【金學案】高中數學（北師大版選修12精品學案第三章 推理與證明 第2課時 演繹推理

1、第2課時演 繹 推 理1.了解演繹推理的概念.2.了解演繹推理的推理方式.3.正確運用演繹推理解決問題.重點:理解演繹推理的推理方式,從而掌握演繹推理的概念.難點:如何在實際問題中用演繹推理證明數學問題.某珠寶店失竊,甲、乙、丙、丁四人涉嫌被拘審.四人的口供如下:甲:案犯是丙.乙:丁是罪犯.丙:如果我作案,那么丁是主犯.丁:作案的不是我.四個口供中只有一個是假的.如果上述斷定為真,那么說假話的誰?作案的是誰?問題1:什么是演繹推理?從一般性的原理出發(fā),推出某個特殊情況下的結論,我們把這種推理稱為演繹推理. 問題2:演繹推理的一般模式(1)大前提已知的一般原理; (2)小前提

2、所研究的特殊情況; (3)結論根據一般原理,對特殊情況作出判斷. 問題3:試分析演繹推理結論的可靠性演繹推理是由一般到特殊的推理,從一般性的原理出發(fā),通過三段論的模式,推出某個特殊情況下的結論,因而只要大前提、小前提、推理形式都正確,結論就一定正確,即演繹推理得出的結論是可靠的. 問題4:合情推理與演繹推理之間的區(qū)別和聯系是什么?區(qū)別:(1)歸納和類比是常用的合情推理,從推理形式上看,歸納是由部分到整體、個別到一般的推理,類比是由特殊到特殊的推理;而演繹推理是由一般到特殊的推理. (2)從推理所得結論來看,合情推理的結論不一定正確,有待進一步證明;演繹推

3、理在大前提,小前提和推理形式都正確的前提下,得到的結論一定正確. 聯系:演繹推理是證明數學結論、建立數學體系的重要思維過程,但數學結論、證明思路等的發(fā)現,主要是靠合情推理,二者是統(tǒng)一的.自然科學史上第一個思想體系的例子是歐幾里得(Euclid,公元前325公元前265)幾何學.古希臘的數學家歐幾里得是以他的幾何原本而著稱于世的.歐幾里得是第一個將亞里士多德演繹法(用三段論形式表述的演繹法)用于構建實際知識體系的人,歐幾里得的幾何學正是一門嚴密的演繹體系,他從為數不多的公理出發(fā)推導出眾多的定理,再用這些定理去解決實際問題.比起歐幾里得幾何學中的幾何知識,它所蘊含的方法論意義更重大.歐幾

4、里得的幾何學是人類知識史上的一座豐碑,它為人類知識的整理、系統(tǒng)闡述提供了一種模式.1.演繹推理是以()為前提,推出某個特殊情況下的結論的推理方法.A.一般的原理B.特定的命題C.一般的命題D.定理、公式【答案】A2.由正方形的對角線互相平分,平行四邊形的對角線互相平分,正方形是平行四邊形,根據“三段論”推理出一個結論,則這個結論是().A.正方形的對角線相等B.平行四邊形的對角線相等C.正方形是平行四邊形D.其他【答案】A3.設m為實數,求證:方程x2-2mx+m-1=0有兩個相異的實根.利用三段論證明時,大前提:; 小前提:; 結論:. 【答案】如果一元二次方程

5、ax2+bx+c=0的判別式=b2-4ac>0,那么方程有兩個相異的實根一元二次方程x2-2mx+m-1=0的判別式=4m2-4(m-1)=(2m-1)2+3>0方程x2-2mx+m-1=0有兩個相異的實根.4.寫出用三段論證明f(x)=x3+sin x(xR)為奇函數的步驟.【解析】大前提:滿足f(-x)=-f(x)的函數是奇函數;小前提:f(-x)=(-x)3+sin(-x)=-x3-sinx=-(x3+sinx)=-f(x);結論:f(x)=x3+sinx是奇函數.演繹推理的基本形式將下列演繹推理寫成三段論的形式:(1)一切奇數都不能被2整除,75不能被2整除,所以75是奇數

6、;(2)三角形的內角和為180°,RtABC的內角和為180°(3)菱形的對角線互相平分;(4)通項公式為an=3n+2的數列an是等差數列.【方法指導】分別找到每個推理中的大前提、小前提、結論即可.【解析】(1)一切奇數都不能被2整除,(大前提)75不能被2整除,(小前提)75是奇數.(結論)(2)三角形的內角和為180°,(大前提)RtABC是三角形,(小前提)RtABC的內角和為180°.(結論)(3)平行四邊形的對角線互相平分,(大前提)菱形是平行四邊形,(小前提)菱形的對角線互相平分.(結論)(4)在數列an中,如果當n2時,an-an-1為常

