小升初數(shù)學(xué)《走進(jìn)名?！穵W數(shù)素養(yǎng)——邏輯推理問題(含答案)

1、小升初數(shù)學(xué)走進(jìn)名校奧數(shù)素養(yǎng)邏輯推理問題【充足理由律思路】充足理由律的形式是：“所以有甲，是因為有乙”。它的意思是說，任何正確的思想，一定有它的充足理由；任何思想，只有當(dāng)它具有充足的理由時，這種思想才能被認(rèn)為是正確的。在數(shù)學(xué)中，如果由條正確的，A就是B的正確性的充分理由。因此 B的正確性要以A的正確性為基礎(chǔ)，而要使 A的正確性得到確認(rèn)，又得為它提出充足的理由，照此類推。這樣，當(dāng)我們要論證某一思想是正確的時候，常常要引證一系列的理由。 以此連鎖引證下去， 直到最后的理由它的正確性已經(jīng)確定， 并且得到普遍承認(rèn)的。 具體說來有下列三種： （ 1） 明顯的事實， 它可以為人們所直接感知的；（ 2） 公理

2、； （ 3）科學(xué)的規(guī)律。當(dāng)然在實際進(jìn)行論證時，并不是總要引證到最后的理由，數(shù)學(xué)中已經(jīng)證明過的定理、定律、公式、法則等，都可以作為論證所根據(jù)的理由。充足理由律是進(jìn)行推理的基礎(chǔ)。 運用充足理由律來思考數(shù)學(xué)問題， 我們把它叫做充足理由律思路。例 1 200米賽跑，張強(qiáng)比李軍快0.2 秒，王明的成績是39.4 秒，趙剛的成績比王明慢0.9 秒，但比張強(qiáng)快0.1 秒，林林比張強(qiáng)慢3 秒，請你給這五人排出名次來。分析（運用充足理由律思路思索）：題中有兩種概念。一是成績好壞，需要進(jìn)行量的計算；二是快慢關(guān)系推理，先用計算量進(jìn)行比較推理。抓住“各人跑200 米需要的時間”為比較量。并設(shè)字母A、 B、 C、 D、

3、 E 來分別表示張強(qiáng)、李軍、王明、趙剛、林林的時間。二.王明的成績是39.4秒，趙剛的成績比王明慢0.9秒（即C=39.4秒，D=O0.9）. D=39.4+0.9=40.3 （秒）又:趙剛比張強(qiáng)快0.1秒（即D+ 0.1 =A）A=40.3+0.1=40.4 （秒）（傳遞性）又:張強(qiáng)比李軍快0.2秒（即A=B-0. 2 ） B=A 0.2=40.4 +0.2=40.6 （秒）又;林林比張強(qiáng)慢3秒（即A=E-0.3）.£=» 3=40.4 + 3=43.4 （秒）由 43.4 >40.6 >40.4 >40.3 >39.4即 E >B>A

4、>D>C誰是第一、誰是第二、第三、第四、第五名，不就一目了然了嗎？本題還可以單純用快慢關(guān)系來進(jìn)行判斷。v A<B, D>C, D<A, E >A,可得 B、E 均 >A> D> C,；一、二、三名分別應(yīng)是 G D A但第四、五名仍需計算。由 E=»3 秒，B=»0.2 秒，可知E> B,故B是第四，E是第五名。例2填數(shù)使下列豎式成立：CO ( 乂 ) x 3 53 3()1()8 (X X X )(X )( K )()(X X ) ()1 )()()()()(K )0分析(運用充足理由律思路來探討這兩個式題)：第(

