正方體的11種折疊法及背會(huì)小竅門小口訣

1、有一無(wú)蓋立方體紙箱，若將其沿棱剪成展開圖，問(wèn)有多少種不同形式的展開圖？解因總面數(shù)是5，不會(huì)出現(xiàn)5個(gè)面全部排成一行（列）的情形.（1） 當(dāng)一行（列）面數(shù)最多是4時(shí)，有兩種情形（注意對(duì)稱性），如圖）（2） 當(dāng)一行（列）面數(shù)最多是3時(shí)，剩下的兩個(gè)面位于這一行（列）的同一側(cè)有兩種不同情形，如圖15-2（b）（3） 剩下的兩個(gè)面位于這一行（列）的異側(cè)有三種不同情形，如圖（4） 當(dāng)一行（列）的面數(shù)最多是2時(shí)，僅一種情形，如圖所示.總數(shù)為2+2+3+1=8種，即有8種不同的展開形式.探究正方體的展開圖將一個(gè)正方體的表面沿某些棱剪開，展成一個(gè)平面，共有哪些不同的圖形呢？要搞清這個(gè)問(wèn)題，最好是動(dòng)手實(shí)踐，比如找一

2、些正方體紙盒，沿著棱按不同方式將其剪開（但不要剪斷，六個(gè)面要通過(guò)邊連在一起），展成平面，再觀察、對(duì)比一下不同形狀的圖形有哪些。如果不容易找到足夠的正方體紙盒，還可以找一些不太厚、易折疊的正方體紙板，利用逆向思維，先猜測(cè)正方體展開圖會(huì)有哪些不同形狀，并將它們畫在紙板上，再將周圍多余部分剪去，然后沿所畫直線直行折疊，看看哪些圖形紙板可以折疊成正方體。這種探究方法雖然有點(diǎn)麻煩，但操作簡(jiǎn)便易行，快速有效。事先可多畫一些紙板（六個(gè)正方形邊與邊對(duì)齊，任意連接成不同的平面圖形），經(jīng)過(guò)逐個(gè)驗(yàn)證，記錄下所有可以折疊成正方體的圖形，再將這些圖形分類，總結(jié)并尋找出其中的規(guī)律。那么，沿棱剪開展開一個(gè)正方體，究竟有哪些

3、不同的形狀呢？如果不考慮由于旋轉(zhuǎn)或翻折等造成相對(duì)位置的不同，只從本質(zhì)上講，有以下三類共11種。一、“141型”（共6種）特點(diǎn)：這類展開圖中，最長(zhǎng)的一行（或一列）有4個(gè)正方形（圖1圖6）。理解：有4個(gè)面直線相連，其余2個(gè)面分別在“直線”兩旁，位置任意。二、“231型”與“33型”（共4種）特點(diǎn)：這類展開圖中，最長(zhǎng)的一行（或一列）有3個(gè)正方形（如圖7圖10）。理解：在“231型”中，“3”所在的行（列）必須在中間，“2”、“1”所在行（列）分屬兩邊（前后不分），且“2”與“3”同向，“1”可以放在“3”的任意一個(gè)正方形格旁邊，這種情況共有3種，而“33型”只有1種。三、“222型”（只有1種）特點(diǎn)

4、：展開圖中，最多只有2個(gè)面直線相連（圖11）。評(píng)注：將上面11個(gè)圖中的任意一個(gè)，旋轉(zhuǎn)一定角度或翻過(guò)來(lái)，看上去都與原圖似有不同，但這只是圖形放置的位置或方式不同。實(shí)際上，它與原圖能夠完全重合，不能算作一個(gè)獨(dú)立的新圖，而從上面11個(gè)圖中任取兩個(gè)，不論怎樣操作（旋轉(zhuǎn)、翻折、平移等），它們都不可能完全重合，即彼此是獨(dú)立的、不同的圖形。對(duì)于由大小一樣的六個(gè)正方形通過(guò)邊對(duì)齊相連組成的平面圖，如果圖中含有“一”字型、“7”字型、“田”字型、“凹”字型，就一定不能折成正方體。概括地說(shuō)，只要不符合上述“141”、“231”和“33”、“222”的特點(diǎn)，就不能折成正方體。如圖12，如果將其看作“231”型，那么，

