【巧解妙解】高考數(shù)學(xué)向量與其他問(wèn)題結(jié)合的經(jīng)典題型

1、平面向量綜合應(yīng)用與解題技巧【命題趨向】由2019年高考題分析可知：1 .這部分內(nèi)容高考中所占分?jǐn)?shù)一般在10分左右.2 .題目類型為一個(gè)選擇或填空題，一個(gè)與其他知識(shí)綜合的解答題.3 .考查內(nèi)容以向量的概念、運(yùn)算、數(shù)量積和模的運(yùn)算為主.【考點(diǎn)透視】“平面向量”是高中新課程新增加的內(nèi)容之一，高考每年都考，題型主要有選擇題、填空題，也可以與其他知識(shí)相結(jié)合在解答題中出現(xiàn)，試題多以低、中檔題為主.透析高考試題，知命題熱點(diǎn)為：1 .向量的概念，幾何表示，向量的加法、減法，實(shí)數(shù)與向量的積.2 .平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量的數(shù)量積及其幾何意義.3 .兩非零向量平行、垂直的充要條件.4 .圖形平移、線段的定比分

2、點(diǎn)坐標(biāo)公式.5 .由于向量具有“數(shù)”與“形”雙重身份，加之向量的工具性作用，向量經(jīng)常與數(shù)列、三角、解析幾何、立體幾何等知識(shí)相結(jié)合，綜合解決三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值及三角形中的有關(guān)問(wèn)題，處理有關(guān)長(zhǎng)度、夾角、垂直與平行等問(wèn)題以及圓錐曲線中的典型問(wèn)題等.6 .利用化歸思想處理共線、平行、垂直問(wèn)題向向量的坐標(biāo)運(yùn)算方面轉(zhuǎn)化，向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn) 化為向量的運(yùn)算等；利用數(shù)形結(jié)合思想將幾何問(wèn)題代數(shù)化，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算解決幾何問(wèn)題.【例題解析】1.向量的概念，向量的基本運(yùn)算(1)理解向量的概念，掌握向量的幾何意義，了解共線向量的概念(2)掌握向量的加法和減法.(3)掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個(gè)向量共線的充要條件(4) 了解

3、平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.(5)掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題，掌握向量垂直的條件.(6)掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式 .例1 (北京卷理)已知 。是 ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊中點(diǎn)，且2OA+OB+OC =0,那么匚2.A. AO =ODB . AO 2ODC . AO =3ODD . 2AO =ODdB =顯,.2OA 2OD =0, AO =OD."題意仁 y 工能叫合沙再向wg能力解： 20A OB OC =2OA ' (DB OD) (DC OD )=0,故選

4、A._.例 2.(安徽卷)在 ABCD 中，NB =a, AD =b,AN =3NC*, M為 BC的中點(diǎn)，則 MN =(用a b表示)命題意圖：本題主要考查向量的加法和減法 ，以及實(shí)數(shù)與向量的積.角牛.由 AN =3NC44AN =3AC=3(a 州)，am =a + b，所以，MN = (a +b) (a 24例3.(廣東卷)如圖1所示，D是4ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量cD =()(A) -BC +-BA( B)-BC - BA22(C)- 1 -BC BA2(D)一 1 .BC BA2命題意圖：本題主要考查向量的加法和減法運(yùn)算能力 解：CD=CB+BD=_BC+1BA，故選 A.2例

5、4.(重慶卷)與向量a=i?i)b_47'為的夾解相等，且模為i的向量是() 2,2 ,一 2,2(A)色 _3)(B)_2 :或5, 55, 55,5(C) S收 1、(D) ,2v2 1 '或''2五 1 ', , 33 J 33 J 、3 3 J命題意圖：本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和用平面向量處理有關(guān)角度的問(wèn)題解：設(shè)所求平面向量為12CJ-4,3 )tcos15 5；12故平面向量c與向量a=1Z 1)b-(17 %的夾角相等.故選b.2,2 , 一 2,2例5.(天津卷)設(shè)向量 a與b的夾角為0,且f = (3,3), 2:a = (1,1)

