小學(xué)奧數(shù)：數(shù)陣圖(一).專項(xiàng)練習(xí)及答案解析

1、5-1-3-1.數(shù)陣圖5-1-3-1.數(shù)陣圖.題庫(kù)教師版page 14 of 14教學(xué)目標(biāo)1 .了解數(shù)陣圖的種類2 .學(xué)會(huì)一些解決數(shù)陣圖的解題方法3 .能夠解決和數(shù)論相關(guān)的數(shù)陣圖問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)撥、數(shù)陣圖定義及分類:1 .定義：把一些數(shù)字按照一定的要求，排成各種各樣的圖形，這類問(wèn)題叫數(shù)陣圖.2 .數(shù)陣是一種由幻方演變而來(lái)的數(shù)字圖.數(shù)陣圖的種類繁多，這里只向大家介紹三種數(shù)陣圖：即封閉型數(shù)陣圖、輻射型數(shù)陣圖和復(fù)合型數(shù)陣圖3 .二、解題方法：解決數(shù)陣類問(wèn)題可以采取從局部到整體再到局部的方法入手：第一步：區(qū)分?jǐn)?shù)陣圖中的普通點(diǎn) （或方格）和關(guān)鍵點(diǎn)（或方格）；第二步：在數(shù)陣圖的少數(shù)關(guān)鍵點(diǎn)（一般是交叉點(diǎn)）上設(shè)置未

2、知數(shù)，計(jì)算這些關(guān)鍵點(diǎn)與相關(guān)點(diǎn)的 數(shù)量關(guān)系，得到關(guān)鍵點(diǎn)上所填數(shù)的范圍；第三步：運(yùn)用已經(jīng)得到的信息進(jìn)行嘗試.這個(gè)步驟并不是對(duì)所有數(shù)陣題都適用，很多數(shù)陣題更需要對(duì)數(shù)學(xué)方法的綜合運(yùn)用.即如例題精講模塊一、封閉型數(shù)陣圖【例1】 把18的數(shù)填到下圖中，使每個(gè)四邊形中頂點(diǎn)的數(shù)字和相等?！究键c(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，3年級(jí)，第6題【例2】 將18這八個(gè)自然數(shù)分別填入下圖中的八個(gè)。內(nèi)，使四邊形每條邊上的三個(gè)數(shù) 之和都等于14,且數(shù)字1出現(xiàn)在四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)上.應(yīng)如何填？【考點(diǎn)】封閉型數(shù)陣圖【難度】2星【題型】填空【解析】為了敘述方便，先在各圓圈內(nèi)填上字母，如下圖（2）.由條件得出以下四個(gè)算式:a+b+

3、c=14 (1)c+d+e=14e+f+g=14(3)a+h+g=14(4)由(1) + (3),得：a+b+c+e+f+g=28 , (a+b+c+d+e+f+g+h ) - (d+h)二28,d+h= (1+2+3+4+5+6+7+8) -28=8 ,由(2) + (4),同樣可得 b+f=8 ,又 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 中有 1+7=2+6=3+5=8.又1要出現(xiàn)在頂點(diǎn)上，d+h與b+f只能有2+6和3+5兩種填法.又由對(duì)稱性，不妨設(shè) b=2, f=6 , d=3, h=5.a, c, e, g 可取到 1, 4, 7, 8若 a=1,則 c=14- (1+2)

4、=11,不在 1,4, 7, 8中，不行.若 c=1,則 a=14- (1+2) =11,不行.若 e=1,則 c=14- (1+3) =10,不行.若 g=1,則 a=8, c=4, e=7.說(shuō)明：例題為封閉型數(shù)陣，由它的分析思考過(guò)程可以看出，確定各邊頂點(diǎn)所應(yīng)填 的數(shù)為封閉型數(shù)陣的解題突破口.【答案】【例3】 在如圖6所示的。內(nèi)填入不同的數(shù)，使得三條邊上的三個(gè)數(shù)的和都是12,若A、B C的和為18,則三個(gè)頂點(diǎn)上的三個(gè)數(shù)的和是 ?！究键c(diǎn)】封閉型數(shù)陣圖【難度】1星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，復(fù)賽，第 11題，5分【解析】設(shè)三個(gè)頂點(diǎn)為D, EF,求DE.F。觀察容易發(fā)現(xiàn)，三條邊的和為36

