空間向量與立體幾何19626

1、高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點(diǎn)睛空間向量與立體幾何（一）一、考點(diǎn)（限考）概要：    1、空間向量及其運(yùn)算      （1）空間向量的基本知識(shí)：           定義：空間向量的定義和平面向量一樣，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向線段表示空間向量，且方向相同、長度相等的有向線段表示相同向量或相等的向量。         

2、;  空間向量基本定理：            定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)于空間任一向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使。且把叫做空間的一個(gè)基底，都叫基向量。            正交基底：如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量是兩兩相互垂直，那么這個(gè)基底叫正交基底。        &#

3、160;    單位正交基底：當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí)，稱為單位正交基底，通常用表示。            空間四點(diǎn)共面：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間中任意一點(diǎn)P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使。         共線向量（平行向量）：          

4、; 定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作。          規(guī)定：零向量與任意向量共線；           共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量平行的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使。             

5、0;   共面向量：           定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量；空間的任意兩個(gè)向量都是共面向量。           向量與平面平行：如果直線OA平行于平面或在內(nèi)，則說向量平行于平面，記作。平行于同一平面的向量，也是共面向量。         

6、60;                  共面向量定理：如果兩個(gè)向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是：存在實(shí)數(shù)對(duì)x、y，使。           空間的三個(gè)向量共面的條件：當(dāng)、都是非零向量時(shí)，共面向量定理實(shí)際上也是、所在的三條直線共面的充要條件，但用于判定時(shí)，還需要證明其中一條直線上有一點(diǎn)在另兩條直線所確定的平面內(nèi)。 &

7、#160;         共面向量定理的推論：空間一點(diǎn)P在平面MAB內(nèi)的充要條件是：存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y，使得，或?qū)τ诳臻g任意一定點(diǎn)O，有。        空間兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量、，在空間任取一點(diǎn)O，作，（兩個(gè)向量的起點(diǎn)一定要相同），則叫做向量與的夾角，記作，且。               &

8、#160;      兩個(gè)向量的數(shù)量積：         定義：已知空間兩個(gè)非零向量、，則叫做向量、的數(shù)量積，記作，即：。         規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0。         注意：兩個(gè)向量的數(shù)量積也叫向量、的點(diǎn)積（或內(nèi)積），它的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)，它等于兩向量的模與其夾角的余弦值。 

9、        數(shù)量積的幾何意義：叫做向量在方向上的投影（其中為向量和的夾角）。           即：數(shù)量積等于向量的模與向量在方向上的投影的乘積。         基本性質(zhì)：               

10、      運(yùn)算律：               （2）空間向量的線性運(yùn)算：       定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下：       加法：       減法：   

11、0;   數(shù)乘向量：       運(yùn)算律：        加法交換律：        加法結(jié)合律：        數(shù)乘分配律：二、復(fù)習(xí)點(diǎn)睛：    1、立體幾何初步是側(cè)重于定性研究，而空間向量則側(cè)重于定量研究?？臻g向量的引入，為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問題提供了一個(gè)十分

12、有效的工具。    2、根據(jù)空間向量的基本定理，出現(xiàn)了用基向量解決立體幾何問題的向量法，建立空間直角坐標(biāo)系，形成了用空間坐標(biāo)研究空間圖形的坐標(biāo)法，它們的解答通常遵循“三步”：一化向量問題，二進(jìn)行向量運(yùn)算，三回到圖形問題。其實(shí)質(zhì)是數(shù)形結(jié)合思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用。    3、實(shí)數(shù)的運(yùn)算與向量的運(yùn)算既有聯(lián)系又有區(qū)別，向量的數(shù)量積滿足交換律和分配律，但不滿足結(jié)合律，因此在進(jìn)行數(shù)量積相關(guān)運(yùn)算的過程中不可以隨意組合。值得一提的是：完全平方公式和平方差公式仍然適用，數(shù)量積的運(yùn)算在許多方面和多項(xiàng)式的運(yùn)算如出一轍，尤其去括號(hào)就顯得更為突出，下面兩個(gè)公