6、,則cosB命題意圖：本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積,以及用平面向量的數(shù)量積處理有關(guān)角度的問(wèn)題.解：設(shè)b =(x,y )由2b -a =2(x,y 尸(3,3 )=(2xW,2y 3 W-1,1 )12x-3 =一1一 ! x =1, T3.10一 10故填也.例6.(2006年湖北卷)已知向量a=(點(diǎn),1y b是不平行于x軸的單位向量，且ab=«， 則6=()(A)01 1 1(B)1 a)(C)'13ilJ(D)(1,0)<2 ,2J8 2 )<4, 4 )命題意圖：本題主要考查應(yīng)用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積,以及方程的思想, 10

7、解題的能力.解：設(shè) b=(xyXx#y)，則依題意有 y+y2：1, lx 4, j：/3x y = 3. I'.'3y虧b2、b3，滿足=2'：'，且 ai 順故選B.例7.設(shè)平面向量a1 > a2、a?的和a抬2 +a3 -0 .如果向量b1、時(shí)針旋轉(zhuǎn)30o后與b同向，其中i =1,2,3,則()(A _b； +b2 +b3 =0( B)bl -b2 +b3 =0(O b14b2 _b3 =0( D)R +b24b3 =0命題意圖：本題主要考查向量加法的幾何意義及向量的模的夾角等基本概念常規(guī)解法：: al+03 =0,，城+2a2+2*03 =0.故把

8、2 a 0=1,2,3),分別按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30 ,后與bj重合，故1+7丁=0,應(yīng)選D.巧妙解法：令01=0,則:=3,由題意知b2 = M，從而排除B,C,同理排除A,故選(D).點(diǎn)評(píng)：巧妙解法巧在取01=0,使問(wèn)題簡(jiǎn)單化.本題也可通過(guò)畫圖，利用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解決.2.平面向量與三角函數(shù)，解析幾何等問(wèn)題結(jié)合(1)平面向量與三角函數(shù)、三角變換、數(shù)列、不等式及其他代數(shù)問(wèn)題，由于結(jié)合性強(qiáng)，因而 綜合能力較強(qiáng)，所以復(fù)習(xí)時(shí)，通過(guò)解題過(guò)程，力爭(zhēng)達(dá)到既回顧知識(shí)要點(diǎn)，又感悟思維方法的雙重效果，解題要點(diǎn)是運(yùn)用向量知識(shí)，將所給問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題求解(2)解答題考查圓錐曲線中典型問(wèn)題，如垂直、平行、共線等，此類

9、題綜合性比較強(qiáng)，難度 大.例 8. (2007 年陜西卷理 17.)設(shè)函數(shù) f(x)=a-b,其中向量 a=(m,cos2x), b=(1+sin2 x,1), xCR,且函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) 色,24(I)求實(shí)數(shù)m的值；(n )求函數(shù)f (x)的最小值及此時(shí)x的值的集合.解：(I) f(x) = a|_b = m(1+sin2x)+cos2x,由已知 f =m M +sin 1 + cos =2 ,得 m = 1.(工吟2x4422(n )由(I)得 f (x) = 1 sin 2x cos2x = 1. 2 sin，當(dāng)sinhx1時(shí)，f(x)的最小值為1J2,3兀 88,4由sin

10、 2x +|=一1,得*值的集合為«xx = kI 4 J例2. (2007年陜西卷文17)設(shè)函數(shù) f(x)=a、b.其中向重 a = (m,cosx), b = (1 + sin x,1), x 匚 R,且f () = 2 .2(i)求實(shí)數(shù) m的值；(n)求函數(shù)f (x)的最小值.解：(I) f (x) =a|b = m(1 +sin x) + cosx , f L m ' 1 + sin - 1 + cos - = 2 ，得 222(n )由(i)得 f (x) =sin x +cosx +1 = V2sin 1 x + 1+1，,二當(dāng) sin 1 x+ = -1 時(shí),

