微專題導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性

1、微專題導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性內(nèi)容回顧1 .在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)f(x),求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間，則需解不等式f (x) 0.求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間，則需解不等式f (x) 02 .函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)單調(diào)遞增，則 f (x)>0若函數(shù)在區(qū)間(a,b)單調(diào)遞遞減，則 f (x)<0.3 .f(x)為增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的xC(a, b)都有f' (x)>0且在(a, b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f' (x)w0.f (x)在區(qū)間I上有極值，則可等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略，否則漏解.4 .函數(shù)f (x)(非常量函數(shù))在區(qū)間 I上不

2、單調(diào)等價(jià)于f (x) 0在區(qū)間I上有實(shí)根且為非二重根。典型例題考點(diǎn)一判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性題型一求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間)D. (0, +8)= x=xT x+1 ,令 v' <0,則可得 0x<1. x x1,函數(shù)y= 2x2- ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為()A. (1,1) B. (0,1)C. 1 ,解析：選B 函數(shù)y= 11x2 ln x的定義域?yàn)?0, +°°), y題型二分類討論求單調(diào)區(qū)間(1)求導(dǎo)后分式的分子為二次函數(shù)可分解因式的含參問題122.已知函數(shù)f (x)- ax (1 a)x In x,(a R).求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)|可；解：(I )

3、f(x)的定義域?yàn)?0,),f (x)的導(dǎo)數(shù)為 f (x) ax 1 a -"(ax1(x,xx當(dāng)a 0時(shí)，f (x)人，f(x)的單減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,) x當(dāng)a 0時(shí)，一一.1.一一1 .一1當(dāng) a(0,1)時(shí)，11.由 f(x) 0,得x或x1. f (x) 0,得 1x-aaa11f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1), (1),單增區(qū)間為(1,-).aa當(dāng)a 1時(shí)，包有f (x) 0 ,f (x)單調(diào)遞減.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,)；,.11. 1當(dāng)a (1,)時(shí)，一1,由 f(x) 0,行 x 1 或x . f (x) 0 ,得一x 1 aaaf(x

4、)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1), (1,),單增區(qū)間為(1,1).aa當(dāng)a 0時(shí)，1 0, f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單增區(qū)間為(1,). a綜上，當(dāng)a 0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單增區(qū)間為(1,).當(dāng)a (0,1)時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),(1,)，單增區(qū)間為(1). aa當(dāng)a 1時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,)；當(dāng)a (1,)時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1), (1,)，單增區(qū)間為(,1). aa(2)求導(dǎo)后分式的分子為二次函數(shù)不能分解因式含參問題2x3 .(2014圖考湖南卷)已知吊數(shù)a>0,函數(shù)f(x)= ln(1 + ax)-討論

5、f(x)在區(qū)間(0, +°° )上的單倜性.x+ 2的a2x+22x ax2+4a 1斛:f =胃-xr?=1 + ax x+ 2 2.(*)當(dāng)a>1時(shí)，f' (x)>0.此時(shí)，f(x)在區(qū)間(0, +8)上單調(diào)遞增.當(dāng) 0vav1 時(shí)，由 f 8=0得*1 = 2<1(x2=2丹且舍去).當(dāng) xC(0, x1)時(shí),r (x)<0；當(dāng) xC (x1, + 8)時(shí),y (x)>0.故f(x)在區(qū)間(0, x1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(x1, + 8)上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在區(qū)間(0, +8)上單調(diào)遞增；當(dāng)0vav1時(shí)

6、，f(x)在區(qū)間(0,29)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(29,)上單調(diào)遞增.(3)求導(dǎo)后是非二次型的含參問題4 .(2016北京西城模擬)已知函數(shù)f(x)=ln(ex+1)-ax(a>0).(1)若函數(shù)y= f(x)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，求 a的值；(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間. x解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.由已知得f' (x)=£7a；函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù), ex+1e xex. 一 1 f ( x) = f (x),即-xq 廠 a= yy+a,解得 a = -. e 1e 十 2ex1(2)由(1)f' (M'exea=1 e1當(dāng)a&

