高一數(shù)學(xué)求函數(shù)性質(zhì)和練習(xí)自己整理(含答案)

1、高一數(shù)學(xué)函數(shù)的基本性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性)一.求函數(shù)的解析式1、求函數(shù)解析式的一般方法有：(1)直接法：根據(jù)題給條件，合理設(shè)置變量，尋找或構(gòu)造變量之間的等量關(guān)系，列出等式，解出y。(2)待定系數(shù)法：若明確了函數(shù)的類型，可以設(shè)出其一般形式，然后代值求出參數(shù)的值；(3)換元法：若給出了復(fù)合函數(shù) f g (x)的表達(dá)式，求f (x)的表達(dá)式時可以令t=g (x),以換元法解之；(4)構(gòu)造方程組法：若給出 f (x)和f ( x),或f (x)和f (1/x)的一個方程，則可以 x代換一x (或1/x),構(gòu)造出另一個方程，解此方程組，消去 f ( x)(或f (1/x)即可求出f (x)的

2、表達(dá)式；(5)根據(jù)實(shí)際問題求函數(shù)解析式：設(shè)定或選取自變量與因變量后，尋找或構(gòu)造它們之間的等量關(guān)系，列出等式，解出y的表達(dá)式；要注意，此時函數(shù)的定義域除了由解析式限定外，還受其實(shí)際意義限定。方法一、換元法：題目給出了與所求函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)表達(dá)式，可將內(nèi)函數(shù)用一個變量代換。,2,x 1 x x 1f ()2例1.已知 x x ，試求f(x) ox 11t = x22解：設(shè) x ,則 t1,代入條件式可得：f=tt+1,twi。故彳導(dǎo):f(x) = x -x+1，x1 o說明：要注意轉(zhuǎn)換后變量范圍的變化，必須確保等價變形。方法二、構(gòu)造方程組法：對同時給出所求函數(shù)及與之有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的條件式，可以據(jù)

3、此構(gòu)造出另一個方程，聯(lián)立求解。 12f(x) 2f(一) -3x2 4x 5例2. ( 1)已知x，試求f (x)；(2)已知 f(x)+2f(-x)=3x2+4x+5,試求 f(x).解：(1)由條件式，以x代x,則得 xr 282 4x 5f x =2 .-x -x2 3x 33 o,1,11f ( ) 2f (x) =3* 45x x ,與條件式聯(lián)立，消去f1lx人則得:由條件式，以-x代x則得：f(-x)+2f(x)=3x2-4x+5,與條件式聯(lián)立，消去fx),則得:2 5f x = x -4x3 。說明：本題雖然沒有給出定義域，但由于變形過程一直保持等價關(guān)系，故所求函數(shù)的定義域由解析

4、式確定，不 需要另外給出。例4.求下列函數(shù)的解析式:(1)已知 f(x)是二次函數(shù)，且 f (0) =2, f (x+1) f(x) = x 1 ,求 f(x)；(2)已知 f(、G +1) =x+2Vx ,求 f(x), f (x+1) , f(x2)；, x 1x2 1 1(3)(4)已知 f(x-) = J1 +1,求 f (x); x x x已知 3f (x) +2f (x) =x+3,求 f (x) o【思路分析】【題意分析】(1)由已知f(x)是二次函數(shù)，所以可設(shè) f (x) =ax2+bx+ c(a ¥0),設(shè)法求出a,b,c即可。(2)若能將x+2jx適當(dāng)變形，用 J

5、x+1的式子表示就容易解決了。(3)設(shè)工上為一個整體，不妨設(shè)為t ,然后用t表示x ,代入原表達(dá)式求解。 x(4) x, -x同時使得f(x)有意義，用-x代替x建立關(guān)于f(x), f(-x)的兩個方程就行了?！窘忸}過程】 設(shè) f (x) =ax2 +bx +c(a #0),由 f(0) = 2/l|c=2,1 3由 f(x+1) f(x)=x1,得恒等式 2ax + a + b = x1,得2 = -2 = _一。2 21 2 3故所求函數(shù)的解析式為f(x) =1x2 -3x+2o2 2(2) ; f («+1) =x+2Vx = (Vx)2 +2%反+1 1 = (Vx+1)2

6、1,又 Jx >0, Vx +1 >1,r f (x) =x2 -1(x 之 1)。x11(3)設(shè)=t,則 x=',t¥1,xt - 12則 f (t) V f (x-)= x- - =1 =1 (t _1)2 (t 1) ut2 t 1 x x x x x所以 f (x) =x2 -x +1(x ¥1)。(4)因?yàn)?3f (x) +2f (x) =x+3 用 _x代替 x 得 3f (-x) +2f (x) = _x +3 3解式得f(x) = x3。 5【題后思考】求函數(shù)解析式常見的題型有：(1 )解析式類型已知的，如本例，一般用待定系數(shù)法。對于二次

