高中物理競(jìng)賽教程(超詳細(xì))第九講動(dòng)量角動(dòng)量和能量

1、第四講 動(dòng)量 角動(dòng)量和能量4.1 動(dòng)量與沖量 動(dòng)量定理1. 1.1 .動(dòng)量在牛頓定律建立以前，人們?yōu)榱肆慷任矬w作機(jī)械運(yùn)動(dòng)的“運(yùn)動(dòng)量” ，引入了動(dòng)量的概念。當(dāng)時(shí)在研究碰撞和打擊問題時(shí)認(rèn)識(shí)到：物體的質(zhì)量和速度越大，其“運(yùn)動(dòng)量”就越大。物體 的質(zhì)量和速度的乘積 mv遵從一定的規(guī)律，例如，在兩物體碰撞過程中，它們的改變必然是數(shù) 值相等、方向相反。在這些事實(shí)基礎(chǔ)上，人們就引用mv來量度物體的“運(yùn)動(dòng)量”，稱之為動(dòng)量。4. 1 . 2.沖量要使原來靜止的物體獲得某一速度，可以用較大的力作用較短的時(shí)間或用較小的力作用 較長(zhǎng)的時(shí)間，只要力 F和力作用的時(shí)間 t的乘積相同，所產(chǎn)生的改變這個(gè)物體的速度效果就 一樣，

2、在物理學(xué)中把 F t叫做沖量。4. 1. 3.質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理由牛頓定律，容易得出它們的聯(lián)系：對(duì)單個(gè)物體：F t ma t m v mvi mv0f t p即沖量等于動(dòng)量的增量，這就是 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理。在應(yīng)用動(dòng)量定理時(shí)要注意它是矢量式，速度的變化前后的方向可以在一條直線上，也 可以不在一條直線上，當(dāng)不在一直線上時(shí)，可將矢量投影到某方向上，分量式為：Fx t mvtxmv0xFytmvtymvoyFztmvtzmv0z對(duì)于多個(gè)物體組成的物體系，按照力的作用者劃分成內(nèi)力和外力。對(duì)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)用動(dòng)量 定理：第 1個(gè)I1 外+ I1mv1t mW。第2個(gè)I2 外+=m2V2t m2V2。第 n 個(gè)I n 外+

3、I n 內(nèi)=mnvnt mn vn0由牛頓第三定律：I1內(nèi)+ I 2內(nèi)+ I n內(nèi)=。因此得到：I1#+ I2#+ + I n #=（ mMt + m2V2t +mnvnt）-（ m1Mo + m2V2。+ mnvn。） 即：質(zhì)點(diǎn)系所有外力的沖量和等于物體系總動(dòng)量的增量。4, 2角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律動(dòng)量對(duì)空間某點(diǎn)或某軸線的矩，叫動(dòng)量矩，也叫 角動(dòng)量。它的求法跟力矩完全一樣，只要把力F換成動(dòng)量P即可，故B點(diǎn)上的動(dòng)量P對(duì)原點(diǎn)。的動(dòng)量矩J為J r P（r OB）以下介紹兩個(gè)定理：(1 ).角動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)對(duì)某點(diǎn)或某軸線的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的微商，等于作用在該質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)比同點(diǎn)或同軸 的力矩，即M dt(M

4、為力矩)。dJ(2 ).角動(dòng)量守恒定律如果質(zhì)點(diǎn)不受外力作用，或雖受外力作用，但諸外力對(duì)某點(diǎn)的合力矩為零，則對(duì)該點(diǎn)來講，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩J為一恒矢量，這個(gè)關(guān)系叫做角動(dòng)量守恒定律即 rXF=0,則J=rx mv=rx P=恒矢量(3 .3動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐的基礎(chǔ)上建立的，首先在碰撞問題的研究中發(fā)現(xiàn)了 它，隨著實(shí)踐范圍的擴(kuò)大，逐步認(rèn)識(shí)到它具有普遍意義，對(duì)于相互作用的系統(tǒng)，在合外力為零的情況下，由牛頓第二定律和牛頓第三定律可 得出物體的總動(dòng)量保持不變。即：m1V1t+m2V2t+ mnvn=m1Vi !乂上式就是動(dòng)量守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。應(yīng)用動(dòng)量守恒定律應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)動(dòng)量是矢

