微積分在大學(xué)物理中的幾點應(yīng)用

1、畢 業(yè) 設(shè) 計（論文）題 目：微積分的幾點物理應(yīng)用 學(xué) 院： 數(shù)理學(xué)院 專業(yè)名稱： 應(yīng)用物理 學(xué) 號： 200941220103 學(xué)生姓名： 孫 川 指導(dǎo)教師： 李 建 2013年05月18日摘 要微元法在物理學(xué)中應(yīng)用非常普遍.在大學(xué)物理學(xué)中, 從靜電場到恒定磁場，從質(zhì)點的運動學(xué)到剛體的力學(xué)，都要遇到用微積分來解決的問題.本論文主要探討的是在大學(xué)物理學(xué)習(xí)中,應(yīng)用微積分方法解決問題時幾個問題.微積分主要思想和方法利用微元法處理比較復(fù)雜物理問題時,可以先把它分割成許多在較小時間、空間等范圍內(nèi)的可以近似處理的基本問題,然后再對此可研究的簡單的基本問題進行討論,最后再把所有局部范圍內(nèi)研究的結(jié)果累積起來

2、,就可以得到問題結(jié)果.在理論分析時,把分割過程無限地進行下去,局部范圍便會無限地小下去,這就是微分;把所有的無限多個微分元的結(jié)果進行疊加,便是積分.這就是微積分的主要思想和方法,是一種辯證的思想和分析方法 關(guān)鍵字微積分 微元法 質(zhì)點力學(xué) 剛體力學(xué) 電磁學(xué) AbstractCalculus is quite common in physics. In College Physics, from the particle motion mechanics to particle dynamics mechanics, both the electrostatic field and a const

3、ant magnetic field meet the question which needs use the calculus. This article mainly discusses the learning of university physics; Applied Calculus approach to the problem should pay attention to several issues.The main ideas and methods of the calculus, using the calculus method to deal with more

4、 complex physical problems. Its first “break up the whole into parts “, it is divided into many smaller time, space Etc. within the range of processing of the basic Can be approximated. Then, to research simple questions hold discussion. Lastly, “Zero for the whole plot”, within the scope of all the

5、 result of study Accumulated. The results can be obtained. In theoretical analysis, the segmentation process is carried on unlimited. Then Local scope Narrow down unlimited. This is differentiation. All the Differential element Superimposed, it is integral calculus. This is the main ideas and method

6、s of the calculus. Is a kind of dialectical thinking and analytical methods.Key wordsCalculus Micro-element method Particle mechanics Rigidbody mechanics Electricity and Magnetism目 錄第一章 緒論4第二章 微積分在質(zhì)點力學(xué)中的應(yīng)用52.1 用微積分解決速度和加速度的問題52.2用微積分解決變力做功問題8第三章 定積分在計算剛體轉(zhuǎn)動慣量中的應(yīng)用8第四章 定積分在電場強度以及電勢計算中的應(yīng)用104.1、定積分在電場強度計

7、算中的應(yīng)用104.2、定積分在電勢計算中的應(yīng)用11參考文獻14致 謝15第一章 緒論偉大的科學(xué)家牛頓有很多偉大的成就建立了經(jīng)典物理理論比如：牛頓三大定律，萬有引力定律等；另外在數(shù)學(xué)上也有偉大的成就創(chuàng)立了微積分.微積分（Calculus）是研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支.微積分是建立在實數(shù)、函數(shù)和極限的基礎(chǔ)上的.微積分最重要的思想是用"微元"和"無限逼近"就像一個事物始終在變化很難研究但通過微元分割成許多無限小那就可以認為是常量處理最終加起來就是積分. 微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。它是一種數(shù)學(xué)思想，“無限細分”就是微分，那么“無限求和

8、”就是積分。無限就是極限，極限的思想是微積分的基礎(chǔ)，它是要運用一種運動的思想來看待問題。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一，在大學(xué)物理中，微積分思想發(fā)揮了極其重要的作用。微積分方法是一種辨證思想方法它包含有限與無限的對立統(tǒng)一近似與精確的對立和統(tǒng)一.它把復(fù)雜物理問題進行時間和空間上的有限次分割，在有限小的范圍內(nèi)進行近似處理然后讓分割無限地進行下去局部范圍無限的變小那么近似處理也就會越來越精確這樣在理論上就能得到精確的結(jié)果.微分就是理論分析時，把分割過程無限的進行下去局部范圍便無限小下去. 積分就是把無限小的微分元求和這就是微積分的方法.物理學(xué)就是要抓住主要方面，忽略次要方面從而使得復(fù)雜問題簡單

