.475, 0.441, 0.452, 0.559, 0.808, 1.307, 1.704, 2.002, 2.291, 2.494, 2.841, 2.985, 3.292, 3.731, 4.350;l = 4.818, 4.987, 5.128, 5.27

25、8, 5.436, 5.533, 6.475, 6.549, 6.615, 6.681, 6.746, 6.807, 6.895, 6.982, 7.064, 7.139, 7.209, 7.303, 7.374;y = Tableki, li, qi, i, 19;Fity, s0.7455*t(1 - 0.7455), s0.7348*t(1 - 0.7348), s, t得到結(jié)果：0.9911647770827514s0.7455t0.2545+ 0.0234690764651333s0.7348 t0.2652于是得到廣義Douglas生產(chǎn)函數(shù) （35）按照此產(chǎn)值預測函數(shù)可以得到新的由投資與勞動力數(shù)據(jù)模擬產(chǎn)值數(shù)據(jù)及誤差分析比較（見下表）。按（35）式對該城市經(jīng)濟統(tǒng)計模擬數(shù)據(jù)的計算數(shù)據(jù)比較分析表年份t產(chǎn)值 Q投資 K勞力L按（35）式模擬產(chǎn)值 誤差率%19930.2680.0914.8180.2538225.290419940.5490.2544.9870.5502590.22923719950.6530.3125.1280.6459781.0754219960.7610.3795.2780.7522621.1482519970.9060.4755.4360.8968241.0