數(shù)形結(jié)合例題選集

1、數(shù)形結(jié)合一在一些命題證明中得應(yīng)用舉例:1、證明勾股定理:U!解析止圖中四個小三角形陰影局部?得面積加上中間小正方密得面積等于大正 牙形得面積他簡后得豹勾股宦理。2證明乘法公式平方差與完全平方 ad 1為bg + 6a解析:在上圖中，利用正方形與小走方形面積得轉(zhuǎn)化,能更進(jìn)一步理解平方養(yǎng)公式 與莞全平方公式禪運算過程以及公式得本質(zhì)問題3證明根本不等式:. pifT 解析:如上圖所示，直角三角形斜邊上得中線等于斜邊得一半長度為，根據(jù)直角三 角形得相似關(guān)系,可以得到直角三角形斜邊上得高得長度為顯然在直角三角形中, 斜邊上得中線得長度會大于等于高，利用這樣簡潔明了得幾何圖解，對根本不等式: 得理解也就更

2、加簡單了F4、征明正(余)弦定理：i » y(1)如上圖所示異即；根扁圓得性質(zhì)(等弧對等角及 綜上,得正磁定理* 根據(jù)勾股宦理ABBE- AC2 一CE 即 J-c：cosB2=b'-© ycosB虧整理可得余弦定理:;同理得出cosA. :cosC得余弦定理。5“證明結(jié)論解析:如上圖所示，根據(jù)y nrniXf y=x、y = s inx在上得圖像可礁岀t anx>x) sinx、當(dāng)然，賣際考試作圖不可能如此精確挪么轉(zhuǎn)化到右圖得單位圓中;當(dāng)時，角得終邊始終在第-象限內(nèi)根據(jù)三角函數(shù)線可知藍(lán)線表眾正弦線紅線表示正切線、 再根據(jù)弧長公式即圖中黑色弧線得長度表示褊顯而

3、易見紅線長度弧線長度 藍(lán)線長度，即t anx> x >； s i nx八 6&證明兩角差得余弦公式:解析:如上圖所示.根據(jù)三角比得定義及單位圓得定義可知單位INH泰。左圖中，將B點旋轉(zhuǎn)至1；0處右圖所示。此時個為線段AB得長度沒有 發(fā)生變化，即，化簡2當(dāng)然也可以用向量得方法證明利用向量數(shù)量積定義掙證明更 加簡潔。如左圖 r屯 在 考 試 中 得具7"與函數(shù)得綜合運用.主要表達(dá)在求零點.交點、解得個數(shù)及參數(shù)范圍等方面/ 例1 14奉賞建洪莊R上無函f y=f審涵fc諭瞬戲知瀚=噸時當(dāng)只 肴四個零點，那么倒得取值范圍就是!1!解樁:根據(jù)條件f x得周期為4洗畫f一個周

4、期圖像，當(dāng)lx<3時沙由此畫出 一13得圖像，此為一個周期，圖像如下，只有四個寒點即fx與丫=只有四個交點, 需SW餛l M0<a1時.有兩個界值，如以下圖所示：此時5個交點'代入點一瓠一1解得a=此時3個交點.代入點一 0解得2Wa> l時迪有兩個界值如以下圖所示: 此時3不交點，代入(一3 J),解得a=3祠評注:數(shù)形結(jié)合體型廠淀要結(jié)令圖像分析;并且一些用于定位得特殊點要善于把 握；列一方面，必須熟悉初等函數(shù)得所有性質(zhì)及函數(shù)圖像得變換、.例2 (14閔行諸 4b、. c. d互不相鳳且f(n)= f (b)= f (c=f(d),那么abe d得取值 范用就是:蠣

5、厳魏3.霸解麻楫掘題意，如下圖所示,ab=l,ab c d= c d=,4<c<5斯以答案就是(32,35)*評注:這類題出現(xiàn)很多,典型得數(shù)形結(jié)合題型，要讓學(xué)生熟悉各類函數(shù)圖像及相關(guān)！ 性質(zhì)沈其就是對稱性與周期性;在草稿紙上作圖時,雖說就是草圖値有必要做出 -些特殊點進(jìn)行定位瀉區(qū)間時，務(wù)必考慮図間得開閉情沆6變式乜知函數(shù)&戸丨Ix-lh-lh假設(shè)關(guān)于X得方程f(x)=t(tR)恰有四個互不相 等得實數(shù)根得取值范圍就是JI解析:根據(jù)題意,如以下圖所示，R * o例3(1 4楊浦)定義一種新運算在函數(shù)f(x)u(I+ ，假設(shè)函數(shù)g(x)=f( X )-k恰有兩個零點,那么k得取

