離散傅里葉變換48590

1、第3章 離散傅里葉變換在第二章討論了利用序列的傅里葉變換和z變換來表示序列和線性時不變系統(tǒng)的方法，公式分別為：和。對于有限長序列，也可以用序列的傅里葉變換和z變換來分析和表示，但還有一種方法更能反映序列的有限長這個特點，即離散傅葉里變換。這就是我們這一章要討論的問題。離散傅里葉變換除了作為有限長序列的一種傅里葉表示法在理論上相當重要之外，而且由于存在著計算離散傅里葉變換的有效快速算法，因而離散傅里葉變換在各種數(shù)字信號處理的算法中起著核心的作用。這一章討論的問題有：1、 傅里葉變換的幾種可能形式：至今學(xué)過很多種傅里葉變換形式，到底之間有什么不同，需要分析一下；2、 周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DF

2、S)：通常的周期信號都可以表示成傅里葉級數(shù)，然后根據(jù)傅里葉級數(shù)可以得到傅里葉變換；也就是說傅里葉級數(shù)與傅里葉變換之間有一定的關(guān)系；3、 有限長序列的離散傅里葉變換(DFT)：這是我們的重點，我們會對其性質(zhì)等作分析討論；4、 DFT的應(yīng)用：學(xué)習(xí)了這種傅里葉變換，怎么用？計劃作一個實驗。3.1 傅里葉變換的幾種形式傅里葉變換就是建立以時間為自變量的"信號"與以頻率為自變量的"頻率函數(shù)"之間的某種變換關(guān)系。都是指在分析如何綜合一個信號時，各種不同頻率的信號在合成信號時所占的比重。如連續(xù)時間周期信號，可以用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)來表示，可以分解成不同次諧波的疊加，

3、每個諧波都有一個幅值，表示該諧波分量所占的比重。傅里葉表示形式為：（Fn離散、衰減、非周期）。例如周期性矩形脈沖，其頻譜為。畫出圖形。對于非周期信號，如門函數(shù)，存在這樣的關(guān)系式：，時域非周期連續(xù)，頻率連續(xù)非周期。畫出圖形。例如序列的傅里葉變換，變換關(guān)系為：，時域為非周期離散序列，頻域為周期為2的連續(xù)周期函數(shù)。以上三種傅里葉變換都是符合傅里葉變換所謂的是建立以時間為自變量的"信號"與以頻率為自變量的"頻率函數(shù)"之間的某種變換關(guān)系。不同形式是因為時間域的變量和頻域的變量是連續(xù)的還是離散而出現(xiàn)的。這三種傅里葉變換因為總有一個域里是連續(xù)函數(shù)，而不適合利用計算機來

4、計算。那么如果時間域里是離散的，而頻域也是離散的，就會適合在計算機上應(yīng)用了，那么傅里葉變換會是什么形式？見書上90頁圖形，可見時域和頻域都對應(yīng)為序列的形式。3.2 周期序列的離散傅里葉級數(shù)（DFS）回顧一下，對于周期信號，通常都可以用傅里葉級數(shù)來描述，如連續(xù)時間周期信號，用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)來表示為，可以看成信號被分解成不同次諧波的疊加，每個諧波都有一個幅值，表示該諧波分量所占的比重。其中為基波，基頻為=2/T（T為周期）。設(shè)是周期為N的一個周期序列，即=，r為任意整數(shù)，用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)表示應(yīng)該為=，其中0=2/N是基頻，基頻序列為。下面來分析一下第（K+rN）次諧波和第（k）次諧波之

5、間的關(guān)系。因為0=2/N，代入表達式中，得到=，r為任意整數(shù)。這說明第（K+rN）次諧波能夠被第（k）次諧波代表，也就是說，在所有的諧波成分中，只有N個是獨立的，用N個諧波就可完全的表示出。K的取值從0到N-1。這樣=，是為了計算的方便而加入的。下面來看看如何根據(jù)來求解。先來證明復(fù)指數(shù)的正交性： ，注意該表達式是對n求和，而表達式的結(jié)果取決于（k-r）的值。在=兩邊都乘以，并且從n=0到n=N-1求和，得到 交換求和順序，再根據(jù)前面證明的正交性結(jié)論可以得出：，換一個變量，有=，從的表達式可以看出也是周期為N的周期序列，即=。為周期序列的傅里葉級數(shù)對=在上面的傅里葉級數(shù)對中，n和k的范圍是從-到

