空間幾何體的表面積與體積

1、§8.1 空間幾何體的表面積與體積基礎(chǔ)自測(cè)1.如圖所示，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1上一點(diǎn)，且PB1=A1B1，則多面體P-BCC1B1的體積為 2.已知正方體外接球的體積為,那么正方體的棱長(zhǎng)等于 3.若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為，則其外接球的表面積是 .4.三棱錐S-ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，則三棱錐S-ABC的表面積是 .例1 如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，BB1=c，并且a>b>c>0.求沿著長(zhǎng)方體的表面自A到C1

2、 的最短線路的長(zhǎng).例2 如圖所示,半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸,旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體,求該幾何體的表面積(其中BAC=30°)及其體積.例3 如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD中，用截面截下一個(gè)棱錐C，求棱錐C的體積與剩余部分的體積之比.例4 如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，DAB=60°，E為AB的中點(diǎn)，將ADE與BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的三棱錐的外接球的體積.1.如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面為直角三角形，ACB=90°，AC=6，BC=CC1=.P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，則CP+PA1的最小

3、值是 .2.如圖所示，扇形的圓心角為90°，其所在圓的半徑為R，弦AB將扇形分成兩個(gè)部分，這兩部分各以AO為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積V1和V2之比為 3.如圖，三棱錐A-BCD一條側(cè)棱AD=8 cm，底面一邊BC=18 cm，其余四條棱的棱長(zhǎng)都是17 cm，求三棱錐A-BCD的體積.4.如圖所示，已知正四棱錐SABCD中，底面邊長(zhǎng)為a, 側(cè)棱長(zhǎng)為a.（1）求它的外接球的體積；（2）求它的內(nèi)切球的表面積.1.如圖所示，E、F分別是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD邊BC、CD的中點(diǎn)，沿線AF，AE，EF折起來，則所圍成的三棱錐的體積為 2.長(zhǎng)方體的過一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)的比是123，對(duì)角線長(zhǎng)為

4、2，則這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是 3.已知三棱錐SABC的各頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，AC=r，則球的體積與三棱錐體積之比是 4.已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是 5.一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是 7.已知正四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)為，且對(duì)角線與底面所成角的余弦值為，則該正四棱柱的體積等于 .8.已知一個(gè)凸多面體共有9個(gè)面，所有棱長(zhǎng)均為1，其平面展開圖如圖所示，則該凸多面體的體積V= .9.一個(gè)正三棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是3 cm和6 cm,高是cm,（1）

5、求三棱臺(tái)的斜高；（2）求三棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積.10.如圖所示，正ABC的邊長(zhǎng)為4，D、E、F分別為各邊中點(diǎn)，M、N、P分別為BE、DE、EF的中點(diǎn)，將ABC沿DE、EF、DF折成了三棱錐以后.（1）MNP等于多少度？（2）擦去線段EM、EN、EP后剩下的幾何體是什么？其側(cè)面積為多少？.11.如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=2，E是棱CC1上的點(diǎn)，且CE=CC1.（1）求三棱錐CBED的體積；（2）求證：A1C平面BDE.12.三棱錐SABC中，一條棱長(zhǎng)為a,其余棱長(zhǎng)均為1，求a為何值時(shí)VSABC最大，并求最大值.參考答案§8.1 空間幾何體的表

6、面積與體積基礎(chǔ)自測(cè)1.如圖所示，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1上一點(diǎn)，且PB1=A1B1，則多面體P-BCC1B1的體積為 答案 2.已知正方體外接球的體積為,那么正方體的棱長(zhǎng)等于 答案 3.（2008·福建，15）若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為，則其外接球的表面積是 .答案 94.三棱錐SABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，則三棱錐SABC的表面積是 .答案 3+例1 如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，BB1=c，并且abc0.求沿著長(zhǎng)方體的表面自A到C

