第二章詳解(1)

1、練習 2.11.根據(jù)函數(shù)的圖形，求下列極限或解釋它們?yōu)槭裁床淮嬖?解：（1）1，（2）2，（3）不存在，（4）不存在.2.設(shè)函數(shù)(1) 列表計算在點和的函數(shù)值，并估計極限.(2) 畫出函數(shù)的圖形，并根據(jù)函數(shù)圖形檢驗(1)所得的極限.(3) 根據(jù)函數(shù)解析式求極限.解：（3）.3.如果有極限，則函數(shù)在處一定要有定義嗎? 請歸納在點處可能出現(xiàn)的所有情況，并用圖形表示.解：不一定.4.如果，則極限一定存在嗎? 如果極限存在，是否必須？請歸納極限可能出現(xiàn)的所有情況，并用圖形表示.解：不一定，不一定.5.設(shè)，畫出函數(shù)的圖形；求時，的左右極限，并判定極限是否存在.解：圖略. 因為 ，所以不存在.6. 用下列

2、函數(shù)的圖形求，使當時，不等式成立.（1） （2）解：（1）（2）7. 設(shè)函數(shù)， （1）求一個，使當時，；（2）求一個，使當時，；（3）設(shè)是一個任意給定的正數(shù)，求一個，使當時，.解：（1）（2） （3）.8.用語言證明 （1）； （2）； （3）； （4）；9.求下列函數(shù)在指定點的極限，如果不存在，請說明理由.（1），在處；（2），在，處；（3），在處；（4），在處.解：（1）不存在，（2），不存在，（3）不存在，（4）.解：，所以在處極限不存在.，所以在處極限為4.，所以在處極限不存在.，所以在處極限為3.（3）所以在處極限不存在.（4）因為所以10.用圖形表示函數(shù)，使?jié)M足條件：(1)，(2)

3、 ， .11.下列函數(shù)在什么情況下是無窮大量，什么情況下是無窮小量？（1）；         （2）；（3）；          （4）.解：（1），； （2），；（3），；（4），.解：當時是無窮大量，當時是無窮小量.當時是正無窮大量，當時是負無窮大量，當時是無窮小量.當時是正無窮大量，當時是無窮小量.當時是正無窮大量，當時是無窮小量.12.下列變量哪些是無窮小量？哪些是無窮大量？（1）； &#

4、160;    （2）；（3）；（4）.解：（1）（3）無窮大，（2）（4）無窮小.13.下列說法是否正確？（1）無窮大量是極限為無窮大的變量；（2）無窮大量是無界變量，無界變量也是無窮大量；（3）無極限的數(shù)列一定無界.解：不正確。無窮大量是絕對值無限增大的變量.不正確.例如：2，0，4，0，6，0，不正確.例如數(shù)列：1，-1，1，-1，是有界的，但它沒有極限.14.用圖形表示一個函數(shù)，使?jié)M足條件：(1)，(2) ，.15.用圖形表示一個函數(shù)，使?jié)M足條件：(1)，(2) .16. 設(shè)函數(shù)， （1）求一個，使當時，；（2）求一個，使當時，；（3）設(shè)是一個任

5、意給定的正數(shù)，求一個，使當時，.解：（1）（2） （3）.17.用語言證明（1）； （2）.18.寫出下列數(shù)列的前5項（1）； （2）（3）； （4）.解：由 (n=1,2,3,)得數(shù)列的前五項為，.由 (n=1,2,3,)得數(shù)列的前五項為，.由 (n=1,2,3,)得數(shù)列的前五項為，.由(n=1,2,3,)得數(shù)列的前五項為，.19.畫出下列數(shù)列的點圖，并指出哪些數(shù)列收斂，哪些數(shù)列發(fā)散.（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）.解：作圖略.（1）收斂于0 （2）發(fā)散（3）收斂于0 （4）收斂于1（5）收斂于0 （6）發(fā)散.20.設(shè)；（1）求，的值；（2）求正整數(shù)，使當時，不等式成立