7、函數(shù)問題要注意一般式 2一 .一一 一 2y=ax +bx+c(a #0),頂點(diǎn)式 y=a(x h) +k 和標(biāo)根式 y = a(x - x1)(x - x2)的選擇；(2)已知fg(x)求f(x)的問題，方法一是配湊法，方法二是換元法，如本例(2) (3)；1(3)函數(shù)方程問題，需建立關(guān)于f (x)的方程組，如本例(4)。若函數(shù)方程中同時出現(xiàn)f(x), f()，則一x1般將式中的x用1代替，構(gòu)造另一方程。x特別注意：求函數(shù)的解析式時均應(yīng)嚴(yán)格考慮函數(shù)的定義域。函數(shù)解析式及定義課后練習(xí)一、選擇題1 .下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是()A.二一 ,.、'.一 、；、 -12 .已知函數(shù)/卜+

8、 1)= /一工+3,那么“工一乂、/-5計(jì)9B、<-工- 33 .若工，則J d,等于()131 ,A. 2B. 4C. 4D.B. /=1，g=/W = +l > gW =-"D."11）的表達(dá)式是 （）C、/+5工-9D、f r+：344.下面四個圖象中，不是函數(shù)圖象的是(）A5 .下列各項(xiàng)表不相等函數(shù)的是（）B. 二J：與三；二一 1/6） = j丁：與 2（工）=J- -/ T與久了）二林一C.D.X2 +1 工41/ 42X6 .設(shè)函數(shù)匕，則/（fG=（）1213A. 5B.3C. 3D.97 .若函數(shù)y二/的定義域?yàn)?此x| 2W xw 2,值域?yàn)?/p>

9、N = y|0 <y<2,則函數(shù)J二/ 的圖象可能是（）8.已知函數(shù)fa+1）=3元+2,則/的解析式是（）a.3x+2 b, 3x+l c. %+4d. 3i-l二、填空題#+1逐之2/ （x） =9.若函數(shù)以1-2i+31x <2 ,則/（工）=6時工的值為i-x x<i nil r i i10設(shè)歷KmI J .以. O三、解答題11.根據(jù)下列條件，分別求下列函數(shù)的解析式:已知若丁口）為一次函數(shù)，且滿足 兀囹=4*.12二次函數(shù) f(x)滿足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1.(1)求f(x)的解析式;m的取值范圍。(2)在區(qū)間1, 1上，y=f(x)

10、的圖象恒在y=2x+m的圖象上方，求實(shí)數(shù)13.已知函數(shù)/(X)= -7力是常數(shù)，且砧H。) ax+h,滿足了=1且方程/()= 有唯一解。(1)求丁的解析式；(2)若 X e L2 ,求函數(shù)j的值域。試卷答案15I .C2.A3.B 4.B 5.C 6.D 7.B 8.D 9.10.II . (1)方法 1:J+1) =，+ 2、萬=+ 2>/x +1-1 = x + 1) -1 1 /卜)二彳 -1卜士1)方法 2令石+I之M工二(£-1) -'-，0=(£-1) +23-1)=1-1- gl)設(shè)/但二妹+b (a0),則內(nèi)=/工+貼+ 1)=41+6 ,所

11、以上”1) = 61 = 2 f 白 -2解得"2口所以/1)二21+2或小)二-21-612.fix?-K*x+ 1£? Js?1 Jt -H 1 Nk+ P 療巨 成立二 “ 三 i| I. 1m v jc 一 Mv 一1令g 天6 一事才+lJtw 11- a£P mao = 土)=1二 jh y 1z13.解：（1） ：/（X）= X 有唯一解二 x2即Qk+b有唯一解二RX +0 l）x =。有唯一解2 11 A = ®-1) =0解得 A二 1 又/(2)=1 所以 2i+l 解得 2/W =21x + 2?r4設(shè)瓦丹1,2,且網(wǎng)x2/二士

12、= 2-，%西一演)(4 + 2)區(qū) + 2)（2）由（1）知 工+ 21+ 2 ,44/W-/() = 2- -2 + =%,勺e2,且網(wǎng) 與，：一 。再+ 2+ 2二場）-小。即/“：（林區(qū)間L2上為增函數(shù)22. /（X）mh = /。）二馬, 二，二“吊鼻3J S九盤 八句1所以函數(shù)JI用的值域?yàn)?二、求函數(shù)定義域1、函數(shù)定義域是函數(shù)自變量的取值的集合，一般要求用集合或區(qū)間來表示；2、常見題型是由解析式求定義域，此時要認(rèn)清自變量，其次要考查自變量所在位置，位置決定了自變量的范圍, 最后將求定義域問題化歸為解不等式組的問題；3、如前所述，實(shí)際問題中的函數(shù)定義域除了受解析式限制外，還受實(shí)際意

