線性代數(shù)復(fù)習(xí)資料

1、第十章 線性代數(shù)簡(jiǎn)介線性代數(shù)行列式的定義與性質(zhì)矩陣及其運(yùn)算 逆矩陣矩陣的初等變換及矩陣的秩線性方程組定義、性質(zhì)矩陣可逆的充要條件行初等變換矩陣方程的求解矩陣的秩n元線性方程組的求解線性方程組有解判別定理矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算規(guī)律矩陣乘法運(yùn)算規(guī)律同型矩陣的運(yùn)算逆矩陣的求法本章知識(shí)結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖 數(shù)學(xué)家的故事: 阿瑟·凱利簡(jiǎn)介 阿瑟·凱利（Arthur Cayley，18211885）是英國(guó)數(shù)學(xué)家，生于倫敦里士滿 (Richmond)，卒于劍橋。17歲時(shí)考入劍橋大學(xué)的三一學(xué)院，畢業(yè)后留校講授數(shù)學(xué)，幾年內(nèi)發(fā)表論文數(shù)十篇。1846年轉(zhuǎn)攻法律學(xué)，三年后成為律師，工作卓有成效。任職期間，他仍業(yè)余研究數(shù)

2、學(xué)，并結(jié)識(shí)數(shù)學(xué)家西爾維斯特(Sylvester)。1863年應(yīng)邀返回劍橋大學(xué)任數(shù)學(xué)教授。他得到牛津大學(xué)、都伯林大學(xué)和萊頓大學(xué)的名譽(yù)學(xué)位。1859年當(dāng)選為倫敦皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。凱利和西爾維斯特同是不變量理論的奠基人。在布爾1841年的工作的影響下，他首創(chuàng)代數(shù)不變式的符號(hào)表示法，給代數(shù)形式以幾何解釋，然后再用代數(shù)觀點(diǎn)去研究幾何學(xué)。他第一次引入n維空間概念，詳細(xì)討論了四維空間的性質(zhì)，為復(fù)數(shù)理論提供佐證，并為射影幾何開辟了道路。他還首先引入矩陣概念以化簡(jiǎn)記號(hào)，規(guī)定了矩陣的符號(hào)及名稱，討論矩陣性質(zhì)，被公認(rèn)為矩陣論的奠基人。他開始將矩陣作為獨(dú)立的數(shù)學(xué)對(duì)象研究時(shí)，許多與矩陣有關(guān)的性質(zhì)已經(jīng)在行列式的研究中被發(fā)現(xiàn)了

3、，這也使得凱利認(rèn)為矩陣的引進(jìn)是十分自然的。他說：“我決然不是通過四元數(shù)而獲得矩陣概念的；它或是直接從行列式的概念而來，或是作為一個(gè)表達(dá)線性方程組的方便方法而來的?！彼麖?858年開始，發(fā)表了矩陣論的研究報(bào)告等一系列關(guān)于矩陣的專門論文，研究了矩陣的運(yùn)算律、矩陣的逆以及轉(zhuǎn)置和特征多項(xiàng)式方程。凱利還提出了凱利-哈密爾頓定理，并驗(yàn)證了3×3矩陣的情況，又說進(jìn)一步的證明是不必要的。哈密爾頓證明了4×4矩陣的情況，而一般情況下的證明是德國(guó)數(shù)學(xué)家弗羅貝尼烏斯（F.G.Frohenius）于1898年給出的。本章小結(jié) 本章主要掌握行列式、矩陣的概念及運(yùn)算，逆矩陣、矩陣方程、線性方程組的求解

4、。一、行列式的定義與性質(zhì) 1. 一階行列式：；二階行列式：；三階行列式：；其中為余子式，為代數(shù)余子式。2. 性質(zhì)：(1)任何行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等,即 D=DT。(2)互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。(3)如果行列式有兩行（列）相同，則行列式為0。(4)行列式某一行(列)的各元素乘以同一個(gè)數(shù),等于這個(gè)數(shù)乘以該行列式。(5)若行列式有兩行(列)的元素對(duì)應(yīng)成比例，則行列式為0。(6)如果某一行(列)元素都是兩個(gè)數(shù)之和，則此行列式就等于兩個(gè)行列式的和。(7)行列式的任一行(列)的所有元素乘以同一個(gè)數(shù)，再加到另一行(列)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式的值不變。(8)行列式等于它的任一行(列)的各元素與

