示范教案331　二元一次不等式組與平面區(qū)域

1、3.3二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題二元一次不等式(組)與平面區(qū)域從容說課本節(jié)課先由師生共同分析日常生活中的實際問題來引出二元一次不等式（組）的一些基本概念，由一元一次不等式組的解集可以表示為數(shù)軸上的區(qū)間，引出問題：在直角坐標(biāo)系內(nèi)，二元一次不等式（組）的解集表示什么圖形？再從一個具體的一元二次不等式入手，分析得出一般的一元二次不等式表示的區(qū)域及確定的方法，以此激發(fā)學(xué)生對科學(xué)的探究精神和嚴肅認真的科學(xué)態(tài)度.通過具體例題的分析和求解，在這些例題中設(shè)置思考項，讓學(xué)生探究，層層鋪設(shè)，以便讓學(xué)生深刻理解一元二次不等式表示的區(qū)域的概念，有利于二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的教學(xué).講述完一元二次不

2、等式表示的區(qū)域和二元一次不等式（組）與平面區(qū)域后，再回歸到先前的具體實例，總結(jié)一元二次不等式表示的區(qū)域的概念和二元一次不等式（組）與平面區(qū)域，得出二元一次不等式（組）與平面區(qū)域兩者之間的聯(lián)系，再輔以新的例題鞏固.整個教學(xué)過程，探究二元一次不等式（組）的概念，一元二次不等式表示的區(qū)域和二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的聯(lián)系.得出一元二次不等式表示的區(qū)域和二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的步驟和過程，并及時加以鞏固，同時讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)美，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.教學(xué)重點會求二元一次不等式（組）表示平面的區(qū)域.教學(xué)難點如何把實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給出解答.課時安排2課時三維目標(biāo)一、知識與

3、技能1.使學(xué)生了解并會用二元一次不等式表示平面區(qū)域以及用二元一次不等式組表示平面區(qū)域；2.能畫出二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域.二、過程與方法1.培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；2.提高學(xué)生“建?！焙徒鉀Q實際問題的能力；3.本節(jié)新課講授分為五步（思考、嘗試、猜想、證明、歸納）來進行，目的是為了分散難點，層層遞進，突出重點，只要學(xué)生對舊知識掌握較好，完全有可能由學(xué)生主動去探求新知，得出結(jié)論.三、情感態(tài)度與價值觀1.通過本節(jié)教學(xué)著重培養(yǎng)學(xué)生掌握“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，盡管側(cè)重于用“數(shù)”研究“形”，但同時也用“形”去研究“數(shù)”，培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、猜測、歸

4、納等數(shù)學(xué)能力；2.結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識，激勵學(xué)生勇于創(chuàng)新.教學(xué)過程第1課時導(dǎo)入新課師在現(xiàn)實和數(shù)學(xué)中，我們會遇到各種不同的不等關(guān)系，需要用不同的數(shù)學(xué)模型來刻畫和研究它們.前面我們學(xué)習(xí)了一元二次不等式及其解法，這里我們將學(xué)習(xí)另一種不等關(guān)系的模型.先看一個實際例子.一家銀行的信貸部計劃年初投入25 000 000元用于企業(yè)和個人貸款，希望這筆貸款資金至少可帶來30 000元的效益，其中從企業(yè)貸款中獲益12%，從個人貸款中獲益10%，那么，信貸部應(yīng)該如何分配資金呢？師這個問題中存在一些不等關(guān)系，我們應(yīng)該用什么不等式模型來刻畫它們呢？生設(shè)用于企業(yè)貸款的資金為x元，用于個