13、義限制，如時間變量一般取非負(fù)數(shù)， 等等；4、對復(fù)合函數(shù)y=f g (x)的定義域的求解，應(yīng)先由 y = f (u)求出u的范圍，即g (x)的范圍，再從中解出x的范圍Ii；再由g (x)求出y= g (x)的定義域 以Ii和I2的交集即為復(fù)合函數(shù)的定義域；5、分段函數(shù)的定義域是各個區(qū)間的并集；6、含有參數(shù)的函數(shù)的定義域的求解需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，若參數(shù)在不同的范圍內(nèi)定義域不一樣，則在敘述結(jié)論時分別說明；7、求定義域時有時需要對自變量進(jìn)行分類討論，但在敘述結(jié)論時需要對分類后求得的各個集合求并集，作為該函數(shù)的定義域；類型一、由函數(shù)解析式求函數(shù)定義域：由于解析式中不同的位置決定了變量不同的范圍，所

14、以解題時要認(rèn)真分析變量所在的位置；最后往往是通過解不等式組確定自變量的取值集合。例3.求x -4的定義域。x 2 0解：由題意知：Ux 4 ，從而解得：x> 2且xw± 4.故所求定義域?yàn)?x|x> - 2 且 xw ± 4。例2.求下列函數(shù)的定義域：(1) f (x) = 5 x ;(2) f (x) = Jx-1 + Ji - xx -3【思路分析】【題意分析】求函數(shù)的定義域就是求自變量的取值范圍，應(yīng)考慮使函數(shù)解析式有意義，這里需考慮分母不為零，開偶次方被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)。5-x 之0 x < 5【解題過程】(1 )要使函數(shù)有意義，則一 ，即3,在數(shù)軸上

15、標(biāo)出，即x-3#0"±3x <T,或-3 <x <3,或3cxE5 。故函數(shù)的定義域?yàn)?-«,-3)U (-3,3) U(3,5.當(dāng)然也可表示為 &x <-3,或-3 < x <3,或3 <x E51。-1 >0 一 'x 之1 . r I(2)要使函數(shù)有意義，則 ，即，,所以x = 1,從而函數(shù)的定義域?yàn)?x|x=1。J-x >0x<1【題后思考】 求函數(shù)的定義域的問題可以歸納為解不等式的問題，如果一個函數(shù)有幾個限制條件時，那么定義 域?yàn)榻飧飨拗茥l件所得的 x的范圍的交集，利用數(shù)軸可便于

16、解決問題。求函數(shù)的定義域時不應(yīng)化簡解析式；定義域 是一個集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數(shù)集，不能用“或”連接，而應(yīng)該用并集符號“u”連接。類型二、求分段函數(shù)的定義域：對各個區(qū)間求并集。 例4.已知函數(shù)由下表給出，求其定義域X123456Y2231435一 617解：1 , 2, 3, 4, 5, 6。類型三、求與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的定義域：由外函數(shù)f (u)的定義域可以確定內(nèi)函數(shù) g (x)的范圍，從而解得 xCl1,又由g (x)定義域可以解得 xC I2.則I1PI2即為該復(fù)合函數(shù)的定義域。也可先求出復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式后再行求解。例8 已知 f (x) = Jx -3, g(x)=.x2

17、-4x 3，求y = f (g(x)的定義域.x _由f (x) = x -3=- x .=3= g(x) 33= : -3解：x -4x 3又由于 x24x+3>0*聯(lián)立*、*兩式可解得：9-3.39 3.3- x ：二 1或 3 :二 x -故所求定義域?yàn)?x |933 _ x ：二1或3 :二x _ 9 3 34 4一 一 .-12,故 log2x C 2 ，2L例9.若函數(shù)f (2x)的定義域是1, 1,求f (log2x)的定義域。解：由f (2x)的定義域是1,1可知：NYw工所以f (x)的定義域?yàn)?解得72 Mx w4 ,故定義域?yàn)?9A 1三：求函數(shù)的值域與最值求函數(shù)的

18、值域和最值的方法十分豐富，下面通過例題來探究一些常用的方法；隨著高中學(xué)習(xí)的深入，我們將學(xué) 習(xí)到更多的求函數(shù)值域與最值的方法。1、分離變量法2x 3y =例11.求函數(shù) x+1的值域。2x 32x1111 八y = = =20解：x+1x+1x+1,因?yàn)閤 + 1 ，故yw2,所以彳1域?yàn)閥|yw2b說明：這是一個分式函數(shù)，分子、分母均含有自變量x,可通過等價變形，讓變量只出現(xiàn)在分母中，再行求解。2、配方法例12.求函數(shù)y=2x2+4x的值域。解：y = 2x2 + 4x = 2 (x2+2x+1) 2=2 (x+1) 22* 2,故值域?yàn)閥|y A 2。說明：這是一個二次函數(shù)，可通過配方的方法

19、來求得函數(shù)的值域。類似的，對于可以化為二次函數(shù)的函數(shù)的值 域也可采用此方法求解，如y=af2 (x) +bf (x) + c。3、判別式法x2 2x 3例13.求函數(shù)y = x 2x 3的值域。4x 5x 62 x 2x 3-y = , 2= o一解： 4x + 5x+6 可變形為：(4y1) x2+(5y 2) x+6y-3=0,由 A>0 可解得：；26 -6x/3 26+6V3y=,-71 71 一 o說明：對分子分母最高次數(shù)為二次的分式函數(shù)的值域求解，可以考慮采用此法。要注意兩點(diǎn)：第一，其定義域 一般僅由函數(shù)式確定，題中條件不再另外給出；如果題中條件另外給出了定義域，那么一般情況