5、其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和。(9)行列式中的任一行(列)的各元素與另一行(列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于0。3. 計(jì)算方法：(1)二階、三階行列式可以根據(jù)定義直接計(jì)算；(2)選擇0元素較多的行（列），按該行（列）展開計(jì)算；(3)利用行列式的性質(zhì)，把某行（列）化為只有一個(gè)非零元素，按該行（列）展開計(jì)算；(4)利用行列式的性質(zhì)，化為三角形行列式再進(jìn)行計(jì)算。二、矩陣及其運(yùn)算1. 同型矩陣的線性運(yùn)算規(guī)律：；，。2. 矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律：；。注意：(1) ，只有當(dāng)?shù)牧袛?shù)等于的行數(shù)時(shí)，該乘積才有意義；(2)矩陣乘法不滿足交換律；(3)矩陣乘法不滿足消去律。3. 矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算規(guī)律：；。三、逆矩陣1.

6、定義：若，則、互為逆矩陣，記，。2. 性質(zhì)：(1)若可逆，則可逆，且。(2) 若可逆，則可逆，且。(3)若矩陣與都可逆，則可逆，且。(4) 若可逆，則可逆，且。3. 矩陣可逆的充分必要條件：。當(dāng)時(shí)，。4. 解矩陣方程：(1) ；(2)； (3)； (4) 。四、矩陣的初等變換及矩陣的秩1. 階梯形矩陣：(1)如果有零行的話，零行位于矩陣下方；(2)各個(gè)非零行的第一個(gè)非零元素的列標(biāo)隨著行標(biāo)的遞增而嚴(yán)格增大。注：一個(gè)矩陣的階梯形矩陣不是唯一的，但階梯形矩陣中所含非零行的行數(shù)是唯一的。2. 行最簡(jiǎn)形矩陣：每一非零行的第一個(gè)非零元素都是1，并且這些1所在列其余元素都是0。3. 矩陣的秩：矩陣的階梯形矩

7、陣中，其非零行行數(shù)稱為矩陣的秩，記為秩或。4. 求矩陣秩的方法：用行初等變換把任意矩陣化為階梯形，然后判斷非零行的行數(shù)。5. 逆矩陣的求法：。五、線性方程組1. 方程組有解時(shí)稱方程組相容；方程組無解時(shí)稱方程組不相容。2. 元線性方程組的求解：(1)根據(jù)方程組寫出增廣矩陣；(2)用行初等變換將增廣矩陣化為階梯形矩陣；(3)判斷方程組是否相容（有解），在方程組相容時(shí)，把階梯形矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣；(4)根據(jù)行最簡(jiǎn)形矩陣直接寫出原方程組的解。3. 元線性方程組解的判斷：(1)時(shí)，方程組有解：=未知量個(gè)數(shù)時(shí)，方程組有唯一解；（為未知量個(gè)數(shù)）時(shí)，方程組有無窮多個(gè)解，其中自由未知量個(gè)數(shù)等于。(2) 時(shí)，方

8、程組無解。綜合練習(xí) 一、判斷題：1. 行列式。( ) 2. 零矩陣一定是方陣。( )3. 若，則或。( )4. 若乘積、存在，則。( )5. 。( )6. 若為階方陣，且，則的行最簡(jiǎn)形矩陣為單位矩陣。( )7. 若，則。( )二、填空題：1. 如果1，則= 。2. 的充分必要條件是 。3. 已知，則 。4. 已知，則 ；BA= 。5. 矩陣A與B能進(jìn)行乘積運(yùn)算AB的充要條件是 。6. 非齊次線性方程組有解的充分必要條件是 。7. 已知，則 ； 。三、選擇題：1. 設(shè)為矩陣，為矩陣，則下列運(yùn)算中 ( )可以進(jìn)行。 A. B. C. D. 2. 設(shè)為矩陣，為矩陣，若矩陣有意義，則矩陣 為( )型。 A. B. C. D. 3. 設(shè)均為同階可逆矩陣，則下列等式成立的是( )。 A. B. C. D. 4. 若是對(duì)稱矩陣，則( )。 A. B. C. D. 5. 矩陣 的秩為( )。 A. B. C. D. 6. 設(shè)為四階矩陣，若，則 ( )。 A. 可逆 B. 的階梯形矩陣有一個(gè)零行 C. 一定有一個(gè)零行 D. 至少有一個(gè)零行7. 若為可逆矩陣，且，則( )。 A. B. C. D. 四、計(jì)算題： 1. 計(jì)算行列式(1)，(2)，(3)，(4)