6、。為了表示的方便，引入變量，N表示周期。重新寫上面的級數(shù)對。討論如下內(nèi)容：1），以N為周期。，；2）求和只對序列的一個周期的值進行，但求出的或卻是無限長的；3）由以N為周期推導(dǎo)出以N為周期；4）對于周期序列=，因為z變換不收斂，所以不能用z變換，但若取的一個周期，則z變換是收斂的。，當取時，而，當時，=，這相當于在=0到=2的范圍內(nèi)，以2/N的頻率間隔在N個等間隔的頻率上對傅里葉變換進行采樣。5）引入主值序列的概念，即序列在0N-1區(qū)間的序列稱為主值序列。舉例：例1 求的DFS系數(shù)。設(shè)為周期沖激串=，對于0nN-1，=，可以求出=1，即對于所有的k值，均相同。表示成級數(shù)形式為=。例2 設(shè)的周期

7、為N=10，在主值區(qū)間內(nèi)，0n4時，=1，在5n9時，=0。畫出的圖形，則=，畫出的幅值圖。(0)=5，(±1)=3.23，(±2)=0，(±3)=1.24，(±4)=0，(±5)=1，(±6)=0，(±7)=1.24，(±8)=0，(±9)=3.23，這是一個周期內(nèi)的值。設(shè)n取514，即不是取主值周期，隨便取一個周期，計算傅里葉級數(shù)，得到的結(jié)果和在主值周期中的結(jié)果一樣。下面計算有限長序列=的傅里葉變換。=，如果將=2k/10代入上式，則結(jié)果和一樣。的幅度一個周期圖如下所示： 可以看出相當于在=0到=2的

8、范圍內(nèi)，以2/10的頻率間隔在10個等間隔的頻率上對傅里葉變換進行采樣。例3 例題中得到這樣一個結(jié)論，對于以N為周期的周期序列，任取一個周期求得的傅里葉系數(shù)與在主值區(qū)間（n=0N-1）中求得的傅里葉系數(shù)相同?，F(xiàn)在已知的周期為N，=，=，m1=rN+n1，m2=rN+n1+N-1，0n1N-1，證明=。證明：=（令n-m=rN或m=n-rN）= =（后一個分量作變量m-N=n）= =例4（留作作業(yè)）的周期為N，其DFS系數(shù)為。也是周期為N的周期序列，試利用求的DFS系數(shù)。解：= =，所以=。3.3 離散傅里葉級數(shù)（DFS）的性質(zhì)離散傅里葉級數(shù)的某些性質(zhì)對于它在信號處理問題中的成功使用至關(guān)重要，因

9、為DFS與z變換和序列的傅里葉變換關(guān)系密切，所以很多性質(zhì)和z變換的性質(zhì)相似，而DFS是和周期性序列聯(lián)系在一起，所以存在一些重要差別。另外，在DFS表達式中時域和頻域之間存存在著完全的對偶性，而在序列的傅里葉變換和z變換的表示式中這一點不存在?？紤]兩個周期序列、，其周期均為N，若，1、 線性a+ba+b，周期也為N。由定義式證明。2、 序列的移位 ，那么。證明：=3、 調(diào)制特性因為周期序列的傅里葉級數(shù)的系數(shù)序列也是一個周期序列，所以有類似的結(jié)果，為整數(shù)，有。證明：。4、 對稱性給出幾個定義：1） 共扼對稱序列滿足的序列2） 共扼反對稱序列滿足=的序列3） 偶對稱序列、奇對稱序列若和為實序列，且滿

10、足=和=。4） 任何一個序列都可表示成一個共扼對稱序列和一個共扼反對稱序列之和（對實序列，就是偶對稱序列和奇對稱序列之和）。即有=+，其中=（+）/2，=（-）/2 下面為對稱性： ；=（+）/2 證明：=（任意一個周期的DFS系數(shù)和主值區(qū)間中的DFS系數(shù)是一樣的）=； =； +=5、 周期卷積如果=·，則=；這是一個卷積和公式，但與線性卷積有所不同，首先在有限區(qū)間0mN-1上求和，即在一個周期內(nèi)進行求和；對于在區(qū)間0mN-1以外的m值，的值在該區(qū)間上周期的重復(fù)。看書上95頁的圖解周期卷積。證明：見書94頁。3.4 非周期序列和周期序列的一般關(guān)系非周期序列（非周期序列不一定是有限長序

