數(shù)形結(jié)合例題選集

1、數(shù)形結(jié)合一在一些命題證明中得應(yīng)用舉例:1、證明勾股定理:U!解析止圖中四個(gè)小三角形陰影局部?得面積加上中間小正方密得面積等于大正 牙形得面積他簡(jiǎn)后得豹勾股宦理。2證明乘法公式平方差與完全平方 ad 1為bg + 6a解析:在上圖中，利用正方形與小走方形面積得轉(zhuǎn)化,能更進(jìn)一步理解平方養(yǎng)公式 與莞全平方公式禪運(yùn)算過(guò)程以及公式得本質(zhì)問(wèn)題3證明根本不等式:. pifT 解析:如上圖所示，直角三角形斜邊上得中線等于斜邊得一半長(zhǎng)度為，根據(jù)直角三 角形得相似關(guān)系,可以得到直角三角形斜邊上得高得長(zhǎng)度為顯然在直角三角形中, 斜邊上得中線得長(zhǎng)度會(huì)大于等于高，利用這樣簡(jiǎn)潔明了得幾何圖解，對(duì)根本不等式: 得理解也就更

2、加簡(jiǎn)單了F4、征明正(余)弦定理：i » y(1)如上圖所示異即；根扁圓得性質(zhì)(等弧對(duì)等角及 綜上,得正磁定理* 根據(jù)勾股宦理ABBE- AC2 一CE 即 J-c：cosB2=b'-© ycosB虧整理可得余弦定理:;同理得出cosA. :cosC得余弦定理。5“證明結(jié)論解析:如上圖所示，根據(jù)y nrniXf y=x、y = s inx在上得圖像可礁岀t anx>x) sinx、當(dāng)然，賣際考試作圖不可能如此精確挪么轉(zhuǎn)化到右圖得單位圓中;當(dāng)時(shí)，角得終邊始終在第-象限內(nèi)根據(jù)三角函數(shù)線可知藍(lán)線表眾正弦線紅線表示正切線、 再根據(jù)弧長(zhǎng)公式即圖中黑色弧線得長(zhǎng)度表示褊顯而

3、易見(jiàn)紅線長(zhǎng)度弧線長(zhǎng)度 藍(lán)線長(zhǎng)度，即t anx> x >； s i nx八 6&證明兩角差得余弦公式:解析:如上圖所示.根據(jù)三角比得定義及單位圓得定義可知單位INH泰。左圖中，將B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至1；0處右圖所示。此時(shí)個(gè)為線段AB得長(zhǎng)度沒(méi)有 發(fā)生變化，即，化簡(jiǎn)2當(dāng)然也可以用向量得方法證明利用向量數(shù)量積定義掙證明更 加簡(jiǎn)潔。如左圖 r屯 在 考 試 中 得具7"與函數(shù)得綜合運(yùn)用.主要表達(dá)在求零點(diǎn).交點(diǎn)、解得個(gè)數(shù)及參數(shù)范圍等方面/ 例1 14奉賞建洪莊R上無(wú)函f y=f審涵fc諭瞬戲知瀚=噸時(shí)當(dāng)只 肴四個(gè)零點(diǎn)，那么倒得取值范圍就是!1!解樁:根據(jù)條件f x得周期為4洗畫(huà)f一個(gè)周

4、期圖像，當(dāng)lx<3時(shí)沙由此畫(huà)出 一13得圖像，此為一個(gè)周期，圖像如下，只有四個(gè)寒點(diǎn)即fx與丫=只有四個(gè)交點(diǎn), 需SW餛l M0<a1時(shí).有兩個(gè)界值，如以下圖所示：此時(shí)5個(gè)交點(diǎn)'代入點(diǎn)一瓠一1解得a=此時(shí)3個(gè)交點(diǎn).代入點(diǎn)一 0解得2Wa> l時(shí)迪有兩個(gè)界值如以下圖所示: 此時(shí)3不交點(diǎn)，代入(一3 J),解得a=3祠評(píng)注:數(shù)形結(jié)合體型廠淀要結(jié)令圖像分析;并且一些用于定位得特殊點(diǎn)要善于把 握；列一方面，必須熟悉初等函數(shù)得所有性質(zhì)及函數(shù)圖像得變換、.例2 (14閔行諸 4b、. c. d互不相鳳且f(n)= f (b)= f (c=f(d),那么abe d得取值 范用就是:蠣