7、gt;1時(shí)，f' (x)<0恒成立，aC1, + 8)時(shí)，函數(shù)y= f(x)在R上單調(diào)遞減.當(dāng) 0vav 1 時(shí)，由 f' (x)>0得(1 a)(ex+ 1)>1,即 ex>- 1+,解得 x>lna-,1 - a1 - a當(dāng) 0vav1 時(shí)，由 f (x)<0 得(1 a)(ex+ 1)v1,即 exv 1+，解得 xv lna-1- a1-aaa 、aC(0,1)時(shí)，函數(shù)y=f(x)在(ln,)上單倜遞增，在(，ln )上單調(diào)遞減.1 a1 a題型三已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的范圍11 一5.已知函數(shù)f(x) = p2+2axln x,若

8、f(x)在區(qū)間-,2上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為 431. 11 . 1 一解析：f (x) = x+ 2a-> 0在-,2上恒成立，即2aRx+在,2上恒成立, x 3x 31、88 r-4( x -)max=-, . 2a>-,即 a>- x333一 4答案:4,)3題型四構(gòu)造函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性求參數(shù)的范圍6 已知函數(shù) f(x)= (a 1)x+ aln(x 2), (a<1).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；設(shè)a<0時(shí)，對(duì)任意x1、近(2, +8),及胃三詈<一4恒成立，求a的取值范圍.解：(1) .f，x)=(a-1) +a(a 1)x a +

9、 2x- 2x- 2(aT"套) ,a 1(1 分)a<0 時(shí)，f'x) =x 29a-2a- 12 = -a-<0,0<a_2 <2,，x>2 時(shí)，f x)<0，f(x)在(2, + 8 止遞減.(3 分)a 1a 1 a=0時(shí)，f(x)=x,在(2, + 8止遞減.0<a<1 時(shí)，三>2，xC(2, a212)時(shí)，f'x)>0, f(x)在(2,三)上遞增； a 1a 1a 1當(dāng)xC(a2, + 8時(shí)，F(xiàn) x)<0, f(x)在(a2, +8止遞減；.綜上所述，當(dāng)aW0時(shí)，f(x)在(2, +8止遞

10、減,a 1a 1當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)在(2, a2)上遞增，在(a2, + 8比遞減. a1a-1(2)當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在(2 , + 8止遞減；不妨設(shè)任意 x1, x2 (2, + 8月x1<x2f(x1) f(x2)、< 4 可變?yōu)?f(x1) f(x2)> 4(x1 x2)x1 x2 f(x) +4x>f(x2) +4x2,令 g(x)= f(x) +4x, . g(x)在(2, + 8止遞減.g'x)<0 在(2, +8 止恒成立，a-1+a-+4<0 在(2, + 8 止恒成立.x 2a< 3 + 在(2,

11、+ 8止恒成立而3< 3+ <0,aw - 3 x 1x 1題型五函數(shù)在某區(qū)間上不單調(diào)，求參數(shù)的范圍7.已知函數(shù) f(x)=aln x- ax-3(a R).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(2, f(2)處的切線的傾斜角為45°,對(duì)于任意的tC1,2,函數(shù)g(x)=x3 + x2 f (x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求 m的取值范圍.2a 1 x解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0, +8),且F (x) =.當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(0,1),減區(qū)間為(1,x+ °°)；當(dāng)a<0時(shí)，f(x

12、)的增區(qū)間為(1, +°0),減區(qū)間為(0,1)；當(dāng)a=0時(shí)，f（x）不是單調(diào)函數(shù).m .g(x) = x3+ (2)由(1)及題意得 f' (2) = |=1,即 a= 2, . f(x) = _2ln x+ 2x3, f'僅)=第2. xx2)x22x,，g' (x)= 3x2+(m+4)x 2.g' t <0,g' 3 >0. g（x）在區(qū)間（t,3）上總不是單調(diào)函數(shù),即g' （x）=0在區(qū)間（t,3）上有變號(hào)零點(diǎn).由于 g' （0）=-2,當(dāng) g' (t)<0,即 3t2+ (m + 4)t-2

13、<0 對(duì)任意 tC 1,2恒成立，由于 g' (0)<0,故只要 g' (1)<0且 g' (2)<0,即 mv 5 且 m< 9,即 m< 9;由 g' (3)> 0,即 m>期.所以37V m< 9. 33即實(shí)數(shù)m的取值范圍是（37, 9）.3題型六利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍ln( x 1),x 08.已知函數(shù)f (x)1，若m n ,且f (m) f (n),則n m的取值范圍是(x 1,x 02A.3 2ln 2,2)【答案】AB. 3 2ln 2,2C. e 1,2D. e 1,2)【解析】如圖，作

