總結(jié)求矩陣的逆矩陣的方法

1、 總結(jié)求矩陣的逆矩陣的方法課 程 名 稱： 專 業(yè) 班 級： 成 員 組 成： 聯(lián) 系 方 式： 摘要：矩陣是線性代數(shù)的主要內(nèi)容,很多實際問題用矩陣的思想去解既簡單又快捷.逆矩陣又是矩陣理論的很重要的內(nèi)容, 逆矩陣的求法自然也就成為線性代數(shù)研究的主要內(nèi)容之一.本文將給出幾種求逆矩陣的方法.關(guān)鍵詞：矩陣 逆矩陣 方法 Method of finding inverse matrixAbstract: Matrix in linear algebra is the main content,many prictical problems with the matrix theory is simp

2、le and fast. The inverse matrix andmatrix theory the important content, the solution of inverse matrix nature has become one of the main research contents of linear algebra. The paper will give some method of finding inverse matrix.Key words: Matrix inversematrix method正文：1 .引言:矩陣是線性代數(shù)的主要內(nèi)容,很多實際問題用矩

3、陣的思想去解既簡單又快捷.逆矩陣又是矩陣理論的很重要的內(nèi)容, 逆矩陣的求法自然也就成為線性代數(shù)研究的主要內(nèi)容之一.本文將給出幾種求逆矩陣的方法.2. 求矩陣的逆矩陣的方法總結(jié)：2.1矩陣的基本概念矩陣，是由 個數(shù)組成的一個 行 列的矩形表格，通常用大寫字母 表示，組成矩陣的每一個數(shù)，均稱為矩陣的元素，通常用小寫字母其元素 表示，其中下標 都是正整數(shù)，他們表示該元素在矩陣中的位置。比如， 或 表示一個 矩陣，下標 表示元素 位于該矩陣的第 行、第 列。元素全為零的矩陣稱為零矩陣。特別地，一個 矩陣 ，也稱為一個 維列向量；而一個 矩陣 ，也稱為一個 維行向量。當(dāng)一個矩陣的行數(shù) 與烈數(shù) 相等時，該

4、矩陣稱為一個 階方陣。對于方陣，從左上角到右下角的連線，稱為主對角線；而從左下角到右上角的連線稱為付對角線。若一個 階方陣的主對角線上的元素都是 ，而其余元素都是零，則稱為單位矩陣，記為 ，即： 。如一個 階方陣的主對角線上（下）方的元素都是零，則稱為下（上）三角矩陣，例如， 是一個 階下三角矩陣，而 則是一個 階上三角矩陣。今后我們用 表示數(shù)域 上的 矩陣構(gòu)成的集合，用 表示數(shù)域 上的 階方陣構(gòu)成的集合。2.2求逆矩陣的方法： 1.利用定義求逆矩陣定義: 設(shè)A、B 都是n 階方陣, 如果存在n 階方陣B 使得AB= BA = E, 則稱A為可逆矩陣, 而稱B為A 的逆矩陣.下面舉例說明這種方

5、法的應(yīng)用.例1求證: 如果方陣A 滿足A k= 0, 那么EA是可逆矩陣, 且（E-A）= E + A + A+A證明 因為E 與A 可以交換, 所以(E- A )(E+A + A+ A)= E-A,因A= 0 ,于是得(E-A)（E+A+A+A）=E，同理可得（E + A + A+A）(E-A)=E，因此E-A是可逆矩陣,且(E-A)= E + A + A+A.同理可以證明(E+ A)也可逆,且(E+ A)= E -A + A+（-1）A.由此可知, 只要滿足A=0，就可以利用此題求出一類矩陣EA的逆矩陣.例2設(shè)A =,求 E-A的逆矩陣.分析 由于A中有許多元素為零, 考慮A是否為零矩陣,

6、 若為零矩陣, 則可以采用例2 的方法求E-A的逆矩陣.解 容易驗證A=， A=， A=0而(E-A)(E+A+ A+ A)=E,所以(E-A)= E+A+ A+ A=. 2.初等變換法求元素為具體數(shù)字的矩陣的逆矩陣，常用初等變換法.如果A可逆，則A可通過初等變換，化為單位矩陣I，即存在初等矩陣使 （1）A=I，用A右乘上式兩端，得： （2） I= A比較（1）（2）兩式，可以看到當(dāng)A通過初等變換化為單位矩陣的同時，對單位矩陣I作同樣的初等變換，就化為A的逆矩陣A.用矩陣表示（A I）為（I A），就是求逆矩陣的初等行變換法，它是實際應(yīng)用中比較簡單的一種方法.需要注意的是，在作初等變換時只允許