5、厳魏3.霸解麻楫掘題意，如下圖所示,ab=l,ab c d= c d=,4<c<5斯以答案就是(32,35)*評(píng)注:這類題出現(xiàn)很多,典型得數(shù)形結(jié)合題型，要讓學(xué)生熟悉各類函數(shù)圖像及相關(guān)！ 性質(zhì)沈其就是對(duì)稱性與周期性;在草稿紙上作圖時(shí),雖說(shuō)就是草圖値有必要做出 -些特殊點(diǎn)進(jìn)行定位瀉區(qū)間時(shí)，務(wù)必考慮図間得開(kāi)閉情沆6變式乜知函數(shù)&戸丨Ix-lh-lh假設(shè)關(guān)于X得方程f(x)=t(tR)恰有四個(gè)互不相 等得實(shí)數(shù)根得取值范圍就是JI解析:根據(jù)題意,如以下圖所示，R * o例3(1 4楊浦)定義一種新運(yùn)算在函數(shù)f(x)u(I+ ，假設(shè)函數(shù)g(x)=f( X )-k恰有兩個(gè)零點(diǎn),那么k得取

6、值范圍就是(A(l2 ;BP (l,2);Cr (0,2);D.(OJ)解析汀35"曲彳4么 4i+> log/cmXXlog2x,: log2x<l + iX.4 X如以下圖所.(fog2XfO< x < 4毫戟?jiǎng)穸OAA屍伺鼻億化為函彙函艇戸M喀踴t療為那么k(l離蘆 薛建;此題考查分段函數(shù)表達(dá)式求法，函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題擻衣 結(jié)合很容易求解，可以作適省得延伸低如清一個(gè)零點(diǎn),求k得取值范圍等.U!例4 (14寶山)關(guān)于函數(shù)f (xg給出卞列四個(gè)命題: 當(dāng)x>0 Bt?y=f(x)單調(diào)遞減且無(wú)最值； 方程兔翼)*+b(K。) 一定有解；如

7、果方程f( x )-k有解，那么解得個(gè)數(shù)-定就是偶數(shù)： 亦f ( X )就是偶函數(shù)且有最小值、 那么其中真命題就 .繭胡含矗對(duì)值.分類討論。先畫(huà)X>1寫(xiě)0VX1得局部.然后根據(jù)偶函數(shù)得性質(zhì) (關(guān)于y軸對(duì)稱)畫(huà)出左半局部，函數(shù)圖像如以下圖所示: 明顯錯(cuò)誤;Z醸解得個(gè)數(shù)為1；，正緘絕對(duì)值得數(shù)形結(jié)合題型，根據(jù)絕對(duì)值內(nèi)得情況，進(jìn)行分類討論級(jí)畫(huà)出函數(shù)圖 像，再結(jié)合函數(shù)性質(zhì)廠般就是對(duì)稱性或奇偶性撚后根據(jù)函數(shù)圖像對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行分例5(14奉賢)定義在上得函數(shù)f(x)滿足'當(dāng)時(shí)箱 (Df(3x)=3f(x)eX得函數(shù)F(x)= f d卜1得零點(diǎn)從小到大依次記為鼻wJM解析:結(jié)昔條件份析函數(shù)性質(zhì),畫(huà)出