14、出的數(shù)F =的圖象J不好設(shè)/（同=/5） = *，由函的/（用）=/用可知函Si /q）圖象與直緘=£營(yíng)兩個(gè)交亙，而工M0時(shí)，的薊力里調(diào)涕墻，亙圖象行油交于五（O.lh所以0 / i 1師以也工G, 由故得,0+ 1)<1。：咤三c 一 1r 八由-2 nJ £0= t,即;* + l = f,解得加=2-2;由/00 = 3 即 ln(R + l) = r,解得打工/-1；記g(t) = K-m = e1-1-Gt-2) = e1-2r+l/(分二，一2 所以當(dāng) 0 <f 旬口2 時(shí).gXt) < 0 ,幽麴虱。旦調(diào)送演卞蘭In，M1時(shí)，/（力口函數(shù)里調(diào)

15、遞管.所以修熨且的最小值力£dn2) = #ft2-21n2 + l=3-21n2 j 而或0)=5 + 1=北氟1="2+1 7-1 <2一般、 3-2nl<s)<2.題型七利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小9.設(shè) a3 ,b310g 3 , c log3 ,則 a,b,c 大小關(guān)系為A . abc B. ac bC. cabD. cba解:log 3 3ln33ln3落構(gòu)造函數(shù)f(x)In xx(0,e)增，(e,)減函數(shù)，c a310g3 log31nJn31n3Inln231n21n23 1n23,構(gòu)造函數(shù)f(x),221n x , ,、 2 In x In

16、 x，f (x) 2xxIn x(2 In x)2x(0,1)減,(1,e)增，(e,3)減，b c,選B方法歸納1 .求單調(diào)區(qū)間不帶等號(hào)，已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的范圍則導(dǎo)函數(shù)帶等號(hào)2 .求導(dǎo)后經(jīng)常對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，如何分類是關(guān)鍵，如果是二次函數(shù)類型的，要考慮二次項(xiàng)系數(shù)，兩根 大小，定義域之間的關(guān)系。其它類型的分類，如果參數(shù)的取值能夠判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，這就是一個(gè)分類 討論的標(biāo)準(zhǔn)。如討論f(x) ex ax,x (1,2)的單調(diào)性，由f (x) ex a,分a 2,a 1,1 a 2三類11 1如討論f (x) In x ax,x (1,2)的單倜性，由f (x) a,分a 1,a -,- a

17、1三類 x2 23 .要善于等價(jià)轉(zhuǎn)化，如函數(shù)在其區(qū)間上不具有單調(diào)性，等價(jià)其導(dǎo)函數(shù)不能非負(fù)或非正恒成立，也等價(jià)于其 導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間上有變號(hào)的零點(diǎn)。必做真題：1. (2014新課標(biāo)n)若函數(shù) f(x) kx 1nx在區(qū)間(1,)單調(diào)遞增，則k的取值范圍 是()A., 2B., 1C.2,D. 1,一、，1，D【解析】f(x) kx ln x, f (x) k - , / f (x)在(1,)單調(diào)遞增， x 1、 1 、所以當(dāng)x 1時(shí)，f (x) k >0恒成立，即k> -在(1,)上恒成立， xx/_1x 1 , 0 1,所以k>1,故選D.x122. (2015四川)如果函數(shù)

18、f x - m 2 x 21n 8 x 1 m 0, n 0在區(qū)間一，2單倜遞減，那2么mn的最大值為A. 16B.18C. 25D.812【解析】(解法m 2時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為x工一8.據(jù)題意，當(dāng) m 2時(shí)， 8 2即m 2m 22m n 12 . Q v2mnm 2 時(shí)，拋物m 2n 18 . Q J2m n6 mn 18 .由 2m2線開口 向下，據(jù)n 且 2m n 12 得 m 3,n 6 .當(dāng)題意得， 一8 - 即m 2 22m n2mn812由2n m且m 2n 18得m 9 2 ,故應(yīng)舍去.要使得mn取得最大值應(yīng)有 m 2n 18 (m 2, n 8).所以mn (18 2n)

