微專題07三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)-2020高考數(shù)學(xué)(理)二輪復(fù)習(xí)微專題聚焦

1、專題07三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)2020高考數(shù)學(xué)(理)二輪復(fù)習(xí)微專題聚焦【考情分析】三角函數(shù)試題：小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、圖象變換。大題仍有可能 以三角形中的三角函數(shù)為背景，結(jié)合平面向量、正弦、余弦定理，考查三角公式的恒等變形， 和運(yùn)算求解能力；也有可能考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)， 結(jié)合實際問題考查三角函數(shù)的基本公 式、圖象與性質(zhì)、正、余弦定理，解三角形的實際應(yīng)用題要高度關(guān)注?？键c(diǎn)一 函數(shù)y Asin( x ) k(A 0,0)的圖像變換【必備知識】1、函數(shù)y sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng) Asin( x ) (A 0,0)的圖象的兩種途徑途徑一：函數(shù) y sinx的圖象上所有 點(diǎn)向左(右)

2、平移|個單位 長度，得到 函數(shù)1y sin(x )的圖象；再將函數(shù)y sin(x )的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的一倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y sin( x )的圖象；再將函數(shù)y sin( x )的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的 A倍(橫坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y Asin( x )的圖象.1途徑二：函數(shù)y sin x的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的,倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y sin x的圖象；再將函數(shù)y sin x的圖象上所有點(diǎn)向左(右)平移一個單位長度，得到函數(shù)y sin( x )的圖象；再將函數(shù)y sin( x)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的

3、A倍(橫坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y Asin( x )的圖象.2、函數(shù) y Asin( x ) (A 0,0)的性質(zhì)：振幅：A;周期：T 2-；頻率：f 一 ；相位：x ;初相：2【典型例題】【例11 (2020 福建莆田10月月考)函數(shù)f(x)sin( x ) (0,-)的最小正周期為2其圖像向左平移一個單位長度后關(guān)于原點(diǎn)對稱,6則函數(shù) f (x)在0,萬上的最小值為()B 3 B. 2C.12A. 12【解析】因為函數(shù)f(x)sin( x )(0,一， ,2 萬)的最小正周期為-所以 2,所以f(x)sin(2x ).將函數(shù)f(x)的圖像向左平移個單位長度后，6可得函數(shù) f(x) sin2(x

4、 -) sin(2x -)的圖像.根據(jù)所得的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，可得 一 k (k Z), 3因為 一，所以 -,所以函數(shù)f(x) sin(2x )233一，即x=0時，函數(shù)f(x)取得最小 3又因為x 0,所以2x -,故當(dāng)2x 233 33【方法歸納提煉素養(yǎng)】整體把握問題的能力、數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)思想,核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)建模函數(shù) y Asin( x ) k(A 0,0)的圖像變換模型解法:函數(shù) y Asin( x ) k(A 0,0)的圖像可以通過A, k由函數(shù)y sin x的圖像變換得到.由A引起的變換稱為振幅變換，由 引起的變換稱為周期變換，它們均為伸縮變換;由 引起的變換稱為相位變換，由

5、k引起的變換稱為上下左右平移變換，它們都是平移變換.解決三角函數(shù)圖像變換問題的兩種方法分別為先平移后伸縮和先伸縮后平移.破解此類題的關(guān)鍵如下：(1)定函數(shù)：一定要看準(zhǔn)是將哪個函數(shù)的圖像變換得到另一個函數(shù)的圖像.(2)變同名：函數(shù)的名稱要一樣.(3)選方法：即選擇變換方法.要注意：對于函數(shù)y sin x(0)的圖像，向左平移|個單位長度得到的是函數(shù)y sin (x )的圖象，而不是函數(shù)y sin( x )的圖像.【類比訓(xùn)練11函數(shù)y=cos (2x+ )(-冗&nt的圖象向右平移1個單位長度后，與函數(shù)y=sin(2x+ -3) 的圖象重合，則=.【解析】將y=cos (2x+ )的圖象向