5、,即D+A+E+E+C+F+F+B+D=3618+2( D+E+F)=36 ,所以 D+E+F=9 【答案】9【例4】 將1至6這六個(gè)數(shù)字填入圖中的六個(gè)圓圈中（每個(gè)數(shù)字只能使用一次），使每條邊上的數(shù)字和相等.那么，每條邊上的數(shù)字和是 .【考點(diǎn)】封閉型數(shù)陣圖【難度】2星【題型】填空【解析】如圖，用字母表示各個(gè)圓圈中的數(shù)，那么每條邊上的數(shù)字和為1 2 L 9 a b c 3 15 a b c，由于 a b c 最小為 1 2 3 6,最大3為4 5 6 15 ,所以每條邊上的數(shù)字和最小為17,最大為20,如下兩圖為每條邊上的數(shù)字和分別為17和20時(shí)的填法.而每條邊上的數(shù)字和能否為18或19呢？答案

6、是否定的，現(xiàn)說(shuō)明如下.如果每條邊上的數(shù)字和為18,那么a b c 18 15 3 9 ,而a b d 9 18 ,即a b d 9,得到c d ,與題意不符，所以每條邊上的數(shù)字和不能為18.如果每條邊上的數(shù)字和為19,類似分析可得到 b e,也與題意不符，所以每條邊上的數(shù)字和不能為 19.所以每條邊上的數(shù)字和為 17或20.【答案】17或20【例5】 將1到8這8個(gè)自然數(shù)分別填入如圖數(shù)陣中的8個(gè)圓圈，使得數(shù)陣中各條直線上的三個(gè)數(shù)之和都相等，那么A和B兩個(gè)圓圈中所填的數(shù)之差 （大數(shù)減小數(shù)）是【考點(diǎn)】封閉型數(shù)陣圖【難度】3星【關(guān)鍵詞】2008年，學(xué)而思杯，五年級(jí), 【解析】方法一：如圖【題型】填空

7、4年級(jí)，第4題用字母來(lái)表示各個(gè)圓圈中的數(shù)字，設(shè)各條直線上的個(gè)數(shù)之和都為s ,那么b A d c B f 3s ,所以 2A B s,3,2s8A B 5A 3B ,而36 ,所以5A這兩種情況下3B 36,那么A是3的倍數(shù).如果A和B的差都為4,所以A和B兩個(gè)圓圈中所填的數(shù)之差（大數(shù)減小數(shù)）是4. 方法二：設(shè)各條直線上的三個(gè)數(shù)之和都為2(1L 8) B 5s ,即 72 B 5s ,所以Bs214B I由于(18)因此有s 14A 6s 13，綜合有A 32146s 13,A 3所以A和B兩個(gè)圓圈中所填的數(shù)之差【答案】4（大數(shù)減小數(shù))是4.【例6】如圖所示，圓圈中分別填人 和都是18,則中間兩

8、個(gè)數(shù)0到9這10個(gè)數(shù)，且每個(gè)正方形頂點(diǎn)上的四個(gè)數(shù)之A與B的和是O【難度】3星【題型】填空【考點(diǎn)】封閉型數(shù)陣圖【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級(jí)，二試，第若每個(gè)正方形中數(shù)的和都是B各多算了一次，故 A+B=9o95題，4分18,那么總和為54,而這10個(gè)數(shù)的和為45,其中A【例7】把211這10個(gè)數(shù)填到右圖的的正方形中的4個(gè)數(shù)之和相等.10個(gè)方格中，每格內(nèi)填一個(gè)數(shù)，要求圖中3個(gè)2 2 那么，這個(gè)和數(shù)的最小值是多少？【難度】3星【考點(diǎn)】封閉型數(shù)陣圖【題型】填空【解析】第一步：首先確定數(shù)陣圖中的關(guān)鍵方格，即相鄰兩個(gè)正方形相交的兩個(gè)方格；第二步：計(jì)算三個(gè) 2 2正方形內(nèi)4個(gè)數(shù)之和的和，顯然這個(gè)和能被3整除，其中