7、作行初等變換.同樣，只用列初等變換也可以求逆矩陣.例1 求矩陣A的逆矩陣.已知A=.解 A I 故 A=.在事先不知道n階矩陣是否可逆的情況下，也可以直接用此方法.如果在初等變換過程中發(fā)現(xiàn)左邊的矩陣有一行元素全為0，則意味著A不可逆，因為此時表明=0，則A不存在.例2 求A=.解 A E= .由于左端矩陣中有一行元素全為0，于是它不可逆，因此A不可逆. 3.伴隨陣法定理 n階矩陣A=a為可逆的充分必要條件是A非奇異.且A=其中A是中元素a的代數(shù)余子式. 矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣，記作A，于是有A= A.證明 必要性：設(shè)A可逆，由A A=I，有=，則=，所以0，即A為非奇異.充分性： 設(shè)A為非奇

8、異，存在矩陣B=，其中AB= =I同理可證BA=I.由此可知，若A可逆，則A= A.用此方法求逆矩陣，對于小型矩陣，特別是二階方陣求逆既方便、快陣，又有規(guī)律可循.因為二階可逆矩陣的伴隨矩陣，只需要將主對角線元素的位置互換，次對角線的元素變號即可.若可逆矩陣是三階或三階以上矩陣，在求逆矩陣的過程中，需要求9個或9個以上代數(shù)余子式，還要計算一個三階或三階以上行列式，工作量大且中途難免出現(xiàn)符號及計算的差錯.對于求出的逆矩陣是否正確，一般要通過AA=I來檢驗.一旦發(fā)現(xiàn)錯誤，必須對每一計算逐一排查. 4分塊矩陣求逆法4.1.準對角形矩陣的求逆命題 設(shè)A、A都是非奇異矩陣，且A為n階方陣，A為m階方陣 證

9、明 因為=0, 所以A可逆.設(shè)A=，于是有=,其中 X A=I ， Y A=0，Z A=0，W A=I.又因為A、A都可逆，用A、A分別右乘上面左右兩組等式得：X= A，Y=0，Z=0，W= A故 A= 把上述結(jié)論推廣到每一個子塊都是非奇異矩陣的準對角形狀矩陣中去，即：= 4.2.準三角形矩陣求逆命題設(shè)A、A都是非奇異矩陣，則有=證明 因為=兩邊求逆得=所以 =同理可證=此方法適用于大型且能化成對角子塊陣或三角塊陣的矩陣. 是特殊方陣求逆的一種方法，并且在求逆矩陣之前，首先要將已給定矩陣進行合理分塊后方能使用. 5.恒等變形法恒等變形法求逆矩陣的理論依據(jù)為逆矩陣的定義，此方法也常用與矩陣的理論

10、推導(dǎo)上.就是通過恒等變形把要求的值化簡出來，題目中的逆矩陣可以不求，利用AA=E，把題目中的逆矩陣化簡掉。 例1 計算（A+4E）（4E-A）（16E-A）的行列式，其中 A=解 令 =DD= =.雖然題目中出現(xiàn)了（4E-A）.但是經(jīng)過化簡之后不再出現(xiàn)此式，因此得D=22500.例2 已知 n階矩陣A滿足A+2A-3E=0.求證：A+4E可逆并求出A+4E的逆.證明 把A+2A-3E=0變形為A+2A-8E=5E，即（A+4E）（A-2E）=-5E，可得（A+4E）（-A/5+2E/5）=E，所以存在一個矩陣B=-A/5+2E/5，使（A+4E）B=E，由定義得A+4E可逆，且（A+4E）=B

11、=-A/5+2E/5.另外，有些計算命題中雖出現(xiàn)逆矩陣，但通過適當(dāng)?shù)木仃囘\算可消去，因而不必急于求出逆矩陣. 6利用線性方程組求逆矩陣 若n階矩陣A可逆，則A A=E，于是A的第i列是線性方程組AX=E的解，i=1,2,n,E是第i個分量是I的單位向量.因此，我們可以去解線性方程組AX=B，其中B=（b,b,b）,然后把所求的解的公式中的b,b,b分別用E=（1,0,0,0），E=（0,1,0,0），E=(0,0,0,1)代替，便可以求得A的第1，2，n列，這種方法在某些時候可能比初等變換法求逆矩陣稍微簡一點.下面例子說明該方法的應(yīng)用.例 求矩陣A=的逆矩陣.解 設(shè)X=（x,x,x,x,x）,B=(b,b,b,b,b) 解方程組 AX=B，即：解得： 然后把B=（b,b,b）列，分別用E=（1,0,0,0），E=（0,1,0,0），E=(0,0,0,1)代入，得到矩陣A的第1，2 ，3，4，5列，分別用x=(,0,0,0,0),x=(3,0,0,0),x=(3,3,0,0),x=(3,3,3,0),x=(3,3,3,3,)A=.這種方法特別適用于線性方程組AX=B比較容易求解的情形，也是很多工程類問題的解決方法.3. 結(jié)束語： 以上各種求逆方法只是我的一些粗淺的認識，也許有很多的不當(dāng)之處，我希望我的這篇文章能給大家?guī)韼椭?，能幫助我們更快更準地解決