6、；（3）求正整數(shù)，使當時，不等式成立.解：（1）,（2） (3)21.用語言證明（1）； （2）.練習2.2 1. 下列說法是否正確，如不正確，請說明理由.（1）若極限存在，則函數(shù)是有界函數(shù).（2）若極限存在且大于0，則函數(shù)是非負函數(shù).解：（1）不正確（2）不正確2.根據(jù)下列函數(shù)和的圖形，求下列極限或解釋它們?yōu)槭裁床淮嬖?（1）（2）解：（1）6 （2）不存在3.設(shè)極限，請指出下列解題過程（a）,(b),(c)所依據(jù)的極限運算法則.（a） (b) (c)4.設(shè)極限，求極限（1） （2）解：（1）6 （2）185.設(shè)極限，求極限（1） （2）解：（1）3 （2） 16.下列解題過程是否正確，如不

7、正確，請說明理由，并給出正確的解題過程。（1）；（2）；（3）；解：（1）不正確，不能直接用商的極限運算法則，而應(yīng)利用無窮大與無窮小互為倒數(shù)的關(guān)系求之.（2）不正確，當含有的無理式，應(yīng)先有理化，然后再求極限.（3）不正確，不能直接用商的極限運算法則.7. 求下列極限：（1）；     （2）；（3）；       （4）；（5）；         （6）；（7）；（8）；（9）；（10）

8、.解：=3+2+3=8.（6）（7）.=. 因為=0所以=.=18. 求下列數(shù)列的極限：（1）； （2）；（3）；（4）.解：（1）（2） （3） （4）（1）.（2）.（3）.（4）.9. 用語言證明 若極限，則=.練習2.31.利用夾逼定理證明. 2.求下列極限（1）； （2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解：原式=.原式=.原式=.原式=.原式=.原式=.3. 求下列極限（1）； （2）；（3）； （4）；解：原式=.原式=.原式=.原式=.練習2.41.求下列極限（1）；      （2）；（3）；（4）.解（1）（2）（

9、3）（4）2. 當時，下列各對無窮小量是否等價？（1）與；         （2）與；（3）與（4）與.解：因為， 所以是同階無窮小.因為，所以.因為，所以.因為，所以.3. 當時，下列函數(shù)中哪些是比的高階無窮小量？哪些是比的同階無窮小量？哪些是比的低階無窮小量？（1）；（2）；（3）；（4）.解：，故是的同階無窮小量.，故.，故是的同階無窮小量.，故是比更低的無窮小量.4. 證明當時，.證：，證畢.5. 利用等價無窮小量代換，求下列極限（1）（2）；（3）；（4）.解：.練習2.51. 如果函數(shù)在點處連

10、續(xù)，問極限是否存在？反之，如果存在，在點處是否一定連續(xù)？為什么？答：根據(jù)函數(shù)在一點連續(xù)的定義，函數(shù)在處連續(xù)，則一定存在.反之若存在，不能說在處一定連續(xù)，因為不一定等于.2. 用定義證明下列函數(shù)是連續(xù)函數(shù).（1） （2）.證明：設(shè)是內(nèi)任意一點，則又，所以函數(shù)在處連續(xù).又因為是內(nèi)任意一點，因此函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，故是內(nèi)的連續(xù)函數(shù).設(shè)是內(nèi)任意一點，給自變量在處有改變量，則相應(yīng)函數(shù)的增量為，而所以函數(shù)在點處連續(xù).又由于是定義域內(nèi)的任意一點，所以在內(nèi)是連續(xù)函數(shù).3. 函數(shù)在閉區(qū)間上是否連續(xù)？畫出的圖形.解：當時，函數(shù)連續(xù).當時，函數(shù)連續(xù).在處，所以函數(shù)在閉區(qū)間0，2上連續(xù).4. 取何值，函數(shù)，在點處連續(xù).解：

11、設(shè)函數(shù)在點處連續(xù)，則.5. 求下列函數(shù)的間斷點，并指出其類型：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）.解所以x=-2是的第二類無窮間斷點. 因為處函數(shù)無定義，但所以是函數(shù)的可去間斷點，而當 (為不為0的整數(shù))時，為的第二類無窮間斷點.，時函數(shù)無定義，所以是函數(shù)的可去間斷點.因為時函數(shù)無定義，但，所以是函數(shù)的可去間斷點.（為整數(shù)時）是第二類無窮間斷點，（為整數(shù)時）是第一類可去間斷點.當時函數(shù)無定義，但，所以是函數(shù)的可去間斷點.6. 求下列極限：（1）；（2）.（3）；（4）.（5）；（6）；（7）；（8）; 解：（1）（2）（3）（4）=，而=故=.=，故=.7. 證明方程在與之間