11、44f(x)的最小值為1-收例9.(湖北卷理16)設(shè)AB和AC的夾角為0 .已知ZXABC的面積為3,且滿足0 0南AC < 6 ,(H )求函數(shù) f(0)=2sin2 1 +6 I J3cos2日的最大 4解：(I)設(shè)zXABC中角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,1則由 一 bcsin 8=3 , 0 < bc cos9 < 6 ,可得 0 W cot 9 < 1, 日 w |,一(n)2_4 2f(1)=2sin2i，1-<3cos2- 1-cosi - 21-、3cos214_2二(1 sin 2與-、3 cos21 - sin 213 cos21

12、1 = 2sin i 2 1-3八 I冗 冗I c 冗 冗27tl . f、 冗、 . ew I-,-28w I-,一2< 2sin 281+1 0 3._4 23IL6 33即當(dāng)日=W時(shí)，f(H)max=3；當(dāng)9=時(shí)，"日心所=2.124例10.(廣東卷理)已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為A(3,4)、B(0,0)、C (c,0)(1)若c=5,求sin / A的值；(2)若/ A為鈍角，求c的取值范圍;解：(1) AB=(3,Y), 7C =(c3,Y),若 c=5, 則 7C = (2, 口)，-6 16-6 161, ，一 2 51 1 cos-A =cos <

13、;AC, AB >=f = , 1 sin / A=;52,555/ A為鈍角，則 產(chǎn)食+16<0,解得c>25,c的取值范圍是(絲，依) c=0,33例11.(山東卷文17)在4ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c, tanC=3".(1)求 COSC ； (2)若解：(1) ,：tanC =377".sin C =37cosC又：'sin2 C cos2 C = 11.cosC =-8解得 cosC=±.* tanC >0,C是銳角.8*T 5- 5.一 ,；CB CA = ,二 abcosC=,.ab = 20

14、.一 22又'：a+b=9，a2+2ab+b2 =81.，a2+b2=41.22. 2c =a +b 2abcosC =36 ., c = 6 .例 12.(湖北卷)設(shè)函數(shù) f(x)=a (b+c y 其中向量 1 =(sinx,cosx )b =(sinx,4cosx)c 二-cosx,sin x ,x 三 R.(I)求函數(shù)f(x戶最大值和最小正周期；(n)將函數(shù)y = f (x y圖像按向量d平移，使平移后得到的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì) 稱，求長(zhǎng)度最小的d .命題意圖：本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算方法、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)及圖像的基本知識(shí)，考查推理和運(yùn)算能力.解：(I)由

15、題意得，f(x) = a , (b 4c )=(sinx, cosx) (sinx cosx,sinx 3cosx)=sin 2x 2sinxcosx+3cos 2x = 2+cos2x sin2x = 2+v 2 sin(2x+ 3L).所以，f(x)的最大值為2+、；萬(wàn)，最小正周期是空=n.(n)由 sin(2x+ 四)=0得 2x+3I = k.n，即 x=旦_四，kC Z,4428于是d=("一生，2), d|=J(生斗2於kCZ.28V 28 '因?yàn)閗為整數(shù)，要使：|最小，則只有k= 1,此時(shí)d =(一三，一2)即為所求.一.,. 一、. 一， ，一 4.兀兀例 1

16、3. ( 2006 年全國(guó)卷 II )已知向重 a = (sin 0 , 1), b = (1 , cos 0 ),-萬(wàn)v 0 <2-(I )若 a X b，求 0 ;(n )求| a + b I的最大值.命題意圖：本小題主要考查平面向量數(shù)量積和平面向量的模的計(jì)算方法、以及三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)等基本知識(shí)，考查推理和運(yùn)算能力解：(I)若 a，b ,則 sin。+ cos。= 0,兀兀.兀由此得 tan 。=1("2-v。<-2),所以 。="4；(n)由 a = (sin 0,1),4b = (1 , cos 0 )得I a + b | =sin0 + 1)

17、2+ (1 + cos 0 )2 =y3+ 2(sin_0 + cos 0 )=5+2娟sin（ 9 十七）,當(dāng)sin（。+彳）=1時(shí)，|a + b|取得最大值，即當(dāng) 0 =時(shí)，| a+b|最大值為，2+1.例14. （2006年陜西卷）如圖，三定點(diǎn)-4 T T AD =tAB,BE =tBC , DM =tDE ,t 三0,1.（I）求動(dòng)直線DE斜率的變化范圍;（II ）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。A(2,1),B(0, _1),C(21);三動(dòng)點(diǎn) D E、M滿足y命題意圖：本小題主要考查平面向量的計(jì)算方法、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)及圖像和圓錐曲線方程的求法等基本知識(shí),AB圖2考查推理和運(yùn)算能力.解

