高中數(shù)學(xué)橢圓的經(jīng)典知識總結(jié)

1、高中數(shù)學(xué)橢圓的經(jīng)典知識總結(jié)橢圓知識點總結(jié)1.橢圓的定義：1,2x2(1)橢圓：焦點在x軸上時F a2y222、0 1 ( a b c ) by acons (參數(shù)方程，其中為22參數(shù))，焦點在y軸上時4 xy = a b1 (ab 0)。方程 Ax2By2C表示橢圓的充要條件是什么?(ABCW0,且 A, B, C 同號，AWB)2.橢圓的幾何性質(zhì)2(1)橢圓(以二 a焦點(c,0);對稱性:2。1 (a b b兩條對稱軸x0)為例)：范圍：a0,y 0, 一個對稱中心(其中長軸長為2a ,短軸長為2b ;準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線x2a；cx a,0,0),離心率:兩個四個頂點(a,0),(0,b)，2

2、b2e越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁。通徑 a2.點與橢圓的位置關(guān)系：(1)點P(x0, yO)在橢圓外2 x0 2 a2辿1b2，(2)點P(x0,y0)在橢圓上(3)點P(x0,yO)在橢圓內(nèi)2 x0 2 a2 x 2 a2y。=b2 2 V。b21；3.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：(1)相交： 0 直線與橢圓相交;直線與橢圓相離；22如：直線y kx1=0與橢圓二y-5 m(2)相切:1包有公共點，則U (5, +00);直線與橢圓相切；(3)相離:m的取值范圍是(答：1, 5)4、焦半徑(圓錐曲線上的點P到焦點F的距離)的計算方法：利用圓錐曲線的第二定義，轉(zhuǎn) 化到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，即焦半

3、徑r ed a e% ,其中d表示P到與F所對應(yīng)的準(zhǔn)線的距離。如(1)已知橢圓工二1 25 16上一點P到橢圓左焦點的距離為3,則點P到右準(zhǔn)線的距離為 (答10/3);2(2)橢圓工42匕 1內(nèi)有一點P(1, 1), F為右焦點，在橢圓上有一點 3M ,使MP 2MF 之值最小，則點M的坐標(biāo)為，1)；5、焦點三角形(橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形)問題：S b2 tan-2當(dāng)|y0| b即P為短軸端點時,Smax的最大值為bc；6、弦長公式：若直線y kx b與圓錐曲線相交于兩點 A、B,且為？2分別為A、B的橫坐標(biāo)，則AB =田k2 X1 X2 ,若yi, y2分別為A、B的縱坐

4、標(biāo)，則AB = jl2 y y2 ,若弦AB所V k2在直線方程設(shè)為x ky b,則AB| =函k21 yi y?。特別地，焦點弦(過焦點的弦)：焦點弦的弦 長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。7、圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用 “韋達(dá)定理”或“點差法”求解。在橢圓v2b2x_41中，以P(x°,y。)為中點的弦所在直線的斜率k=學(xué)；ba y022如(1)如果橢圓L 1弦被點A (4, 2)平分，那么這條弦所在的直線方程是(答:36922x 2y 8 0); (2)已知直線y=-x+1與橢圓勺 與1(a b 0)相交于A、B

5、兩點，且線段AB a b的中點在直線L: x 2y=0上，則此橢圓的離心率為(答：叵);(3)試確定m的取值范2圍，使得橢圓£ k1上有不同的兩點關(guān)于直線y 4x m對稱(答：出,2匹 兀431313特別提醒：因為 題時，務(wù)必別忘了檢驗0是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關(guān)弦長、對稱問 0!(a b 0) , (a c 0),且c為兩條直橢圓的y2的分母方程Ax2 By2222C可化為A-竺一1 ,即工C CCABy2CB1,所以只有A、B、C同號，且A B時，方橢圓知識點1 .如何確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？任何橢圓都有一個對稱中心，兩條對稱軸。當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的對稱中心在坐標(biāo)原

