導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性

1、第 15 練 導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性典例剖析精題狂練 利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是必考內(nèi)容，多以綜合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是必考內(nèi)容，多以綜合題中某一問的形式考查，其出題內(nèi)容也多種多樣，最根題中某一問的形式考查，其出題內(nèi)容也多種多樣，最根本的還是定義中提到的本的還是定義中提到的. .單調(diào)性主要是由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在單調(diào)性主要是由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的符號(hào)來確定某個(gè)區(qū)間上的符號(hào)來確定. .內(nèi)容精要典例剖析 題型一 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 題型二 已知函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的值或范圍 題型三 與函數(shù)導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性有關(guān)的圖象問題 題型一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間破題切入點(diǎn) 求求 出 函 數(shù) 的 導(dǎo) 函 數(shù)

2、出 函 數(shù) 的 導(dǎo) 函 數(shù)f(x)，根據(jù)定義解不等，根據(jù)定義解不等式式f(x)0即可，求解時(shí)即可，求解時(shí)注意函數(shù)的定義域注意函數(shù)的定義域.例1函數(shù)函數(shù)y x2ln x的單調(diào)遞的單調(diào)遞減區(qū)間為減區(qū)間為()A.(1,1 B.(0,1C.1，) D.(0，)解析根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于0的解集就是函數(shù)的單調(diào)減的解集就是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求解區(qū)間求解.由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)橛深}意知，函數(shù)的定義域?yàn)?0，)， 題型一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間又由又由yx 0，解得，解得0 x1，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1.答案B破題切入點(diǎn) 函數(shù)函數(shù)f(x)在在(0,1)上為上為減

3、函減函數(shù)數(shù),g(x)在在(1,2)上為增函數(shù)，上為增函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)利用導(dǎo)函數(shù)f(x)0在在0,1上恒成立，上恒成立，g(x)0在在1,2上恒成立解出兩個(gè)上恒成立解出兩個(gè)a的取值的取值范圍，求出交集即可范圍，求出交集即可. 題型二已知函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的值或范圍例2已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)x2ax3在在(0,1)上為減函數(shù)，函數(shù)上為減函數(shù)，函數(shù)g(x)x2aln x在在(1,2)上為增函數(shù)，則上為增函數(shù)，則a的值的值等于等于()A.1 B.2C.0 D.解析函數(shù)函數(shù)f(x)x2ax3在在(0,1)上為減函數(shù)，上為減函數(shù)， 題型二已知函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的值或范圍 1，得，得a

4、2.又又g(x)2x ，依題意依題意g(x)0在在x(1,2)上恒成上恒成立立，得得2x2a在在x(1,2)上恒成立，有上恒成立，有a2，a2.答案B破題切入點(diǎn) 先先由由yxf(x)的圖的圖象找出象找出f(x)的符號(hào)，再根的符號(hào)，再根據(jù)據(jù)f(x)的符的符號(hào)找出號(hào)找出f(x)的的大致圖象大致圖象. 題型三與函數(shù)導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性有關(guān)的圖象問題例3已知函數(shù)已知函數(shù)yxf(x)的圖象的圖象如圖所示如圖所示(其中其中f(x)是函數(shù)是函數(shù)f(x)的的導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù))，下面四個(gè)圖象中，下面四個(gè)圖象中，yf(x)的圖象可能是的圖象可能是()解析由函數(shù)由函數(shù)yxf(x)的圖象知，的圖象知，x0，f(x)為增函數(shù)；為增

5、函數(shù)；1x0時(shí)，時(shí)，f(x)0，f(x)為減函數(shù)；為減函數(shù)；0 x1時(shí)，時(shí)，f(x)1時(shí)，時(shí)，f(x)0，f(x)為增函數(shù)為增函數(shù).故故B選項(xiàng)的圖象符合選項(xiàng)的圖象符合.答案B 題型三與函數(shù)導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性有關(guān)的圖象問題 (1)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：確定函數(shù)的定義域確定函數(shù)的定義域.求導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)f(x).若求單調(diào)區(qū)間或證明單調(diào)性，只需在函數(shù)若求單調(diào)區(qū)間或證明單調(diào)性，只需在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的定義域內(nèi)解或證明不等式解或證明不等式f(x)0或或f(x)f(x)恒成立，且常數(shù)恒成立，且常數(shù)a，b滿足滿足ab，則下列不等式一定成立，則下列不等式一定成立的

6、是的是()A.af(b)bf(a) B.af(a)bf(b)C.af(a)bf(b) D.af(b)f(x)，得得xf(x)f(x)0，即即F(x)0，所以所以F(x)在在R上為遞增函數(shù)上為遞增函數(shù).因?yàn)橐驗(yàn)閍b，所以，所以af(a)bf(b).答案B123456789 10 11 12精題狂練4.(2014課標(biāo)全國課標(biāo)全國)若函數(shù)若函數(shù)f(x)kxln x在區(qū)間在區(qū)間(1，)單調(diào)遞增，則單調(diào)遞增，則k的取值范圍是的取值范圍是()A.(，2 B.(，1C.2，) D.1，)123456789 10 11 12精題狂練即即k的取值范圍為的取值范圍為1，).答案D123456789 10 11 1

