第3章 §4 反證法

1、.§4反證法1理解間接證明的一種根本方法反證法2理解反證法的概念及考慮過程和特點(diǎn)難點(diǎn)3掌握反證法證題的根本步驟，會用反證法證明相關(guān)的數(shù)學(xué)問題重點(diǎn)、難點(diǎn)根底·初探教材整理反證法閱讀教材P65P67“練習(xí)以上內(nèi)容，完成以下問題1反證法的定義在證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，先假定命題結(jié)論的反面成立，在這個(gè)前提下，假設(shè)推出的結(jié)果與定義、公理、定理相矛盾，或與命題中的條件相矛盾，或與假定相矛盾，從而說明命題結(jié)論的反面不可能成立，由此斷定命題的結(jié)論成立這種證明方法叫作反證法2反證法證明的思維過程反證法的證明過程可以概括為“否認(rèn)推理否認(rèn)，即從否認(rèn)結(jié)論開場，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出邏輯矛盾，從而到達(dá)新的否認(rèn)

2、即肯定原命題的過程用反證法證明命題“假設(shè)p那么q的過程可以用框圖3­4­1表示：圖3­4­1判斷正確的打“，錯(cuò)誤的打“×1反證法屬于間接證明問題的方法2反證法的證明過程既可以是合情推理，也可以是一種演繹推理3反證法推出的矛盾不能與相矛盾【解析】1正確反證法其實(shí)是證明其逆否命題成立，所以它屬于間接證明問題的方法2錯(cuò)誤反證法從證明過程看是一種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理3錯(cuò)誤反證法推出的矛盾可以與相矛盾【答案】12×3×質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑

3、：_小組合作型用反證法證明否認(rèn)性命題等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，S393. 【導(dǎo)學(xué)號：67720190】1求數(shù)列an的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn；2設(shè)bnnN，求證：數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列【精彩點(diǎn)撥】第1問應(yīng)用ana1n1d和Snna1nn1d兩式求解第2問先假設(shè)存在三項(xiàng)bp，bq，br成等比數(shù)列，再用反證法證明【自主解答】1設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由得d2，故an2n1，Snnn2證明：由1得bnn.假設(shè)數(shù)列bn中存在三項(xiàng)bp，bq，brp，q，r互不相等成等比數(shù)列，那么bbpbr，即q2pr，q2pr2qpr0.p，q，rN，2pr，pr20，pr，這與pr矛

4、盾所以數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列1當(dāng)結(jié)論中含有“不“不是“不可能“不存在等詞語的命題，此類問題的反面比較詳細(xì)，合適應(yīng)用反證法例如證明異面直線，可以假設(shè)共面，再把假設(shè)作為條件推導(dǎo)出矛盾2反證法必須從否認(rèn)結(jié)論進(jìn)展推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)展推證，否那么，僅否認(rèn)結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)展推理，就不是反證法3常見否認(rèn)詞語的否認(rèn)形式如下表所示：否認(rèn)詞語否認(rèn)詞語的否認(rèn)形式?jīng)]有有不大于大于不等于等于不存在存在再練一題1方程fxaxa>1，證明：方程fx0沒有負(fù)數(shù)根【證明】假設(shè)x0是方程fx0的負(fù)數(shù)根，那么x0<0，x01且ax00，所以ax0.又當(dāng)x

5、0<0時(shí)，0<ax0<1，故0<<1，即0<1<1,1<<2，解得<x0<2.這與x0<0矛盾， 所以假設(shè)不成立，故方程fx0沒有負(fù)數(shù)根用反證法證明“至多“至少問題x，y，z均大于零，求證：x，y，z這三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于4.【精彩點(diǎn)撥】此題中含有“至少，不宜直接證明，故可采用反證法證明【自主解答】假設(shè)x，y，z都小于4，即x<4，y<4，z<4，于是得<12，而2 2 2 12，這與<12矛盾，因此假設(shè)錯(cuò)誤，即x，y，z中至少有一個(gè)不小于4.1用反證法證明“至少“至多型命題，可減少討論情

6、況，目的明確否認(rèn)結(jié)論時(shí)需弄清楚結(jié)論的否認(rèn)是什么，防止出現(xiàn)錯(cuò)誤2用反證法證明“至多“至少問題時(shí)常見的“結(jié)論詞與“反設(shè)詞如下：結(jié)論詞反設(shè)詞結(jié)論詞反設(shè)詞至少有一個(gè)一個(gè)也沒有對所有x成立存在某個(gè)x0不成立至多有一個(gè)至少有兩個(gè)對任意x不成立存在某個(gè)x0成立至少有n個(gè)至多有n1個(gè)p或q¬p且¬q至多有n個(gè)至少有n1個(gè)p且q¬p或¬q再練一題2假設(shè)x>0，y>0，且xy>2，求證：與至少有一個(gè)小于2.【證明】假設(shè)與都不小于2，即2，2.x>0，y>0，1y2x,1x2y，兩式相加得2xy2xy，xy2，這與中xy>2矛盾，假設(shè)不成立