6、點，對稱軸是坐標(biāo)軸，橢圓的 方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式。此時，橢圓焦點在坐標(biāo)軸上。確定一個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個條件：兩個定形條件a,b； 一個定位條件焦點坐標(biāo)，由焦點坐標(biāo)的形式確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型。2 .橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個量 a,b,c的幾何意義橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a,b,c三個量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的 長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為:2 222、(a b c )?？山柚覉D理解記憶:顯然：a,b,c恰構(gòu)成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、角邊。3 .如何由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點位置焦點總在長軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦

7、點位置的方法是：看x2,的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標(biāo)軸上。4 .方程Ax2 By2 C(A,B,C均不為零)是表示橢圓的條件C時，橢圓的焦點在 y軸上。BC CC程表本橢圓。當(dāng)一一時，橢圓的焦點在 x軸上；當(dāng) 一A BA5 .求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法：待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點的位置，從而確定橢圓方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程 中的參數(shù)a,b,c的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由已知條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6 .共焦點的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異2222共焦點，則c相同。與橢圓2241 (a b 0)共焦點的橢圓方程可設(shè)為一1

8、 (m b2),aba mb m此類問題常用待定系數(shù)法求解。7 .判斷曲線關(guān)于x軸、y軸、原點對稱的依據(jù)： 若把曲線方程中的x換成x,方程不變，則曲線關(guān)于y軸對稱;若把曲線方程中的y換成y,方程不變，則曲線關(guān)于x軸對稱; 若把曲線方程中的x、y同時換成 x、 y,方程不變，則曲線關(guān)于原點對稱。8 .如何求解與焦點三角形 PF1F2 (P為橢圓上的點)有關(guān)的計算問題？思路分析：與焦點三角形 PFE有關(guān)的計算問題時，常考慮到用橢圓的定義及余弦定理(或勾股1定理)、三角形面積公式S PF1F2 1PFi PF2 sin F1PF2相結(jié)合的萬法進(jìn)行計算解題。將有關(guān)線段|PFi、PF2、FiF21，有關(guān)

9、角 F1PF2 ( F1PF2F1BF2)結(jié)合起來，建立 PFi |PF2、PFi| |PF2之間的關(guān)系.9 .如何計算橢圓的扁圓程度與離心率的關(guān)系？長軸與短軸的長短關(guān)系決定橢圓形狀的變化。 離心率e £(0 e 1),因為c2 a2 b2,a c 0, a用 a、b表示為 e J (b)2(0 e 1)。 a顯然：當(dāng)b越小時，e(0 e 1)越大，橢圓形狀越扁；當(dāng)b越大，e(0 e 1)越小，橢圓形狀越趨 aa近于圓。題型1:橢圓定義的運(yùn)用2 x 例1、已知FpF2為橢圓 1252例3、如果方程X2表示焦點在x軸的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是2X例4、已知P為橢圓252y16222

10、21上的一點，M,N分別為圓x 3 y 1和圓x 3 y 4上的點,則PM PN的最小值為題型2:求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1、求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）經(jīng)過兩點 A（T3, 2）、B（ 2而,1）；2,2（2）經(jīng)過點化，一3）且與橢圓9x 4y36具有共同的焦點.（3） 一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點距離為4&-4.題型3:求橢圓的離心率（或范圍）例1、 ABC中，.A 300, AB 26 ABe J3若以A, B為焦點的橢圓經(jīng)過點 C ，則橢圓的離心率為.例2、過橢圓的一個焦點 F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于 P,若 F1PF2為等腰直角三角形

11、，則橢圓的離心率為題型4:橢圓的其他幾何性質(zhì)的運(yùn)用（范圍、對稱性等）22例1、已知實數(shù)x,y滿足 人 y 1,則x2 y2 x的范圍為 421的兩個焦點，過Fl的直線交橢圓于 a、B兩點若F2A F2B 12,則AB 例2、橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)： 從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點A、B是它的焦點，長軸長為 2a,焦距為2c,靜放在點A的小球（小球的半徑不計），從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點A時，小球經(jīng)過的路程是 2、2已知P是橢圓二a2 y b21上一點，F(xiàn)i,F2是橢圓的兩個焦點，求PFi PF2的最大值