19、n (18 2 8) 8 16 ,所以最大值為18.選 B.(解法二)由已知得 f (x) (m 2)x n 8,對(duì)任意的x呆(x) &2m2n< 18 .畫出該不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示, n0 2+2n=182m+n=12 n令mn t,則當(dāng)n = 0時(shí)，t = 0,當(dāng)n 0時(shí)，m 工，由線性規(guī)劃的相關(guān)知識(shí)，只有當(dāng)直線2m n 12n與曲線m =!相切時(shí)，t取得最大值，由n9tn1-n22 ,解得 n = 6, t =18,所以(mn)max18 ,選 B.解：(1)由題意知當(dāng)a=0時(shí)，f(x) =x- 1一，一一2xC (0, 十 巧.此時(shí) f(x)= . 2

20、.(x十 1 )x 1 -I、r、" s3.(2014山東)設(shè)函數(shù)f(x)=aln x + x,其中a為常數(shù).(1)若a = 0,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1, f(1)處的切線方程;(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.f(x)=a+ax2+ ( 2a+ 2) x+ a(x+ 1) 2 x (x+1) 2一，r ,1 一 ,可得f (1) = 2,又f(1) = 0,所以曲線y= f(x)在(1, f(1)處的切線萬(wàn)程為x-2y-1 = 0.(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0, 十衿當(dāng)a用時(shí)，f'(x)>0,函數(shù)f(x)在(0, + oc)上單調(diào)遞增當(dāng) a<0 時(shí)，令 g

21、(x)= ax2+(2a+2)x+a,由于 A= (2a+ 2)2 4a2 = 4(2a+ 1),1c當(dāng)a2時(shí)，0，f'(x) = W；雙函數(shù)f(x)在(0, +8)上單調(diào)遞減.當(dāng)a<二時(shí)，A<0, g(x)<0 , f'(x)<0,函數(shù)f(x)在(0, 十丐上單調(diào)遞減.1當(dāng)一2<a<0時(shí)，0.設(shè)xi, x2(xi<x2)是函數(shù)g(x)的兩個(gè)季點(diǎn),.(a +1) + -2a + 1 ( a + 1) ' 2a+ 1則 X1 =*, X2 =xa'a由X1 =a + 1 - 42a+ 1 7a2+ 2a+ 1 - 山門1-

22、>0,所以 xC(0, X1)時(shí)，g(x)<0 , f'(x)<0 ,函數(shù) f(x)單調(diào)遞減，xC (x1, x2)時(shí),g(x)>0, f'(x)>0 ,函數(shù) f(x)單調(diào)遞增,xC (x2, + 8)時(shí)，g(x)<0, f'(x)<0,函數(shù) f(x)單調(diào)遞減.綜上可得：當(dāng)a用時(shí)，函數(shù)f(x)在(0, +丐上單調(diào)遞增；當(dāng)aw機(jī)寸，函數(shù)f(x)在(0, +丐上單調(diào)遞減；當(dāng)1<a<0 時(shí)，f(x)在(0, (a 1) 72a 1,)( (a 1) 72a 1,)上單調(diào)遞減,2aa在(a 1)2a 1 , (a 1)<

23、;2a 1)上單調(diào)遞增 a ' a4. (2009 寧夏、海南)已知函數(shù)f(x) = (x3+3x2+ax+b)e x.若a=b=3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在(8, a ),(2單卿增加在(” ,2),(3單碉減少，證明3-6.解：(1)當(dāng) a=b= 3 時(shí),f(x) = (x3+3x23x3)e x，故f ' (x)- (x3+3x2- 3x-3)e x +(3x2+6x- 3)e x=e x (x3 9x) = x(x 3)(x+3)e x.當(dāng) xv 3 或 0vxv 3 時(shí),f '*x);當(dāng)一3vxv 0 或 x> 3 時(shí),f ' &

24、#171;x).從而f(x)在(8, 3),(0,3)單調(diào)增加 在(3,0),(3,+單調(diào)減少.(2)f ' =(x) (x3+3x2+ax+b)e x +(3x2+6x+a)e x= e x x3+(a 6)x+b a.由條件得 f' (2)0，即 23+2(a6)+ba=0,故 b=4a.從而 f' x)- e x ：x3+(a-6)x+4-2a.因?yàn)?f' (=of)'(=所以 x3+(a6)x+42a=(x 2)(x a )(x- 3 4(x 2) x2( a + 3 )x+ a 3將右邊展開，與左邊比較系數(shù)，得a +書一2, a書a 2.2-故