9、化因此在大學(xué)物理中應(yīng)用微積分方法能夠把看似復(fù)雜的問題近似成簡單、基本、可研究問題.物理現(xiàn)象及其規(guī)律研究都是以最簡單的現(xiàn)象和規(guī)律為基礎(chǔ)例如質(zhì)點運動學(xué)是從勻速、勻變速的直線運動開始帶電體產(chǎn)生的電場是以點電荷為基礎(chǔ)的對于實際中復(fù)雜問題則可化整為零把它分割成在較小時間、空間等范圍內(nèi)的相應(yīng)局部問題，只要把局部范圍被分割到足夠小小到這些局部問題可近似處理為簡單、基本、可研究地問題，然后把局部范圍內(nèi)結(jié)果累積起來，就可以得出問題的結(jié)果.第二章 微積分在質(zhì)點力學(xué)中的應(yīng)用2.1 用微積分解決速度和加速度的問題1.位置矢量定義：由坐標原點到質(zhì)點所在位置的矢量稱為位置矢 量（簡稱位矢或徑矢）。如圖選取的是直角坐標系，

10、為質(zhì)點P的位置矢量因為x、y、z都是時間的函數(shù)，既 ；因此，可以反映任意t 時刻質(zhì)點的位置，因此把上式稱作質(zhì)點的運動方程。2位移在平面直角坐標系中，有一個質(zhì)點由時刻t1，起始位置A處，經(jīng)過時間后，質(zhì)點運動到了位置B處，質(zhì)點的位矢由變化到處。由始點A指向終點B的有向線段稱為點A到點B的位移矢量，簡稱位移?？捎没虮硎尽Ｊ噶?，剛好為三角形的三邊，由三角形法則可以得出 =-3. 速度為了描述質(zhì)點運動快慢及方向，從而引進速度概念。(1) 平均速度 在時刻時間內(nèi)，質(zhì)點的位移為，那么二者的比值，稱為質(zhì)點在時間內(nèi)的平均速度，平均速度描述物體的運動是比較粗糙的，因為在時間內(nèi)，質(zhì)點的各個時刻的運動情況不一定相同，

11、質(zhì)點的運動可以時快時慢，方向也可以不斷地改變，平均速度不能反映質(zhì)點運動的真實細節(jié)，如果要精確到質(zhì)點在某一刻時刻或某一位置的實際運動情況，應(yīng)使盡量小，即，用平均速度的極限值瞬時速度來秒速。(2) 瞬時速度 瞬時速度即為平均速度的極限值即瞬時速度（速度）為位置矢量對時間的一階導(dǎo)數(shù)速度在直角坐標系下表達式為：   ,3. 加速度 同理加速度應(yīng)該為位置矢量對時間的二階導(dǎo)數(shù)，速度對時間的一階導(dǎo)數(shù)，直系分解形式： 這就是說，質(zhì)點在某時刻或某位置的(瞬時)加速度等于速度矢量對時間的一階導(dǎo)數(shù)，或等于位置矢徑對時間的二階導(dǎo)數(shù)。 例題1、 一質(zhì)點在平面上運動，運動方程為=3+5, =2+3-4.式中以

12、s計，,以m計(1)以時間為變量，寫出質(zhì)點位置矢量的表示式；(2)求出質(zhì)點速度矢量表示式，計算4 s 時質(zhì)點的速度；(3)求出質(zhì)點加速度矢量的表示式，計算4s 時質(zhì)點的加速度解：（1） (2) 則 (3) 由例題1可知，由運動方程求速度、加速度，這類問題主要是用求導(dǎo)的方法解決例題2 已知一質(zhì)點作直線運動，其加速度為 4+3 ，開始運動時，5 m， =0，求該質(zhì)點在10s 時的速度和位置 解： 分離變量，得 積分，得 由題知，, ,故 又因為 分離變量， 積分得 由題知 , ,故 所以時由例題2知、已知加速度（或速度）以及初始條件求運動方程，這類問題主要用積分的方法2.2用微積分解決變力做功問題

13、功：力對質(zhì)點所作的功為力在質(zhì)點位移方向的分量與位移大小的乘積。元功 變力所作的功 直角坐標系中 說明：功是力對空間的累積；合力對質(zhì)點所作的功，等于每個分力所作的功的代數(shù)和。例題3 選取彈簧自然伸長處為x坐標的原點，當彈簧形變量為x時，彈性力做功為多少？解：彈性力為F=-kx 式中k為彈簧的勁度系數(shù)則 可見，功是力對位置的積分。上述例子在整個過程中間，F(xiàn)為變力，為了解決問題，取位移元，則在內(nèi)，F(xiàn)可以看做一恒力，那么利用功的定義，元功,再對于整個區(qū)間進行積分，就可得到結(jié)果。第三章 定積分在計算剛體轉(zhuǎn)動慣量中的應(yīng)用剛體:把物體看作有質(zhì)量和大小形狀，但在外力作用下大小形狀不發(fā)生改變的理想模型；轉(zhuǎn)動慣量