6、值范圍就是(A(l2 ;BP (l,2);Cr (0,2);D.(OJ)解析汀35"曲彳4么 4i+> log/cmXXlog2x,: log2x<l + iX.4 X如以下圖所.(fog2XfO< x < 4毫戟勸二fOAA屍伺鼻億化為函彙函艇戸M喀踴t療為那么k(l離蘆 薛建;此題考查分段函數(shù)表達(dá)式求法，函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)交點問題擻衣 結(jié)合很容易求解，可以作適省得延伸低如清一個零點,求k得取值范圍等.U!例4 (14寶山)關(guān)于函數(shù)f (xg給出卞列四個命題: 當(dāng)x>0 Bt?y=f(x)單調(diào)遞減且無最值； 方程兔翼)*+b(K。) 一定有解；如

7、果方程f( x )-k有解，那么解得個數(shù)-定就是偶數(shù)： 亦f ( X )就是偶函數(shù)且有最小值、 那么其中真命題就 .繭胡含矗對值.分類討論。先畫X>1寫0VX1得局部.然后根據(jù)偶函數(shù)得性質(zhì) (關(guān)于y軸對稱)畫出左半局部，函數(shù)圖像如以下圖所示: 明顯錯誤;Z醸解得個數(shù)為1；，正緘絕對值得數(shù)形結(jié)合題型，根據(jù)絕對值內(nèi)得情況，進(jìn)行分類討論級畫出函數(shù)圖 像，再結(jié)合函數(shù)性質(zhì)廠般就是對稱性或奇偶性撚后根據(jù)函數(shù)圖像對各項進(jìn)行分例5(14奉賢)定義在上得函數(shù)f(x)滿足'當(dāng)時箱 (Df(3x)=3f(x)eX得函數(shù)F(x)= f d卜1得零點從小到大依次記為鼻wJM解析:結(jié)昔條件份析函數(shù)性質(zhì),畫出

8、函數(shù)圖像如以下圖所示,2+4+8+1 0 +26= 50挪注擻學(xué)結(jié)合最直觀咸根據(jù)函數(shù)得對稱性我到對稱董系周像就畫出來了倍案 也就呼之欲出，這就就是數(shù)形結(jié)合在宜觀呈現(xiàn)方面得快捷。2. 與三角函數(shù)得綜合運用：.例1 14十三校聯(lián)考豈知fx=asin2x+bcos2 a s b為常數(shù),假設(shè)對于任意:X已R都有f x>> f C菩?$那么方程f 3=o在區(qū)間a刃內(nèi)的解為Ip蘇*.解析液據(jù)軫假設(shè)對手任；計可知占"時，函數(shù)圖像取最低點，再結(jié)合函數(shù)解析式可 知函數(shù)周期為，因為函數(shù)得最值橫坐標(biāo)與相鄰零點之間相蓋個周期腳廝以在區(qū) 間0J內(nèi)得解即在囪間0,內(nèi)得零點為冀=。ORUU評輕:此題瞧

9、似復(fù)朵'因為有學(xué)母av氐袒只要理解了衣三角函數(shù)得最值橫坐標(biāo)與相 鄰零點急間相差不周期噠樣得圖像性質(zhì)，結(jié)合圖像原理，就迎刃喬解7% 例2 14閘北設(shè)a >0且& 1啟知函數(shù)fx=至少有5個零點,那么a得取值范圍為解橋：就就是求函數(shù)上得交點個數(shù)，分兩種情況：0<a <1時易在兩個函數(shù)圖像有無數(shù)個交點，如平圖所示：即2蟲0間<Z滿足至少有5個交點、評注:這就是亠道典型得數(shù)形結(jié)合得題型，將零點問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)交點個數(shù)問題 睦意理解題意、審清題意及數(shù)與形之間得轉(zhuǎn)化彎例3(14虹口)函數(shù)f(x)=2sin與函數(shù)得圖像所有交點得橫坐標(biāo)之與為買觸1 7解析湎出函數(shù)f (x