7、數,則an為等差數列,(大前提)通項公式an=3n+2,當n2時,an-an-1=3n+2-3(n-1)+2=3(常數),(小前提)通項公式為an=3n+2的數列是等差數列.(結論)【小結】在演繹推理中,大前提描述的是一般原理,小前提描述的是大前提里的特殊情況,結論是根據一般原理對特殊情況作出的判斷.這與平時我們解答問題中的思考是一樣的,即先指出一般情況,從中取出一個特例,特例也具有一般意義.應用三段論證明數列問題已知數列an的前n項和Sn=3n2-2n(nN+),求證:數列an成等差數列.【方法指導】求出an,an-1,利用等差數列的定義進行判斷.【解析】(大前提)當n2時,如果數列an滿足

8、an-an-1=d(常數),那么數列an成等差數列.(小前提)當n2時,an=Sn-Sn-1=3n2-2n-3(n-1)2-2(n-1)=6n-5;當n=1時,a1=S1=3-2=1,亦滿足an=6n-5.所以an=6n-5.當n2時,an-an-1=6n-5-6(n-1)-5=6(常數).(結論)數列an成等差數列.【小結】用演繹推理解決問題的常規(guī)模式是“三段論”,“三段論”是演繹推理的一般模式,因此,必須牢記.演繹推理的應用有一種密英文的明文(真實文)按字母分解,其中英文的a,b, c,z的26個字母(不分大小寫),依次對應1,2,3,26這26個自然數,見如下表格:abcdefghijk

9、lm12345678910111213nopqrstuvwxyz14151617181920212223242526給出如下變換公式:X=將明文轉換成密文,如8+13=17,即h變成q;如5=3,即e變成c.(1)按上述規(guī)定,將明文good譯成的密文是什么?(2)按上述規(guī)定,若將某明文譯成的密文是shxc,那么原來的明文是什么?【方法指導】利用題目的條件,一步步地破譯每一個數.再把每一個字母連接起來,那破譯就成功了.【解析】(1)g7=4d,o15=8h,d4+13=15o,則明文good的密文為dhho.(2)逆變換公式為x=則有s192×19-26=12l,h82×8-

10、1=15o,x242×24-26=22v,c32×3-1=5e,故密文shxc的明文為love.【小結】本題是一個密碼翻譯的問題,通過本題的學習,初步了解密碼的設置與破譯問題.將下面的演繹推理寫成三段論的形式:(1)所有橢圓的離心率e的取值范圍為(0,1),曲線C:+y2=1是橢圓,所以曲線C的離心率e的取值范圍為(0,1).(2)等比數列的公比都不為零,數列2n(nN+)是等比數列,所以數列2n的公比不為零.【解析】大前提:所有橢圓的離心率e的取值范圍為(0,1);小前提:曲線C:+y2=1是橢圓;結論:曲線C的離心率e的取值范圍為(0,1).(2)大前提:等比數列的公比

11、都不為零;小前提:數列2n(nN+)是等比數列;結論:數列2n的公比不為零.數列an的前n項和記為Sn,已知a1=1,an+1=Sn(nN+).求證:(1)數列是等比數列;(2)Sn+1=4an.【解析】(1)an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn(nN+),(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),nSn+1=2(n+1)Sn,=2·(nN+),數列是首項為1,公比為2的等比數列.(2)由(1)知=4(n2,nN+),Sn+1=4(n+1)·=4an(n2,nN+).又a2=3S1=3,S2=a1+a2=4=4a1,因此對于任意正整數,都有Sn+1=4an.若定義在區(qū)間D上

12、的函數f(x)對于D上的n個值x1,x2,xn,總滿足f(x1)+f(x2)+f(xn)f(),則稱函數f(x)為D上的凸函數,現已知f(x)=sin x在(0,)上是凸函數,則ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值是. 【解析】由f(x1)+f(x2)+f(xn)f(),(大前提)因為f(x)=sinx在(0,)上是凸函數,(小前提)得f(A)+f(B)+f(C)3f(),(結論)即sinA+sinB+sinC3sin=,因此,sinA+sinB+sinC的最大值是.【答案】1.推理“正方形是平行四邊形;梯形不是平行四邊形;所以梯形不是正方形”中的小前提是().A.B