5、量，相互作用的物體組成的系統(tǒng)的總動(dòng)量是指組成物體系的所有物體的動(dòng) 量的矢量和，而不是代數(shù)和，在具體計(jì)算時(shí)，經(jīng)常采用正交分解法，寫出動(dòng)量守恒定律的分 量方程，這樣可把矢量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，(2)在合外力為零時(shí)，盡管系統(tǒng)的總動(dòng)量恒定不變，但組成系統(tǒng)的各個(gè)物體的動(dòng)量卻可 能不斷變化，系統(tǒng)的內(nèi)力只能改變系統(tǒng)內(nèi)物體的動(dòng)量，卻不能改變系統(tǒng)的總動(dòng)量。在合外力 不為零時(shí)，系統(tǒng)的總動(dòng)量就要發(fā)生改變，但在垂直于合外力方向上系統(tǒng)的動(dòng)量應(yīng)保持不變， 即合外力的分量在某一方向上為零，則系統(tǒng)在該方向上動(dòng)量分量守恒。(3)動(dòng)量守恒定律成立的條件是合外力為零，但在處理實(shí)際問題時(shí)，系統(tǒng)受到的合外力 不為零，若內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力時(shí)

6、，我們?nèi)钥梢园阉?dāng)作合外力為零進(jìn)行處理，動(dòng)量守恒定律成 立。如遇到碰撞、爆炸等時(shí)間極短的問題時(shí)，可忽略外力的沖量，系統(tǒng)動(dòng)量近似認(rèn)為守恒。(4)動(dòng)量守恒定律是由牛頓定律導(dǎo)出的，牛頓定律對(duì)于分子、原子等微觀粒子一般 不適用，而動(dòng)量守恒定律卻仍適用。因此，動(dòng)量守恒定律是一條基本規(guī)律，它比牛頓定律具 有更大的普遍性。動(dòng)量守恒定律的推廣由于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系在不受外力的作用時(shí)，它的總動(dòng)量是守恒的,所以一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變它質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這個(gè)討論包含了三層含意：圖 4-3-1所以B滑到槽A的右邊最高端時(shí)，A的位移為(圖如果原來A、B 一起以速度V向右運(yùn)動(dòng)，用膠水將B粘在槽A左上端，某一時(shí)刻膠水突(1)如果一

7、個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心原來是不動(dòng)的，那么 在無外力作用的條件下，它的質(zhì)心始終不動(dòng)，即位置 不變。(2)如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心原來是運(yùn)動(dòng)的，那么 在無外力作用的條件下，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心將以原來 的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)。(3)如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心在某一個(gè)外力作用下 作某種運(yùn)動(dòng)，那么內(nèi)力不能改變質(zhì)心的這種運(yùn)動(dòng)。比 如某一物體原來做拋體運(yùn)動(dòng)，如果突然炸成兩塊，那 么這兩塊物體的質(zhì)心仍然繼續(xù)做原來的拋體運(yùn)動(dòng)。如果一個(gè)質(zhì)量為mA的半圓形槽A原來靜止在 水平面上，原槽半徑為 Ro將一個(gè)質(zhì)量為 mB的滑塊B 由靜止釋放(圖 4-3-1),若不計(jì)一切摩擦，問 A的最 大位移為多少？由于A做的是較復(fù)雜的變加速運(yùn)動(dòng)，因此很難