10、)=2sin與函數(shù)得圖像，如以下圖所示,這倆圖像都就是關(guān)于點(1,0)對稱幼所以它們得交點也就是關(guān)于點(1Q)對稱，即一對 對稱交點得橫坐標(biāo)之與為Z總共有&對關(guān)于點(“)對稱得點，再加上(1點本身§ 即所有交點得橫坐標(biāo)之與為17仔評滋此題首先要熟悉函數(shù)得圖像變換，精確畫出函數(shù)圖像然后再研究交點得特 性在這道題中、交點關(guān)于點(1®對稱得，在這個前提下，求橫坐標(biāo)之與就轉(zhuǎn)化成簡 單得中點問題。例4函數(shù)y= f (x),任取tR,定義集合訃設(shè)，記假設(shè)函數(shù)f(液佔那么h(l)=辺假設(shè)函數(shù)f( x )=sinjf h(.)得最大值迄緘解箱定義得意思就是函數(shù)尸f儀)在以楚點P(點

11、P在函數(shù)圖像上)為圓心半徑為 得圓內(nèi)得局部狂局部函數(shù)圖像得值域即定點P(l.l)如以下圖所示，藍(lán)色實線段局部為符合定義得圖像局部，這局部圖像最 大慎為么臺小值為叭所以h(iM對于f(X)=sim函數(shù)最太值與最小值之差2,如以下圖所示通過理解觀察何得出能: 夠同時包含最大值與最小值所以h(t)得最大值為2此時=2匕札訐注;這就是一道理解性得定義體型，理解題目得定義很重要，然后結(jié)合函數(shù)圖像I 二： .W 巾行析翻縫亞例5 (14閔行)對于函數(shù)f(x)m有以下四個命題：&5取恒成宜； f ( x )=2 K f(x*2k)(k),對于一切X恒成立; 函數(shù)y*) I1)有3個零點; 對任恿:疋

12、0,不等式f(x)恒成立側(cè)實數(shù)k得取值范圍就是 那么其中所有命題得序號就是像至少要滿足點()上,解析:根據(jù)以下圖所示可知:選項就是，選項反比例函數(shù)圖量做到精確,才能防止過失3. 與解析幾何得綜合運用:例1 (14閘北j設(shè)曲線C:測曲線C所圍封閉圖形得面積為U!解析咽為圖像關(guān)于X軸，y軸對稱，所以可以先畫第一象限得圖像，第亠象限X 0冷A 0濰對值直接去掉河得亠段圓弧撚后關(guān)手x軸、y軸對稱翻折，如以下圖所 示，根據(jù)題目數(shù)據(jù)同得於B屯可以先算第一象限得面積角一個扇形與一個四邊 器輸成淋后再乘以4,全面積為Q邨幽方程圖像問題，含絕對值,所以根據(jù)象限分類討論根據(jù)相美性質(zhì)畫出方程圖 像，割補法求面積.I

13、H I變式由曲線所圍成得封閉圖形得面積為例214金山直線:4x-3y+6=0,拋物線C:圖像上得一個動點P到直線與y軸 得距離之與得最小值就是 餐寨訂解析結(jié)合題就畫出直線與拋物線得草圖，找到點P到直線與y軸得距離之與，如下團(tuán)所示，即 P H+PA二PH+PB1 二PH+PF1 所以答案為1。用點到直線距離i公式求出來等于涎:注意圓錐曲線得相關(guān)克義，進(jìn)行巧妙得轉(zhuǎn)化，如此題中用到了踽拋物線上得點 到焦點得距離僚于這個點到準(zhǔn)線得距離s這個性質(zhì)撚后結(jié)合圖像迸行轉(zhuǎn)化。 例31 4金山有粕同焦點得橢圓5 A*.;告茶:D解析激一:如以下圖所示山題意得:PF嚴(yán)2妬 兩式平方相減得：PFr PFmn- Zr所