11、列）具有傅里葉變換的形式，周期序列的DFS系數(shù)對應(yīng)于在頻率上等間隔的采樣。考慮非周期序列x(n)的傅里葉變換為，并且假定序列是通過對在頻率處采樣得到的（即是構(gòu)造出來的一個序列），即=|=因為傅里葉變換是w的周期函數(shù)，周期為2，所以得出的序列是k的周期函數(shù)，周期為N。這樣，可以看出樣本序列是周期序列，周期為N，它可以是一個序列的離散傅里葉級數(shù)的系數(shù)序列。為得到，可以將代入公式中：=，已經(jīng)假定存在的傅里葉變換，所以=，借助=|=，有=，根據(jù)，=。由此可以看出與對應(yīng)的周期序列是把無數(shù)多個平移后的加在一起而形成的，是對采樣而得到的。N為序列的周期，而不是非周期序列的長度M。這樣就可能出現(xiàn)這種情況，當序

12、列的周期N大于非周期序列的長度M時，延時后的序列沒有重疊在一起，并且周期序列的一個周期就是，這時符合一個周期序列的傅里葉級數(shù)系數(shù)就是一個周期上的傅里葉變換的抽樣值。如果N<M時，平移后的序列相互重疊，的一個周期不再與的周期相同，但式子=|=依然成立。這和我們討論過的時域采樣定理有點類似，當NM時，原來的序列可以從中抽取一個周期來恢復(fù)，同樣，傅里葉變換也可以從頻率上以2/N等間隔的采樣來恢復(fù)。當N<M時，序列就不能從中抽取一個周期來恢復(fù)，也不能由它的采樣來恢復(fù)。這主要是采樣的點數(shù)不夠。但只要是有限長的，就可以選擇采樣點數(shù)，避免混疊。也就是說，只要是有限長，就沒有必要知道在所有頻率處的

13、值。若給出一個有限長序列，就能根據(jù)=形成一個周期序列，從而可以用傅里葉級數(shù)來表示。另外，如果給出傅里葉系數(shù)，就可以求出，取出其主值序列得到。當利用傅里葉級數(shù)以這種方式來表示有限長序列時，就稱它為離散傅里葉變換（DFT），所以在討論或應(yīng)用DFT時應(yīng)明白，通過傅里葉變換的采樣值來表示，實際上是用一個周期序列來表示有限長序列，該周期序列的一個周期就是我們要表示的有限長序列。3.5 有限長序列的傅里葉表示：離散傅里葉變換（DFT） 上面討論了=，即有限長序列可看作是周期序列的一個周期。周期序列和有限長序列的關(guān)系可表示成：=，；同樣離散傅里葉級數(shù)系數(shù)也是一個周期為N的周期序列，我們將與有限長序列相聯(lián)系的

14、傅里葉系數(shù)選取為與的一個周期相對應(yīng)的有限長序列，則有以下關(guān)系：=，=。和相聯(lián)系的關(guān)系式為：=，=，因為兩個式子中的求和都只涉及到0(N-1)這個區(qū)間，所以根據(jù)前面有限長序列和周期序列的關(guān)系可以得到：=和=，即=，=。這意味著：對于區(qū)間0kN-1之外的k，=0。而且，對于區(qū)間0nN-1之外的n，=0。注意：對于有限長序列時域和頻域的關(guān)系式中蘊含有周期性，從關(guān)系式=，=可以看出其實有限長序列都是作為周期序列的一個周期來表示，隱含有周期性意義。當利用=式子來計算時，如去掉后綴，那么對于0nN-1之外的n，并不等于零，而是的周期延拓。只是我們感興趣的的值只是在0nN-1區(qū)間內(nèi)，因為在該區(qū)間之外的確為零

15、，并且認為所感興趣的值也只是在區(qū)間0kN-1內(nèi)，因為在式子=中只需要這些值。隱含周期性：假設(shè)長為N的序列是由對x(t)取樣得來的，則頻域上已經(jīng)意味著以為周期作周期延拓?，F(xiàn)對頻域作等間隔取樣，則時間序列按周期N延拓為，因此利用DFT對的時間序列展開，相當于對此序列作周期性處理。由以上的討論可見，DFT的時域和頻域都是有限長的、離散的，故可利用計算機完成兩者間的變換，這是DFT的最大優(yōu)點之一。例：為了說明有限長序列的DFT，考慮有限長序列=1，0n4，=0，n為其它值時，畫圖。在確定DFT時，我們可以將看作是一個長度5的任意有限長序列（如長度為6或10等等）。設(shè)想為長度為N=5的序列，周期序列在所