25、()4<12 4a.又(3-2)(廿2)<0,即 a 3- 2( a + 3 )+40.由此可得 a< 6.于是 3 a> 6.5.(2010安徽理)已知函數(shù) f (x)2x - a(2 lnx),(a 0),討論 f(x)的單調(diào)性. x解：f (x)的定義域是(0,+ ), f (x)設(shè)g(x) x2 ax 2,二次方程g(x) 0的判別式 當(dāng)a2 8 0,即0 a 2芟時(shí)，對(duì)一切x當(dāng)a2 8 0,即a 26時(shí)，僅對(duì)x J2有ax 22. xa2 8.0都有f (x) 0,此時(shí)f (x)在(0,)上是增函數(shù)。f (x) 0,對(duì)其余的x 0都有f (x) 0,此時(shí)f(x

26、)在(0,)上也是增函數(shù)。當(dāng)a2 8 0,即a 2質(zhì)時(shí)， 方程g(x) 0有兩個(gè)不同的實(shí)根xi a48,x2 a-a8,0 xi x2. 22x(0,x1)xi(xi,x2)x2 (x2,)f (x)+0_0+f(x) 單調(diào)遞增Z 極大單調(diào)遞減 極小單調(diào)遞增aa2 8aa2 8 aa28此時(shí)f (x)在(0, a-a一8)上單調(diào)遞增，在(a_*_8, a*8)是上單調(diào)遞減，在 222a Ja8(a_*_8,)上單調(diào)遞增.26.3, .、 2(2009 浙江文)已知函數(shù) f (x) x (1 a)x a(a 2)x b (a,b R).(I)若函數(shù)f (x)的圖象過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率是3

27、,求a,b的值;(II)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)上不單調(diào)，求a的取值范圍. 解析：(I )由題意得f (x)3x2 2(1 a)x a(a 2)又 f(0) b 0f (0) a(a 2)3，解得b 0, a 3或a 1(n)函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)不單調(diào)，等價(jià)于f (x)導(dǎo)函數(shù)f (x)是二次函數(shù)在x ( 1,1)上有實(shí)數(shù)根但無(wú)重根.- 2 一一f (x) 3x 2(1 a)x a(a 2)(x a)3x (a 2)(x)0得兩根分別為x1 a,x2解之得a5解之得 a,1、，1 八總之得1)( -,1)._kx7. (2009北京理)設(shè)函數(shù) f (x) xe (k 0)(i)求曲

28、線y f (x)在點(diǎn)(0, f (0)處的切線方程；(n)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(m)若函數(shù)f (x)在區(qū)間(1,1)內(nèi)單調(diào)遞增，求k的取值范圍 解：(I) f' x 1 kx ekx, f' 01, f 00,曲線y f (x)在點(diǎn)(0, f (0)處的切線方程為 y x.kx1(n)由 fx 1 kx e 0,得 x - k 0 ,k若k 0,則當(dāng)x1 一時(shí)，f x 0,函數(shù)f x單調(diào)遞減, k1 一，3 一.當(dāng)x ,，時(shí)，f x 0,函數(shù)f x單調(diào)遞增， k1 一， 一， 一 一右k 0,則當(dāng)x ，一時(shí)，f x 0,函數(shù)f x單調(diào)遞增， k1當(dāng)x-,，時(shí)，f x 0

29、,函數(shù)f x單調(diào)遞減，k1(出)由(n)知，若k 0,則當(dāng)且僅當(dāng)一1,k1即k 1時(shí)，函數(shù)f x 1,1內(nèi)單調(diào)遞增，若k 0,則當(dāng)且僅當(dāng)1 1,k即k 1時(shí)，函數(shù)f x 1,1內(nèi)單調(diào)遞增，綜上可知，函數(shù)f x 1,1內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，k的取值范圍是1,0 U 0,1 .3222 28. (2009 浙江理)已知函數(shù) f(x) x (k k 1)x 5x 2, g(x) k x kx 1 ,其中 k R.(I)設(shè)函數(shù)p(x) f (x) g(x).若p(x)在區(qū)間(0,3)上不單調(diào)，求k的取值范圍； 、一 一g(x), x 0,(II)設(shè)函數(shù)q(x) '是否存在k ,對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)x1