14、以PF卡+PF?=卿耳十衛(wèi)卩三尸法二：對于橢圓而誌焦點三角形得面積為，對于取曲線而言焦點三角形面積，而這 就是同一牛三角形，所以，所以1 p評遂熟悉圓錐曲線得定義非常重要，根據(jù)條件找到變量之間恒定得關(guān)系故數(shù)學(xué) 題時，很多時候要辯證思考，透過變化得表象，發(fā)現(xiàn)不變得內(nèi)在聯(lián)系，動靜結(jié)令有機 分析、以靜制動以不變應(yīng)萬苑例4 14金山設(shè)雙曲線上動點P到定點得距離蘭最小值就是A.;Be ;C;D, 1鳥霧瘀雙曲線方程兩邊同時除以，得到，即方程,即求點得距離,選B諫世這就是一類要考慮極限位置得極限體型連高考中出現(xiàn)過類似得題比一般 雜潑険得位置肩自躺熔解統(tǒng)很爹麟棧6偽蠻有y'WW位置、 而耐就例51

15、4閔行假設(shè)曲線上存在兩個不同點處得切線重合，那么稱這條切線為曲線得自 公切線以下方程得曲線有自公切線得就是JA.;.B °解析:A* B、G D選項圖像依次如以下圖所示，根據(jù)題意選C鉀注7利用數(shù)形結(jié)合得方法，考查了含絕對值曲線方程得畫法廠般根據(jù)圖像得對 稱性或者分區(qū)間、分象限進(jìn)行分類討論函數(shù)方程在各個象限得圖像再結(jié)合題意 解題。4. 與向量得運用：.例1 14徐匯如以下圖所示啟知點兩邊分別交于生；5/ 解析:法一:M、.G、N三點共線，痂5 =兄不瓦 有天十“十壬，因為AB+Aag 即抵工抄空£丄七丄：=1,化簡上1=25：3; 3x 3yx + y 3法二:取特殊值挿雌?

16、作為填空題，此題得第-做法就是法二同時也要知道具體過程注意向量一 些常用知識點及一些轉(zhuǎn)化技巧。例214閔 行 設(shè)h 了依次表示平面直角坐癖X軸、y軸上的單位向量，申-M荷需:根據(jù)題意，得幾何意義為亠個點到得距離加上這個點到得距離等于,如以下圖 所示，即到A點得距離加上到B點得距離等壬而，所以這個點得軌跡為線段，而我 們要求得取值范圉得幾何意義即轉(zhuǎn)化成線段上得點到點得距離得取值范風(fēng)最 短距離就是以下圖中得長度用點到直線得距離公式或等面積法可求得 夕禪血用代數(shù)得方法計算，因為有根號，過程很復(fù)雜，結(jié)合向量得模得幾何意義，轉(zhuǎn)化 成圖形問題就簡明了揚于理解，教爭過程中注意引導(dǎo)數(shù)形結(jié)合得使用*例3 14徐

17、匯如卞圖所示，在邊農(nóng)為2得正六邊形中,動圓得串徑為1，圓心在線段CD含端點.三上運動,P是圓Q上及內(nèi)部的動點，設(shè)向量解折沏上圖所示&鄒禺此題結(jié)合動態(tài)圖像考查了向量得分解烹求能夠理解題就此題也可建系分5、與其她知識點得綜合運用：例114浦 東 用|S|集合S中的元素的個數(shù),設(shè)X B. C為集合*稱A. B, C有序三元組。如果集合A* BC滿國AcB| = |BcC|=|AcC| = l, HAcBcC=,那么稱有序三元組A. Bv為一最小相交.由集 葡1,234的子集構(gòu)成得 % 所有有序三元組中，最小相交得有序三元組得個數(shù)為解析;設(shè)如以下圖所示r因為|AcB|±|B已C|uAcC|wb所以Mm M2, M沖個容有一個元素，將得元素排入有種方法，由題意得胚剩下得一個元素何排在種方法角分步原理得。J睢:此題要注意分步原理與分類原理得綜合運用，抽象出解題模型，從而使問題 得到解決。雪然也可以用亦舉法駅顯然中A為備< 1個或者4個元素的子集不符合瞬,、A為含有2個或者3個元素的子集冽舉即可求解第對于新定義題型淒善于將陌生問題化為熟悉模型拄重根本原理得運用I 例2 也十三技聯(lián)考集合忑 < 寒Wy恰有1 個成立L假設(shè)Cx> y> zeS且 w, peS,那么卞劌選項正確得就是