20、下就不能用此法求 解值域；第二，用判別式法求解函數(shù)值域的理論依據(jù)是函數(shù)的定義域?yàn)榉强諗?shù)集，所以將原函數(shù)變形為一個關(guān)于 的一元二次方程后，該方程的解集就是原函數(shù)的定義域，故 A >0o4、換元法例15.求函數(shù)y =2x +4 J1 -x的值域。解：令t =，1 x、° ,則 y = 2t2+4t+2= (t 1) 2+4, t>Q 故所求值域?yàn)閥|yW4b例3.求下列函數(shù)的值域：(1) y =2x 1,x11,2,3,4,5) y = . x 1(3)(4)=-x-2x 3,(-5 <x < -2)1 -x2【思路分析】【題意分析】 求函數(shù)的值域問題首先必須明確

21、兩點(diǎn)：一是值域的概念，即對于定義域 A上的函數(shù)y= f(x),其值域就是指集合 C = y y = f (x), x w A ;二是函數(shù)的定義域，對應(yīng)關(guān)系是確定函數(shù)值的依據(jù)?！窘忸}過程】(1)將x =1,2,3,4,5分別彳t入y=2x+1中計(jì)算，得出函數(shù) 的值域?yàn)?g5,7,9,11。(2) ; Jx 2 0x+121 ,即所求函數(shù)的值域?yàn)?,y)或用換元法，令t = Jx(t2 0),y = t+1(t之0)的值域?yàn)?,一)。1 -x22.(3)萬法 >= y = 1十r,.函數(shù)的定義域?yàn)?Ro1 x 1 x,1 +x2 >1,.0<2-<2,/,ye(_1,1o1

22、 x21x21x.2,22,方法一 > y =7 n y+yx =1x =(1 + y)x =1 - y1 x11 - y=x2 =-y 之 0,得到 y w(1,1。1 y故所求函數(shù)的值域?yàn)?一1,1。(4)(構(gòu)造法 >y = -x2 2x+3 = -(x+1)2 +4” -5 < x < -2,;. *Ex+1W1 2_2，1W(x+1) <16,a -12 <4-(x+1) W3.所以函數(shù)的值域?yàn)?2,3。 【題后思考】 求函數(shù)的值域問題關(guān)鍵是將函數(shù)的解析式變形，通過觀察或利用熟知的基本函數(shù)的值域，逐步推 出所求函數(shù)的值域，有時還需要結(jié)合函數(shù)的圖象進(jìn)行

23、分析?！灸M試題】(答題時間：30分鐘)一.選擇題1、函數(shù)y= f (x)的值域是2, 2,則函數(shù)y=f (x+1)的值域是()A. 1, 3B. 3, 1 C. 2, 2D. 1, 12、已知函數(shù)f (x) =x2 2x,則函數(shù)f (x)在區(qū)間2, 2上的最大值為()A. 2 B. 4 C. 6 D. 83、一等腰三角形的周長為20,底邊長y是關(guān)于腰長x的函數(shù)，那么其解析式和定義域是(A. y = 20-2x (x< 10 B.y = 202x (x<10)C.y=202x (4Wx<10D.y = 20 2x (5<x<10)4、二次函數(shù)y = x2 4x+4

24、的定義域?yàn)锳.0, 4B. 1, 45、函數(shù)y= f (x+2)的定義域是A.0, 1B. 3, 4x22C.3C.1,4,5,b (a<b),值域也是a, b,則區(qū)間a, b是(3D. 3, 4則函數(shù)y = f (x+5)的定義域是()6D. 6, 7y6、函數(shù) 3x+4x的值域是(A.-3-17 -317公_折-3 +折” B.3-173 .17、c.( - -， )447、(2007安徽)圖中的圖像所表示的函數(shù)的解析式是(-3-17-317D.(一二，-)-(-，二)443A.y =-x 1 (0 <x <2)23C.y = - - x -1 (0 <x <

25、2)B.)D.y = 1 x1 (0 <x <2)二.填空題8、若 f (x) = ( x+a) 3對任意f(x)-9、若函數(shù)| c/d x2的值域?yàn)镮 ' 3 JxC R 都有 f (1+x) = f (1 x),則 f (2) + f ( 2)=1,則其定義域?yàn)?0、求函數(shù)一5 -x 3x 4y =-x 2的定義域。r 9_x -2x +1, x <2 f (x) = «-x, x >211、已知L，若f (a) = 3,求a的值。12、已知函數(shù)f (x)滿足2f (x) - f ( x)=- x2+4x,試求f (x)的表達(dá)式。三、函數(shù)單調(diào)性與最

26、值(一)、函數(shù)單調(diào)性1 .增函數(shù)與減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y = f (x)的定義域?yàn)镮,如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量 x1，x2,當(dāng)xvx2時，都有f (x1)vf (x2),那么就說 f (x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2,當(dāng)xvx2時，都有f(x1)>f(x2),那么就說f (x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。 一、/»注息：函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1,x2;當(dāng)x1vx2時，總有f(x1)V f(x2)或f(x1)>f (x2)。2 .函