5、1)題。抓住乘、除法法則和乘除的互逆關(guān)系去思考。. ()() X 5=33().只要求得33( ) +5=()(),就可以得出豎式被乘數(shù)了，現(xiàn)可知 33( ) +5商的十位得6,故 被乘數(shù)的十位應(yīng)是6,個位是幾呢？再往下看：乘數(shù)35的十位數(shù)字是3, 3與被乘數(shù)個位相乘的積的末尾數(shù)字要是 8,顯然只有3與 6相乘末尾數(shù)字才能是8,所以被乘數(shù)是66。找到了被乘數(shù)是66以后，其他數(shù)字自然就容易找到了。第（2）題仍抓住除法算式特征和乘除的互逆關(guān)系去找理由。由除法豎式特征第二次余數(shù)為0，只好把被除數(shù)十位數(shù)和個位數(shù)同時移下，故可得y=0x>8。又 丁 1 0 x0 9,x=9,則商數(shù)為9807。.a

6、b>12o故 ab=12。此題確定了商和除數(shù)，其他數(shù)字自然就容易找了?！静幻苈伤悸贰坎幻苈傻男问绞恰凹撞皇欠羌住?。它的基本內(nèi)容是：同一對象，在同一時間內(nèi)和同一關(guān)系下，不能具有兩種互相矛盾的性質(zhì)， 它是邏輯推理的又一重要規(guī)律， 運用不矛盾律來推理、 思考某些問題的解答，這種思路我們把它叫做不矛盾律思路。例 1 有三個和尚，一個講真話，一個講假話，另外一個有時講真話，有時講假話。一天，一位智者遇到這三個和尚，他先問左邊的那個和尚：“你旁邊的是哪一位？”和尚回答說“講真話的?！彼謫栔虚g的和尚：“你是哪一位？”和尚答：“我是半真半假的?！彼詈髥栍疫叺暮蜕校骸澳闩赃吺悄囊晃?？”答：“講假話

7、的?！备鶕?jù)他們的回答，智者馬上分清了他們，你能分清嗎？分析（運用不矛盾律思路探討）：兩件相互矛盾對立的事情， 如果一件是不正確的， 另一件就是正確的， 這就是不矛盾律的基本思路。我們先假設(shè)左邊和尚講的是真的，那么中間的和尚是講真話的，但這與他的回答： “我是半真半假的”矛盾，所以左邊和尚講真話這一假設(shè)不對。從而左邊和尚講的是假話，他一定不是講真話的和尚。中間那個和尚也一定不是講真話的，所以右邊的和尚是講真話的和尚。根據(jù)他的話，中間是講假話的和尚，剩下左邊的和尚自然就是半真半假的。例2 一次學(xué)校舉行田徑運動會，A B C、D E五個班取得了團(tuán)體前五名，發(fā)獎后有人問他們的 名次，回答是：A 班代表

8、說：“B 是第三名，C 是第五名?！盉 班代表說：“D 是第二名，E 是第四名。”C班代表說：“ A是第一名，E是第四名。”D 班代表說：“C 是第一名，B 是第二名?！盓 班代表說：“D 是第二名，A 是第三名?！弊詈?，他們都補充說：“我的話是半真半假的?！闭埬闩袛嘁幌?，他們各個班的名次。分析（用不矛盾律思路分析）：先簡化一下記法，比如B班是第三名，則寫成B-3,其它類似，這樣五個班代表的講話可簡記為:（1） B-3, C-5。（2） D-2, E-4。（3） A-1, E-4。（4） B-2, C-1。（5） A-3, D-2。假設(shè)（1）的前半句是真的，即B-3,那么由（4）有C-1,由（

9、3）知A-1不對，有E-4;再由（2） 知D-2不對，從（5）知A-3,這與假設(shè)矛盾，所以（1）中正確的應(yīng)是C-5,于是由（4）知C-1不對, 應(yīng)該是B-2,進(jìn)而知（2） D-2不對，有E-4,并知（5） D-2不對，有A-3,最后只剩下D及第一名， 所以知道D應(yīng)為第一名。最后排出名次自然就非常簡單了。上述敘述雖然簡化了記號，但文字表述仍然覺得累贅，所以還可以借助圖表表達(dá)上述推理過程一三四五(1)BCD IEK3)AECBDA如圖2.21 ,假設(shè)B-3,在B上畫一個圓圈（左圖），表示推理的起點，找到另一個 B,則應(yīng)是不 對的，畫一個“X ”，再找與這個 B同行的“C',它應(yīng)是對的，畫一