18、法一：如圖，（I )設(shè) D(x0,y 0),E(x E,y E),M(x,y).由=t, = t ,知(x d 2,y d 1)=t( 2, 2).xd=2t+2y d= 2t+1xE= 2tyE=2t 1kDE =yE yD.t e(n)Xe- Xd0,1, =t) 2t - 1- ( -2t+1)- =1-2t - ( - 2t+2)- kDEC 1,1.(x+2t - 2,y+2t 1)=t(2t.1)=t(2 吟,2,4t 2)=( - 2t,4t 22t).即 x2=4y. t 6 0,1, x=2(1-2t+2t - 2,2t - 1+2t.,X=2(1 -2t) 'y=(

19、1 -2t) 2,2t) C -2,2.同即所求軌跡方程為：x 2=4y, x e 2,2 解法二：（I ）同上.(n )如圖,=+ =+ = +t = +t( =+= + t= +t(=+ t = + t(一)=(1 t) +t,=（1 t 2）設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為一)=(1 t) +t,)=(1 t) + t+ 2(1- t)t+t 2 .(x,y),由=(2,1), =(0,-1), =( 2,1)得/x=(1 -t ) - 2+2(1 -t)ty=(1 t) - 1+2(12,2.故所求軌跡方程為- 0+t2 ( 2)=2(1 2t) 22t)t ( 1)+t1=(12t):x 2=4y,

20、x -2,2消去t得x2=4y,.te0,1, x e例15.（全國(guó)卷II(入 >0).過(guò)A、）已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F, A B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且AF=X FB B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M.(I )證明(n)設(shè)4FM - AB為定值；ABM勺面積為S,寫出S= f（入）的表達(dá)式，并求 S的最小值.命題意圖：本小題主要考查平面向量的計(jì)算方法、和圓錐曲線方程，以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基本知識(shí)，考查推理和運(yùn)算能力 .解：（I）由已知條件，得 F（0, 1）,入0.設(shè) a(Xi, y。，E(X2, y2).由 AF=入 FB,即得 (一Xi, 1 y)=入(X2, y21)

21、, -xi = X X2H-yi=入(V2 1)一 1c 1 .一0 一將式兩邊平方并把 y1 = 4X1 , y2 = 4X2代入得 y=入y2 解、式得 y1=入，y2 =,且有 X1X2= Xx22= - 4Xy2= 4,拋物線方程為y = %2,求導(dǎo)得y' =1x.所以過(guò)拋物線上 A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是 11y=2X1(X X1)+ y1, y=2X2(X X2) + y2,IP y= -X1X- -X12, y= -X2X - -X22.2 24 24X1 X2 X| X2X1 X2解出兩條切線的交點(diǎn) M的坐標(biāo)為(2,2)=(2 ,一1).所以 FM AB= ( X1 +

22、X2 , 2) (X2X1, y2y。=：(X22X12) 2(x22=X12) = 0.2244 所以FM- AB為定值，其值為0.1 .(n )由(I )知在 ABW, FMLAB,因而 S= 2| AB| FM .|FMX1 + X2 (21)2+(-2)2+ y2 + 2X ( - 4) +4=1 / 入 + + 2 =12 12 1A /4X12+4X22+-2X1X2 + 41因?yàn)閨AF、|BF分別等于A、B到拋物線準(zhǔn)線y=- 1的距離，所以| AB = | AF| + | BF = y1 + y2+ 2 =入+ + 2 = (+ 個(gè))?.S= 21ABi FM = (五 十 卡)