9、有兩個(gè)數(shù)被重復(fù)計(jì)算了兩次，而 2 3 L 11 65,除以3余2,因此被重復(fù)計(jì)算的兩個(gè)數(shù)的和被 除余1,這兩個(gè)數(shù)取2、5時(shí)，這個(gè)和取得最小值；第三步，由已知的兩個(gè)方格中的數(shù)，得到每個(gè) 2 2正方形中的4個(gè)數(shù)之和的最小值為 2424,如圖，所以所求的最小值是構(gòu)造各個(gè)正方形中其他幾個(gè)數(shù)使每個(gè)正方形中的數(shù)的和為24.【答案】24例8 下圖中有五個(gè)正方形和 12個(gè)圓圈，將112填入圓圈中，使得每個(gè)正方形四角上 圓圈中的數(shù)字之和都相等.那么這個(gè)和是多少？【考點(diǎn)】封閉型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】填空【解析】設(shè)每個(gè)正方形四角上圓圈中的數(shù)字之和為x,則由5個(gè)正方形四角的數(shù)字之和，相當(dāng)于將112相加，再將中間四

10、個(gè)圓圈中的數(shù)加兩遍，可得：1 2 L 12 2x 5x,解得x 26,即這個(gè)和為26.具體填法如右上圖?！敬鸢浮?6【例9】 如圖，大、中、小三個(gè)正方形組成了8個(gè)三角形，現(xiàn)在把 2、4、6、8四個(gè)數(shù)分別填在大正方形的四個(gè)頂點(diǎn)；再把2、4、6、8分別填在中正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上；最后把2、4、6、8分別填在小正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上.能不能使8個(gè)三角形頂點(diǎn)上數(shù)字之和都相等？能不能使8個(gè)三角形頂點(diǎn)上數(shù)字之和各不相同？如果能，請(qǐng)畫(huà)圖填上滿足要求的數(shù)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【考點(diǎn)】封閉型數(shù)陣圖【難度】4星【題型】填空【解析】不能.如果這8個(gè)三角形頂點(diǎn)上數(shù)字之和都相等，設(shè)它們都等于S.考察外面的4個(gè)三角形，每個(gè)三

11、角形頂點(diǎn)上的數(shù)的和是S,在它們的和4s中，大正方形的2、4、6、8各出現(xiàn)一次，中正方形的2、4、6、8各出現(xiàn)二次，即4s 2 4 6 8 3 60 .得 到S 60 4 15,但是三角形每個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)都是偶數(shù)，和不可能是奇數(shù)15,因此這8個(gè)三角形頂點(diǎn)上的數(shù)字之和不可能都相等.由于三角形3個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)字之和最小為 2 2 2 6,最大為8 8 8 24,可能為6、 8、10、22、24,共有10個(gè)可能的值，而三角形只有 8個(gè)，所以是有可能做到 8個(gè)三角 形的頂點(diǎn)上數(shù)字之和互不相同的.根據(jù)對(duì)稱性，不妨舍去這 10個(gè)可能值的首尾兩個(gè)，把剩下 8個(gè)值（8、10、12、14、16、18、 20、22）作

12、為8個(gè)三角形的頂點(diǎn)上數(shù)字之和進(jìn)行嘗試，可以得到滿足條件的填法，右上圖就 是一種填法.【例10】將116分別填入下圖（1）中圓圈內(nèi)，要求每個(gè)扇形上四個(gè)數(shù)之和及中間正方 形的四個(gè)數(shù)之和都為 34,圖中已填好八個(gè)數(shù)，請(qǐng)將其余的數(shù)填完.【考點(diǎn)】封閉型數(shù)陣圖【難度】4星 【題型】填空【解析】為了敘述方便，將圓圈內(nèi)先填上字母，如圖（2）所示:9+15+a+c=34, 5+10+e+g=34, 7+14+b+d=34, 11+8+f+h=34 , c+d+e+f=34 ,化簡(jiǎn)彳導(dǎo):a+c=10 4+6=10.e+g=19 3+16=19, 6+13=19b+d=13 1+12=13 ,f+h=15 2+13

13、=15, 3+12=15.a , b, c, d, e, f , g, h 應(yīng)分別從 1,2,3, 4, 6, 12, 13, 16 中選取.因?yàn)?a+c=10, 所以只能選 a+c=4+6; b+d=13,只能選 b+d=13; e+g=19,只能選 e+g=3+16; f+h=15 , 只能選f+h=2+13若 d=1 , c=4,貝U e+f=34-1-4=29 ,有 e=16, f=13.若d=1 , c=6,貝U e+f=34-1-6=27 ,那么e、f無(wú)值可取，使其和為 27.若 d=12, c=4,貝U e+f=34-12-4=18 ,有 e=16, f=2.若 d=12, c=

