極值點(diǎn)偏移問題的兩種常見解法之比較

1、極值點(diǎn)偏移問題的兩種常見解法之比較淺談部分導(dǎo)數(shù)壓軸題的解法 在高考導(dǎo)數(shù)壓軸題中，不斷出現(xiàn)極值點(diǎn)偏移問題，那么，什么是極值點(diǎn)偏移問題？參考陳寬宏、邢友寶、賴淑明等老師的文章，極值點(diǎn)偏移問題的表述是：已知函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，且，若極值點(diǎn)左右的“增減速度”相同，常常有極值點(diǎn)，我們稱這種狀態(tài)為極值點(diǎn)不偏移；若極值點(diǎn)左右的“增減速度”不同，函數(shù)的圖象不具有對稱性，常常有極值點(diǎn)的情況，我們稱這種狀態(tài)為“極值點(diǎn)偏移”. 極值點(diǎn)偏移問題常用兩種方法證明：一是函數(shù)的單調(diào)性，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則對區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)變量，；若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則對區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)變量，. 二是利用“

2、對數(shù)平均不等式”證明，什么是“對數(shù)平均”？什么又是“對數(shù)平均不等式”？兩個(gè)正數(shù)和的對數(shù)平均數(shù)定義：對數(shù)平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)的大小關(guān)系是：，（此式記為對數(shù)平均不等式）下面給出對數(shù)平均不等式的證明：i）當(dāng)時(shí)，顯然等號成立 ii）當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)， 先證，要證，只須證：， 令，只須證： 設(shè)，則，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即，故再證： 要證：，只須證： 令，則只須證：，只須證 設(shè)，則 所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即， 故綜上述，當(dāng)時(shí)， 例1 （2016年高考數(shù)學(xué)全國理科第21題）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn) （）求的取值范圍； （）設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：解：（）函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，得，只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題

3、意；當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，由得，由得，由得， 故，是的極小值點(diǎn)，也是的最小值點(diǎn)，所以 又，故在區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，即 由又，所以，在區(qū)間 存在唯一零點(diǎn)，即， 故時(shí)，存在兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由得， 若，即時(shí)，故在上單調(diào)遞增，與題意不符 若，即時(shí)，易證故在上只有一 個(gè)零點(diǎn)，若，即時(shí)，易證 ，故在上只有一個(gè)零點(diǎn)綜上述，（）解法一、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明由（）知，且令，則因?yàn)椋?，所以，所以在?nèi)單調(diào)遞增所以，即，所以，所以，因?yàn)?，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即解法二、利用對數(shù)平均不等式證明由（）知，又 所以，當(dāng)時(shí)，且，故當(dāng)時(shí)，又因?yàn)?即 所以 所以 所以 所以 下面用反證法證明不等式成立 因?yàn)?，所以，所?假設(shè)，當(dāng)，

4、,與矛盾； 當(dāng)時(shí),與矛盾，故假設(shè)不成立 所以 例2 （2011年高考數(shù)學(xué)遼寧卷理科第21題）已知函數(shù) （）討論函數(shù)的單調(diào)性； （）若曲線與軸交于兩點(diǎn)，中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：解：（）函數(shù)的定義域是 當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)恒成立，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增 當(dāng)時(shí)，由>0，得函數(shù)的遞增區(qū)間， 由<0，得函數(shù)的遞減區(qū)間（）解法一、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則，且由（）知，當(dāng)時(shí)， 因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以，所以 要證，只須證，即證 令 則，所以在內(nèi)單調(diào)遞增 所以，即 因?yàn)椋?，所?又，且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減 所以，即，故解法二、利用對數(shù)平均不等式求解 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則 由（）知，當(dāng)時(shí)

5、， 因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以，所以 因?yàn)?，所?所以，即 所以 ，所以 所以，所以. 例3 （2014年高考數(shù)學(xué)湖南卷文科第21題）已知函數(shù) （）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （）當(dāng)時(shí)，求證：解：（）函數(shù)的定義域?yàn)镽 由，得，由，得函數(shù)的遞增區(qū)間，由，得函數(shù)的遞減區(qū)間，所以（）解法一、利用函數(shù)的單調(diào)性求解令 ，則令則，則由得，故在內(nèi)單調(diào)遞增故，故在內(nèi)單調(diào)遞增故，故，故在上單調(diào)遞減所以，由（1）及知，故所以，所以，又在上單調(diào)遞增所以，即解法二、利用對數(shù)平均不等式求解 因?yàn)闀r(shí)，時(shí)， 所以，所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 因?yàn)?，所?下面用反證法證明，假設(shè) 當(dāng)時(shí)，與不等式矛盾 當(dāng)時(shí)，所以，與不等

6、式矛盾.所以假設(shè)不成立，所以 例4 （2014年江蘇省南通市二模第20題）設(shè)函數(shù)其圖象與軸交于兩點(diǎn)，且. （）求實(shí)數(shù)的取值范圍； （）證明：為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）； （）略.解：（），當(dāng)時(shí)，在R上恒成立，不合題意當(dāng)時(shí)，易知，為函數(shù)的極值點(diǎn)，且是唯一極值點(diǎn)，故，當(dāng)，即時(shí)，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，故舍去；當(dāng)，即時(shí)，由，且在內(nèi)單調(diào)遞減，故在有且只有一個(gè)零點(diǎn)；由令，則，故所以，即在有且只有一個(gè)零點(diǎn).（）解法一、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解由（）知，在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增，且所以，要證，只須證，即證又，故只須證令 ，則，所以在區(qū)間內(nèi)遞增所以，即所以，所以因?yàn)?，且在區(qū)間內(nèi)遞增所以，即，故解法二、利用對數(shù)平均不等式求解由（）知，在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增，且所以，因?yàn)椋?，所以所以，要證：，只須證，即故，所以，所以因?yàn)?，所以，而所以成立，所以從以上四個(gè)例題可以看出，兩種方法解決的問題相同，即若是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，而是函數(shù)的極值點(diǎn)，證明（或），根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求解的步驟是：一、構(gòu)建函數(shù)，二、判斷函數(shù)的單調(diào)性，三、證明（或）即（或），四、故函數(shù)的單調(diào)性證（或）.根據(jù)對數(shù)平均不等式求解的步驟是：一、通過等式兩邊同取自然對數(shù)