8、函數(shù)圖像如以下圖所示,2+4+8+1 0 +26= 50挪注擻學(xué)結(jié)合最直觀咸根據(jù)函數(shù)得對(duì)稱性我到對(duì)稱董系周像就畫(huà)出來(lái)了倍案 也就呼之欲出，這就就是數(shù)形結(jié)合在宜觀呈現(xiàn)方面得快捷。2. 與三角函數(shù)得綜合運(yùn)用：.例1 14十三校聯(lián)考豈知fx=asin2x+bcos2 a s b為常數(shù),假設(shè)對(duì)于任意:X已R都有f x>> f C菩?$那么方程f 3=o在區(qū)間a刃內(nèi)的解為Ip蘇*.解析液據(jù)軫假設(shè)對(duì)手任；計(jì)可知占"時(shí)，函數(shù)圖像取最低點(diǎn)，再結(jié)合函數(shù)解析式可 知函數(shù)周期為，因?yàn)楹瘮?shù)得最值橫坐標(biāo)與相鄰零點(diǎn)之間相蓋個(gè)周期腳廝以在區(qū) 間0J內(nèi)得解即在囪間0,內(nèi)得零點(diǎn)為冀=。ORUU評(píng)輕:此題瞧

9、似復(fù)朵'因?yàn)橛袑W(xué)母av氐袒只要理解了衣三角函數(shù)得最值橫坐標(biāo)與相 鄰零點(diǎn)急間相差不周期噠樣得圖像性質(zhì)，結(jié)合圖像原理，就迎刃喬解7% 例2 14閘北設(shè)a >0且& 1啟知函數(shù)fx=至少有5個(gè)零點(diǎn),那么a得取值范圍為解橋：就就是求函數(shù)上得交點(diǎn)個(gè)數(shù)，分兩種情況：0<a <1時(shí)易在兩個(gè)函數(shù)圖像有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)，如平圖所示：即2蟲(chóng)0間<Z滿足至少有5個(gè)交點(diǎn)、評(píng)注:這就是亠道典型得數(shù)形結(jié)合得題型，將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題 睦意理解題意、審清題意及數(shù)與形之間得轉(zhuǎn)化彎例3(14虹口)函數(shù)f(x)=2sin與函數(shù)得圖像所有交點(diǎn)得橫坐標(biāo)之與為買觸1 7解析湎出函數(shù)f (x

10、)=2sin與函數(shù)得圖像，如以下圖所示,這倆圖像都就是關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱幼所以它們得交點(diǎn)也就是關(guān)于點(diǎn)(1Q)對(duì)稱，即一對(duì) 對(duì)稱交點(diǎn)得橫坐標(biāo)之與為Z總共有&對(duì)關(guān)于點(diǎn)(“)對(duì)稱得點(diǎn)，再加上(1點(diǎn)本身§ 即所有交點(diǎn)得橫坐標(biāo)之與為17仔評(píng)滋此題首先要熟悉函數(shù)得圖像變換，精確畫(huà)出函數(shù)圖像然后再研究交點(diǎn)得特 性在這道題中、交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(1®對(duì)稱得，在這個(gè)前提下，求橫坐標(biāo)之與就轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn) 單得中點(diǎn)問(wèn)題。例4函數(shù)y= f (x),任取tR,定義集合訃設(shè)，記假設(shè)函數(shù)f(液佔(zhàn)那么h(l)=辺假設(shè)函數(shù)f( x )=sinjf h(.)得最大值迄緘解箱定義得意思就是函數(shù)尸f儀)在以楚點(diǎn)P(點(diǎn)

11、P在函數(shù)圖像上)為圓心半徑為 得圓內(nèi)得局部狂局部函數(shù)圖像得值域即定點(diǎn)P(l.l)如以下圖所示，藍(lán)色實(shí)線段局部為符合定義得圖像局部，這局部圖像最 大慎為么臺(tái)小值為叭所以h(iM對(duì)于f(X)=sim函數(shù)最太值與最小值之差2,如以下圖所示通過(guò)理解觀察何得出能: 夠同時(shí)包含最大值與最小值所以h(t)得最大值為2此時(shí)=2匕札訐注;這就是一道理解性得定義體型，理解題目得定義很重要，然后結(jié)合函數(shù)圖像I 二： .W 巾行析翻縫亞例5 (14閔行)對(duì)于函數(shù)f(x)m有以下四個(gè)命題：&5取恒成宜； f ( x )=2 K f(x*2k)(k),對(duì)于一切X恒成立; 函數(shù)y*) I1)有3個(gè)零點(diǎn); 對(duì)任恿:疋

