同濟大學高等數學教案第五章向量與空間解析幾何

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上高等數學教學教案第五章 向量與空間解析幾何授課序號01教 學 基 本 指 標教學課題第五章 第一節(jié) 向量及其運算課的類型復習、新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結合教學重點數量積、向量積、垂直與平行教學難點向量積參考教材同濟版、人大版高等數學；同濟版微積分武漢大學同濟大學 微積分學習指導安玉偉等高等數學定理 方法 問題作業(yè)布置課后習題微積分標準化作業(yè)大綱要求理解空間直角坐標系。理解向量的概念及其表示，掌握向量的運算(線性運算、數量積、向量積、混合積)，掌握兩個向量垂直、平行的條件，掌握單位向量、方向余弦、向量的坐標表達式以及用坐標表達式

2、進行向量運算的方法。教 學 基 本 內 容一、基本概念：1、 空間直角坐標系：過空間一個定點，作三條互相垂直的數軸，它們都以為原點且具有相同的長度單位，這三條數軸分別稱為軸（橫軸）、軸（縱軸）、軸（豎軸）、統(tǒng)稱坐標軸. 其正向符合右手規(guī)則. 這樣的三條坐標軸就組成了空間直角坐標系. 設、為空間兩個點，通過、各作三個分別垂直于三條坐標軸的平面，這六個平面組成一個以、為對角線的長方體，由此可得，即.2、向量的夾角將向量、的始點重合，在兩向量的所在平面上，若一個向量逆時針方向轉過角度后可與另一個向量正向重合，見圖5-8， 則稱為向量、的夾角，記作，即，3、向量的運算以共起點向量、為平行四邊形相鄰兩邊

3、，以向量的起點作為起點的其對角線表示的向量為兩個向量的和，記為, 見圖5-14. 以向量的終點為起點，向量的終點為終點的對角線向量為向量的差. 記為. 設是一個數，向量與數的乘積規(guī)定為當時，表示一向量，其大小，方向與同向；當時，是零向量；當時，表示一向量，其大小，方向與反向. 特別地，當時，.4、向量的模、方向角設為任意一個向量，又設、為與三坐標軸正向之間的夾角（），見圖5-22，,分別為向量的方向角. 由于向量坐標就是向量在坐標軸上的投影，故有，其中、稱為向量的方向余弦，通常用它表示向量的方向.由模的定義，可知向量的模為.或，由此可得，即任一向量的方向余弦的平方和為.5、數量積 給定向量與，

4、我們做這樣的運算： 與及它們的夾角與的余弦的乘積，稱為向量與的數量積.記為，即 . （1）；（2）； （3）若，則.6、向量積 若由向量與所確定的一個向量滿足下列條件：（1）的方向既垂直于又垂直于, 的指向按右手規(guī)則從轉向來確定（2）的模 ，(其中為與的夾角)，則稱向量為向量與的向量積（或稱外積、叉積），記為.7、 向量的混合積定義3 設三向量，先作向量積，再作數量積，記作，稱為三個向量，的混合積. 設， ，二、定理與性質：定理1 向量在軸上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角的余弦，即.定理2 兩個向量的和在軸上的投影等于兩個向量在軸上的投影的和. 定理3：.三、主要例題：例 1 證明以點、

5、及為頂點的三角形是等腰三角形.例2 在軸上求與兩點和等距離的點.例3 設、為軸上坐標為，的任意兩點，又為與軸正向一致的單位向量（見圖5-18），則有.例4設和為空間兩點，而在直線上的點分有向線段為兩個有向線段與，使它們的模的比等于某數，即，求分點的坐標，和. 例5 設 求 在y軸上的分向量.例6 設兩已知點和，分別寫出向量、的坐標表達式和向表達式，計算它們的模、方向余弦、方向角、單位向量. 例7 求平行于向量的單位向量.例8 已知向量的模為 向量與軸和軸的夾角分別為和, 如果的坐標為(1, 0, 3), 求的坐標.例9 利用向量證明不等式:其中為任意常數,并指出等號成立的條件.例10 已知 求

6、(1) (2) 與的夾角; (3) 與上的投影.例11 已知，試求.例12 液體流過平面上面積為的一個區(qū)域，液體在這區(qū)域上各點處的流速均為（常向量），設為垂直于的單位向量，計算單位時間內經過這區(qū)域流向所指一方的液體的重量（液體的比重為）.例13 求與都垂直的單位向量.例14 在頂點為和的三角形中, 求邊上的高.例15 設向量兩兩垂直, 符合右手規(guī)則, 且 計算例16 設剛體以等角速度繞l軸旋轉, 計算剛體上一點M的線速度.例17 已知, 計算例18 已知空間內不在同一平面上的四點求四面體的體積.例19 已知, 求一單位向量 使, 且與此同時共面.授課序號02教 學 基 本 指 標教學課題第五章

7、 第二節(jié) 第二節(jié) 平面及其方程課的類型新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結合教學重點平面方程教學難點平面方程參考教材同濟版、人大版高等數學；同濟版微積分武漢大學同濟大學 微積分學習指導安玉偉等高等數學定理 方法 問題作業(yè)布置課后習題微積分標準化作業(yè)大綱要求掌握平面的方程及其求法，會利用平面的相互關系解決有關問題。教 學 基 本 內 容一、基本概念：二、定理與性質：1、平面的點法式方程 2、平面的一般方程 3、平面的截距式方程4、兩平面的夾角設平面的方程為，平面的方程為，.5、點到平面的距離設為平面外的一點， .三、主要例題：例1 求過點且與垂直的平面的方程.例2