6、右平移;個單位長度后得到y(tǒng)=cos2(x-1)+ 的圖象，化簡得 y=-cos (2x+ )，又可變形為 y=sin(2x+ -；).由題意可得 -；=；+2k/k C Z)所以=5-? +2k/kezB合-冗&冗知=5.5答案：.6【類比訓(xùn)練2】已知函數(shù)f(x) sin( x ) (0),若f(x)的圖象向左平移一個單位所得的圖象3與f(x)的圖象向右平移 后個單位所得的圖象重合，則的最小值為.【解析】函數(shù)f(x)=sin(x+(|)(雄(嶇)的圖象向左平移一個單位所得的圖象為3y sin (x -) sin( x -).33把f(x)的圖象向右平移一個單位所得的圖象為y sin (

7、x -) sin( x ),6L '66根據(jù)題意可得y sin( x )和丫 sin( x )的圖象重合，3 6故 2k 求得=4k,故的最小值為 4.36答案：4考點(diǎn)二求函數(shù)y Asin( x ) k(A Q0)的解析式【必備知識】1、確定y Asin( x ) k(A 0,0)的解析式的模型解法：求A,k,確定函數(shù)的最大值M和最小值m,則A=比上,k=%. 22求確定函數(shù)的最小正周期T,則彳.常用的確定T的值的方法有：e相鄰的兩個對稱中心或相鄰的兩條對稱軸之間的距離為T ；2e相鄰的一個對稱中心與其相鄰的一條對稱軸之間的距離為-；4e最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)與其相鄰的最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的距離

8、為-；2e相鄰的兩個最低點(diǎn)(或最高點(diǎn))之間的距離為t ；e有時還可以從圖中看出 工或的值.4 4(3)求，常用方法有e代入法:把圖象上的一個已知點(diǎn)代入(此時要注意該點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上 )或把 圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入.e五點(diǎn)法:確定 值時，往往以尋找 五點(diǎn)法”中的特殊點(diǎn)作為突破口 .具體如下：第一點(diǎn)”即圖象上升時與x軸的交點(diǎn))為x+小=0;第二點(diǎn)”即圖象的峰點(diǎn)”為x+小1；第三點(diǎn)”即圖象下降時與x軸的交點(diǎn))為X+小=冗；第四點(diǎn)”即圖象的谷點(diǎn)”為乂+小3；第五點(diǎn)”即圖象上升時與X軸的交點(diǎn))為x+小=2冗.【例2】函數(shù)y=Asin(x+)(A 0,0,)的部分圖象如圖所示，則()2一.

9、一5T、_.一5T、C.y=cos(4x+- )D.y=sin(2x+ -)【解析】由題中圖象知,A=1,3T= g-(-5),所以T= =所以=2.又當(dāng)x=1時,y=0,所以0=sin(2號+ )，所以 =丘谷,k C茶k=1時，=g,所以 y=sin(2x+ 2)，故選 D.【方法歸納提煉素養(yǎng)】整體把握問題的能力、數(shù)形結(jié)合的思想和方程思想， 核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)建模.自我總結(jié)：由三角函數(shù)圖像求y=Asin(x+)(A 0,0)的解析式，通常由最高點(diǎn)或最低點(diǎn)確定A,由周期確定，由特殊點(diǎn)確定.其中對于 的求解，往往需結(jié)合題目中給出的的取值范圍.在例2中，給定 的取值范圍是一,通過解方程，對k Z賦值

10、法確定 =-.23【類比訓(xùn)練11函數(shù)f(x) cos( x )的部分圖象如圖所示，則A,的值為()A. 1,4B. 1C. 12 4D.1,【解析】,一，,5 1.由題圖知，周期T= 2(5-1)4 42 ,A=12,所以二兀.-2k ,k 2Z,得42k ,k Z,不妨取一.故選A. 4【類比訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)=Asin(x+)(A>0,>0q< < 1),則函數(shù)g(x)=f(2x-1)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A. 4k-1,4k+1(k / Z)B. 4k+1,4k+3(k Z)C. 8k-2,8k+2(k Z)D. 8k+2,8k+6(k Z)【解析】顯然A=3,