14、是剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度，是剛體力學(xué)中的一個重要參數(shù)，在質(zhì)點系中轉(zhuǎn)動慣量的表達式為有定積分的定義可知當質(zhì)量連續(xù)分布時，剛體的轉(zhuǎn)動慣量可表示為例1、 如圖所示，求質(zhì)量為m，長為l的均勻細棒的傳統(tǒng)慣量：（1）轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并與棒垂直；（2）轉(zhuǎn)軸通過棒一端并與棒垂直。解：（1）轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并與棒垂直在棒上任取一質(zhì)元，其長度為，距軸0的距離為x，設(shè)棒的線密度（即單位長度上的質(zhì)量）為，則該質(zhì)元的質(zhì)量dm=.該質(zhì)元對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為整個棒對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為（2）轉(zhuǎn)軸通過棒的一端與棒垂直時，整個棒對該軸的轉(zhuǎn)動慣量為由于棒上各點到轉(zhuǎn)軸距離不一樣，因此不能用轉(zhuǎn)動慣量的定義計算，那么我們就要選取就要選取

15、一個質(zhì)元dm=，此質(zhì)元可以作為質(zhì)點來看，那么運用轉(zhuǎn)動慣量定義，那么該質(zhì)元對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，然后對整個區(qū)間進行積分，就得到整個棒的轉(zhuǎn)動慣量。由此看出，同一均勻細棒，轉(zhuǎn)軸位置不同，轉(zhuǎn)動動量不同。由上述例子，可以看出定積分可以解決已知質(zhì)量分布時，剛體的轉(zhuǎn)動慣量。第四章 定積分在電場強度以及電勢計算中的應(yīng)用4.1、定積分在電場強度計算中的應(yīng)用1、設(shè)真空中的優(yōu)點電荷為q，P點位空間一點（稱為場點）。為從q到P點的矢徑。點處的電場強度由疊加原理，點電荷系在空間點處的電場強度由定積分的定義，連續(xù)帶電體在空間點處的電場強度例1、 一個半徑為的均勻帶電半圓環(huán)，電荷線密度為,求環(huán)心處點的場強解: 如圖在圓上取，它

16、在點產(chǎn)生場強大小為方向沿半徑向外則 積分 ，方向沿軸正向上述例題中因為帶電體為一圓環(huán)，各點在在點處的場強的方向不同，因此計算上不可能一蹴而就，我們的方法是先取微元，此時可以看出是點電荷，其在點處激發(fā)的電場，然后對在整個區(qū)間上積分即可得到結(jié)果。4.2、定積分在電勢計算中的應(yīng)用1、設(shè)真空中的優(yōu)點電荷為q，P點位空間一點（稱為場點）。為從q到P點的矢徑。點處的電勢由疊加原理，點電荷系在空間點處的電勢由定積分的定義，連續(xù)帶電體在空間點處的電勢例2、如圖所示的絕緣細線上均勻分布著線密度為的正電荷,兩直導(dǎo)線的長度和半圓環(huán)的半徑都等于試求環(huán)中心點處的場強和電勢解: (1)由于電荷均勻分布與對稱性，和段電荷在

17、點產(chǎn)生的場強互相抵消，取則產(chǎn)生點如圖，由于對稱性，點場強沿軸負方向(2) 電荷在點產(chǎn)生電勢，以同理產(chǎn)生 半圓環(huán)產(chǎn)生 上述例題中因為帶電體為不規(guī)則，各點在在點處的電勢的大小不同，因此計算上也不可能一蹴而就，我們的方法是先取微元，此時可以看出是點電荷，其在點處激發(fā)的電場，然后對在整個區(qū)間上積分即可得到結(jié)果?？偨Y(jié)：由以上的分析可以看出，微積分在大學(xué)物理中的應(yīng)用不僅是數(shù)學(xué)工具 的應(yīng)用，還是一種思維方法的應(yīng)用.在物理學(xué)中應(yīng)用微積分解決問題是學(xué)習(xí)物理必不可少的一部分，在具體的問題當中選取合適的微元，是解題的關(guān)鍵，也就是把具體問題怎樣分割才能便于我們更簡單的解題。參考文獻1賈曉峰.微積分與數(shù)學(xué)模型.高等教育

18、出版社. 2008年6月2王飛.物理學(xué).新華出版社.2006年6月3許瑞珍.大學(xué)物理.機械工業(yè)出版社.2006年8月1日4黎定國.大學(xué)物理中微積分的思想方法淺談J.大學(xué)物理2005，24（12）：5254.5趙建彬.物理學(xué)M.北京機械出版社，2006.6周圣源.高工專物理學(xué)M.北京高等教育出版社，1996.7 Jia Xiaofeng. calculus and mathematical models . Higher Education Press.2008.06 89 Xu zhenrui.University physics. Mechanical Industry Press 2006.0810 Li dingguo. College Physics ideological discussion on the method of calculusJ.College Physics 2005,24(12):5254.11Zhao jianbin. PhysicsM. Beijing Machinery Press,2006.12Zhou shengyuan, Hydrallic physicsM. Beijing Higher Education Press,1996.致 謝通過此次畢業(yè)設(shè)計，加深了我對微積分的了解，為今后順利的開展工作打下良好的基