7、1 的最短線路的長(zhǎng).解 將長(zhǎng)方體相鄰兩個(gè)面展開有下列三種可能，如圖所示.三個(gè)圖形甲、乙、丙中AC1的長(zhǎng)分別為：=，=，=，abc0,abacbc0. 故最短線路的長(zhǎng)為.例2 如圖所示,半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸,旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體,求該幾何體的表面積(其中BAC=30°)及其體積.解 如圖所示,過C作CO1AB于O1,在半圓中可得BCA=90°,BAC=30°,AB=2R,AC=R,BC=R,CO1=R,S球=4R2,=×R×R=R2,=×R×R=R2,S幾何體表=S球+=R2+R2=R2,旋轉(zhuǎn)所得到

8、的幾何體的表面積為R2.又V球=R3,=·AO1·CO12=R2·AO1=BO1·CO12=BO1·R2V幾何體=V球-（+）=R3-R3=R3.例3 如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD中，用截面截下一個(gè)棱錐C，求棱錐C的體積與剩余部分的體積之比.解 已知長(zhǎng)方體可以看成直四棱柱.設(shè)它的底面面積為S，高為h，則它的體積為V=Sh.而棱錐C的底面面積為S，高是h,因此，棱錐C的體積VCADD=×Sh=Sh.余下的體積是Sh-Sh=Sh.所以棱錐C的體積與剩余部分的體積之比為15.例4 （12分）如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，DA

9、B=60°，E為AB的中點(diǎn)，將ADE與BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的三棱錐的外接球的體積.解 由已知條件知，平面圖形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.折疊后得到一個(gè)正四面體.2分方法一 作AF平面DEC，垂足為F，F(xiàn)即為DEC的中心.取EC的中點(diǎn)G，連接DG、AG，過球心O作OH平面AEC.則垂足H為AEC的中心.4分外接球半徑可利用OHAGFA求得.AG=，AF=，6分在AFG和AHO中，根據(jù)三角形相似可知，AH=.OA=.10分外接球體積為×OA3=··=.12分方法二 如圖所示，把正四面體放在正方體中.顯然，正

10、四面體的外接球就是正方體的外接球.3分正四面體的棱長(zhǎng)為1，正方體的棱長(zhǎng)為，外接球直徑2R=·，6分R=，9分體積為·=.該三棱錐外接球的體積為.12分1.如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面為直角三角形，ACB=90°，AC=6，BC=CC1=.P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，則CP+PA1的最小值是 .答案 52.如圖所示，扇形的圓心角為90°，其所在圓的半徑為R，弦AB將扇形分成兩個(gè)部分，這兩部分各以AO為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積V1和V2之比為 答案 113.如圖所示，三棱錐ABCD一條側(cè)棱AD=8 cm，底面一邊BC=18 cm，其余四條棱的

11、棱長(zhǎng)都是17 cm，求三棱錐ABCD的體積.解 取BC中點(diǎn)M，連接AM、DM，取AD的中點(diǎn)N，連接MNAC=AB=CD=BD，BCAM，BCDM，又AMDM=M，BC平面ADM，BC=18，AC=AB=DB=DC=17.AM=DM=4，NMAD，MN=8.SADM=·MN·AD=·8·8=32.VABCD=VBADM+VCADM=×SADM×（BM+CM）=×32×18=192（cm3）.4.如圖所示，已知正四棱錐SABCD中，底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為a.（1）求它的外接球的體積；（2）求它的內(nèi)切球的表面積.解 （1

12、）設(shè)外接球的半徑為R，球心為O，則OA=OC=OS，所以O(shè)為SAC的外心，即SAC的外接圓半徑就是球的半徑.AB=BC=a，AC=a.SA=SC=AC=a，SAC為正三角形.由正弦定理得2R=，因此，R=a，V球=R3=a3.（2）設(shè)內(nèi)切球半徑為r，作SE底面ABCD于E，作SFBC于F，連接EF，則有SF=.SSBC=BC·SF=a×a=a2.S棱錐全=4SSBC+S底=（+1）a2.又SE=，V棱錐=S底h=a2×a=.r=,S球=4r2=a2. 一、選擇題1.如圖所示，E、F分別是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD邊BC、CD的中點(diǎn)，沿線AF，AE，EF折起來，則所圍