10、個“，”，找與 C同列的“A”， 它不對，畫一個“X”，等等。最后 A-3被畫了一個這與B-3相矛盾，故B-3是錯的。在這 個“B”上畫一個“X”，重新開始推理（右圖）。圖從（1）的C開始，因B-3是錯的，則C-5記“，”，則（4）中C-1畫“X”，B-2記由此推出（5） D-2記“X”，（2） D-2記“X”，從表中可以看出，B-2, A-3、E-4、C-5,那 么誰是第一，表中雖然未表達(dá)，但明眼人一看就知道了?！九胖新伤悸贰颗胖新傻男问绞恰盎蛘呤羌祝蛘呤欠羌住?。它的基本內(nèi)容是：同一對象在同一時間內(nèi)和同一關(guān)系下，或者是具有某種性質(zhì)。或者是不具有某種性質(zhì)，二者必居其一，不能有第三種情況。它是

11、處理肯定判斷與否定判斷之間的關(guān)系的一個規(guī)律。運用這一規(guī)律來推理的思路，我們把它叫排中律思路。排中律和不矛盾律的基本作用是相同的， 即都是排除思想中的矛盾。 但也有區(qū)別： 一是適用范圍不同，不矛盾律的適用范圍寬，既適用于互相反對的判斷，也適用于互相矛盾的判斷，排中律的作用范圍窄些，只適用于互相矛盾的判斷，不適用互相反對的判斷；二是要求不同，不矛盾律要求對互相反對的和互相矛盾的判斷， 不能同時斷定其中每一個都是真的， 因為其中至少有一個是假的。 排中律則要求：對于互相矛盾的判斷，必須肯定其中一個是真，因為其中必有一真，不能都假。如果我們確定了某一個是正確的，根據(jù)不矛盾律，就可以得出另一個是錯誤的。

12、反過來。如果我們確定了某一個是錯誤的，根據(jù)排中律，就可以得出另一個是正確的。從這方面來看，如果說不矛盾律提供我們邏輯否定的基礎(chǔ)， 那么排中律則主要提供我們邏輯肯定的基礎(chǔ)； 三是邏輯錯誤性質(zhì)不同， 不矛盾律要求的邏輯錯誤是“自相矛盾”，排中律要求的邏輯錯誤是“模棱兩不可”。例 1 老師有一黑兩白三頂帽子，給兩個學(xué)生看后，讓他們閉上眼睛，從中取出兩頂給他們戴上，然后讓他們睜開眼睛， 互相看清對方戴的帽子， 并立即說出自己頭上戴的帽子是什么顏色， 兩位同學(xué) 都不能立即說出，請問你知道這兩位學(xué)生戴的各是什么顏色的帽子嗎？分析（運用排中律思路思索）：假設(shè)你是這兩個學(xué)生中的一個， 因為你知道只有一頂黑帽子

13、， 當(dāng)你看到對方戴的是黑帽子時， 你能判斷自己戴的帽子顏色嗎？可以的，根據(jù)排中律： “非此即彼”，你一定會推斷出自己戴的是白帽子。現(xiàn)在兩個學(xué)生都不能利用排中律很快地說出自己戴的是白帽子，說明他們兩人都沒有看見黑帽子，由此斷定，老師給兩位學(xué)生戴的是兩頂白帽子。例 2 曾實、張曉、毛梓青在一起，一位是工程師、一位是醫(yī)師、一位是教師?，F(xiàn)在只知道：（ 1）毛梓青比教師年齡大；（ 2）曾實和醫(yī)師不同歲；（ 3）醫(yī)師比張曉年齡小。你能確定誰是工程師？誰是醫(yī)師？誰是教師嗎？分析（沿著排中律思路探索）：根據(jù)排中律的要求，如果我們能確定某個是錯誤的，就可以得出另一個是正確的?，F(xiàn)在已知（ 1）曾實和醫(yī)師不同歲，（