8、 求過點、及的平面的方程.例3 求通過軸和點的平面方程.例4 設一平面與、軸分別交于點、，求這個平面的方程.例5 研究以下各組里兩平面的位置關系:(1) (2) 例6 求平面, 使其滿足:(1) 過軸;(2) 與平面夾角為.例7 一平面通過兩點和且垂直于平面，求該平面方程.例8 求兩平行平面：和： 之間的距離.例9 求平行于平面, 且與球面相切的平面的方程.授課序號03教 學 基 本 指 標教學課題第五章 第三節(jié) 直線及其方程課的類型復習、新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結合教學重點直線方程教學難點線線關系、線面關系參考教材同濟版、人大版高等數學；同濟版微積分

9、武漢大學同濟大學 微積分學習指導安玉偉等高等數學定理 方法 問題作業(yè)布置課后習題微積分標準化作業(yè)大綱要求掌握直線的方程及其求法，會利用平面、直線的相互關系解決有關問題教 學 基 本 內 容一、基本概念：二、定理與性質：1、空間直線一般方程2、對稱式方程及參數方程給定直線上的一點及一個方向向量，即有，若設，則有參數方程.3、兩直線的夾角兩直線的方向向量之間的夾角（通常取銳角）稱為兩直線的夾角，即或兩者中的銳角.設：，其中，：，其中，則；4、直線與平面的夾角設直線：，平面：，則，因此.5、平面束通過定直線的平面的全體稱為過該直線的平面束，有時候用平面束解題非常方便，現(xiàn)在我們來介紹它的方程.設直線：

10、，其中系數與不成比例，則過該直線的平面束方程為 三、主要例題：例1 （1）求過點且分別與兩個平面和平行的平面與的方程.（2）平面與的交線方程.例2 用點向式方程或參數方程表示直線.例3 求過點和的直線方程.例4 求直線：和直線：的夾角.例5 求過點且與兩平面和的交線平行于的直線方程.例6 求過點M(2, 1, 3)且與直線垂直相交的直線方程.例7 設直線平面求直線與平面的夾角.例8 過直線作平面, 使它垂直于平面例9 在一切過直線 的平面中找出平面, 使原點到它的距離最長.例10 一平面過直線且與平面成角，求該平面方程.授課序號04教 學 基 本 指 標教學課題第五章 第四節(jié) 曲面與曲線課的類

11、型新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結合教學重點二次曲面的方程及其圖形教學難點交線的投影參考教材同濟版、人大版高等數學；同濟版微積分武漢大學同濟大學 微積分學習指導安玉偉等高等數學定理 方法 問題作業(yè)布置課后習題微積分標準化作業(yè)大綱要求理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，了解以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程，了解空間曲線的參數方程和一般方程，了解曲面的交線在坐標平面上的投影教 學 基 本 內 容一、基本概念：二、定理與性質：1、曲面方程的概念 如果曲面，與三元方，程滿足下列關系：（1）曲面上的任一點的坐標都滿足方程；（2）不

12、在曲面上的點的坐標都不滿足方程，則稱為曲面的方程，而曲面稱為方程的圖形.2、旋轉曲面 一條平面曲線繞其平面上的一條定直線旋轉一周所成的曲面叫做旋轉曲面，這條定直線就叫做旋轉曲面的軸.設在坐標面上有一已知曲線，將繞軸旋轉就得到一個以軸為旋轉軸的旋轉曲面S: .3、柱面平行于定直線并沿定曲線移動的直線形成的軌跡叫做柱面. 其中定曲線稱為柱面的準線，動直線稱為柱面的母線.一般地，設有一柱面，準線是面上的曲線，則其方程為 4、二次曲面我們將三元二次方程所表示的曲面就叫做二次曲面.1）、橢球面: 2）、二次錐面（橢圓錐面）由方程、所確定的曲面稱為二次錐面（橢圓錐面）.3）、拋物面由方程所確定的曲面稱為橢

13、圓拋物面.由方程所確定的曲面稱為雙曲拋物面（馬鞍面）.4）、雙曲面由方程,確定的曲面稱為單葉雙曲面.由方程,所確定的曲面稱為單葉雙曲面.5、空間曲線及其方程1）、空間曲線的一般方程空間曲線可看作是兩個相交曲面的交線，即若設二個相交曲面的方程分別是和，則就表示其交線的方程.2）、空間曲線的參數方程空間曲線也可以將其看作空間點移動的軌跡而形成曲線的參數方程. 即有其中，是連續(xù)的.6、空間曲線在坐標面上的投影設空間曲線方程為 消去可得方程， 因此曲線在面上的投影曲線為三、主要例題：例1 建立球心在點，半徑為的球面的方程.例2 求與原點O及的距離之比為1:2的點的全體所組成的曲面方程.例3 求到兩定點和等距離的點的幾何軌跡.例4 方程表示什么樣的曲面？例5 方程的圖形是怎樣的?例6 直線繞另一條與相交的定直線旋轉一周, 所得旋轉曲面稱為叫圓錐面. 兩直線的交點稱為圓錐面的頂點, 兩直線的夾角稱為圓錐面的半頂角. 試建立