選修2－2第3章數系的擴充與復數的引入（理）（學案含答案）

1、.年級高二學科數學版本蘇教版理課程標題選修22 第3章 數系的擴大與復數的引入一、學習目的：1. 理解復數的根本概念；2. 理解復數相等的充要條件；3. 理解復數的代數表示法及其幾何意義；4. 會進展復數代數形式的四那么運算；5. 理解復數代數形式的加、減運算的幾何意義。二、重點、難點重點：掌握復數的概念；復數的加法與減法的運算及幾何意義；復數的四那么運算。難點：對復數概念和復數的幾何意義的靈敏運用及復數運算的準確運用。三、考點分析：1. 復數的有關概念和復數的幾何意義是高考命題的熱點之一，常以選擇題的形式出現，屬容易題；2. 復數的代數運算是高考的另一熱點，以選擇題、填空題的形式出現，屬容易

2、題。一、復數的有關概念1. 復數的概念形如abia，bR的數叫做復數，其中a，b分別是它的實部和虛部。假設b0，那么abi為實數，假設b0，那么abi為虛數，假設a0且b0，那么abi為純虛數。2. 復數相等：abicdiac且bda，b，c，dR。3. 共軛復數：abi與cdi共軛ac，bda，b，c，dR。4. 復平面借用直角坐標系來表示復數的平面，叫做復平面。x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸。實軸上的點表示實數；除原點外，虛軸上的點都表示純虛數；各象限內的點都表示非純虛數。5. 復數的模向量的模r叫做復數zabi的模，記作|z|或|abi|，即|z|abi|。二、復數的幾何意義1. 復數zab

3、i復平面內的點Za，ba，bR；2. 復數zabi平面向量a，bR。三、復數的運算1. 復數的加、減、乘、除運算法那么設z1abi，z2cdia，b，c，dR，那么加法：z1 z2abicdiacbdi；減法：z1 z2abicdiacbdi；乘法：z1· z2abi·cdiacbdadbci；除法：2. 復數加法的運算定律復數的加法滿足交換律、結合律，即對任何、C，有，。注：任意兩個復數不一定能比較大小，只有這兩個復數全是實數時才能比較大小。知識點一：復數的有關概念例1 當實數m為何值時，zlgm22m2m23m2i1為純虛數；2為實數；3對應的點在復平面的第二象限內。思

4、路分析：根據復數分類的條件和復數的幾何意義求解。解題過程：根據復數的有關概念，轉化為實部和虛部分別滿足的條件求解。1假設z為純虛數，那么解得m32假設z為實數，那么解得m1或m23假設z的對應點在第二象限，那么解得1<m<1或1<m<3。即1m3時，z為純虛數；2m1或m2時，z為實數；31<m<1或1<m<3時，z對應的點在復平面的第二象限內。解題后反思：處理有關復數概念的問題時，首先要找準復數的實部與虛部假設復數為非標準的代數形式，那么應通過代數運算化為代數形式，然后根據定義解題。知識點二：復數相等例2 集合Ma3b21i，8，集合N3i，a

5、21b2i同時滿足MNM，MN，求整數a，b思路分析：判斷兩集合元素的關系列方程組分別解方程組檢驗結果是否符合條件。解題過程：或或由得a3，b±2，經檢驗，a3，b2不合題意，舍去。a3，b2由得a±3，b2。又a3，b2不合題意，a3，b2；由得，此方程組無整數解。綜合得a3，b2或a3，b2。解題后反思：利用復數相等可實現復數問題向實數問題的轉化。解題時要把等號兩邊的復數化為標準的代數形式。注：對于復數z，假如沒有給出代數形式，可設zabia，bR。知識點三：復數的代數運算例3 計算：思路分析：根據復數的運算法那么計算。解題過程： 解題后反思：1在進展復數的代數運算時，

6、記住以下結論，可進步計算速度：2復數的四那么運算類似于多項式的四那么運算，此時含有虛數單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可，但要注意把i的冪寫成最簡單的形式，在運算過程中，要熟悉i的特點及純熟應用運算技巧。知識點四：復數加減法的幾何意義例4 如圖，平行四邊形OABC，頂點O、A、C分別表示0，32i，24i，試求：1表示的復數；2對角線所表示的復數。思路分析：求某個向量對應的復數，只要求出向量的起點和終點對應的復數即可。解題過程：1，表示的復數為32i。，表示的復數為32i。2，所表示的復數為32i24i52i。解題后反思：1解決這類題目時可利用復數abia，bR與復

7、平面內以原點為起點的向量之間一一對應的關系，相等的向量表示同一復數，然后借助于向量運算的平行四邊形法那么和三角形法那么進展求解。2復數問題實數化是解決復數問題最根本也是最重要的思想方法，橋梁是設zxyi，根據是復數相等的充要條件。湖北高考假設i為虛數單位，圖中復平面內點Z表示復數z，那么表示復數的點是 A. E B. F C. G D. H思路分析：首先在圖形上看出復數z的代數形式，再進展復數的除法運算，分子和分母同乘以分母的共軛復數，整理成最簡形式，在坐標系中看出對應的點。解題過程：觀察圖形可知z3i，即對應點H2，1，應選D。解題后反思：此題考察復數的幾何意義，考察根據復數的代數形式，在坐

8、標系中找出對應的點，根據復平面上的點寫出對應的復數的表示式。問題：z為復數，z2i和均為實數，其中i是虛數單位。1求復數z；2假設復數zai2在復平面上對應的點在第一象限，務實數a的取值范圍。思路分析：1設出復數的代數形式，整理出z2i和，根據兩個都是實數、虛部都等于0，得到復數的代數形式。2根據上一問得出的復數的結果，代入復數zai2中，利用復數的加減和乘方運算，寫出代數的標準形式，根據復數對應的點在第一象限，寫出關于實部大于0和虛部大于0，解不等式組，得到結果。解題過程：1設復數zabia，bR，由題意，z2iabi2iab20，即b2。又，2ba0，即a2b4。z42i。2由1可知z42i，zai242iai24a2i216a228a2i對應的點在復平面的第一象限，解得a的取值范圍為2a6。解題后反思：此題考察復數的加減乘除運算，復數的代數形式和幾何意義，復數與復平面上的點的對應，及解決實際問題的才能，是一道綜合題。1. 掌握復數的代數形式，理解實部和虛部的概念，及復數的幾何意義。2. 純熟進展復數的加減法和乘除法的運算。常用的運算公式要記牢：1±i2±2i，i，i，i，bai，±i