5、人貸款的資金為y元，由資金總數(shù)為25 000 000元，得到x+y25 000 000.師由于預(yù)計企業(yè)貸款創(chuàng)收12%，個人貸款創(chuàng)收10%.共創(chuàng)收30 000元以上，所以(12%)x+(10%)y30 000，即12x+10y3 000 000.師最后考慮到用于企業(yè)貸款和個人貸款的資金數(shù)額都不能是負數(shù)，于是生x0,y0.師將合在一起，得到分配資金應(yīng)該滿足的條件：師我們把含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式（組）稱為二元一次不等式（組）.滿足二元一次不等式（組）的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對(x,y)，所有這樣的有序數(shù)對(x,y)構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式（組）的解集.有序數(shù)對可以看成直角坐標(biāo)

6、平面內(nèi)點的坐標(biāo).于是，二元一次不等式（組）的解集就可以看成直角坐標(biāo)系內(nèi)的點構(gòu)成的集合.師我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，以二元一次方程x+y-1=0的解為坐標(biāo)的點的集合(x,y)|x+y-1=0是經(jīng)過點（0，1）和（1，0）的一條直線l，那么，以二元一次不等式（即含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)都是1的不等式）x+y-10的解為坐標(biāo)的點的集合A=(x,y)|x+y-10是什么圖形呢？推進新課合作探究師二元一次方程xy10有無數(shù)組解，每一組解是一對實數(shù)，它們在坐標(biāo)平面上表示一個點，這些點的集合組成點集(x，y)|xy10，它在坐標(biāo)平面上表示一條直線.以二元一次不等式xy10的解為坐標(biāo)的點，也拼成

7、一個點集.如x3，y2時，xy10，點(3，2)的坐標(biāo)滿足不等式xy10.(3，2)是二元一次不等式xy10的解集中的一個元素.我們把二元一次不等式xy10的解為坐標(biāo)的點拼成的點集記為(x，y)|xy10.請同學(xué)們猜想一下，這個點集在坐標(biāo)平面上表示什么呢？生xy10表示直線l：xy10右上方的所有點拼成的平面區(qū)域.師事實上，在平面直角坐標(biāo)系中，所有的點被直線xy10分為三類：在直線xy10上；在直線xy10右上方的平面區(qū)域內(nèi)；在直線xy10左下方的平面區(qū)域內(nèi).如(2，2)點的坐標(biāo)代入xy1中，xy10，(2，2)點在直線xy10的右上方.(1，2)點的坐標(biāo)代入xy1中，xy10，(1，2)點在

8、直線xy10上.(1，1)點的坐標(biāo)代入xy1中，xy10，(1，-1)點在直線xy10的左下方.因此，我們猜想，對直線xy10右上方的點(x，y)，xy10成立；對直線xy10左下方的點(x，y)，xy10成立.師下面對這一猜想進行一下推證.在直線l：xy10上任取一點P(x 0，y 0)，過點P作平行于x軸的直線yy0，這時這條平行線上在P點右側(cè)的任意一點都有xx 0，yy0兩式相加.xyx 0y 0，則xy1x0y01,P點在直線xy10上，x0y 010.所以xy10.因為點P(x0，y0)是直線xy10上的任意一點，所以對于直線xy10的右上方的任意點(x，y),xy10都成立.同理，

9、對于直線xy10左下方的任意點(x，y)，xy10都成立.所以點集(x，y)|xy10是直線xy10右上方的平面區(qū)域，點集(x，y)|xy10是直線xy10左下方的平面區(qū)域.師一般來講，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線AxByC0的某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域.由于對在直線AxByC0同一側(cè)的所有點(x，y)，實數(shù)AxByC的符號相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一個特殊點(x 0，y0)，由Ax0By0C的正、負就可判斷AxByC0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.當(dāng)C0時，我們常把原點作為這個特殊點去進行判斷.如把(0，0)代入xy1中，xy10.說明：xy10表示直線xy10左下