12、與最小值3、已知點A,B是橢圓2x-2m2y1 ( m 0, n 0)上兩點nuuur，且AOuurBO，則4、如上圖，把橢圓252y1的長軸AB分成8等份,16過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于耳尺，P3,比已P6,P7七個點,F是橢圓的一個焦點，則 PFP2FRFP4FP5FP6FP7F題型5:焦點三角形問題x2例1、已知Fi, F2為橢圓一92 1的兩個焦點，p為橢圓上的一點，已知 P,Fi, F2為一個直角三角形的三個頂 4點，且PF1PF2，求PFiPF2的值;22x y PF2的點的個數(shù)為例2、已知已下？為橢圓C： 一1 1的兩個焦點，在 C上滿足PF1 8422例3、若F1

13、,F2為橢圓 上 1的兩個焦點，p為橢圓上的一點，當(dāng)F1PF2為鈍角時，點P橫坐標(biāo)的取值范94圍為例4、已知橢圓的焦點是 F,(Q 1)，F(xiàn)2(Q1),且經(jīng)過點(1, 3)求橢圓的方程；設(shè)點P在橢圓上，且2PF1PF2 1,求 cos F1PF2.題型6:三角代換的應(yīng)用x2y2例1、橢圓 1上的點到直線l:x y 9 0的距離的最小值為169一 ，一 x2例2、橢圓一162y1的內(nèi)接矩形的面積的最大值為9題型7:直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷x2 y2例1、當(dāng)m為何值時，直線 y x m與橢圓 一 工 1相交？相切？相離?169例2、若直線y kx21(k R)與橢圓土題型8:弦長問題例3.求直線

14、y 2x4x24被橢圓絲92y91所截得的弦長.2例4、已知橢圓21的左右焦點分別為Fi,F2,若過點P (0,-2)及F1的直線交橢圓于A,B兩點，求NABF2的面積;題型9:中點弦問題25、求以橢圓81內(nèi)的點A (2,-1)為中點的弦所在的直線方程。6、中心在原點,一個焦點為F1(0, J50)的橢圓截直線y 3x 2所得弦的中點橫坐標(biāo)為7、橢圓mx2ny2 1 ,與直線x y 1相交于乂、,兩點,e是且§的中點.若AB 272 ,斜2y- 1恒有公共點，求實數(shù) m的取值范圍;m率為 (O為原點)，求橢圓的方程.2題型10、橢圓與向量、解三角形的交匯問題例6、設(shè)過點P x, y的

15、直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于 A、B兩點，點Q與點P關(guān)于y軸對稱,uuu uuuuuir uuuO為坐標(biāo)原點，若BP 2PA,且OQ AB 1,求P點的軌跡方程;15.如圖，在 RtAABC 中，/ CAB=90,AB=2，AC=? 一曲線E過點C,動點P在曲線E上運(yùn)動，且保才|PA|+|PB|的值不變，直線l經(jīng)過A與曲線E交于M、N兩點。(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程；(2)設(shè)直線l的斜率為k,若/ MBN為鈍角，求k的取值范圍?；A(chǔ)鞏固訓(xùn)練1 .如圖，橢圓中心在原點，F(xiàn)是左焦點，直線ABi與BF交于D,且 BDBi,則橢圓的離心率為x2.uur uuuu2 .設(shè)Fi,F

16、2為橢圓 y2 1的兩焦點，P在橢圓上，當(dāng) F1PF2面積為1時，PF1 PF24的值為223 .橢圓y- 1的一條弦被 A 4,2平分，那么這條弦所在的直線方程是 3694 .在4ABC中，A 90o, tanB 3 .若以A,B為焦點的橢圓經(jīng)過點 C ,則該橢圓的離心率 e45 .若F1,F2為橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，若 PF1F2 : PF2F1 : F1PF2 1:2 :3,則此橢圓的離心率為22x y6 .在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓F 4 1(a ba b圓的兩切線互相垂直，則離心率e= .0)的焦距為2,以。為圓心，a為半徑的圓，過點(旦-,0)作 c綜合提高訓(xùn)練2x7、已知橢圓ab 0)與過點A(2, 0), B(0, 1)的直線l有且只有一個公共點T,且橢圓的離心率e -,求橢圓方程;2221,在橢圓上，線28 .已知A、B分別是橢圓2萬 4 1(a b 0)的左右兩個焦點，。為坐