16、有n上取值都為1，畫圖。根據(jù)公式，可以得到：=等，即只有在k=0和k=N的整數(shù)倍處才有非零的DFS系數(shù)。畫出圖形。在上面的圖中畫出對應(yīng)的采樣值。的5點DFT對應(yīng)于抽取的一個周期而得到的有限長序列。畫出圖形。只有在k=0時，有一個值為5，其它點上為0。如果考慮將換成長度N=10的序列，則基本的周期序列情況為：的一個周期中，0n4時，=1，5n9時，=0，然后開始下一個周期。這時得到的上圖中02中進行等間隔采樣的10個點。3.6 離散傅里葉變換的性質(zhì)由于DFT是從DFS中得來的，所以很相像，都是根據(jù)有限長序列DFT的隱含周期性得出。1） 線性注意特殊情況下如何定線性組合后序列的長度。以長度大的為周

17、期。2） 序列的圓周/循環(huán)移位定義：（1） 與線性移位、周期移位作比較（2） 理解：l 將拓成，將右移m位得=，取主值；l 一端出另一端進，因為是有限長；l 均勻分布在一個圓上，順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)3） 圓周/循環(huán)移位定理若DFTx(n)=X(k), ，則DFTy(n)=X(k)形式與DFS的周期移位相同，表明序列圓周移位后的DFT為乘上相移因子，即時域中圓周移m位，僅使頻域信號產(chǎn)生的相移，而幅度頻譜不發(fā)生改變，即|=|4） 對稱性見書上100頁，和DFS中討論的相似，都是按照DFS來解，然后取主值區(qū)間值即可。對著書把這些性質(zhì)理一遍。然后看書上例題3-1。書上習(xí)題6：解：（1）要使所有的為實數(shù)，

18、即要求=，對應(yīng)時域則有。從圖可見，為實序列，所以要求=。所以選擇圖（b）； （2）要使所有的為虛數(shù)，即要求=，對應(yīng)時域有=-。從圖可見，為實序列，所以要求=-。所以沒有選擇； （3）(a)和（c）滿足。待入到的公式中計算。(a)圖，=，當k=±2，±4，時，=0；(c)圖對應(yīng)(a)圖序列減去（a）圖序列平移4位后的序列，所以。結(jié)果=0。時域里移4位（左移），頻域乘以，N=8，看作是右移也可以，答案一樣。5） 圓周卷積和/循環(huán)卷積定理 和的長度都為N，如果Y(k)=，則根據(jù)定理可以求出圓周卷積，當然求圓周卷積，可以借助DFT來計算，即IDFTY(k)=y(n)。可見圓周卷積與

19、周期卷積的關(guān)系，在主值區(qū)的結(jié)果相同，所以求圓周卷積是可以把序列延拓成周期序列，進行周期卷積，然后取主值的方法來求。也可以根據(jù)圓周移位的理解來做，見下面例題：例1：令為長度是N的有限長序列，且=，則可以看作為一個長度為N的有限長序列，定義為=，如果=，則=，即是在0nN-1內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)n0個取樣間隔得到的序列。將放在一個內(nèi)圓周上，將放在外圓周上，零點重合，然后進行順時針旋轉(zhuǎn)，看結(jié)果。與上面分析一樣的結(jié)果。例2：=，若N=L，則N點DFT為 ，如果將X1(k)和X2(k)直接相乘，得 =，由此可得=N，0nN-1。也可以畫圖旋轉(zhuǎn)來解答。 以上兩個例題都是根據(jù)DFT來計算圓周卷積，用定義式無疑較難，

20、用圖形旋轉(zhuǎn)功能也有限。 考慮上面的例2，我們可以把和看作是2L點序列，只要增補L個零即可?，F(xiàn)在來計算增長序列的2L點圓周卷積。計算出結(jié)果。然后計算一下和的線性卷積，看結(jié)果與前面2L點圓周卷積結(jié)果關(guān)系。假設(shè)L=4，則2L=8，則線性卷積和根據(jù)定義式有y(n)=，0m3,0n-m3,得出0n6。當0n3時,0mn，y(n)=n+1；當4n6時，n-3m3，y(n)=7-n。計算8點圓周卷積，結(jié)果和線性卷積一樣。后面我們會證明一般情況下的結(jié)論。3.7 有限長序列的線性卷積和圓周卷積已知N，M，作線性卷積y(n)=x1(n)*x2(n)= ，其中0mN-1，0n-mM-1，得出0nM+N-2，即y(n