7、，原命題成立故與至少有一個(gè)小于2.探究共研型用反證法證明“唯一性命題探究1用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟是什么？【提示】1反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定原結(jié)論的反面為真2歸謬：從反設(shè)和條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾的結(jié)果3存真：由矛盾的結(jié)果斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立探究2如何證明兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)？【提示】假設(shè)兩條直線a，b不只有一個(gè)交點(diǎn)，那么至少有兩個(gè)交點(diǎn)A和B，這樣同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)A，B的直線就有兩條，這與“經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線相矛盾所以兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)一點(diǎn)A和平面.求證：經(jīng)過點(diǎn)A只能有一條直線和平面垂直【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】根據(jù)點(diǎn)A和平面的位置關(guān)

8、系，分兩種情況證明1如圖，點(diǎn)A在平面內(nèi)，假設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A至少有平面的兩條垂線AB，AC，那么AB，AC是兩條相交直線，它們確定一個(gè)平面，平面和平面相交于經(jīng)過點(diǎn)A的一條直線a.因?yàn)锳B平面，AC平面，a，所以ABa，ACa，在平面內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)A有兩條直線都和直線a垂直，這與平面幾何中經(jīng)過直線上一點(diǎn)只能有直線的一條垂線相矛盾2如圖，點(diǎn)A在平面外，假設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A至少有平面的兩條垂線AB和ACB，C為垂足，那么AB，AC是兩條相交直線，它們確定一個(gè)平面，平面和平面相交于直線BC，因?yàn)锳B平面，AC平面，BC，所以ABBC，ACBC.在平面內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)A有兩條直線都和BC垂直，這與平面幾何中經(jīng)過直線外一點(diǎn)只能有直線的

9、一條垂線相矛盾綜上，經(jīng)過一點(diǎn)A只能有一條直線和平面垂直證明“有且只有一個(gè)的問題，需要證明兩個(gè)命題，即存在性和唯一性當(dāng)證明結(jié)論以“有且只有“只有一個(gè)“唯一存在等形式出現(xiàn)的命題時(shí)，由于反設(shè)結(jié)論易于導(dǎo)出矛盾，所以用反證法證其唯一性就較簡單明了再練一題3假設(shè)函數(shù)fx在區(qū)間a，b上的圖像連續(xù)不斷，且fa<0，fb>0，且fx在a，b上單調(diào)遞增，求證：fx在a，b內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)【證明】由于fx在a，b上的圖像連續(xù)不斷，且fa<0，fb>0，即fa·fb<0，所以fx在a，b內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為m，那么fm0，假設(shè)fx在a，b內(nèi)還存在另一個(gè)零點(diǎn)n，即fn0

10、，那么nm.假設(shè)n>m，那么fn>fm，即0>0，矛盾；假設(shè)n<m，那么fn<fm，即0<0，矛盾因此假設(shè)不正確，即fx在a，b內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)構(gòu)建·體系1應(yīng)用反證法推出矛盾的推理過程中可作為條件使用的是結(jié)論的否認(rèn)；條件；公理、定理、定義等；原結(jié)論ABCD【解析】根據(jù)反證法的根本思想，應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中可把“結(jié)論的否認(rèn)“條件“公理、定理、定義等作為條件使用【答案】C2實(shí)數(shù)a，b，c不全為0等價(jià)于Aa，b，c均不為0Ba，b，c中至多有一個(gè)為0Ca，b，c中至少有一個(gè)為0Da，b，c中至少有一個(gè)不為0【解析】不全為0即至少有一個(gè)不為0，應(yīng)選D.【答案】D3命題“ABC中，假設(shè)A>B，那么a>b的結(jié)論的否認(rèn)應(yīng)該是Aa<bBabCabDab【解析】“大于的否認(rèn)是“不大于，即“小于或等于，應(yīng)選B.【答案】B4用反證法證明某命題時(shí)，對某結(jié)論：“自然數(shù)a，b，c中無偶數(shù)，正確的假設(shè)為_【解析】a，b，c中無偶數(shù)，即a，b，c都是奇數(shù)，反設(shè)應(yīng)是“a，b，c中至少有一個(gè)偶數(shù)【答案】a，b，c中至少有一個(gè)偶數(shù)5假設(shè)a，b，c互不相等，證明：三個(gè)方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0