14、6,貝U e+f=34-12-6=16 ,有 e=3, f=13.解：共有三個(gè)解（見(jiàn)圖）【答案】【例11】一個(gè)3 3的方格表中，除中間一格無(wú)棋子外，其余梅格都有4枚一樣的棋子，這【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖樣每邊三個(gè)格子中都有 12枚棋子，去掉4枚棋子，請(qǐng)你適當(dāng)調(diào)整一下，使每邊oo oooo00oo 00l=>oo oooo oooooo0000oo oo三格中任有12枚棋子，并且4個(gè)角上的棋子數(shù)仍然相等（畫(huà)圖表示）【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級(jí)，初賽【解析】因?yàn)槊總€(gè)角上的棋子分別被兩條邊共用，根據(jù)這一特點(diǎn)可以將邊上的棋子減少,時(shí)增加角上的棋子數(shù)。具體操作如圖:【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)

15、陣圖【難度】4星【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級(jí)，初賽9 4 12 5 6 11 9 14 9 10100 4 25,所以 9 4 12 25,【例12如果將右圖分成四塊，每塊上的數(shù)的和都相等，那么每塊的和是 【題型】填空計(jì)算所有的數(shù)字和為：8 3 100 ,分成四塊的，每塊的數(shù)字和為：5 11 9 25, 6 9 10 25, 8 3 14 25具體分法如上圖。模塊二、輻射型數(shù)陣圖【例13】把1991, 1992, 1993, 1994, 1995分別填入圖2的5個(gè)方格中，使得橫排的三 個(gè)方格中的數(shù)的和等于豎列的三個(gè)方格中的數(shù)的和。則中間方格中能填的數(shù)是【考點(diǎn)】輻射型數(shù)陣圖【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，

16、復(fù)賽，第 10題【解析】由題意，橫行兩端兩個(gè)數(shù)的和應(yīng)該等于豎列兩端兩個(gè)數(shù)的和，也就是除去中間方格中的數(shù)，其余的四個(gè)數(shù)可以分為和相等的兩組。所以中間方格中能填的數(shù)為：1991,1993, 1995?！敬鸢浮恐虚g方格能填的數(shù)可以為：1991, 1993, 1995,答案不唯一【例14】請(qǐng)你把17這七個(gè)自然數(shù)，分別填在下圖（1）的圓圈內(nèi)，使每條直線上的三個(gè) 數(shù)的和都相等.應(yīng)怎樣填？【考點(diǎn)】輻射型數(shù)陣圖(1)【難度】2星【題型】填空【解析】為敘述方便，先在圓圈中標(biāo)上字母，如下圖（2）,設(shè) a+b+e=a+c+f=a+d+g=k ,貝U ( a+b+e) + (a+c+f) + (a+d+g)=3k2a

17、+2a+3a+b+c+d+e+f+g=3k (a+b+c+d+e+f+g )=3k(1+2+3+4+5+6+7) =3k2a+28=3ka為1、4或7,若a=1,則k=10,直線上另外兩個(gè)數(shù)的和為9.在2、3、4、5、6、7中，2+7=3+6=4+5=91,因此得到一個(gè)解為：a=1, b=2, c=3, d=4, e=7, f=6 , g=5.若a=4,貝U k=12,直線上另外兩個(gè)數(shù)的和為8.在1、2、3、5、6、7中，1+7=2+6=3+5=8,因此得到第二個(gè)解為：a=4, b=1, c=2, d=3, e=7, f=6 , g=5.若a=7,貝U k=14,直線上另外兩個(gè)數(shù)的和為7.在1

18、、2、3、4、5、6中，1+6=2+5=3+4=7,因此得到第三個(gè)解為：a=7, b=1, c=2 , d=3, e=6, f=5 , g=4.解：共得到三個(gè)解：如下圖.例2為輻射型數(shù)陣圖，填輻射型數(shù)陣圖的關(guān)鍵在于確定中心數(shù)a和每條直線上幾個(gè)圓圈內(nèi)數(shù)的和k.【例15】右邊的一排方格中，除9、8外，每個(gè)方格中的字都表示一個(gè)數(shù) （不同的字可以表示相同的數(shù)），已知其中任何3個(gè)連續(xù)方格中的數(shù)相加起來(lái)都為22,則“走” + “進(jìn)”+“數(shù)” + “學(xué)” + “花” + “園”=走進(jìn)9教學(xué)花8園【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，【解析】“走” +9“數(shù)” + “學(xué)”“花”8“園”