27、數(shù)的單調(diào)性的定義如果函數(shù)y=f (x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f (x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y = f (x)的單調(diào)區(qū)間。3 .判斷函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟利用定義證明函數(shù)f (x)在給定的區(qū)間 D上的單調(diào)性的一般步驟：任取 x1，x26 D,且 xvx2；作差 f (Xi) f(X2)；變形(通常是因式分解和配方)；定號(即判斷差f (Xi) f(X2)的正負(fù))；下結(jié)論(即指出函數(shù) f(X)在給定的區(qū)間 D上的單調(diào)性)(二)函數(shù)最大(小)值的定義1 .最大值與最小值一般地，設(shè)函數(shù)y = f (x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù) M滿足：(1)對于任意的x

28、C I,都有f (x) w M；(2)存在 X°e I,使得 f(X0)= M那么，稱M是函數(shù)y=f (x)的最大值。一般地，設(shè)函數(shù)y = f (x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù) M滿足：(1)對于任意的xCI,都有f (x) >M;(2)存在 x°e I ,使得 f (xo) = M那么，稱M是函數(shù)y=f (x)的最小值。一、/»注息：函數(shù)的最大(小)值首先應(yīng)該是某一個函數(shù)值，即存在x°e I,使得f(X。)= M；函數(shù)的最大(小)值應(yīng)該是所有函數(shù)值中最大(小)的，即對于任意的 XCI,都有f(X)WM (f (X) >M)o2 .利用函數(shù)的

29、單調(diào)性判斷函數(shù)的最大(小)值的方法利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值利用圖象(數(shù)形結(jié)合法)求函數(shù)的最大(小)值利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的最大(小)值如果函數(shù)y=f (x)在區(qū)間a, b上單調(diào)遞增，在區(qū)間b, c上單調(diào)遞減則函數(shù) y = f (x)在x=b處有最大值f (b)；如果函數(shù)y=f (x)在區(qū)間a, b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b, c上單調(diào)遞增則函數(shù) y = f (x)在x=b處有最小值f (b)。知識點(diǎn)一：函數(shù)的單調(diào)性的判斷1、利用定義：4例1：判斷函數(shù)f(x)=x+ 在區(qū)間(0,2)上的單調(diào)性，并用定義證明。X思路分析：1)題意分析：用定義證明一個分式函數(shù)在(0,2)上的單

30、調(diào)性2)解題思路：按照用定義證明函數(shù) f (x)在給定的區(qū)間 D上的單調(diào)性的一般步驟去做即可。4解答過程：f(x) = x + 一在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減。X“一4設(shè) 0 Mxi <X2 父2 ,則 f (X1 ) f (X2) = X1 十一 -X2 一 Xi_4(X2 Xi). 4 -X1X2Xi - X2 += (X2 _ Xi)oXiX2XiX2已知 0 <為 <x2 <2 ,所以 x2 -xi >0 , 4 -xix2 >0 ,單調(diào)遞減。解題后的思考：用定義證明函數(shù)f (x)在給定的區(qū)間和定號(即判斷差f (Xi) f(X2)的正負(fù))。2、利用分

31、析法： X4 - 3例、試判斷函數(shù)y =的單調(diào)性y x2 i4X2XiX2 >0 ,所以 f (Xi) f(X2) >0 ,即原函數(shù)在(0,2)上D上的單調(diào)性的關(guān)鍵在于變形(通常是因式分解和配方)知識點(diǎn)2:利用單調(diào)性求函數(shù)最值2x - 2x 2 公=的取值。x、1，二 f (x) 為 f 4425 ，一一 ，一，八25 。故所求函數(shù)的最小值為2525 ,無最大值。41例1：已知0 <x W ,求函數(shù)f(x)4思路分析:1)題意分析：本例要求在指定的半開半閉區(qū)間內(nèi)求一個分式函數(shù)的最大(小)值；2)解題思路：先分離常數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值。2 1解答過程：已知函數(shù)式可

32、化為 f(x)=x + -2,先判斷函數(shù) f(x)在0cxw上的增減性。x41設(shè) 0 < x1 < x2 W ，則4f(x。-f(x2)=(xj4-2) _舊+2-2) = 一一'2)(取2-2), x1x2x1 x2c1CC C0 <x1 <x2 < -,x1 -x2 <0, xx2 -2<0。41二f (x1)-f (x2)>0 ,即函數(shù)f (x)在0 <x0 上是減函數(shù)。 4解題后的思考：函數(shù)單調(diào)性在解題中的應(yīng)用，主要表現(xiàn)為通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造輔助函數(shù)式，把原問題轉(zhuǎn) 化為對函數(shù)單調(diào)性的討論的問題，以達(dá)到化難為易、化繁為簡的