11、T=7-3=4，得二24所以 f(x)=3sin( ；x+，又 f(5)=3sin(? + )=-3，得=；,所以 f(x)=3sin( ?x+ ?),所以 g(x)=3sin /(2x-1)+ /=3sin £,由不等式 2kB-<2x<2k7t4,k Z,解得 4k-1<x<4k+；k Z,即函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為4k-1,4k+1(k Z放選A.考點(diǎn)三求函數(shù)y Asin( x ) (A 0,0)的圖像的周期性、單調(diào)性、對稱性【必備知識】二函數(shù) 性版、y sin x y cosxy tanx：1;lr !I;圖象yi1jrpY ,吊1'定義域

12、RRx x k , k 2值域1,11,1R最值當(dāng)x 2k - k時，2y max 1 ；當(dāng)x 2k - k時，2ymin1 當(dāng)x 2k k 時，ymax 1 ；當(dāng)x 2kk時，ymin1 既無最大值也無最小值周期性22奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在 2k -,2k-22k上是增函數(shù)；3在 2k,2k22k上是減函數(shù).在 2k,2 k k上是增函數(shù)；在 2k ,2kk上是減函數(shù).在 k 一, k 一22k上是增函數(shù).對稱性對稱中心k ,0 k對稱軸x k k2對稱中心k ,0 k 2對稱軸x k k對稱中心"0 k無對稱軸【例3】已知向量m (2cos2 x, V3),n(1,si

13、n 2x),設(shè)函數(shù)f (x) m n,則下列關(guān)于函數(shù)y f (x)A.圖像關(guān)于直線x 對稱12 5，一，B.圖像關(guān)于點(diǎn)(言,0)對稱C.周期為2口.在(一,0)上單調(diào)遞增3【解析】由題意得f (x) 2 cos2 xI/-V3sin x cos2x J3sinx 1 2sin(2x ) 1, 6當(dāng) x 時，sin(2x ) sin 12631,所以函數(shù)f(x)的圖像不關(guān)于直線x 12對稱；一 5當(dāng) x 時，sin(2x )1260,2sin(2x -) 1 15 一,所以函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(石,1)對稱;由f (x)的解析式易知函數(shù)f(x)的最小正周期T22，x ( ,0)時，2x 36

14、f(x)在在(90)上單調(diào)遞增.的性質(zhì)的描述正確的是()故選D.【方法歸納提煉素養(yǎng)】一一數(shù)學(xué)思想：整體代換、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想；核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算1、周期的計算公式函數(shù) y Asin( x ), y Acos( x ) (0)的周期為 T函數(shù) y Atan( x )(0)的周期為T求解.2、奇偶性的判斷方法三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為 y Asin x或y A tan x的形式, 而偶函數(shù)一般可化為y Acos x b的形式.3、解決對稱性問題的關(guān)鍵：熟練掌握三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心 .方法：整體處理法、代入驗證法對于函數(shù)y Asin( x ), y Acos( x ) (

15、0)，其對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)對稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此在判斷直線x a或點(diǎn)(,0)是否是函數(shù)的對稱軸或 對稱中心時，可通過檢驗“?)的值進(jìn)行判斷.4、確定函數(shù)y Asin( x ) (A 0,0)單調(diào)區(qū)間的方法采用換元”法整體代換，將'x '看作一個整體，可令2 x ”即通過求y Asin z的單調(diào) 區(qū)間而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.若 0,則可利用誘導(dǎo)公式先將x的系數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)檎龜?shù)，再求單調(diào)區(qū) 問.【類比訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x) 2sin(2x ) (0)，若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移一個單位6后關(guān)于y軸對稱，則下列結(jié)論中不正確的是()5A. B.(一,0)是f

