余弦定理及其應(yīng)用

1、余弦定理及其應(yīng)用【教學(xué)目標(biāo)】【知識(shí)與技能目標(biāo)】(1)了解并掌握余弦定理及其推導(dǎo)過程(2)會(huì)利用余弦定理來求解簡(jiǎn)單的斜三角形中有關(guān)邊、角方面的問題(3)能利用計(jì)算器進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算（反三角）【過程與能力目標(biāo)】(1)用向量的方法證明余弦定理，不僅可以體現(xiàn)向量的工具性，更能加深對(duì)向量知識(shí)應(yīng)用的認(rèn)識(shí)(2)通過引導(dǎo)、啟發(fā)、誘導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并且順利推導(dǎo)出余弦定理的過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察與分析、歸納與猜想、抽象與概括等邏輯思維能力【情感與態(tài)度目標(biāo)】通過三角函數(shù)、余弦定理、向量數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系，來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一【教學(xué)重點(diǎn)】余弦定理的證明及應(yīng)用【教學(xué)難點(diǎn)】(1)用向量知識(shí)證明余弦定理時(shí)的思路分析與探

2、索(2)余弦定理在解三角形時(shí)的應(yīng)用思路【教學(xué)過程】一、引入問：在RtABC中，若C=，三邊之間滿足什么關(guān)系？答：?jiǎn)枺喝鬋，三邊之間是否還滿足上述關(guān)系？答：應(yīng)該不會(huì)有了！問：何以見得？答：假如不變，將A、B往里壓縮，則C，且；同理，假如不變，將A、B往外拉伸，則C，且?guī)煟悍浅Ｕ_！那么，這樣的變化有沒有什么規(guī)律呢？答：規(guī)律肯定會(huì)有，否則，您就不會(huì)拿它來說事了問：仔細(xì)觀察，然后想想，到底會(huì)有什么規(guī)律呢？答：有點(diǎn)象向量的加法或減法，或【探求】設(shè)ABC的三邊長(zhǎng)分別為，由于問：仔細(xì)觀察這個(gè)式子，你能否找出它的內(nèi)在特點(diǎn)？答：能！式子中有三邊一角，具體包括如下三個(gè)方面：第一、左邊是什么邊，右邊就是什么角；第

3、二、左邊有什么邊，右邊就沒有什么邊；第三、邊是平方和，乘積那里是“減號(hào)”師：很好！那么，你能否仿照這個(gè)形式寫出類似的另外兩個(gè)？答：可以！它們是：和【總結(jié)】這就是我們今天要講的余弦定理，現(xiàn)在，讓我們來繼續(xù)研究它的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以及其應(yīng)用問題板書課題 余弦定理及其應(yīng)用二、新課（一）余弦定理的文字表述：三角形的任何一邊的平方等于其它兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.（二）余弦定理的另一種表述形式：；（三）歸納1. 熟悉定理的結(jié)構(gòu)，注意“平方”“夾角”“余弦”等；2. 每個(gè)式子中都有四個(gè)量，知道其中的三個(gè)就可以求另外的一個(gè)；3. 當(dāng)夾角為（即三角形為直角三角形）時(shí)即為勾股定理 (特例)（四）

4、余弦定理的適用范圍1. 已知三邊求角；2. 已知兩邊及其夾角求第三邊三、應(yīng)用例1在ABC中，已知，求這個(gè)三角形的最大內(nèi)角【分析】根據(jù)大邊對(duì)大角的原則，知：A為最大解：，A=，即該三角形的最大內(nèi)角等于練習(xí)1已知ABC的三邊長(zhǎng)分別是，求三角形的最大內(nèi)角答案：思考：提示：求出與最大邊相對(duì)應(yīng)的角的余弦值，再與0進(jìn)行比較，判定標(biāo)準(zhǔn)如下：若0，則為銳角三角形；若=0，則為直角三角形；若0，則為鈍角三角形例2在ABC中，求及A【分析】已知兩邊夾角，可以用公式直接求出；然后用公式即可求出角A解：由得： 解得；又，A=例3已知ABC中，解此三角形【分析】知道邊的比值，可以設(shè)其公約數(shù)為k,因?yàn)?，在后面的運(yùn)算中又可以同時(shí)約分將其約掉，原則上一般先求最小的角；當(dāng)然，也可以先求最大的角解法一：設(shè)其三邊的公約數(shù)為k，則，由得；由得，B=； 因此C=解法二：設(shè)其三邊的公約數(shù)為k，則，由得即，（此時(shí)可用計(jì)算器的第二功能求的反余弦） C=；由得，B=；A=例4已知ABC中，【分析】這種題型一般都要?dú)w結(jié)為解方程組解：由得，即，由，分類討論如下：當(dāng)時(shí)，由得：當(dāng)時(shí)，由得：即或練習(xí)2在ABC中，求提示：,練習(xí)3在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M、N分別為與的中點(diǎn)，那么直線AM與CN所成角的余弦值是(