33、目的。2 一例2.求函數(shù)y =+3 , xe 4, 5的值域。_2 35 13解：由于函數(shù)y x為增函數(shù)，故當(dāng)x=4時，ymin= 5 ；當(dāng)x= 5時，ymax= 13 ,所以函數(shù)的值域?yàn)? 5。25知識點(diǎn)三：函數(shù)單調(diào)性求解不等式例1、已知函數(shù)/m在(一叫+此上減函數(shù)，若例2、已知函數(shù)/在(一電+r)上增函數(shù)，若一 1f() > f(1),求1的取值范圍x2、f (x ) > f (2 x + 3),求工的取值范圍例3、已知函數(shù)f(x)是增函數(shù)，定義域?yàn)?0,+8),且f(4A 2 f (xy)= f(x) + f (y),求滿足 f(x)十f(x 3空白2 x的取值范圍。思路分析

34、：1)題意分析：本例給出了單調(diào)性、定義域、運(yùn)算法則和一個點(diǎn)，求函數(shù)自變量的取值范圍。2)解題思路：利用運(yùn)算法則把問題化歸成已知單調(diào)性和函數(shù)值的大小，求自變量的大小的問題，此過程中要注意定義域的限制作用，即如果 f (x)+ f(x-3)= f Ix(x-3)L則必須x>0, x-3>0,且x(x 3)a0。x >0,解答過程：由題意，得X3>0'x(x -3) 0,f(x) + f(x3)= fx(x -3)< 2,解得 3<x0 4。所以x的取值范圍是3<x< 4o解題后的思考： 容易忽視函數(shù)白定義域?yàn)?(0,+8)這一隱含條件。函數(shù)單

35、調(diào)性課后作業(yè)1. (5分)下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間(0, +8)上單調(diào)遞增的是()A. y=ln|x| B. y=x|x|C. y=-x 2D.y=10 |x|2. (5分)函數(shù)f (x) =Y J的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.B.C.D.3.（5分）奇函數(shù)f （x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，且 f(x) >0, (0vavb),那么 |f (x)|在區(qū)間上是（）A.單調(diào)遞增不增也不減4.知函數(shù)（一見+此上減函數(shù)的取值范圍是A.(0J)C. (-RO)UQ+3)D.(-電 0)5.設(shè)函數(shù)是N上的減函數(shù)，則有1 a>- A.nW2C.2D.a<-26.函數(shù) f(x)=x2-4x+5在區(qū)間

36、0,m上的最大值為5,最小值為1,則m的取值范圍是（A .小0,2D. 2,47.函數(shù)一的單調(diào)減區(qū)間是D.（一叫 T8.已知函數(shù)-1工，則了 = /（xT）+ 1的單調(diào)遞減區(qū)間為（A、0, 1)B、（-巴 0）C、口|汴1D、(-00, 1)和(1, +OO)二、填空題9. （4分）函數(shù)f（x） =2x2+3x - 1的單調(diào)遞增區(qū)間為1。（ 5分）用maxa, b表示a, b兩數(shù)中的最大值,若f（x）=max|x| ,|x+2|，則f（x）的最小值為11 .若函數(shù)7二工'+2僅一1 + 2,在（-嗎4上是減函數(shù)，則d的取值范圍是三、解答題12 .本本小題滿分14分）一次函數(shù)是K上的增函

37、數(shù)，g=/（玳工+間，已知AT=16升 5.(1)求了;（2）若且打）在（1*°）單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)切的取值范圍;（3）當(dāng), 小L3時，妙）有最大值13,求實(shí)數(shù)冊的值.1/w=13 . （12分）已知函數(shù)大十 £ 判斷函數(shù) /的單調(diào)性，并證明; 求函數(shù)了。二）的最大值和最小值.試卷答案1.D 2.D 3.A 4.C 5.D9 略 10.111.公-3 /(x) = 4x + l； 12.6.D 7.D8.D加=2或m10T42詳見解析I/tom或=/(5)=弓= 1 13.四、奇偶性知識要點(diǎn)1、奇偶函數(shù)定義：(1)偶函數(shù)一般地，對于函數(shù)f (x)的定義域內(nèi)白任意一個 X,者B

38、有f ( x) =f (x),那么f (x)就叫做偶函數(shù).(2)奇函數(shù)一般地，對于函數(shù)f (x)的定義域內(nèi)白任意一個 x,都有f ( x) = f (x),那么f (x)就叫做奇函數(shù).注息：函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；奇偶函數(shù)的定義域的特征：關(guān)于原點(diǎn)對稱。由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個x,則-x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱)奇函數(shù)若在x =0時有定義，則f(0) = 02、根據(jù)奇偶性可將函數(shù)分為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)。3、具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶

39、函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.說明：一般地，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)。偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸對稱，反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)。4、判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；確定f ( x)與f (x)的關(guān)系；作出相應(yīng)結(jié)論：若 f ( x) = f (x)或 f ( x) f (x) = 0,則 f (x)是偶函數(shù)；若 f (x) = f (x)或 f (x) +f (x) = 0,則 f (x)是奇函數(shù).5、判斷函數(shù)的奇偶性也可以用下列性質(zhì)