14、2）醫(yī)師比張曉年齡小，就可以判定曾實和張曉都不是醫(yī)師，因此只有毛梓青是醫(yī)師；若張曉是教師，則根據(jù)（ 1）毛梓青比教師年齡大，即毛梓青比張曉年齡大，與（ 3）醫(yī)師比張曉年齡小，即毛梓青比張曉年齡小，這兩個結(jié)論是互相矛盾的，因此張曉不可能是教師。張曉既不是醫(yī)師（因為毛梓青是醫(yī)師），又不是教師，所以張曉應(yīng)該是工程師了。因為三個人、三個職業(yè)，已經(jīng)確定了毛梓青是醫(yī)師，張曉是工程師，剩下的曾實只能是教師了。該題的思路還可以用下表表示：曾奕毛梓青工程師X4X醫(yī)師XXV教師VXX(1)毛梓青比教師年齡大7醫(yī)師比張曉年年小 矛盾一 (1)曾實和醫(yī)師不同歲幻醫(yī)師比張啖年齡小【同一律思路】同一律的形式是：“甲是甲”

15、，或“如果甲，那么甲”。它的基本內(nèi)容是，在同一思維過程中， 同一個概念或同一個思想對象，必須保持前后一致性，亦即保持確定性。這是邏輯推理的一條重要思 維規(guī)律。運用這一規(guī)律來解題，我們把它叫同一律思路。例1某公安人員需查清甲、乙、丙三人誰先進(jìn)辦公室，三人口供如下：甲：丙第二個進(jìn)去，乙第三個進(jìn)去。乙：甲第三個進(jìn)去，內(nèi)第一個進(jìn)去。丙：甲第一個進(jìn)去，乙第三個進(jìn)去。三人口供每人僅對一半，究竟誰第一個進(jìn)辦公室？分析(用同一律思路推理)；這一類問題具有非此即彼的特點。 比如甲是否是第一個進(jìn)辦公室只有兩種可能：是或非。我們用1表示“是”，0表示“非”，則可把口供列表處理。(1)若甲第一，則依據(jù)丙的口供見左表，

16、這個表與甲的口供僅對一半相矛盾；(2)若甲非第一，則依據(jù)丙的口供，乙第三個進(jìn)去，進(jìn)行列表處理如右表，與“三人口供僅對 一半”相符。二三甲10乙010丙001-甲Dri0乙001由100左表右表從而可以判定，內(nèi)最先進(jìn)入辦公室。這個問題也可以不列表而用同一律推理。甲的話第一句對，第二句錯，則內(nèi)第二，乙不是第三，又不是第二，自然乙第一，甲第二，這個 結(jié)論與內(nèi)說的話“半對半錯”不符。因此，有甲的第一句錯，第二句對。即乙第三個進(jìn)去，內(nèi)不是第 二個，自然是第一個。這個結(jié)論與乙的話“半對半錯”相符：甲不是第三，丙是第一。并且這個結(jié)論 與內(nèi)的話“半對半錯”也相符：甲不是第一，乙是第三。在整個思維過程中，我們對三人的話“半對半錯”進(jìn)行了一一驗證，直到都符合題目給定的條件 為止。例 2 從前一個國家里住著兩種居民，一個叫寶寶族，他們永遠(yuǎn)說真話；另一個叫毛毛族，他們永遠(yuǎn)說假話。 一個外地人來到這個國家， 碰見三位居民， 他問第一個人： “請問你是哪個民族的人？”“匹茲烏圖。”那個人回答。外地人聽不懂，就問其他兩個人：“他說的是什么意思？”第二個人回答：“他說他是寶寶族的。”第三個人回答：“他說他是毛毛族的。”請問，第一個人說的話是什么意思？第二個人和第三個人各屬于哪個民族？分析（用同一律思路思考）：如果第一個人是寶寶族的， 他說真話， 那么他說的