10、方原點所在的區(qū)域，就是說不等式所表示的區(qū)域與原點在直線xy10的同一側(cè).如果C0，直線過原點，原點坐標(biāo)代入無法進行判斷，則可另選一個易計算的點去進行判斷.師提醒同學(xué)們注意，不等式AxByC0所表示的區(qū)域，應(yīng)當(dāng)理解為(x，y)|AxByC0(x，y)|AxByC0.這個區(qū)域包括邊界直線，應(yīng)把邊界直線畫為實線.師另外同學(xué)們還應(yīng)當(dāng)明確有關(guān)區(qū)域的一些稱呼.（1）A為直線l右上方的平面區(qū)域(2)B為直線l左下方的平面區(qū)域(3)C為直線l左上方的平面區(qū)域(4)D為直線l右下方的平面區(qū)域教師精講師二元一次不等式ax+by+c0和ax+by+c0表示的平面區(qū)域.（1）結(jié)論：二元一次不等式ax+by+c0在平面

11、直角坐標(biāo)系中表示直線ax+by+c=0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域.把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線，若畫不等式ax+by+c0表示的平面區(qū)域時，此區(qū)域包括邊界直線，則把邊界直線畫成實線.（2）判斷方法：由于對在直線ax+by+c=0同一側(cè)的所有點(x,y)，把它的坐標(biāo)(x,y)代入ax+by+c，所得的實數(shù)的符號都相同，故只需在這條直線的某一側(cè)取一個特殊點(x0,y0)，以ax0+by0+c的正負情況便可判斷ax+by+c0表示這一直線哪一側(cè)的平面區(qū)域，特殊地，當(dāng)c0時，常把原點作為此特殊點.知識拓展【例1】畫出不等式2xy60表示的平面區(qū)域.解:先畫直線2xy60(虛線)，把原點(0，

12、0)代入2xy6，得060.因2xy60，說明原點不在要求的區(qū)域內(nèi)，不等式2xy60表示的平面區(qū)域與原點在直線2xy60的異側(cè)，即直線2xy60的右上部分的平面區(qū)域.生學(xué)生課堂練習(xí).(1)xy10.(2)2x3y60.(3)2x5y100.(4)4x3y12.【例2】畫出不等式組表示的平面區(qū)域.x3y60表示直線上及其右上方的點的集合.xy20表示直線左上方一側(cè)不包括邊界的點的集合.在確定這兩個點集的交集時，要特別注意其邊界線是實線還是虛線，還有兩直線的交點處是實點還是空點.【例3】畫出不等式組表示的平面區(qū)域.師不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面點集的交集，因而是各個不等式所表示的

13、平面區(qū)域的公共部分.生解：不等式x-y+50表示直線x-y+5=0右上方的平面區(qū)域，x+y0表示直線x+y=0右上方的平面區(qū)域，x3左上方的平面區(qū)域，所以原不等式表示的平面區(qū)域如右圖中的陰影部分.課堂練習(xí)作出下列二元一次不等式或不等式組表示的平面區(qū)域.（1）x-y+10;（2）2x+3y-60;（3）2x+5y-100;（4）4x-3y-120;（5）如下圖：合作探究師由上述討論及例題，可歸納出如何由二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域的嗎？生歸納如下：1.在平面直角坐標(biāo)系中，平面內(nèi)的所有點被直線l:x+y-1=0分成三類：（1）直線l上：(x,y)|x+y-1=0；（2）直線l的上方：(x,y)

14、|x+y-10；（3）直線l的下方：(x,y)|x+y-10.對于平面內(nèi)的任意一點P(x,y)的坐標(biāo),代入x+y-1中，得到一個實數(shù)，此實數(shù)或等于0，或大于0，或小于0.觀察到所有大于0的點都在直線l的右上方，所有小于0的點都在直線l的左下方，所有等于0的點在直線l上.2.一般地，二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0的某一側(cè)的所有的點組成的平面區(qū)域.直線畫成虛線表示不包括邊界.二元一次不等式Ax+By+C0表示的平面區(qū)域是直線Ax+By+C=0的某一側(cè)的所有的點組成的平面區(qū)域.直線應(yīng)畫成實線.此時常常用“直線定界，特殊點定位”的方法.（當(dāng)直線不過原點時，常