8、用牛頓定律來解。由水平方向動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒， 可知B一定能到達(dá)槽 A右邊的最高端，而且這一瞬間 A、B相對(duì)靜止。因?yàn)?A、B組成的體系原來在水平方 向的動(dòng)量為零，所以它的質(zhì)心位置應(yīng)該不變，初始狀 態(tài)A、B的質(zhì)心距離圓槽最低點(diǎn)的水平距離為：mBmAmB2s 二mA mB然失效，B開始滑落，仍然忽略一切摩擦。設(shè)從 B脫落到B再次與A相對(duì)靜止的時(shí)間是t, 那么這段時(shí)間內(nèi) A運(yùn)動(dòng)了多少距離?B脫落后，A將開始做變加速運(yùn)動(dòng)，但 以在t時(shí)間內(nèi)A運(yùn)動(dòng)的距離為：A、B兩物體的質(zhì)心仍然以速度 v向右運(yùn)動(dòng)。所L vt2mBmAmB(4 4.4功和功率4. 4. 1功的概念力和力的方向上位移的乘積稱為功。即W

9、Fscos式中 是力矢量F與位移矢量s之間的夾角。功是標(biāo)量,圖 4-4-1有正、負(fù)。外力對(duì)物體的總功或合外力對(duì)物體所做功等于各個(gè)力對(duì)物體所做功的代數(shù)和。 對(duì)于變力對(duì)物體所做功，則可用求和來表示力所做功，即WFi si cos i也可以用F=F (s)圖象的“面積”來表示功的大小，如圖 4-4-1所示。由于物體運(yùn)動(dòng)與參照系的選擇有關(guān)，因此在不同的參照系中，功的大小可以有不同 的數(shù)值，但是一對(duì)作用力與反作用力做功之和與參照系的選擇無關(guān)。因?yàn)樽饔昧Ψ醋饔昧ψ?功之和取決于力和相對(duì)位移，相對(duì)位移是與參照系無關(guān)的。值得注意的是，功的定義式中力F應(yīng)為恒力。如F為變力中學(xué)階段常用如下幾種處理方圖 4-4-2

10、法：(1)微元法；(2)圖象法；(3)等效法。4. 4. 2.幾種力的功下面先介紹一下“保守力”與“耗散力” 。具有“做功與路徑無關(guān)”這一特點(diǎn)的力稱為保守力，如 重力、彈力和萬有引力都屬于保守力。不具有這種特點(diǎn)的力稱為非保守力，也叫耗散力，如摩擦力。(1)重力的功重力在地球附近一個(gè)小范圍內(nèi)我們認(rèn)為是恒力， 所以從高度 hi處將重力為mg的物移到高h(yuǎn)2處。重力做功為： Wc mg(h2 hl)，顯然與運(yùn)動(dòng)路徑無關(guān)。(2)彈簧彈力的功物體在彈簧彈力 F=-kx的作用下，從位置x1運(yùn)動(dòng)至位置x2 ,如圖4-4-2 (a)所示，其彈力變化 F=F (x)如圖4-4-2(b)所示則該過程中彈力的功W可用

11、圖中斜線“面積”表示，功大小為kX1 (1X2)1 . 21 , 2W (x2x1)kx1kx2222(3)萬有引力的功質(zhì)量m的質(zhì)點(diǎn)在另一質(zhì)量 M的質(zhì)點(diǎn)的作用下由相對(duì)距離 r1運(yùn)動(dòng)至相對(duì)距離r2的過程 中，引力所做功為1 1、 GMm GMmW GMm()1 2214. 4. 3.功率作用于物體的力在單位時(shí)間內(nèi)所做功稱為功率，表達(dá)式為WP t 求瞬時(shí)功率，取時(shí)間 t 0則為W F scosP Iim Iim F vcost 0 t t 0 t式中v為某時(shí)刻的瞬時(shí)速度, 4. 5 動(dòng)能 動(dòng)能定理4. 5. 1.質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理為此刻v與F方向的夾角質(zhì)量m的質(zhì)點(diǎn)以速度v運(yùn)動(dòng)時(shí)，它所具有動(dòng)能 Ek為:E