19、所以“走” + “進(jìn)”【答案】403年級(jí)，初賽“進(jìn)”9 222222+ “數(shù)” + “學(xué)”+ “花” + “園”22 9 22 9 22 8 40【例16】請(qǐng)?jiān)谙聢D中每個(gè)方格中填一個(gè)數(shù)，使橫行任意三個(gè)相鄰方格內(nèi)的數(shù)字之和都是15,豎列任意三個(gè)相鄰方格內(nèi)的數(shù)字之和都是18.38735285285285738【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】填空【解析】豎列任意三個(gè)相鄰方格內(nèi)的數(shù)字之和都是18,從上至下第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是18 3 15,第二個(gè)數(shù)+第三個(gè)數(shù)+第四個(gè)數(shù) 18,第四個(gè)數(shù)等于 3,以此類推, 從上至下第一個(gè)數(shù)等于第四個(gè)數(shù)等于第七個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)等于第五個(gè)數(shù)等于第八個(gè)數(shù),所以豎行從

20、上至下依次為3、8、7、3、8、7、3、8;同理，橫行任意三個(gè)相鄰方格內(nèi)的數(shù)字之和都是 15,由左至右第六個(gè)數(shù)是 8,所以橫行由左至右依次為 5、2、8、5、2、8、5、2、8、5,如右上圖所示.【例17】2000個(gè)數(shù)寫(xiě)成一行，任意三個(gè)相鄰的數(shù)的和均相等，總和53324。去掉左起第1、第1949、第1975及最后一個(gè)數(shù)，和成為 53236 ,問(wèn)剩下的數(shù)中左起第50個(gè)數(shù)【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】5星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級(jí)，決賽，第12題，12分【解析】第一個(gè)數(shù) 第二個(gè)數(shù) 第三個(gè)數(shù) 第二個(gè)數(shù) 第三個(gè)數(shù) 第四個(gè)數(shù)，所以第一個(gè)數(shù) 第四個(gè)數(shù)，同理第二個(gè)數(shù)第五個(gè)數(shù)，第三個(gè)數(shù)第六個(gè)數(shù)，也就

21、是這個(gè)數(shù)列是以3為周期的一個(gè)周期數(shù)列。1949 3 6492 , 1975 3 6581 ,2000 3 6662,也就是第一個(gè)數(shù)2 第二個(gè)數(shù) 2=53324 53236 88,所以第一個(gè)數(shù) 第二個(gè)數(shù) 44 ,又因?yàn)?000個(gè)數(shù)的和為53324, 53324 （第一個(gè)數(shù)第二個(gè)數(shù)第三個(gè)數(shù)）666第一個(gè)數(shù)第二個(gè)數(shù)，從而求出第一個(gè)數(shù)第二個(gè)數(shù) 第三個(gè)數(shù) 80,所以第三個(gè)數(shù) 80 44 36,而50 3 16 2,所以剩 下的數(shù)中左起第50個(gè)數(shù)就是原數(shù)列中的第 51個(gè)數(shù)，即原數(shù)列中的第 3個(gè)數(shù)，等于 36?！敬鸢浮?6【例18如圖，在2006年的3月的日歷上，A B C D 52,那么，3月份的第一個(gè)星

22、 期日是 號(hào)?！窘馕觥緽比A大8, C比B大8,則C比A大16, D比C大8,則D比A大24 ,則有A （52 8 16 24） 4 1, A是星期三，則第一個(gè)星期日是1 4 5號(hào).【答案】5號(hào)【例19】右圖中，從第二層（從下往上數(shù)）起，每個(gè)方框中的數(shù)都等于它下方兩個(gè)方框中 所填數(shù)的和。最上面的方框中填的數(shù)是 。【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級(jí)，決賽，第6題，10分，4年級(jí)，決賽，第 【解析】如右圖所示，885， 262，283,則 885 262 283,則 170, 170 283 453, 262 170 432,則 670 453 670 1123, 885 885 1123【答案】20082008.【鞏固】將0, 1, 2, 3, 4, 5任意填入最下一行（每個(gè)數(shù)出現(xiàn)一次）的 6個(gè)方格中.其它 每個(gè)方格中的數(shù)等于下一行與它相鄰的兩個(gè)數(shù)的和.最上面的一個(gè)數(shù)的最大值【解析】 要使最上面的一個(gè)數(shù)最大，則必使 0、1、2、3、4、5數(shù)字中最大數(shù)盡可能多地 相加，即將大數(shù)盡可能放在中間位置，即如下圖所示：要使最上層的值最小，則必使