30、 ,存在惟一的非零實(shí)數(shù)x2f (x), x 0.(x2 x),使得q(x2) q(x1)成立？若存在，求 k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.解析：(I)因 P(x)f (x) g(x)(k 1)x2 (k 5) 1, p x 3x2 2(k1)x (k 5),因 p(x)在區(qū)間(0,3)上不單調(diào), 所以p0在 0,3上有實(shí)數(shù)解，且無(wú)重根，由 p xk(2x_ 2-1)(3x 2x(3x2 2x 5)2x 155),32x42x 110 人 一 ，一一，令 t 2x 1,有 t 1,7 , 3記 h(t)在1,3上單調(diào)遞減，在3,7上單調(diào)遞增，所以有h t 6,10 ,于是2x92x 16,10 ，

31、得k 5, 2 ,而當(dāng)2時(shí)有px 0 在 0,3上有兩個(gè)相等的實(shí)根x 1故舍去，所以k 5, 2 ；www.s 5u. com(II)當(dāng)x 0時(shí)有3x22(k2 k 1)x 5；當(dāng)x 0時(shí)有2k2x因?yàn)楫?dāng)k 0時(shí)不合題意,因此0,卜面討論k0的情形，記(k,),B= 5,(i )當(dāng) Xi0時(shí),0,上單調(diào)遞增，所以要使 q X2Xi成立，只能X20且A B ,因此有k 5(ii )當(dāng) Xi0時(shí),0,上單調(diào)遞減，所以要使 q x2Xi成立，只能X20且A B ,因此 k 5,綜合(i ) (ii ) k 5 ；當(dāng) k 5時(shí)人=8,貝U x1 0,q x1B A,即x2 0,使得q x2q x1成立

32、，因?yàn)閝 x在0,11上單調(diào)遞增，所以x2的值是唯一的；同理,即存在唯一的非零實(shí)數(shù) x2(x2x1),要使 q x2q xi成立，所以k 5滿足題意.ww.kslucom鞏固提高1 .函數(shù)f (x)1 、A. ( ,e) e【答案】Bxln x的單調(diào)遞減區(qū)間是(1B. (0,-) eC.1) eD.(1,)e試題分析：fln x x1 一所以函數(shù)ex的單調(diào)減區(qū)間為0,1 e.故B正確.2.【2018年江西聯(lián)考】設(shè)函數(shù)91nx在區(qū)間a 1,a1上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.B. a 4C. aD. 0 af'(x)0,所以當(dāng)0 x 3 時(shí),f'(x)0,即f(x)在(0,3

33、上遞減,所以0 a3.【2019年江西師大附中月考】已知函數(shù)2xax ,其在區(qū)間0,1 2x1上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為()A. 0,1B.1,0C.1,1D.1 12,2【蠅析】令=三，則屋口劉,/(t)= r-£在區(qū)間0上里t砒母，I I ' (crM 力卜1，當(dāng)屋p時(shí)/3=1十=三。在UI恒成立，必有屋孑,H J沁之力r可求得口Ml ；當(dāng)口之時(shí)，/=在恒成，叱有口Hr：,與口HP矛盾，所以此時(shí)口不存在*綜上所述，本題的正碰選期為C4.12018江西省臨川高三考試】若函數(shù)f Xx alnx不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是().A.0,C .,0 D , 0,x aln

34、x不是單調(diào)函數(shù)，則需方程19 0在x【答案】Ca【斛析】由題思知x 0, f (x) 1 ,要使函數(shù)f xxx 0上有解，即x a,所以a 0,故選C.5 .若 f(x) = lnZ, e< a<b,則()xA. f(a)>f(b) B. f(a) = f(b) C. f(a)f(b) D. f(a)f(b)>1解析f' (x)= 1 x2n x,當(dāng) x>e 時(shí)，f' (x)<0,則 f(x)在(e, + 8)上為減函數(shù)，f(a)>f(b).答案A6 .已知a>0,函數(shù)f(x)= (x2-2ax)ex,若f(x)在1,1上是單調(diào)減