12、0,不等式f(x)恒成立側(cè)實(shí)數(shù)k得取值范圍就是 那么其中所有命題得序號(hào)就是像至少要滿足點(diǎn)()上,解析:根據(jù)以下圖所示可知:選項(xiàng)就是，選項(xiàng)反比例函數(shù)圖量做到精確,才能防止過(guò)失3. 與解析幾何得綜合運(yùn)用:例1 (14閘北j設(shè)曲線C:測(cè)曲線C所圍封閉圖形得面積為U!解析咽為圖像關(guān)于X軸，y軸對(duì)稱，所以可以先畫(huà)第一象限得圖像，第亠象限X 0冷A 0濰對(duì)值直接去掉河得亠段圓弧撚后關(guān)手x軸、y軸對(duì)稱翻折，如以下圖所 示，根據(jù)題目數(shù)據(jù)同得於B屯可以先算第一象限得面積角一個(gè)扇形與一個(gè)四邊 器輸成淋后再乘以4,全面積為Q邨幽方程圖像問(wèn)題，含絕對(duì)值,所以根據(jù)象限分類討論根據(jù)相美性質(zhì)畫(huà)出方程圖 像，割補(bǔ)法求面積.I

13、H I變式由曲線所圍成得封閉圖形得面積為例214金山直線:4x-3y+6=0,拋物線C:圖像上得一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到直線與y軸 得距離之與得最小值就是 餐寨訂解析結(jié)合題就畫(huà)出直線與拋物線得草圖，找到點(diǎn)P到直線與y軸得距離之與，如下團(tuán)所示，即 P H+PA二PH+PB1 二PH+PF1 所以答案為1。用點(diǎn)到直線距離i公式求出來(lái)等于涎:注意圓錐曲線得相關(guān)克義，進(jìn)行巧妙得轉(zhuǎn)化，如此題中用到了踽拋物線上得點(diǎn) 到焦點(diǎn)得距離僚于這個(gè)點(diǎn)到準(zhǔn)線得距離s這個(gè)性質(zhì)撚后結(jié)合圖像迸行轉(zhuǎn)化。 例31 4金山有粕同焦點(diǎn)得橢圓5 A*.;告茶:D解析激一:如以下圖所示山題意得:PF嚴(yán)2妬 兩式平方相減得：PFr PFmn- Zr所

14、以PF卡+PF?=卿耳十衛(wèi)卩三尸法二：對(duì)于橢圓而誌焦點(diǎn)三角形得面積為，對(duì)于取曲線而言焦點(diǎn)三角形面積，而這 就是同一牛三角形，所以，所以1 p評(píng)遂熟悉圓錐曲線得定義非常重要，根據(jù)條件找到變量之間恒定得關(guān)系故數(shù)學(xué) 題時(shí)，很多時(shí)候要辯證思考，透過(guò)變化得表象，發(fā)現(xiàn)不變得內(nèi)在聯(lián)系，動(dòng)靜結(jié)令有機(jī) 分析、以靜制動(dòng)以不變應(yīng)萬(wàn)苑例4 14金山設(shè)雙曲線上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)得距離蘭最小值就是A.;Be ;C;D, 1鳥(niǎo)霧瘀雙曲線方程兩邊同時(shí)除以，得到，即方程,即求點(diǎn)得距離,選B諫世這就是一類要考慮極限位置得極限體型連高考中出現(xiàn)過(guò)類似得題比一般 雜潑険得位置肩自躺熔解統(tǒng)很爹麟棧6偽蠻有y'WW位置、 而耐就例51