12、k 1 mv22動(dòng)能是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)狀態(tài)量，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能發(fā)生變化時(shí)，是由于外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做了功，其多宏耳 大不TH ：W 外=EK EK1 EK2上式表明外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做功，等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的變化，這就是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理。4. 5. 2.質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理（外N若質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，質(zhì)點(diǎn)系中任一質(zhì)點(diǎn)都會(huì)受到來自于系統(tǒng)以外的作用力,在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，這些力都將做功。設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由 i個(gè)質(zhì)點(diǎn)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理力）和系統(tǒng)內(nèi)其它質(zhì)點(diǎn)對(duì)它作用力（內(nèi)力） 個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，選取適當(dāng)?shù)膽T性系，對(duì)其中第1 212W Wi _JmiVi2-mivi1i外+ i內(nèi)=22對(duì)所有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理求和就有2 i1121W-Wj9mivi2?mivii 外

13、+ v vi 內(nèi)=22若用W外、W內(nèi)、EK2、EK1分別表示W(wǎng)i外、則上式可寫成Wi內(nèi)、1miv22 i1W 外 + W 內(nèi)=EK2 - EK1由此可見，對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系，外力做的功與內(nèi)力做的功之和等于質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量，這就是 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理。和質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理一樣，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理只適用于慣性系，但質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定 理中的W內(nèi)一項(xiàng)卻是和所選的參照系無關(guān)的，因?yàn)閮?nèi)力做的功取決于相對(duì)位移，而相對(duì)位移和所選的參照系是無關(guān)的。這一點(diǎn)有時(shí)在解題時(shí)十分有效。 4. 6勢(shì)能4. 6. 1勢(shì)能若兩質(zhì)點(diǎn)間存在著相互作用的保守力作用，當(dāng)兩質(zhì)點(diǎn)相對(duì)位置發(fā)生改變時(shí)，不管 途徑如何，只要相對(duì)位置的初態(tài)、終態(tài)確定，則保守力做功是確定的

14、。存在于保守力相互作 用質(zhì)點(diǎn)之間的，由其相對(duì)位置所決定的能量稱為質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能。規(guī)定保守力所做功等于勢(shì)能變 化的負(fù)值，即W 保=EP 01）勢(shì)能的相對(duì)性。通常選定某一狀態(tài)為系統(tǒng)勢(shì)能的零值狀態(tài)，則任何狀態(tài)至零勢(shì)能狀態(tài)保守力所做功 大小等于該狀態(tài)下系統(tǒng)的勢(shì)能值。原則上零勢(shì)能狀態(tài)可以任意選取，因而勢(shì)能具有相對(duì)性。(2)勢(shì)能是屬于保守力相互作用系統(tǒng)的，而不是某個(gè)質(zhì)點(diǎn)獨(dú)有的。(3)只有保守力才有相應(yīng)的勢(shì)能，而非保守力沒有與之相應(yīng)的勢(shì)能。4. 6. 2常見的幾種勢(shì)能(1)重力勢(shì)能在地球表面附近小范圍內(nèi)，mg重力可視為恒力，取地面為零勢(shì)能面，則的重力勢(shì)能為h高處重物mEp mgh(2)彈簧的彈性勢(shì)能取彈簧處于原

15、長(zhǎng)時(shí)為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，當(dāng)彈簧伸長(zhǎng)(壓縮) 功為x時(shí)，彈力F=-kx ,彈力做的1kx22由前面保守力所做功與勢(shì)能變化關(guān)系可知Ep (Ep 0)EP1kx22(3)引力勢(shì)能兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)MmM、m相距無窮遠(yuǎn)處,規(guī)定EP0 0 ,設(shè)m從無窮遠(yuǎn)處移近M ,引力做功W,由于F引=位移為rri大小隨r變化，可采用微元法分段求和方式。如圖4-5-1 ,取質(zhì)點(diǎn)n由A到B,r2 ,引力做功Mm 二 r rr很小，rA、rB差異很小，則GMmW rA由無窮遠(yuǎn)至距(a S)GMm ,、2 (rA rB) rAGMmrBGMmWir處，引力功-1GMr ( riW為-)1 ri-1GMm(一 r末開始時(shí)r初,最后相對(duì)距離為