23、3,由yr+-=>2知s>4,且當(dāng)入=1時(shí),S取得最小值4.【專題訓(xùn)練與高考預(yù)測(cè)】1.-、選擇題已知 a =(2,3),b =(4,x)，且 a/b,則X 的值為A. 6B. 6c. 83D.2.已知 ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且CD =2DB,CD =rAB+sAC,則 r + S 的值是(D. 0x2 +y2 +2x -4y相(A )D. 39A. -B. -C. - 3333 .把直線x-2y=0按向量a=(T,-2)平移后，所得直線與圓切，則實(shí)數(shù)九的值為A. 39B. 13C. 214 .給出下列命題：a b =0,則a =0或b =0. 若e為單位向量且a/ e,則a=|

24、a|,e.a-a-a=ia 若a與b共線，b與c共線，則a與c共線.其中正確的個(gè)數(shù)是( )A. 0B. 1C. 2D. 35 .在以下關(guān)于向量的命題中，不正確的是()A.若向量 a=(x, y),向量 b=( -y, x)( x、yw0),則 a±bB.四邊形ABCD菱形的充要條件是 Ab = DC ,且| AB |二| AD |C.點(diǎn) G是ABCW重心，則 gA+gB+cG=0D.AABC, AB,和 CA 的夾角等于 180° - A6 .若O為平行四邊形 ABCD勺中心，AB = 4 e,= 6 e2,則3e22e1等于()A. AOB.BOC.COD.DO7 .將函

25、數(shù)y=x+2的圖象按a= (6, 2)平移后，得到的新圖象的解析式為()A.y=x+10B.y=x- 6C.y=x+6D.y=x108 .已知向量m=(a,b),向量 mln且|m|二| n|,則n的坐標(biāo)為A. (a, b)B.( a,b)C.( b, a)D.( b, a)9 .給出如下命題：命題(1)設(shè)e1、e2是平面內(nèi)兩個(gè)已知向量，則對(duì)于平面內(nèi)任意向量a,都存在惟一的一對(duì)實(shí)數(shù)x、y,使a=xe1+ye2成立；命題(2)若定義域?yàn)?R的函數(shù)f(x)恒滿足| f(x) I = I f(x) I ,則f(x)或?yàn)槠婧瘮?shù)，或?yàn)榕己瘮?shù).則下述判斷正確的是()A.命題(1) (2)均為假命題B.命題

26、(1) (2)均為真命題C.命題(1)為真命題，命題(2)為假命題D.命題(1)為假命題，命題(2)為真命題10 .若|a+b|=|a-b|,則向量a與b的關(guān)系是()fTA. a=0 或 b=0B.|a|=|b| C. a?b=0 D.以上都不對(duì)11 . O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+M_4b_ +斗)九可0 Y則P的軌跡一定通過(guò) ABC的()|AB| |ACA.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心12 .若 a=(2,T,1 b =(2,0,3 ) C = (0,2,2),則 ab+C)=()A. 4B. 15C. 7D. 3二、填空題1 .已知| AB|

27、=3,| aC|=4,aB與AC的夾角為60° ,則aB與AB AC的夾角余弦為 .TTT T2 已知 a = ( 4,2,x ), b = (2,1,3), 且 a _L b ,則 x =.» F3. 向量(a + 3b) _L(7a _ 5b ) , (a - 4b ).L(7a - 2b ),則 a和 b所夾角是4. 已知 A(1, 0, 0), B(0, 1, 0 ), C(0, 0, 1),點(diǎn) D滿足條件：DBLAC, DdAB, AD=BC, 則D的坐標(biāo)為5. 設(shè)a,b是直線，a, P是平面，a 1 a,b 1 P ,向量a1在a上，向量 b1在b上，al =1

28、,1f,匕=-3,4,0,則a, P所成二面角中較小的一個(gè)的大小為 .三、解答題1 .ABC 中，二個(gè)內(nèi)角分別是 A B、G 向重 a =(2L5cosC ,cosA二B),當(dāng) tan a，tan B2 221 ,-=時(shí)，求 |a|. 92 .在平行四邊形 ABCD43, A (1, 1), AB =(6,0),點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，線段 CM與BD 交于點(diǎn)P. .(1)若AD=(3,5),求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)當(dāng)|AB|*AD|時(shí),求點(diǎn)p的軌跡.3 .平面內(nèi)三個(gè)力F；, F；,目作用于同，點(diǎn)O且處于平衡狀態(tài)，已知f1 , F；的大小分別,求F3的大小及F3與F1夾角的大小為 1kg,、62 k