21、)長度最大為M+N-1。對、分別補零，使之長度為L，然后進行L點周期卷積（圓周卷積等于周期卷積的主值區(qū)間）。這樣有：=，=，則進行周期為L的周期卷積得=（將其中的N改為L） =（將其中x1(n)換成x1(m)） =（求和之在一個周期，所以x1(m+qL)中只能取q=0） =上式說明了有限長序列、的線性卷積的周期延拓構(gòu)成了周期序列、的周期卷積，其中和分別是由有限長序列、形成的。這要L滿足一定條件，線性卷積就等于周期卷積的主值周期，而這也正好是圓周卷積的結(jié)果。也就是說，只要LN+M-1，線性卷積就等于圓周卷積。寫出線性卷積和圓周卷積的定義式。因為在實際情況中，除里的多半是信號通過一個線性時不變系統(tǒng)

22、，求輸出的信號形式。即實際情況中常常要求線性卷積，而知道圓周卷積可以在某種條件下代替線性卷積，并且圓周卷積有快速算法，所以常利用圓周卷積來計算線性卷積。頻域抽樣理論在前面我們討論過周期序列的離散傅里葉級數(shù)的系數(shù)的值和的一個周期的z變換在單位圓（即序列的傅里葉變換）的N個均勻點上的抽樣值相等。這其實就是頻域的抽樣。因此我們得到一個結(jié)論：可以用N個點的X(k)來代表序列的傅里葉變換。但是要注意：不是所有的序列都可以這樣。我們已經(jīng)證明過=，即周期序列可以看作是非周期序列的以某個N為周期進行延拓而成。只有在N大于非周期序列x(n)的長度時，延拓后才不會發(fā)生重疊。所以我們要求x(n)為有限長序列，且長度

23、小于等于N，這樣我們就可以用來代表X(ejw)。其實的一個周期就可以代表X(ejw)或X(z)。所以我們只看一個周期，即X(k)。分析如何用X(k)來表示X(ejw)或X(z)。有限長序列x(n)（0nN-1）的z變換為 ，而，代入得= =這就是用N個頻率抽樣值來恢復(fù)X(z)的插值公式。上式中把z換成ejw就變成用N個頻率抽樣值來恢復(fù)X(ejw)的插值公式。利用DFT計算模擬信號的傅里葉分析 DFT的主要應(yīng)用之一就是分析連續(xù)時間信號的頻率成分，如在語音的分析和處理中語音信號的頻率分析有助于音腔諧振的辨識與建模。那么要求我們知道在DFT中代表的頻率成分有哪些。 例如，任意畫一個X(k)的圖形，橫

24、坐標為k，縱坐標為X(k)的值，那么k代表的頻率是多少？兩個離散點間隔代表什么意思？如果是88頁所示的圖形，則很容易知道信號是由哪些頻率的基本信號（正弦信號）合成的。而在X(k)中不容易看出。下面要解決的問題就是分析X(k)上對應(yīng)的模擬頻率。u 有一模擬信號(可以是非周期信號，也可以是周期信號)，我們要用DFT來分析它的頻率成分。先對該信號作等間隔采樣（如果是非周期信號，則進行截斷，取有限長；周期信號，則取一個周期進行采樣），采樣周期為T，畫圖，fs=1/T。得到x(nT)。時域離散對應(yīng)頻域的周期延拓，周期為，其實這時的頻域曲線就是序列的傅里葉變換X(ejw)。是模擬域角頻率，對應(yīng)的數(shù)字域角頻

25、率為w=T=2。畫出圖形。提到奈氏抽樣定理。頻率是連續(xù)的、周期的，為得到X(k)，只需對頻率進行等間隔采樣即可。取出一個周期，對一個周期進行N點采樣。讓w=(2/N)k就可以得到X(k)。這樣兩個離散點間間隔用頻率表示為：w0=錯誤！鏈接無效。，這是數(shù)字基頻。對應(yīng)的模擬基頻為=2。=fs/N，相當于模擬頻率為。即頻域中兩個點的頻率間隔為。x(n)d(n)與xN(n)不一定同，體現(xiàn)在長度上利用DFT對連續(xù)時間傅里葉變換逼近的全過程 頻域離散對應(yīng)時域的周期延拓，周期為。如何得來？x(n)d(n)是一個有限長序列，令為x(n)，則周期延拓后得到的序列（周期為N）有關(guān)系：=，將與時間有關(guān)的量換為nT或NT，則周期為NT=N/fs=T0。u 利用DFT計算連續(xù)時間信號時可能出現(xiàn)的幾個問題（結(jié)合上面的圖來解釋）ü 頻率響應(yīng)的混疊失真抽樣定理要求，一般取