16、r末=rGMmmAt brBrA又有Ep(Epr E)EprGMm圖 4-6-1質(zhì)點(diǎn)與均勻球體間引力勢(shì)能，在球體外,r可認(rèn)為球體質(zhì)量集中于球心，所以引力勢(shì)能GMmW外W非保(Ek2 EP2 )( E Ki Epi)Ep r rRR為球半徑質(zhì)量M ,半徑為R的薄球殼，由于其內(nèi)部引力合力為零，故任意兩點(diǎn)間移動(dòng)質(zhì)點(diǎn)m,引力均不做功，引力勢(shì)能為恒量，所以質(zhì)量m質(zhì)點(diǎn)在薄球殼附近引力勢(shì)能為GMm r R rGMm - r REp=r4. 7功能原理和機(jī)械能守恒定律4. 7. 1功能原理根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理W外 W內(nèi)Ek2 Eki當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)有保守力作用和非保守力作用時(shí)，內(nèi)力所做功又可分為W內(nèi) W保W非保而由保

17、守力做功特點(diǎn)知，保守力做功等于勢(shì)能增量的負(fù)值，即W保EpEpi Ep2于是得到KiW外W非保Epi Ep2 Ek2圖 4-7-iO點(diǎn)，那么當(dāng)木塊在所以彈簧的拉力不能大用E表示勢(shì)能與動(dòng)能之和，稱為系統(tǒng)機(jī)械能，結(jié)果得到W外 W非保E2 Ei外力的功和非保守力內(nèi)力所做功之和等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量，這就是質(zhì)點(diǎn)系的功能原 理。可以得到（外力做正功使物體系機(jī)械能增加，而內(nèi)部的非保守力作負(fù)功會(huì)使物體系的機(jī) 械能減少）。功能原理適用于分析既有外力做功，又有內(nèi)部非保守力做功的物體系，請(qǐng)看下題: 勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧水平放置，左端固定，右端連接一個(gè)質(zhì)量為 m的木塊（圖4-7-i）開始時(shí)木塊靜止平衡于某一位置，木塊

18、與水平面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 。然后加一個(gè)水平向右的恒力作用于木塊上。（i）要保證在任何情況下都能拉動(dòng)木塊，此恒力F不得小于多少？ （ 2）用這個(gè)力F拉木塊，當(dāng)木塊的速度再次為零時(shí)，彈簧可能的伸長(zhǎng)量是 多少？題目告知“開始時(shí)木塊靜止平衡于某一位置”，并未指明確切的位置，也就是說木塊在該位置時(shí)所受的靜摩擦力和彈簧的 形變量都不清楚，因此要考慮各種情況。如果彈簧自然伸展時(shí)，木塊在 。點(diǎn)右方時(shí)，所受的彈簧的作用力向右。 因?yàn)槟緣K初始狀態(tài)是靜止的,于木塊所受的最大靜摩擦力mg 。要將木塊向右拉動(dòng)，還需要克服一個(gè)向左的靜摩擦力mg ,所以只要F2mg ,即可保證在任何情況下都能拉動(dòng)木塊。設(shè)物體的初始位置為

19、 x0 ,在向右的恒力F作用下，物體到x處的速度再次為零，在 此過程中，外部有力 F做功，內(nèi)部有非保守力f做功，木塊的動(dòng)能增量為零，所以根據(jù)物體系 的功能原理有L,、,11.21 .2F(x Xo)mg(x Xo) kx -kXo221F mg -k(x x0)可得2(F mg) x xok因?yàn)槟緣K一開始靜止，所以要求mgmgk x0 k可見，當(dāng)木塊再次靜止時(shí)，彈簧可能的伸長(zhǎng)是mg 3mg k x ( m1 m2)g。當(dāng)F= ( m1 m2)g時(shí), 剛好能出現(xiàn)B對(duì)地?zé)o壓力的情況，但 B不會(huì)離開地面；當(dāng) F ( m1 m2)g時(shí)，B將出現(xiàn)離 開地面向上跳起的情況。4. 8碰撞質(zhì)量ml和m2的兩個(gè)

