旋轉(zhuǎn)變換含解答

1、九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題 第七講 旋轉(zhuǎn)變換一、填空題1、如圖1，ABC中，M為BC中點(diǎn)，D、E分別在AB、AC上，DMME，則BD+CE_DE（用“>”“<”“=”填空） (1) (2) (3)2如圖2,點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且PA=2，PB=2，PC=4，則APC的大小是_度。3如圖3，ABC中，A=90°，AB=AC，P、Q是BC上兩點(diǎn)，且滿足，則PAQ的度數(shù)是_。4等邊三角形內(nèi)部一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離分別是3、4、5，則這個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)的平方是_。二、解答題1如圖，已知RtABC中，BAC=90°，AB=AC，P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PEAB交BA延長(zhǎng)

2、線于E，PFAC交AC延長(zhǎng)線于F，D為BC中點(diǎn)，連結(jié)DE，DF。求證：DE=DF.2如圖，已知正方形ABCD對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)P、點(diǎn)Q分別是BC、CD上的點(diǎn)，DPAQ。求證：OQOP.3如圖，已知ABC中，AB=BC=CA，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，G是BC上一點(diǎn)，DGH是等邊三角形。求證：EG=FH.4如圖，已知RtABC中，C=90°，D是AB上一點(diǎn)，作DEBC于E，若BE=AC，BD=，DE+BC=1，求：ABC的度數(shù)。5如圖，已知ABC與CDE都是等邊三角形，且滿足EBD=40°，求：AEB的度數(shù)。6如圖，已知O是等邊ABC內(nèi)一點(diǎn)，AOB=110

3、76;，BOC=120°，求：以線段OA、OB、OC為邊構(gòu)成的三角形的各內(nèi)角度數(shù)。7如圖，已知正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且AF平分DAE。求證：AE=DF+BE.8如圖，已知正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EAF=45°。求證：（1）EF=BE+DF； （2）.9如圖，已知RtABC中，M是斜邊BC的中點(diǎn)，D、E分別在AB、AC上，且DMME，BD=3，CE=4。求：線段DE的長(zhǎng)。10如圖，已知等邊ABC邊長(zhǎng)為1，D是ABC外一點(diǎn)且BDC=120°，BD=CD，MDN=60°。求證：AMN的周長(zhǎng)等于2。答案一、1&

4、gt;；2120°；345°；425+12；略解：1 延長(zhǎng)DM到F，使MF=DM，連結(jié)EF、CF（如圖）易證BDMCFM（SAS）所以BD=CF易證DEMFEM（SAS）所以DE=FE在ECF中，EC+FC>EF所以BD+EC>DE2 將ABP繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使AB與AC重合，P落到P點(diǎn)（如圖），則有A PCAPB所以A P=AP=2， PC=PB=2且PAC=PAB，所以PAP=BAC=60°所以AP P是等邊三角形，所以PP=2，P+ PC=16=P C所以PPC=90°，所以PPC=60°所以APC=APP+

5、PPC=120°3在ABC外作DBA=C，且DB=QC，連結(jié)DP，DA（如圖，即將AQC繞點(diǎn)A放心轉(zhuǎn)90°）所以DBP=2C=90°所以DP=DB+BP=QC+BP=PQ所以DP=PQ易證ABDAC（SAS）所以DA=QA，1=2所以ADPAPQ（SSS）所以1+3=PAQ因?yàn)?+3+PAQ=90°所以1+3+PAQ=90°所以PAQ=45°4設(shè)PB=3，PA=4，PC=5，將PBC繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至BDA（如圖），則ADBCPB因?yàn)镈BA=PBC，DB=PB=3，AD=CP=5所以DBP=ABC=60°所以

6、DBP是等邊三角形所以A P+DP=4+3=25=AD所以APD=90°，所以APB=150°延長(zhǎng)AP，作BEAP于E（如圖）則BPE=30°，所以BE=BP=，所以PE=，所以AE=4+所以=25+12二、1略證：連結(jié)AD（如圖）易證AEPF是矩形，所以AE=FP因?yàn)锳B=AC，BAC=90°，D為BC中點(diǎn)，所以AD=BC，1=2=45°=3所以EAD=FCD=135°，CPF=45°=3，所以CF=PF=AE，所以ADECDF（SAS）所以DE=DF此題也可證BDEADF（BE=AF，B=FAD，BD=AD）2略證：易證