15、常取原點；過原點時取坐標(biāo)軸上的點）方法引導(dǎo)上述過程分為五步（思考、嘗試、猜想、證明、歸納）來進行，目的是分散難點，層層遞進，突出重點，只要學(xué)生對舊知識掌握較好，完全可以由學(xué)生主動去探求新知，得出結(jié)論.課堂小結(jié)1.在平面直角坐標(biāo)系中，平面內(nèi)的所有點被直線l分成三類：（1）直線l上；（2）直線l的上方；（3）直線l的下方.2.二元一次不等式ax+by+c0和ax+by+c0表示的平面區(qū)域.布置作業(yè)1.不等式x-2y+60表示的區(qū)域在x-2y+6=0的（）A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方2.不等式3x+2y-60表示的平面區(qū)域是（）3.不等式組表示的平面區(qū)域是（）4.直線x+2y-1=0右上

16、方的平面區(qū)域可用不等式_表示.5.不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點坐標(biāo)是_.6.畫出(x+2y-1)(x-y+3)0表示的區(qū)域.答案：1.B2.D3.B4.x+2y-105.（1，1）6.第2課時導(dǎo)入新課師前一節(jié)課我們共同學(xué)習(xí)了二元一次不等式（組）的一些基本概念，并且從一個具體的一元二次不等式入手，分析得出一般的一元二次不等式表示的區(qū)域及確定的方法，總結(jié)一元二次不等式表示的區(qū)域的概念和二元一次不等式（組）與平面區(qū)域，得出二元一次不等式（組）與平面區(qū)域兩者之間的聯(lián)系，下面請同學(xué)回憶上述內(nèi)容.生一般來講，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線AxByC0的某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域.由

17、于對在直線AxByC0同一側(cè)的所有點(x，y)，實數(shù)AxByC的符號相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一個特殊點(x0，y 0)，由Ax 0By0C的正、負就可判斷AxByC0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.當(dāng)C0時，我們常把原點作為這個特殊點去進行判斷.如果C0，直線過原點，原點坐標(biāo)代入無法進行判斷，則可另選一個易計算的點去進行判斷.推進新課例題剖析師【例1】畫出不等式x+4y4表示的平面區(qū)域.師解：先畫直線x+4y-40(虛線)，把原點(0，0)代入x+4y-4040，因為x+4y-40，說明原點在要求的區(qū)域內(nèi)，不等式x+4y-40表示的平面區(qū)域與原點在直線x+4y-4=0的一側(cè)，即直線x+4y-

18、4=0的左下部分的平面區(qū)域.師在確定這兩個點集的交集時，要特別注意其邊界線是實線還是虛線，還有兩直線的交點處是實點還是空點.師【例2】用平面區(qū)域表示不等式組的解集.師分析：由于所求平面區(qū)域的點的坐標(biāo)要同時滿足兩個不等式，因此二元一次不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式表示的平面區(qū)域的交集，即各個不等式表示的平面區(qū)域的公共部分.生解：不等式y(tǒng)-3x+12表示直線y=-3x+12下方的區(qū)域；不等式x2y表示直線上方的區(qū)域.取兩個區(qū)域重疊的部分，下圖中的陰影部分就表示原不等式組的解集.師【例3】某人準(zhǔn)備投資1 200萬元興辦一所完全中學(xué).對教育市場進行調(diào)查后,他得到了下面的數(shù)據(jù)表格：(以班級為單位)學(xué)段班級學(xué)生數(shù)配備教師數(shù)硬件建設(shè)/萬元教師年薪/萬元初中45226/班2/人高中40354/班2/人分別用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述限制條件.師若設(shè)開設(shè)初中班x個,高中班y個,根據(jù)題意,總共招生班數(shù)應(yīng)限制在2030之間,所以應(yīng)該有什么樣的限制?生20x+y30.師考慮到所投資金的限制,又應(yīng)該得到什么?生26x+54y+2×2x+2×3y