16、(x)圖象的一個對稱中心612C.f()2D.x 一是f(x)圖象的一條對稱軸6【解析】 函數(shù)f (x) 2sin(2x )的圖象向右平移一個單位，可得g(x) 2sin(2x ),63且g(x) 2sin(2x )的圖象關(guān)于y軸對稱，所以 一 一k ,k Z,332解得5 k , k Z 當(dāng) k=0 時可得5，故 f(x) 2sin(2x 5),666所以 f( ) 2sin(5 5) 2sin 5 2, 362所以f( )2不正確.故選C.做高考真題提能力素養(yǎng)【選擇題組】1、(2019全國卷II理T？下列函數(shù)中，以 萬為周期且在區(qū)間(,萬)單調(diào)遞增的是()A. f(x)= | cos 2

17、|B. f(x)= | sin x |C. f(x)=cos x ID. f(x)= sin x|【解析】因為由y sin|x|圖象知，不是周期函數(shù),排除D；因為y cosx cosx,周期為2排除C,作出y |cos2x圖象，由圖象知，其周期為一,在區(qū)間(一,)單調(diào)遞增，A正確；作124 2出y sin2x的圖象，由圖象知，其周期為在區(qū)間(工,萬)單調(diào)遞減，排除B,故選A.2、(2019全國卷III理T12設(shè)函數(shù)f x =sin ( x -) ( >0),已知f x在0,2 有且僅 5有5個零點(diǎn)，下述四個結(jié)論：e f x在(0,2 )有且僅有3個極大值點(diǎn)e f x在(0,2 )有且僅有

18、2個極小值點(diǎn)e f x在(0,行)單調(diào)遞增,一 12 29的取值范圍是-,-9)5 10其中所有正確結(jié)論的編號是B.A. 【解析】當(dāng)x 0,2 時,Cf (x)在0,2 有且僅有5個零點(diǎn)，529后故C正確,6 知 x , 255559 一一，,一 一 .時取得極大值,正確;極小值點(diǎn)不確定，可能是2個也可能是3個，e不正確;因此由選項可知只需判斷e是否正確即可得到答案,當(dāng) x 0,一10時，x - 52)10，若 f (x)0,一單調(diào)遞增，則10£ 5 ,即 <3，29空，故e正確.10故選:D.3、（2018天津高考理科 T6）函數(shù)y=sin（2x + :）的圖象向右平移算個單

19、位長度，所得圖象對應(yīng)的 510函數(shù)（）A.在區(qū)間號,上單調(diào)遞增B.在區(qū)間? u止單調(diào)遞減C.在區(qū)間；言上單調(diào)遞增D.在區(qū)間彥,2 nt止單調(diào)遞減【解析】選A.因為將函數(shù)y=sin(2x + 5)的圖象向右平移七個單位長度彳馬到函數(shù)y=sin2x的圖象.用五點(diǎn)法作出草圖，如圖:從圖中可以看出選項A正確，其他都不正確.4、(2017全國丙卷理科 T跳函數(shù)f(x)=cos(x+),則下列結(jié)論錯誤的是()A.f(x)的一個周期為-2冗B.y=f(x)的圖像關(guān)于直線x= 8-對稱3C.f(x+ 的一個零點(diǎn)為x=- D.f(x)在一，單調(diào)遞減62【解析】選D.當(dāng)xC ,時,x+ e 5-,，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)

20、不單調(diào). 236325、(2017全國乙卷理科 T9)知曲線Ci:y=cosx,C2：y=sin 2x 一，則下面結(jié)論正確的是()3A.把Ci上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移 9個單位長度,得到曲線C2B.把Ci上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移 一個單位長 12度將到曲線C2C.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的1倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移g個單位長度將到曲線C2D.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的1倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移 ;個單位長度，得到曲線C2【解析】選 D.Ci :y=cosx,C2:y=sin 2x 一3y=cosx=cos首先把曲線Ci,C2統(tǒng)一為同一三角函數(shù)名，可將Ci：y=cosx用誘導(dǎo)公式處理.x =sin x 一 .橫坐標(biāo)變換