橢圓型方程的差分解法

1、橢圓型方程的差分解法1.引言考慮問題二維Poisson方程， 其中為中的一個(gè)有界區(qū)域，其邊界為分段光滑曲線。在上滿足下列邊界條件之一：（第一邊值條件），（第二邊值條件），（第三邊值條件），都是連續(xù)函數(shù)，.2.差分格式將區(qū)間作m等分，記為；將區(qū)間作n等分，記為.稱為方向的步長，為方向的步長。2.1 Poisson方程五點(diǎn)差分格式參考單如圖所示：j+1jj-1i+1i-1i以為中心沿方向Taylor展開：由 + 得：整理得到：同理，以為中心沿方向Taylor展開：代入原方程得：得到截?cái)嗾`差：其中是原方程光滑解，舍去截?cái)嗾`差得到逼近Poisson方程的五點(diǎn)差分方程：考慮到邊值條件，構(gòu)成差分格式：2.

2、2 Poisson方程九點(diǎn)差分格式由上式 + 得：又則得到：舍去截?cái)嗾`差得到逼近Poisson方程的九點(diǎn)差分方程：考慮到邊值條件，構(gòu)成差分格式：3. 格式求解3.1 Poisson方程五點(diǎn)差分格式記，矩陣格式改寫為：，其中，可進(jìn)一步寫為：3.2 Poisson方程九點(diǎn)差分格式記，矩陣格式改寫為：，其中，可進(jìn)一步寫為：4.數(shù)值例子4.1 Poisson方程五點(diǎn)差分格式計(jì)算如下問題：其精確解為：考慮到本例中h1=h2，則有利用Gauss-Seidel迭代方法對k=0,1,2,計(jì)算表1 部分結(jié)點(diǎn)處的精確解和取不同步長時(shí)所得的數(shù)值解(h1,h2)(x,y)(1/4,1/4)(1/2,1/4)(3/4,

3、1/4)(1/4,3/4)(1/2,3/4)(3/4,3/4)(1/4,1/4)1.5626222.0065892.5760251.8157532.3314922.993189(1/8,1/8)1.5620992.0056822.5751831.8150312.3305222.992321(1/16,1/16)1.5618362.0054462.5750131.8148082.3302692.992092(1/32,1/32)1.5617942.0053382.5794591.8146762.3302202.992003(1/64,1/64)1.5616742.0053582.5749371.

4、8147432.3302762.992011精確解1.5617812.0054372.5746941.8147492.3301832.992014表2 取不同步長時(shí)部分結(jié)點(diǎn)處數(shù)值解的誤差絕對值(h1,h2)(x,y)(1/4,1/4)(1/2,1/4)(3/4,1/4)(1/4,3/4)(1/2,3/4)(3/4,3/4)(1/4,1/4)8.4094e-040.00120.00119.0500e-040.00130.0012(1/8,1/8)2.1769e-043.1498e-042.8202e-042.3451e-043.3891e-043.0635e-04(1/16,1/16)5.487

5、4e-057.9388e-057.1220e-055.9144e-058.5448e-057.7433e-05(1/32,1/32)1.3096e-051.9001e-051.7247e-051.4215e-052.0586e-051.8853e-05(1/64,1/64)6.1867e-068.3780e-064.7959e-065.5548e-067.4932e-064.0549e-06表3 取不同步長時(shí)部分結(jié)點(diǎn)處數(shù)值解的最大誤差(h1,h2)(1/4,1/4)0.0016*(1/8,1/8)4.2732e-043.744267(1/16,1/16)1.0885e-043.925769(1

6、/32,1/32)2.6148e-054.162842(1/64,1/64)1.1928e-052.192153圖1 取h=1/4時(shí)所得的數(shù)值解曲線圖2 取h=1/4時(shí)所得的誤差曲線圖3 取h=1/16時(shí)所得的數(shù)值解曲線圖4 取h=1/16時(shí)所得的誤差曲線圖5 取h=1/64時(shí)所得的數(shù)值解曲線圖6 精確解曲線圖7 取h=1/64時(shí)所得的誤差曲線4.2 Poisson方程九點(diǎn)差分格式計(jì)算如下問題：其精確解為考慮到本例中h1=h2，則有利用Gauss-Seidel迭代方法對k=0,1,2,計(jì)算表1 部分結(jié)點(diǎn)處的精確解和取不同步長時(shí)所得的數(shù)值解(h1,h2)(x,y)(1/4,1/4)(1/2,1/