7、DAQ=CDP又因?yàn)锳D=DC，ADC=DCB=90°所以ADQDCP（ASA）所DQ=CP由正方形懷質(zhì)可知OD=OC，ODQ=OCP=45°所以DOQCOP（SAS）所以1=2所以2+3=1+3=90°所以O(shè)POQ此題實(shí)際上將正方形繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)后Q點(diǎn)即落在P點(diǎn)處3略解：連結(jié)DE、DF（如圖）因?yàn)镈、E、F是各邊中點(diǎn)，所以DE平行且等于AC，DF平行且等于BC因?yàn)锳B=BC=CA所以A=B=C=60°所以DE=DF，EDF=DFA=C=60°因?yàn)榈冗匘HG所以DG=DH，HDG=60°=EDF，所以EDF-F

8、DG=HDG-FDG，即1=2所以DEGDFH（SAS）所以FH=EG4略解：延長(zhǎng)BC到F，使CF，連結(jié)（如圖）所以BF=BC+CF=BC+DE=1因?yàn)锽E=AC，DEB=ACF=90°，DE=CF，所以BDEAFC（SAS）所以AF=BD=，B=1所以AF=BF因?yàn)锽+2=90°所以1+2=90°所以ABC=30°5略解：如圖因?yàn)榈冗匒BC和等邊DCE所以ACB=DCE=ABC=ECD=60°AC=BC，EC=DC所以1=2，ACEBCD（SAS）所以AEC=BDC=60°+3所以AEB=360°-AEC-CED-BED

9、=360°-（60°+3）-60°-BED =360°-120°-（3+BED） =360°-120°-（180°-BED） =360°-120°-（180°-40°） =100°6略解：將AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至ADC的位置，連結(jié)OD（如圖），則有AOBADC，所以AD=AO，CD=BO，ADC=AOB=110°易證AOD為等邊三角形，所以O(shè)D=OA，所以O(shè)CD就是以O(shè)A、OB、OC為邊組成的三角形因?yàn)锳OB=110°，BOC=

10、120°，所以AOC=130°所以COD=AOC - AOD=70°，ODC=ADC-ADO=AOB-AOD=50°所以O(shè)CD=180°-COD-ODC=60°所以，以O(shè)A、OB、OC為邊組成的三角形三內(nèi)角度數(shù)分別為50°，60°，70°7略解：延長(zhǎng)CB到G，使BG=DF，連結(jié)AG（如圖）又因?yàn)锳D=AB，D=ABG=90°所以ADFABG（SAS）所以5=G，1=3因?yàn)?=2，所以2=3所以2+4=3+4，即FAB=EAG因?yàn)镃DAB，所以5=FAB=EAG所以EAG=G所以AE=EB+BG=

11、EB+DF8略解：延長(zhǎng)CB到G，使GB=DF，連結(jié)AG（如圖）又因?yàn)锳B=AD，ABG=D=90°所以ABGADF（SAS）所以3=2，AG=AF因?yàn)锽AD=90°，EAF=45°所以1+2=45°所以1+3=45°=EAF又因?yàn)锳E=AE，所以AGEAFE（SAS）所以GB+BE=EF，所以DF+BE=EF因?yàn)锳EFAGE所以所以又所以9略解：延長(zhǎng)DM到F，使MF=DM，連結(jié)CF、EF（如圖）又因?yàn)镸E=ME，DME=FME=90°所以DMEFME所以DE=FE因?yàn)锽M=CM，BMD=CMF，DM=FM所以BDMCFM所以B=1，BD=FC因?yàn)锽+2=90°所以1+2=90°所以所以所以DE=10略解：延長(zhǎng)AC到E，使CE=BM，連結(jié)DE（如圖）因?yàn)锽D=DC，BDC=120°所以CBD=BCD=30°因?yàn)锳BC=ACB=60