40、在公共定義域內(nèi)，(1)兩個奇函數(shù)的和為奇函數(shù)；兩個奇函數(shù)的積為偶函數(shù).(2)兩個偶函數(shù)的和為偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的積為偶函數(shù).(3) 一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積為奇函數(shù).1(4)函數(shù)f (x)與f (x )同奇或同偶.【典型例題】一、判斷函數(shù)的奇偶性例1、判斷函數(shù)的奇偶性時易犯的錯誤(1)因忽視定義域的特征致錯x x -1f x201、x-1 ;f (x) =x2+ (x+1) 0x x -1f x = = x錯解：x -1, . f (x)是奇函數(shù): f ( x) = (x) 2+ (x+1) 0=x2+ (x+1) 0=f (x)f (x)是偶函數(shù).分析：一個函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是

41、定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.正解：定義域(8, 1) U ( 1, +8)關(guān)于原點(diǎn)不對稱，f (x)是非奇非偶函數(shù).定義域(8, 1) U ( 1, +8), f (x)為非奇非偶函數(shù).(2)因缺乏變形意識或方法致錯.112、判斷 錯解:f x =- 5x 12的奇偶性.5x1W0,xw0.f (x)的定義域?yàn)?一8,0) U ( 0, +8),關(guān)于原點(diǎn)對稱.f -x =15x -15x21 -5xf ( x) W f (x) , f ( x) W - f (x),f (x)是非奇非偶函數(shù).分析：因演變過程不到位導(dǎo)致錯誤，所以要注意進(jìn)行恒等變形.f 115x 1f x 二-二x正解：5-122(5-1

42、 ),定義域?yàn)?8,0)U (0,+8)關(guān)于原點(diǎn)對稱.5x 125x -1=-f x工5011 5xx "25" -1 - 21 -5x. f (x)是奇函數(shù).(3)因忽視f (x) =0致錯.3、判斷函數(shù)f(x)=dx2 4+«'4-X2的奇偶性.X2 -4 >0=2錯解：由l4x至0得x=±2,f (x)的定義域?yàn)?, 2,關(guān)于原點(diǎn)對稱.f (-x )=d(-x 2 -4 +q4 -(-x 2 = x2 -4 +%；4-x2 = f (x)1- f (x)為偶函數(shù)正解：f (x)的定義域?yàn)?2, 2,此時，f (x) =0, f (x)

43、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).點(diǎn)評：函數(shù)f (x) =0 (xw 0)是f (x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的一個必要條件，任何一個關(guān)于原點(diǎn)對稱的 區(qū)間都可以作為解析式為 f (x) =0 (xw0)函數(shù)的定義域.(4)因分段函數(shù)意義不清致錯二、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系例3、已知：函數(shù)y = f (x)在R上是奇函數(shù)，而且在(0，十"上是增函數(shù),證明：y = f(x)在(嗎。)上也是增函數(shù)。證明：設(shè)x1 <x2 <0,則一x1 >-x2 >0/ f(x)在(0, )上是增函數(shù)。. f(-x1) >f (-x2) ,又 f(x)在 R上是奇函數(shù)。 f (x)>

44、-f (x2),即 f (x)< f (x2)所以，y = f(x)在(一為上也是增函數(shù)。規(guī)律：偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性一致.2例4、f (x)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)XA0時，f (x) =-2x +3x+1 ,當(dāng)x<0時，求f (x)解：設(shè)x<0,由于f(x)是奇函數(shù)，故f(x) = f(x),22又-x>0,由已知有 f(x)=2(x) +3(-x)+1 = -2x -3x+1r _ 2 一 .一2x +3x+1 x > 0從而解析式為f (x) = 02x2 +3x1x= 0x:02f(x) f (-) =x例5

45、、(1)已知f(x)的定義域?yàn)閤|x#0,且' ''x ，試判斷f(x)的奇偶性。(2)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?R,且對于一切實(shí)數(shù) x, y都有f (x + y) = f (x) + f ( y),試判斷f (x)的奇偶性。、，1、2f (x) f ( ) = x解：(1)f(x)的定義域?yàn)閤|x#0，且 ' ''x，令式中x為x得: 112f ( ) f(x)二.、2x2-1f (x) -解得3x ,定義域?yàn)閤 | x * 0關(guān)于原點(diǎn)對稱g)/"1又3( -x)3x =f(x)f(x)=21 3x是奇函數(shù)。(2)二.定義域關(guān)于原點(diǎn)對

46、稱，又.令 x = y=0得"0) = "0)十"0)則 f(0) =0,再令 y = -x 得 f (0) = f (x) + f (x), f (-x) =-f(x)所以，原函數(shù)為奇函數(shù)?！酒媾夹阅M試題】(答題時間：50分鐘)、選擇題1、已知定義在 R上的奇函數(shù)f (x)滿足f (x+2) =f (x),則，f (6)的值為 ()A. - 1B. 0C. 1D. 22、若奇函數(shù)f (x)在3, 7上是增函數(shù)且最小值為 5,那么f (x)在7, 3上是()A.增函數(shù)且最小值為5 B.增函數(shù)且最大值為5C.減函數(shù)且最小值為-5 D.減函數(shù)且最大值為-53、y=f