29、g, F1、F2 的夾角是 454 .已知a, b都是非零向量，且 a+3b與7a 5b垂直，a4b與7a2b垂直，求a與b的夾 角.5 .設(shè) a=(1+cos a ,sin a ), b=(1 cos 3 ,sin 3 ), c=(1,0),a C (0,兀)3 C (兀，2 兀)，a 與 c冗Ot p的夾角為0 1, b與c的夾角為0 2,且。1。2=,求sin .6 .已知平面向量 a= ( J3 , 1), b=(,).22(1)證明:a±b；(2)若存在實(shí)數(shù)k和t,使得x=a+( t23)b, y=ka+tb,且xy,試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t);(3)根據(jù)(2)的結(jié)論，確定

30、k=f(t)的單調(diào)區(qū)間.【參考答案】一、選擇題1.B 2 , D 3. A4, A5.答案：C提示：若點(diǎn) G是4ABC的重心，則有 GA+GB+GC =0,而C的結(jié)論是GA+GB +CG =0,顯然是不成立的，選 C.6.B 7.B 8.C 9.A 10. C 11. B 12 . D二、填空題1.逸 2. 2 3.60。4 . (1, 1, 1)或(Y,3,Y) 5 . arccos13.133.解：由 a - 3b 7a -5b >0, a4b 7a - 2b )=02.有 7a 16a b，7a -30a b 8b =0,.2.2.2 一解得 a =b , b =2a4.解:設(shè) D

31、(x, y, z),則 BD=(x, y1,z), CD=(x,y,z1) AD = (x-1, y, z ),AC =(-1,0,1),AB =(-1,1,0),BC =(0,-1, 1)又 DBL AC= -x+z=0,DC LAB=-x+y=0,AD=BC u (x1j+y2+z2=2,聯(lián)立解得 x=y=z=1 或 x=y=z= 1 所以 D點(diǎn)為（1,1, 1）或（一-,一-,一4）。 _ .3333三、解答題12 5 5 C ：1 ,|a| =(cos)22252 C :I a | =一 cos cos4222 A - B+cos ，22 A -B 5 .;=-sin242 A B 2

32、 A-B- cos 5 1 cos(A ' B) 1 - cos(A -B)=十1 r ， _=-9 4cos(A-B) -5cos(A ' B)= _(9 -4cosAcosB，4sin Asin B-5cosAcosB-5sin Asin B) 81= -(9 »9sin AsinB -cosAcosB).8p , A,-1 sin Asin B 1又 tan A tan B =，即=-9 cosAcosB 9,9 sin Asin B =cosAcosB.,293 2. J a | ，故1 a | = .842.解：（1）設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x0, y0）,又 AC

33、=AD+AB =(3,5)+(6,0) =(9,5),即(x -1, y0 -1) =(9,5) .x0 =10,y0 =6即點(diǎn) C (0, 6).設(shè) P(x,y),則BP =AP - AB =(x -1,y -1) -(6,0) =(x -7, y -1).AC =AMMC =- AB 3MP =- AB 3(AP - AB)222=3AP - AB =(3(x -1),3(y -1) -(6,0)=(3x -9,3y -3).ab|4ad |. .OAbcd 為菱形.A AC -LAD,即(x7,y1) (3x9,3y3) =0.(x _7)(3x _9) (y _1)(3y _3) =022,x y -10x _2y 22 =0（y =1）.故點(diǎn)P的軌跡是以（5, 1）為圓心，2為半圓去掉與直線 y=1的兩個(gè)交點(diǎn)解法二：.lABITADI. D 的軌跡方程為 (x -1)2 +(y -1)2 =36 (y #1).1丁 M為AB中點(diǎn)，.P分BD的比為-.設(shè) P(x,y),B(7,1),. D(3x -14,3y-2).二 P 的軌跡方程(3x -15)2 +(3y -3)2 =36.整理得(x -5)