20、物塊，在直線上發(fā)生對(duì)心碰撞，碰撞前后速度分別為 v10和v20及v1和v2 ,碰撞前后速度在一條直線上，由動(dòng)量守恒定律得到m1v10 m2v20m1v1 m2v2根據(jù)兩物塊在碰撞過程中的恢復(fù)情況，碰撞又可分類為下列幾種(1)彈性碰撞在碰撞過程中沒有機(jī)械能損失的碰撞稱為彈性碰撞，由動(dòng)能守恒有1212121222結(jié)合動(dòng)量守恒解得m1 m2v1v10m1 m22m2v2v10m1 m2222m2 v20m1m2m2 m1 v20m1m2對(duì)上述結(jié)果可作如下討論 m1m2,則 v1 v20 , v2 v10 ,即 m1m2 交換速度。-m1v10- m2v20-m1v1- m2 v2若m! m2,且有v

21、20=0,則v1v10, v2 2v10即質(zhì)量大物速度幾乎不變，小物以二倍于大物速度運(yùn)動(dòng)。若m!b)則橢圓長(zhǎng)，短半軸為 a1 2 GMmEmv1 2 a c mv1(a c) mv2 (a 或由開普勒第二定律：2.2,b,焦距c a b1 2 GMmmv22 a c c),近地點(diǎn)速度v1 ,遠(yuǎn)地點(diǎn)速度v2 ,則有太陽在其焦點(diǎn)12E mv02喧）處,GMm1一mv02m在拋物線頂點(diǎn)處能量為4AGMm4A可以證明拋物線頂點(diǎn)處曲率半徑2A,則有2 , mv0 /-12GMm /()24A得到Vo8AGM拋物線軌道能量1iii-m (8AGM ) 4AGM 2)雙曲線F (c,0)1,、1，、v1 (

22、a c) v2(a c)22可解得v1(a c)GM /(a c) av2. (a c)GM /(a c) a代入E得GMm2aii）拋物線設(shè)拋物線方程為2y Ax圖 4-10-3設(shè)雙曲線方程為22L L 1a2b22.2焦距c 、a b ，太陽位于焦點(diǎn)（C, 0）,星體m在雙曲線正半支上運(yùn)動(dòng)。如圖4-10-3所示，其漸近線 OE方程為y=bx/a ,考慮m在D處與無窮遠(yuǎn)處關(guān)系，有L12GMm12E一 mv0 -mv2c x2考慮到當(dāng)r ,運(yùn)動(dòng)方向逼近漸近線，焦點(diǎn)與漸近線距FC為FC cb/ a2 b2 b故有1,、1二Vd(c a) -v22b或 mvD (c a) mv b聯(lián)解得b GMV

23、dc a a雙曲線軌道能量E GMm2a小結(jié)GMm02aGMm2a橢圓軌道拋物線軌道雙曲線軌道以下舉一個(gè)例子質(zhì)量為m的宇宙飛船繞地球中心 0作圓周運(yùn)動(dòng)，已知地球半徑為2RO現(xiàn)要將飛船轉(zhuǎn)移到另一個(gè)半徑為4R的新軌道上，如圖 4-10-4所示，求(1)轉(zhuǎn)移所需的最少能量；(2)如果轉(zhuǎn)移是沿半橢圓雙切軌道進(jìn)行的，如圖中的 ACB 所示，則飛船在兩條軌道的交接處 A和B的速度變化 Va和Vb 各為多少？解：(1)宇宙飛船在2R軌道上繞地球運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬有引力R飛船軌道半徑為提供向心力，令其速度為 vi,乃有 22GMm mvi2(2R) 2R故得GMVl, 2R此時(shí)飛船的動(dòng)能和引力勢(shì)能分別為圖 4-10-