13、.C.D.和【答案】B2.若兩個向量a,b共線,則一定存在R使a=b,因為0與任何向量共線,因此對于任何一個向量a,一定有R使a=0.對以上三段論,下列說法正確的是().A.推理完全正確B.大前提不正確C.小前提不正確D.推理形式不正確【解析】若兩個向量a,b共線,則一定存在R使a=b,應加上條件“b0”.【答案】B3.把“函數y=x2+x+1的圖像是一條拋物線”寫成三段論的形式,即大前提:二次函數的圖像是一條拋物線;小前提:; 結論:函數y=x2+x+1的圖像是一條拋物線.【答案】函數y=x2+x+1是二次函數4.用三段論表述下列命題.(1)正方形的對角線互相垂直;(2)滿足2a2

14、=a1+a3的三個數a1,a2,a3成等差數列.【解析】(1)菱形的對角線互相垂直,(大前提)正方形是菱形,(小前提)正方形的對角線互相垂直.(結論)(2)如果一個數列從第二項起,后一項與前一項的差都相等,則這個數列是等差數列,(大前提)滿足2a2=a1+a3的三個數a1,a2,a3顯然有a2-a1=a3-a2,(小前提)滿足2a2=a1+a3的三個數a1,a2,a3成等差數列.(結論)(2022年·新課標全國)甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A,B,C三個城市時,甲說:我去過的城市比乙多,但沒去過B城市;乙說:我沒去過C城市;丙說:我們三人去過同一城市.由此可判斷乙去過的城市為.&

15、#160;【解析】由題意可推斷:甲沒去過B城市,但比乙去的城市多,而丙說“三人去過同一城市”,說明甲去過A,C城市,而乙“沒去過C城市”,說明乙去過A城市,由此可知,乙去過A城市.【答案】A    1.用三段論證明函數y=x3是增函數的小前提是().A.增函數的定義B.函數y=x3滿足增函數的定義C.若x1<x2,則f(x1)<f(x2)D.若x1>x2,則f(x1)>f(x2)【答案】B2.下列幾種推理過程是演繹推理的是().A.兩條直線平行,同旁內角互補,如果A和B是兩條平行直線的同旁內角,則A+B=180°B.由平

16、面三角形的性質,推測空間四面體性質C.某校高三共有10個班,1班有51人,2班有53人,三班有52人,由此推測各班都超過50人D.在數列an中,a1=1,an=(an-1+)(n2),由此推出數列an的通項公式【解析】B是類比推理,C、D是歸納推理.【答案】A3.定義“等和數列”:在一個數列中,如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數,那么這個數列叫作等和數列,這個常數叫作該數列的公和.已知數列an是等和數列,且a1=2,公和為5,那么a18的值為. 【解析】a1+a2=a2+a3=a3+a4=a2n-1+a2n(nN+),可見a18=a16=a2=5-a1=3.【答案】34.求證:

17、函數f(x)=為奇函數.【解析】大前提:如果函數f(x)的定義域關于原點對稱,且滿足f(-x)=-f(x),那么函數f(x)為奇函數.小前提:顯然,函數f(x)的定義域關于原點對稱.當x>0時,-x<0,f(-x)=x2-x=-(x-x2)=-f(x),當x<0時,-x>0,f(-x)=-x-x2=-(x2+x)=-f(x),即f(-x)=-f(x).結論:所以函數f(x)為奇函數.5.在R上定義運算􀱋:x􀱋y=x(1-y).若不等式(x-a)􀱋(x+a)<1對任意實數x成立, 則().A.-1<a<

18、;1B.0<a<2C.-<a<D.-<a<【解析】(x-a)􀱋(x+a)<1,(x-a)(1-x-a)<1,即x2-x-a2+a+1>0,由=1-4(-a2+a+1)<0得-<a<.【答案】C6.在“三段論”推理中有以下三句話:正方形的對角線互相平分,平行四邊形的對角線互相平分,正方形是平行四邊形.則該“三段論”的結論是().A.B.C.D.其他【解析】.【答案】A7.在推理“因為y=sin x是0,上的增函數,所以sin >sin ”中,大前提為; 小前提為; 結論為. 【答案】y=sinx是0,上的增函數、0,且>sin>sin8.下列推理的結論是否正確,為什么?對于任意的a,bR時,有,(大前提)又-1,-3R,(小前提),即-2.(結論)【解析】題中“三段論”的推理形式雖然正確,但大前提是錯誤的,因為只有a,b是正實數時,才有,因此所得的結論是錯誤的.9.對于函數f(x)的定義域中任意的x1,x2(x1x2),有如下結論:f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),>0,f()<.當