5、無(wú)論怎么看，“2”和“3”都不是同向，故不能折成正方體。其實(shí)，它屬于“123”（或“321”）型。巧記口訣確定正方體表面展開圖 6個(gè)相連的正方形組成的平面圖形，經(jīng)折疊能否圍城正方體問(wèn)題，是近年來(lái)中考常考題型。同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)這一知識(shí)時(shí)常感到無(wú)從下手，現(xiàn)將確定正方體展開圖的方法以口訣的方式總結(jié)出來(lái)，供大家參考：正方體盒巧展開，六個(gè)面兒七刀裁。十四條邊布周圍，十一類圖記分明：四方成線兩相衛(wèi)，六種圖形巧組合；躍馬失蹄四分開；兩兩錯(cuò)開一階梯。對(duì)面相隔不相連,識(shí)圖巧排“7”、“凹”、“田”。現(xiàn)將口訣的內(nèi)涵解釋如下：將一個(gè)正方體盒的表面沿某些棱剪開，展開成平面圖形，需剪7刀，故平面展開圖中周圍有14條邊長(zhǎng)共有

6、十一種展開圖：一、四方成線兩相衛(wèi)，六種圖形巧組合 （1） （2） （3） （4） （5） （6）以上六種展開圖可歸結(jié)為四方連線，即 ，另外兩個(gè)小方塊在四個(gè)方塊的上下兩側(cè)，共六種情況。二、躍馬失蹄四分開 （1） （2） （3） （4）以上四種情況可歸結(jié)為五個(gè)小方塊組成“三二相連”的基本圖形（如圖），另外一個(gè)小方塊的位置有四種情況，即圖中四個(gè)小方塊中的任意一個(gè)，這一圖形有點(diǎn)像失蹄的馬，故稱為“躍馬失蹄”。三、兩兩錯(cuò)開一階梯這一種圖形是兩個(gè)小方塊一組，兩兩錯(cuò)開，像階梯一樣，故稱“兩兩錯(cuò)開一階梯”。四、對(duì)面相隔不相連 這是確定展開圖的又一種方法，也是確定展開圖中的對(duì)面的一種方法。如果出現(xiàn)三個(gè)相連，則1

7、號(hào)面與3號(hào)面是對(duì)面，中間隔了一個(gè)2號(hào)面，并且是對(duì)面的一定不相連。 123 五、識(shí)圖巧排“7”、“凹”、“田” 12345 （1） （2） （3） 這里介紹的是一種排除法。如果圖中出現(xiàn)象圖（1）中的“7”形結(jié)構(gòu)的圖形不可能是正方體展開圖的，因?yàn)閳D中1號(hào)面與3號(hào)面是對(duì)面，3號(hào)面又與5號(hào)面是對(duì)面，出現(xiàn)矛盾。如果圖中出現(xiàn)象圖（2）中的“田”形結(jié)構(gòu)的圖形不可能是正方體展開圖的，因?yàn)橥豁旤c(diǎn)處不可能出現(xiàn)四個(gè)面的。如果圖中出現(xiàn)象圖（3）中的“凹”形結(jié)構(gòu)的圖形不可能是正方體展開圖的，因?yàn)槿绻言搱D形折疊起來(lái)將有兩個(gè)面重合。 現(xiàn)舉例說(shuō)明：例1（2004?？谑袑?shí)驗(yàn)區(qū)）下面的平面圖形中，是正方體的平面展開圖的是（

8、）解析：本題可用“識(shí)圖巧排 7、田、凹”來(lái)解決。A、D都有“凹”形結(jié)構(gòu)，B有“田”形結(jié)構(gòu)，故應(yīng)選C例2（2004揚(yáng)州）馬小虎準(zhǔn)備制作一個(gè)封閉的正方體盒子，他先用5個(gè)大小一樣的正方形制成如右圖所示的拼接圖形(實(shí)線部分)，經(jīng)折疊后發(fā)現(xiàn)還少一個(gè)面，請(qǐng)你在右圖中的拼接圖形上再接一個(gè)正方形，使新拼接成的圖形經(jīng)過(guò)折疊后能成為一個(gè)封閉的正方體盒子.(注：只需添加一個(gè)符合要求的正方形；添加的正方形用陰影表示.) 解析：本題可用“躍馬失蹄四分開”來(lái)解決。圖中具備了三二相連的結(jié)構(gòu)，故本題有四種答案，即小方塊的位置有圖中 所示的四種情況之一。試一試：1（2004浙江金華）下列圖形中，不是立方體表面展開圖的是（ ）2（2004鎮(zhèn)江）如圖，有一個(gè)正方體紙盒，在它的三個(gè)側(cè)面分別畫有三角形、正方形和圓，現(xiàn)用一把剪刀沿著它的棱剪開成一個(gè)平面圖形，則展開圖可以是（ ） （D）（C）（B）（A）（正方體紙盒）3（2004海南）如圖是一個(gè)正方體包裝盒的表面展開圖，若在其中的三個(gè)正方形A、B、C內(nèi)分別填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使得將這個(gè)表面展開圖沿虛線折成正方體后，相對(duì)面上的兩數(shù)互為相反數(shù)，則填在A、B、C內(nèi)的三個(gè)數(shù)依次是（ ）（A