24、4EkiEp112 GMmmv124RGMm2R所以飛船在2R軌道上的機(jī)械能為E1Ek1EP1GMm4R同理可得飛船在 4R軌道上的機(jī)械能為以兩軌道上飛船所具有的機(jī)械能比較，知其機(jī)械能的增量即為實(shí)現(xiàn)軌道轉(zhuǎn)移所需的最少 能量，即GMmE E2 Ei8R(2)由(1)已得飛船在2R軌道上運(yùn)行的速度為GM2RVl同樣可得飛船4R軌道上運(yùn)行的速度為V2GM4R設(shè)飛船沿圖示半橢圓軌道 ACB運(yùn)行時(shí)，在A、B兩點(diǎn)的速度分別為 vi和v2 。則由開普勒 第二定律可得Vi 2R V2 4R又由于飛船沿此橢圓軌道的一半運(yùn)行中機(jī)械能守恒，故應(yīng)有1 2 GMm 12 GMm-mv1 - mv2 2 2R24R聯(lián)立以

25、上兩式解之可得：2GMmv1,3 3R1 2GMmV212 ； 3R故得飛船在A、B兩軌道交接處的速度變化量分別為a碰撞。設(shè)C球與墻面碰撞前后其速度大小不變，且所有摩擦不計(jì)，各球的直徑都比l小很多,求B球落地瞬間三球的速度大小。解：(1)球碰墻前三球的位置視A、B、C三者為一系統(tǒng)，A、C在水平面上滑動(dòng)時(shí)，只要 C不與墻面相碰，則此系統(tǒng)不受水平外力作用，此系統(tǒng)質(zhì)心的水平坐標(biāo)不發(fā)生變化。圖 4-10-7以圖4-10-6表不 C球剛好要碰墻前二球的位置，以 a表不 此時(shí)BC桿與水平面間的夾角，則 AB桿與水平面間的夾角 也為a ,并令BA桿上的M點(diǎn)與系統(tǒng)質(zhì)心的水平坐標(biāo)相同， 則應(yīng)有mA am cos

26、a1 MB -AB4mB MB cos a mC BC cosal 故得 4由上述知M點(diǎn)的水平坐標(biāo)應(yīng)與原來三秋所在的位置的水平坐標(biāo)相同，故知此刻M點(diǎn)與右側(cè)墻面的距離即為 a,即M點(diǎn)與C球的水平距離為 a ,由此有 MB cosa BC cosa a, 即1 .5 2.-cosa l cosa 148 o8 2 cosa 由上式解得2 ,故有a 45(2)求三球碰墻前的速度由于碰墻前 M點(diǎn)的水平坐標(biāo)不變，則在 A、C沿水平面滑動(dòng)過程中的任何時(shí)刻，由于5圖中的幾何約束，C點(diǎn)與M點(diǎn)的水平距離總等于 A點(diǎn)與M點(diǎn)的水平距離的3倍，可見任何時(shí)5刻C點(diǎn)的水平速度大小總為A點(diǎn)水平速度大小的 3倍。以vA、vB、VC分別表示圖5-2-2中三球的速度，則有5vC3 vA又設(shè)vB沿BC方向的分量為vBC ,則由于丫8和0分別為桿BC兩端的小球速度，則此兩 小球速度沿著桿方向的投影應(yīng)該相等，即vBC vC cosa再設(shè)vB沿BA方向的分量為vBA,同上道理可得vBA vA cosa注意到BA與BC兩個(gè)方向剛好互相垂直，故得 vB的大小為2vA cos a乃有以兩式帶入上式，乃得由于系統(tǒng)與圖5-2-1狀態(tài)到圖5-2-2狀態(tài)的機(jī)械能守恒,mBglmBg l s