13、成的三棱錐的體積為 答案2.長(zhǎng)方體的過一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)的比是123，對(duì)角線長(zhǎng)為2，則這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是 答案483.已知三棱錐SABC的各頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，AC=r，則球的體積與三棱錐體積之比是 答案 44.如圖所示，三棱錐PABC的高PO=8，AC=BC=3，ACB=30°，M、N分別在BC和PO上，且CM=x，PN=2CM，下面的四個(gè)圖象中能表示三棱錐NAMC的體積V與x （x（0，3）的關(guān)系的是（ ）答案A5.已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是 答案 246.一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的

14、球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是 答案 二、填空題7.已知正四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)為，且對(duì)角線與底面所成角的余弦值為，則該正四棱柱的體積等于 .答案 28.已知一個(gè)凸多面體共有9個(gè)面，所有棱長(zhǎng)均為1，其平面展開圖如圖所示，則該凸多面體的體積V= .答案 1+三、解答題9.一個(gè)正三棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是3 cm和6 cm,高是cm,（1）求三棱臺(tái)的斜高；（2）求三棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積.解 （1）設(shè)O1、O分別為正三棱臺(tái)ABCA1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如圖所示，則O1O=，過O1作O1D1B1C1，ODBC，則D1D為三棱臺(tái)的斜高；顯然，A1，O1，

15、D1三點(diǎn)共線，A，O，D三點(diǎn)共線.過D1作D1EAD于E，則D1E=O1O=，因O1D1=×3=,OD=×6=, 則DE=OD-O1D1=-=.在RtD1DE中, D1D=.(2)設(shè)c、c分別為上、下底的周長(zhǎng)，h為斜高，S側(cè)=（c+c）h= (3×3+3×6)×=(cm2),S表=S側(cè)+S上+S下=+×32+×62= (cm2).故三棱臺(tái)斜高為 cm,側(cè)面積為 cm2，表面積為 cm2.10.如圖所示，正ABC的邊長(zhǎng)為4，D、E、F分別為各邊中點(diǎn)，M、N、P分別為BE、DE、EF的中點(diǎn)，將ABC沿DE、EF、DF折成了三棱錐

16、以后.（1）MNP等于多少度？（2）擦去線段EM、EN、EP后剩下的幾何體是什么？其側(cè)面積為多少？解 （1）由題意，折成了三棱錐以后，如圖所示，MNP為正三角形，故MNP=ADF=60°.（2）擦去線段EM、EN、EP后，所得幾何體為棱臺(tái)，其側(cè)面積為S側(cè)=SEADF側(cè)-SEMNP側(cè)=3××22-3××12=.11.如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=2，E是棱CC1上的點(diǎn)，且CE=CC1.（1）求三棱錐CBED的體積；（2）求證：A1C平面BDE.（1）解 CE=CC1=，VCBDE=VEBCD=SBCD

17、83;CE=××1×1×=.(2)證明 連接AC、B1C. AB=BC，BDAC.A1A底面ABCD,BDA1A.A1AAC=A，BD平面A1AC.BDA1C.tanBB1C=,tanCBE=, BB1C=CBE.BB1C+BCB1=90°, CBE+BCB1=90°,BEB1C.BEA1B1，A1B1B1C=B1， BE平面A1B1C， BEA1C.BDBE=B，BE平面BDE，BD平面BDE， A1C平面BDE.12.三棱錐SABC中，一條棱長(zhǎng)為a,其余棱長(zhǎng)均為1，求a為何值時(shí)VSABC最大，并求最大值.解 方法一 如圖所示，設(shè)SC=a，其余棱長(zhǎng)均為1，取AB的中點(diǎn)H，