35、函數(shù)，則 a的取值范圍是()3A. (0，4)1 3B. (2,4)3c.4，)解析：選 C f' (x)=(2x 2a)ex+(x22ax)ex=x2+(22a)x2aex,由題意知當(dāng) xC1,1時(shí),f' (x)<0恒成立，即 x2+(2 2a)x 2aw 0恒成立.令 g(x)= x2+ (2 2a)x 2a,g 1 w 0.1 2+ 2 2a ,1 2aW0, 刀/曰 3、 g 1 < 0,12+2-2a-2a< 0,寸 F1 .7,已知函數(shù)f(x)=x + 在(一, 1)上單倜遞增，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是()axA. 1 , +8) b. ( 00,

36、0)U(0,1C. (0,1 D. (8, 0) u 1 , +00)解析：選D 函數(shù)f(x) = x +°的導(dǎo)數(shù)為f' (x)=1七，由于f(x)在(一00 1)上單調(diào)遞增，則fz (x)>0 axax在( 8, 1)上恒成立，即lwx2在(8, 1)上恒成立.由于當(dāng)xv1時(shí)，x2>1,則有,W1,解得a>1 aa或 a<0.b8. (2016湛江一模)若函數(shù)f(x) = x + '(bC R)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn)，則f(x)在下列區(qū)間上單倜遞增 x的是()A . (2,0) B, (0,1)C. (1, +00 ) D.(巴2)

37、解析：選D由題意知，f' (x)=14二函數(shù)f(x)=x + b(b R)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn)，當(dāng)1 xx、與=0 時(shí))b=x2,又 x C (1,2), be (1,4),令 f' (x)>0,解得 xv a或 x>>/b,即 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)x間為(-00 , yjb), (b, + 00), ,b e (1,4),(一 00 , 2)符合題意.9.12018湖南長(zhǎng)沙高三考試:.對(duì)于函數(shù)f (x) 1|x3 -x2 (3 a)x b有六個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間，則a的32取值范圍為.【答案】2 a 3【解析】根據(jù)偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，兩側(cè)單調(diào)性相反，

38、所以當(dāng) x 0時(shí)又3個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間，此時(shí)f x1x3ax23 a x b ,因?yàn)橛腥齻€(gè)不同的單調(diào)區(qū)間，所以0,含有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以322a24 3 a 0af x0有兩個(gè)不同的頭數(shù)根，fxxax 3a ,0,斛得2 a 32f 00In x + k10. (2018武昌區(qū)聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)= y (k為常數(shù),e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線y=f(x)在點(diǎn)(1, f(1) e處的切線與x軸平行.(1)求k的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.1 .-ln x k解：(1)由題意得f' (x)=xx，又f' (1)=上寸=0,故k=1. ee1- ln x 1(2)由(1)知，f&#

39、39; (x) = x.設(shè) h(x) = ° In x1(x> 0),則 h' (x)= 一一v。，exx x即h(x)在(0, +8)上是減函數(shù).由 h(1)=0知，當(dāng)0xv 1時(shí)，h(x)>0,從而f' (x)>0;當(dāng) x>1 時(shí)，h(x)<0,從而 f' (x)<0.綜上可知，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(1, +8).111. (2018 沈陽(yáng)質(zhì)檢)已知函數(shù) f(x)=ln x, g(x) = 2ax+b.(1)若f(x)與g(x)在x= 1處相切，求g(x)的表達(dá)式;m x 1. (2)若(f

40、)(x)= f(x)在1 , 十00)上是減函數(shù) 求頭數(shù) m的取值氾圍.x 1解：(1)由已知得 f' (x)=；(1)=1=%, a=2.x2，、一 1又- g(1)=0 = 2a+b,b = 1,，g(x) = x1.m x 1. m x 1.(2) .(b(x)= f(x)=In x 在1 , + 8)上是減函數(shù).''八 ' x+1x+1x2 + 2m 2 x 1- (x)=2<0 在1 , +8)上恒成立.x x+ 1即 x2(2m 2)x+1 > 0在1 , 十 00)上恒成立，則 2m 2Wx + ；, x 1 , 十 00),. x+ 1c 2, +8), 2m-2<2, m<2. x故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(8, 2. x a 312.(2018山東濰坊模擬)已知函數(shù)f(x) = 4+x- In x-2,其中aCR.1，.(1)右曲線y=f(x)在點(diǎn)(1, f(1)處的切線垂直于直線y = 2x,求a的值.(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.解(1)f'(x) = ； 12-1,由f(x)在點(diǎn)(1, f(1)處的切線垂直于直線 y=；x知 X XNf(1) = j a= - 2,解得 a=：. 4