12、至少存在一個實根.證：設(shè)，由于在上連續(xù)，又，故至少存在一點，使，即方程在與之間至少存在一個實根.8. 設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，證明在區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使.證：設(shè)，由于在上連續(xù)，所以在上連續(xù)，又 ， ，故至少存在一點，使，即存在一點，使.練習2.61.設(shè)某企業(yè)從利潤中提出20000元存入銀行，準備若干年后建造一棟職工宿舍樓，假設(shè)造價要400000元，銀行年利率為8%。問需要存多少年才能達到建房所需的款項？解：設(shè)需要存n年才能達到建房所需的款項，則答：需要約存39年才能達到建房所需的款項.2.假設(shè)某公司從盈余中提出45120元存入銀行，希望六年能得到80000元上對某設(shè)備更新.試問需向銀行要求多高

13、的利率？解：設(shè)需向銀行要求年利率為r,則答：需要向銀行要求10%的利率.3.設(shè)某企業(yè)決定用200000元進行投資，希望今后八年內(nèi)每年末能得到相等金額的款項發(fā)放獎金，若投資報酬率為10%，求每年末可得到多少金額的款項？解：這是一個普通年金現(xiàn)值問題答：每年末可得到37481.26元的款項.習題二1.單項選擇函數(shù)在點處有定義是極限存在的（）.必要條件充分條件充要條件無關(guān)條件解：因為研究當時的極限，只是探討當無限趨進時，的變化趨勢，而不涉及時的狀況，在處可以有定義，也可以無定義，故選.若，均存在，則必有（）.存在   不存在    

14、   可能存在也可能不存在     以上都不對解：若，均存在，但有可能=也有可能，所以應(yīng)選.數(shù)列的極限存在是該數(shù)列有界的（ ）.必要條件 充分條件 充要條件 無關(guān)條件解：數(shù)列的極限存在是該數(shù)列有界的充分條件，因為數(shù)列-1，1，-1，有界，但是它不存在極限.數(shù)列1，0，1，0，1.的極限為（）.0    1         發(fā)散     &

15、#160;   不能確定解：根據(jù)數(shù)列極限定義，由于不存在常數(shù)A ，故該數(shù)列沒有極限或稱數(shù)列發(fā)散，因而應(yīng)選.極限=（）.0           1                不存在解： ，不存在     故應(yīng)選.極限=（）.0 

16、        1           不存在解：=0應(yīng)選.極限=（）.1       1       0   解：=應(yīng)選.極限=（）.4          &

17、#160;   1    2解：=0+2=2應(yīng)選.若，則 k=( ).0                            解：，故應(yīng)選.極限=（）.         

18、0;     解：=，故應(yīng)選.極限=（）.                  解：=故應(yīng)選.極限=（）.                   不存在解：=故應(yīng)選.若，則=（）.1&

19、#160;  -1            2      -2解：所以，故應(yīng)選.下列極限中，正確的是（）.     解：故應(yīng)選.設(shè)（ ）.0 1 不存在解：由題設(shè)，知所以應(yīng)選.若，則( ).可能存在可能不存在解：若則都不成立故應(yīng)選.下列變量在給定的變化過程中為無窮小量的是（）.解：根據(jù)無窮小量的定義，故應(yīng)選.高階無窮小 低階無窮小同階無窮小 等階無窮小解：由題意，得 且故應(yīng)選.下列變量在給定變化過程中為無窮大量的是（）.解：根據(jù)題設(shè)，有故應(yīng)選.解：由可知故應(yīng)選.解：由題設(shè)，得故應(yīng)選.函數(shù)在點處有定義是在該點連續(xù)的（）.必要條件 充分條件充要條件 無關(guān)條件解：根據(jù)函數(shù)在點處連續(xù)的定義，知在點處有定義是在該點連續(xù)的必要條件.故選.函數(shù)的間斷點有（）.1個2個3個0個解：根據(jù)題意，得函數(shù)的定義域為所以函數(shù)的間斷點為0個故應(yīng)選.2.求下列極限.=.=.= =.=1.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.3.設(shè)，求.解：因為，所以，即所以.4.已知，求常數(shù).解：即 .5.證明當時，. 證明.6.解：.7.求下列函數(shù)的連續(xù)區(qū)間