7、4)(3/4,1/4)(1/4,3/4)(1/2,3/4)(3/4,3/4)(1/4,1/4)1.5617812.0053672.5749421.8147482.3301832.992015(1/8,1/8)1.5617812.0053672.5749421.8147492.3301832.992014(1/16,1/16)1.5617812.0053672.5749421.8147492.3301832.992015(1/32,1/32)1.5617812.0053662.5749411.8147482.3301832.992014(1/64,1/64)1.5617732.0053562.5

8、749341.8147412.3301732.992007精確解1.5617812.0054372.5746941.8147492.3301832.992014表2 取不同步長時(shí)部分結(jié)點(diǎn)處數(shù)值解的誤差絕對值(h1,h2)(x,y)(1/4,1/4)(1/2,1/4)(3/4,1/4)(1/4,3/4)(1/2,3/4)(3/4,3/4)(1/4,1/4)8.4094e-040.00120.00119.0500e-040.00130.0012(1/8,1/8)2.1769e-043.1498e-042.8202e-042.3451e-043.3891e-043.0635e-04(1/16,1/1

9、6)4.0638e-085.3998e-083.5875e-083.3749e-084.4845e-082.9794e-08(1/32,1/32)1.3096e-051.9001e-051.7247e-051.4215e-052.0586e-051.8853e-05(1/64,1/64)6.1867e-068.3780e-064.7959e-065.5548e-067.4932e-064.0549e-06表3 取不同步長時(shí)部分結(jié)點(diǎn)處數(shù)值解的最大誤差(h1,h2)(1/4,1/4)5.1568e-09*(1/8,1/8)5.1568e-091.000000(1/16,1/16)6.9859e-0

10、80.073817(1/32,1/32)1.0268e-060.068036(1/64,1/64)1.5435e-050.066524圖1 取h=1/4時(shí)所得的數(shù)值解曲線圖2 取h=1/16時(shí)所得的數(shù)值解曲線圖3 取h=1/64時(shí)所得的數(shù)值解曲線圖4 取h=1/4時(shí)所得的誤差曲線圖5 取h=1/16時(shí)所得的誤差曲線圖6 取h=1/64時(shí)所得的誤差曲線5.結(jié)論觀察Poisson方程五點(diǎn)格式，方程以較快速度迭代收縮。對于Poisson方程九點(diǎn)格式，一開始有較快速度和較好結(jié)果，但是與五點(diǎn)格式比起來，迭代速度因步長增加而擴(kuò)散，結(jié)果很不理想，且運(yùn)行速度與五點(diǎn)格式相比慢了許多，與預(yù)計(jì)結(jié)果有失偏頗。參考文獻(xiàn)

11、：1 孫志忠. 偏微分方程數(shù)值解法M. 北京：科學(xué)出版社， 20052 李榮華. 偏微分方程數(shù)值解法M. 北京：高等教育出版社， 20043 易昆南. 基于數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)M. 長沙：中國鐵道出版社， 2014源代碼：%結(jié)點(diǎn)取值，結(jié)點(diǎn)誤差及最大誤差輸出函數(shù)functionp,e,u,x,y,k=five(h,m,n,kmax,ep)%p代表數(shù)值解，h代表步長,m,n,分別代表x、y軸結(jié)點(diǎn)數(shù),kmax代表最大迭代次數(shù)，ep代表最大誤差,e用于存儲(chǔ)精確解syms temp;u=zeros(n+1,m+1);x=0+(0:m)*h;y=0+(0:n)*h;for(j=1:n+1) %邊值條件 u(

12、j,1)=sin(y(j)+cos(y(j); u(j,m+1)=exp(1)*(sin(y(j)+cos(y(j);endfor(i=1:m+1) u(1,i)=exp(x(i); u(n+1,i)=exp(x(i)*(sin(1)+cos(1);endt=zeros(n-1,m-1);for(k=1:kmax) %存儲(chǔ)迭代結(jié)果for(j=2:n)for(i=2:m) temp=(u(j,i+1)+u(j,i-1)+u(j+1,i)+u(j-1,i)/4; t(j,i)=(temp-u(j,i)*(temp-u(j,i); u(j,i)=temp;endend t(j,i)=sqrt(t(j

13、,i);if(k>kmax) %結(jié)果滿足kmax次停止迭代break;endif(max(max(t)<ep) %結(jié)果滿足最大誤差，停止迭代break;endende=0;for(j=1:n+1)for(i=1:m+1) p(j,i)=(sin(y(j)+cos(y(j)*exp(x(i); e(j,i)=abs(u(j,i)-p(j,i);if(abs(u(j,i)-p(j,i)>e); %輸出最大誤差 e=abs(u(j,i)-p(j,i);endif(x(i)=1/4&&y(j)=1/4)|(x(i)=1/2&&y(j)=1/4)|(x(i)=3/4&&y(j)=1/4)|(x(