15、4閔行假設(shè)曲線上存在兩個(gè)不同點(diǎn)處得切線重合，那么稱這條切線為曲線得自 公切線以下方程得曲線有自公切線得就是JA.;.B °解析:A* B、G D選項(xiàng)圖像依次如以下圖所示，根據(jù)題意選C鉀注7利用數(shù)形結(jié)合得方法，考查了含絕對(duì)值曲線方程得畫(huà)法廠般根據(jù)圖像得對(duì) 稱性或者分區(qū)間、分象限進(jìn)行分類討論函數(shù)方程在各個(gè)象限得圖像再結(jié)合題意 解題。4. 與向量得運(yùn)用：.例1 14徐匯如以下圖所示啟知點(diǎn)兩邊分別交于生；5/ 解析:法一:M、.G、N三點(diǎn)共線，痂5 =兄不瓦 有天十“十壬，因?yàn)锳B+Aag 即抵工抄空£丄七丄：=1,化簡(jiǎn)上1=25：3; 3x 3yx + y 3法二:取特殊值挿雌?

16、作為填空題，此題得第-做法就是法二同時(shí)也要知道具體過(guò)程注意向量一 些常用知識(shí)點(diǎn)及一些轉(zhuǎn)化技巧。例214閔 行 設(shè)h 了依次表示平面直角坐癖X軸、y軸上的單位向量，申-M荷需:根據(jù)題意，得幾何意義為亠個(gè)點(diǎn)到得距離加上這個(gè)點(diǎn)到得距離等于,如以下圖 所示，即到A點(diǎn)得距離加上到B點(diǎn)得距離等壬而，所以這個(gè)點(diǎn)得軌跡為線段，而我 們要求得取值范圉得幾何意義即轉(zhuǎn)化成線段上得點(diǎn)到點(diǎn)得距離得取值范風(fēng)最 短距離就是以下圖中得長(zhǎng)度用點(diǎn)到直線得距離公式或等面積法可求得 夕禪血用代數(shù)得方法計(jì)算，因?yàn)橛懈?hào)，過(guò)程很復(fù)雜，結(jié)合向量得模得幾何意義，轉(zhuǎn)化 成圖形問(wèn)題就簡(jiǎn)明了揚(yáng)于理解，教爭(zhēng)過(guò)程中注意引導(dǎo)數(shù)形結(jié)合得使用*例3 14徐

17、匯如卞圖所示，在邊農(nóng)為2得正六邊形中,動(dòng)圓得串徑為1，圓心在線段CD含端點(diǎn).三上運(yùn)動(dòng),P是圓Q上及內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量解折沏上圖所示&鄒禺此題結(jié)合動(dòng)態(tài)圖像考查了向量得分解烹求能夠理解題就此題也可建系分5、與其她知識(shí)點(diǎn)得綜合運(yùn)用：例114浦 東 用|S|集合S中的元素的個(gè)數(shù),設(shè)X B. C為集合*稱A. B, C有序三元組。如果集合A* BC滿國(guó)AcB| = |BcC|=|AcC| = l, HAcBcC=,那么稱有序三元組A. Bv為一最小相交.由集 葡1,234的子集構(gòu)成得 % 所有有序三元組中，最小相交得有序三元組得個(gè)數(shù)為解析;設(shè)如以下圖所示r因?yàn)閨AcB|±|B已C|uAcC|wb所以Mm M2, M沖個(gè)容有一個(gè)元素，將得元素排入有種方法，由題意得胚剩下得一個(gè)元素何排在種方法角分步原理得。J睢:此題要注意分步原理與分類原理得綜合運(yùn)用，抽象出解題模型，從而使問(wèn)題 得到解決。雪然也可以用亦舉法駅顯然中A為備< 1個(gè)或者4個(gè)元素的子集不符合瞬,、A為含有2個(gè)或者3個(gè)元素的子集冽舉即可求解第對(duì)于新定義題型淒善于將陌生問(wèn)題化為熟悉模型拄重根本原理得運(yùn)用I 例2 也十三技聯(lián)考集合忑 < 寒Wy恰有1 個(gè)成立L假設(shè)Cx> y> zeS且 w, peS,那么卞劌選項(xiàng)正確得就是