7、2精題狂練5.設(shè)設(shè)f(x)是定義在是定義在R上的奇函數(shù)，且上的奇函數(shù)，且f(2)0，當(dāng)，當(dāng)x0時(shí)，時(shí)，有有 0的解集是的解集是()A.(2,0)(2，) B.(2,0)(0,2)C.(，2)(2，) D.(，2)(0,2)又又(2)0，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)0 x0，123456789 10 11 12精題狂練此時(shí)此時(shí)x2f(x)0.又又f(x)為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，h(x)x2f(x)也為奇函數(shù)也為奇函數(shù).故故x2f(x)0的解集為的解集為(0,2)(，2).答案D123456789 10 11 12精題狂練123456789 10 11 12精題狂練解析f(x)f(x)tan xf(x)cos x

8、f(x)sin x，根據(jù)已知根據(jù)已知f(x)cos x0時(shí)，時(shí)，f(x)0，所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，).(0，)123456789 10 11 12精題狂練8.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x) mx2ln x2x在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)m的取值范圍為的取值范圍為_.1，)123456789 10 11 12精題狂練123456789 10 11 12精題狂練10.已知已知aR，函數(shù)，函數(shù)f(x)(x2ax)ex(xR，e為自然為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)當(dāng)當(dāng)a2時(shí)，求函數(shù)時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；的單調(diào)遞增區(qū)間；解當(dāng)當(dāng)a

9、2時(shí)，時(shí)，f(x)(x22x)ex，f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.123456789 10 11 12精題狂練令令f(x)0，即，即(x22)ex0.123456789 10 11 12精題狂練(2)函數(shù)函數(shù)f(x)是否為是否為R上的單調(diào)函數(shù)？若是，求出上的單調(diào)函數(shù)？若是，求出a的取值的取值范圍；若不是，請(qǐng)說明理由范圍；若不是，請(qǐng)說明理由.解若函數(shù)若函數(shù)f(x)在在R上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞減，則則f(x)0對(duì)對(duì)xR都成立，都成立，即即x2(a2)xaex0對(duì)對(duì)xR都成立都成立.ex0，x2(a2)xa0對(duì)對(duì)xR都成立都成立.(a2)24a0，即，即a240，這是不可能的，

10、這是不可能的.123456789 10 11 12精題狂練故函數(shù)故函數(shù)f(x)不可能在不可能在R上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減.若函數(shù)若函數(shù)f(x)在在R上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增，則則f(x)0對(duì)對(duì)xR都成立，都成立，即即x2(a2)xaex0對(duì)對(duì)xR都成立，都成立，ex0，x2(a2)xa0對(duì)對(duì)xR都成立都成立.而而(a2)24aa240，故函數(shù)故函數(shù)f(x)不可能在不可能在R上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增.綜上可知，函數(shù)綜上可知，函數(shù)f(x)不可能是不可能是R上的單調(diào)函數(shù)上的單調(diào)函數(shù).123456789 10 11 12精題狂練(1)求求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；的單調(diào)區(qū)間與極值；令令f(x)0，得，得xe1a

11、，當(dāng)當(dāng)x(0，e1a)時(shí)，時(shí)，f(x)0，f(x)是增函數(shù)；是增函數(shù)；當(dāng)當(dāng)x(e1a，)時(shí)，時(shí)，f(x)0，得，得xe2a；123456789 10 11 12精題狂練令令F(x)e2a，故函數(shù)故函數(shù)F(x)在區(qū)間在區(qū)間(0，e2a上是增函數(shù)上是增函數(shù)，在區(qū)間在區(qū)間e2a，)上是減函數(shù)上是減函數(shù).當(dāng)當(dāng)e2a0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)F(x)在區(qū)間在區(qū)間(0，e2a上是上是增函數(shù)，增函數(shù)，在區(qū)間在區(qū)間e2a，e2上是減函數(shù)，上是減函數(shù)，F(xiàn)(x)maxF(e2a)ea2.又又F(e1a)0，F(xiàn)(e2)0，123456789 10 11 12精題狂練由圖象，易知當(dāng)由圖象，易知當(dāng)0 xe1a時(shí)，時(shí)，F(xiàn)(x)0

12、；當(dāng)當(dāng)e1a0，此時(shí)函數(shù)此時(shí)函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象在區(qū)間的圖象在區(qū)間(0，e2上上有有1個(gè)公共點(diǎn)個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)當(dāng)e2ae2，即，即a0時(shí)，時(shí)，F(xiàn)(x)在區(qū)間在區(qū)間(0，e2上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，123456789 10 11 12精題狂練函數(shù)函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象在區(qū)間的圖象在區(qū)間(0，e2上只有上只有1個(gè)公共點(diǎn)個(gè)公共點(diǎn)；函數(shù)函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象在區(qū)間的圖象在區(qū)間(0，e2上沒有上沒有公共點(diǎn)公共點(diǎn).綜上，滿足條件的實(shí)數(shù)綜上，滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是的取值范圍是1，).123456789 10 11 12精題狂練12.(2014大綱全國大綱全國)函數(shù)函數(shù)f(x)ax33x23x(a0).(1)討論討論f(x)的單調(diào)性；的單調(diào)性；解f(x)3ax26x3，f(x)0的判別式的判別式36(1a).若若a1，則，則f(x)0，且，且f(x)0當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a1，x1，故此故此時(shí)時(shí)f(x)在在R上是增函數(shù)上是增函數(shù).123456789 10 11 12精題狂練若若0a0，故故f(x)分別在分別在(，x2)，(x1，)是增函數(shù)；是增函數(shù)；當(dāng)當(dāng)x(x2，x1)時(shí)，時(shí)，f(x)0，故，故f(x)在在(x2，x1)是減函數(shù)是減函數(shù)；123456789 1