47、 (x)是定義在R上的偶函數(shù)，則下列坐標(biāo)所表示的點(diǎn)在y=f (x)的圖象上的是()A.(a, -f (a)B.( a,f (a)C.(a, f (a)D.(a, f (a)4、已知y=f (x)是奇函數(shù)，當(dāng) x>0時，f (x) = x (1 + x),當(dāng)x<0時，f (x)等于A. - x (1x) B. x (1x) C. - x (1+x)D. x (1 + x)*5、函數(shù)y=f (x)與y=g (x)的圖象如圖所示，則函數(shù) y=f (x) g (x)的圖象可能為()A、C、0DCB、是奇函數(shù);*6、設(shè)f(x)是R上的任意函數(shù)，下列敘述正確的是(f (x) f (-x)是奇函

48、數(shù)；f (x) +f (-x)是偶函數(shù);f(x) f(-x)D、f (x) - f ( -x)是偶函數(shù)二、填空題f x - x 1 x a7、設(shè)函數(shù)x為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù) a =yC R),且 f (0) W0,那么 f (x)*8、已知函數(shù) y=f(x)滿足 f(x+y)+f(xy) =2f(x)f(y)(xCR是 函數(shù)(填奇、偶).53*9、已知函數(shù) f(x) = x +ax +bx8,若 f(2)=10,則 f (2)的值為三、解答題10、已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng) x>0時，f (x) = x2+2x+3 ,求當(dāng)x<0時f (x)的解析式。11、已知：函數(shù)y =f (x)在r上

49、是奇函數(shù)，而且在(0, 十至)上是增函數(shù),證明：y = f(x)在(°0,0)上也是增函數(shù)。a af x = x (x = 0,a R)12、已知函數(shù)x；(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在區(qū)間2，")上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍。、選擇題：1、B 解：根據(jù)題目所給的條件：f (x+2) = f(x);f(6)=-f(4)=f (2) = f(0)又 f (x)是奇函數(shù)，因此 f (0) = f (0), f (0) =0 ,因此 f (6) = f (0) =02、B3、B 解：當(dāng) x= a 時，f (a)=f(a)(= y=f(x)為偶函數(shù))，點(diǎn)(一a

50、, f(a)在 y=f (x)的圖象上.，選(B).4、B 解：當(dāng) x<0 時，f (x) = f (x) = (x) (1 x) =x (1 x).，選(B).5、A 6、C 解：A 中：F(x) = f(x)f(x)則 F(x)= f(x)f(x) = F(x),即函數(shù) F(x)= f(x)f (x) 為偶函數(shù)；B中：F(x)= f(x)f (-x),F(x) = f(x)f(x),此時F(x)與F(x)的關(guān)系不能確定，即函數(shù)F(x)= f(x)f(一X)的奇偶性不確定；D 中：F(x) = f(x)-f(-x), F(x)=f(x) f(x) = F(x),即函數(shù) F(x)= f(

51、x) f(x)為奇函數(shù)；C 中 F(x) = f(x)+ f(x) , F(x)= f(x)+f(x) = F(x),即函數(shù) F (x) = f (x) + f ( x)為偶函數(shù)，故選擇答案 C二、填空題7、 18、偶9、 26三、解答題10、證明：設(shè)K <X2 <0,則-Xi >-X2 >0 / f(x)在(0,收)上是增函數(shù)。f(-x1)> f(-x2),又 f(x)在 R上是奇函數(shù)。 f (Xi) > -f (X2),即 f (Xi) < f (X2)所以，y = f(x)在(°0,0)上也是增函數(shù)。11、解：設(shè)xc0,由于f(x)是奇

52、函數(shù)，故f(x) = -f(x),22又x>0,由已知有 f(x)=2(x) +3(x)+1 = 2x -3x+1 _ 2-x 0x= 0x: 0-2x 3x1從而解析式為2x2 3x -1f (x) = < 012、解：(1)當(dāng)a=0時，f(x)=x2為偶函數(shù)；當(dāng)a#0時，f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) 設(shè) x2 >Xi 22 ,2 a 2 a Xi - x 2”f Xi- fX2=Xi- -X2- - =XiX2XiX2-alx1x2x1x2由X2 >Xi>2得XiX2(Xi+X2)>16 ,Xi-X2<0,XiX2>0 .要使f(x)在區(qū)間b產(chǎn))上是增函數(shù)只需f 僅1 )f 僅2 )<0,即 XiX2(Xi +X2 )a A0恒成立，則 a16函數(shù)的性質(zhì)綜合練習(xí)一、選擇題2_21 .已知函數(shù)f(x)=(m1)x +(m2)x+(m 7m+12)為偶函數(shù)，則 m的值是()A. 1B. 2C. 3D. 42 .若偶函數(shù)f (x)在(-嗎-11上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是()3 3A. f (-) < f(-1) : f(2)B. f(-1) < f(-