13、式較為常用，請(qǐng)務(wù)必記住并學(xué)會(huì)應(yīng)用：。高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點(diǎn)睛空間向量與立體幾何（二）一、考點(diǎn)（限考）概要：   2、空間向量的坐標(biāo)表示：     （1）空間直角坐標(biāo)系：         空間直角坐標(biāo)系O-xyz，在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，點(diǎn)O叫做原點(diǎn)，向量叫做坐標(biāo)向量，通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面，yOz平面，zOx平面。 &

14、#160;      右手直角坐標(biāo)系：右手握住z軸，當(dāng)右手的四指從正向x軸以90°角度轉(zhuǎn)向正向y軸時(shí)，大拇指的指向就是z軸的正向；                                  &

15、#160;    構(gòu)成元素：點(diǎn)（原點(diǎn)）、線（x、y、z軸）、面（xOy平面，yOz平面，zOx平面）；          空間直角坐標(biāo)系的畫法：作空間直角坐標(biāo)系O-xyz時(shí)，一般使xOy=135°(或45°), yOz=90°，z軸垂直于y軸，z軸、y軸的單位長度相同，x軸上的單位長度為y軸（或z軸）的一半；        （2）空間向量的坐標(biāo)表示：

16、0;        已知空間直角坐標(biāo)系和向量，且設(shè)為坐標(biāo)向量（如圖），                          由空間向量基本定理知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組叫做向量在此直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作。     

17、0;   在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，對(duì)于空間任一點(diǎn)A，對(duì)應(yīng)一個(gè)向量，若，則有序數(shù)組(x，y，z)叫做點(diǎn)在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記為A(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)， y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)，寫點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，三個(gè)坐標(biāo)間的順序不能變。         空間任一點(diǎn)的坐標(biāo)的確定：過P分別作三個(gè)與坐標(biāo)平面平行的平面（或垂面），分別交坐標(biāo)軸于A、B、C三點(diǎn)，x=OA，y=OB，z=OC，當(dāng)與的方向相同時(shí)，x0，當(dāng)與的方向相反時(shí)，x0，同理可確y、z（如圖）。 

18、0;                               規(guī)定：一切空間向量的起點(diǎn)都是坐標(biāo)系原點(diǎn)，于是，空間任意一個(gè)向量與它的終點(diǎn)坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)。        一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起

19、點(diǎn)的坐標(biāo)。           設(shè)，           則：   （3）空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：              空間兩點(diǎn)間距離：；       空間線段的中點(diǎn)M（x，

20、y，z）的坐標(biāo)：；       球面方程： 二、復(fù)習(xí)點(diǎn)睛：    4、過定點(diǎn)O，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以O(shè)為原點(diǎn)且一般具有相同的長度單位。這三條軸分別叫做z軸（橫軸）、y軸（縱軸）、z軸（豎軸）；統(tǒng)稱坐標(biāo)軸。通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸則是鉛垂線；它們的正方向要符合右手規(guī)則，即以這樣的三條坐標(biāo)軸就組成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)。   5、空間直角坐標(biāo)系中的特殊點(diǎn):      （1）點(diǎn)（原點(diǎn)）的坐標(biāo)：

21、(0,0,0)；      （2）線（坐標(biāo)軸）上的點(diǎn)的坐標(biāo)：x軸上的坐標(biāo)為(x,0,0)，y軸上的坐標(biāo)為(0,y,0)，z軸上的坐標(biāo)為(0,0,z)；      （3）面（xOy平面、yOz平面、zOx平面）內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)：平面上的坐標(biāo)為(x,y,0)、平面上的坐標(biāo)為(0,y,z)、平面上的坐標(biāo)為(x,0,z)    6、要使向量與z軸垂直，只要z=0即可。事實(shí)上，要使向量與哪一個(gè)坐標(biāo)軸垂直，只要向量的相應(yīng)坐標(biāo)為0即可。    7、空間直

22、角坐標(biāo)系中，方程x=0表示yOz平面、方程y=0表示zOx平面、方程z=0表示xOy平面，方程x=a表示平行于平面yOz的平面、方程y=b表示平行于平面zOx的平面、方程z=c表示平行于平面xOy平面；    8、只要將和代入，即可證明空間向量的運(yùn)算法則與平面向量一樣；    9、由空間向量基本定理可知，空間任一向量均可以由空間不共面的三個(gè)向量生成任意不共面的三個(gè)向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底，此定理是空間向量分解的基礎(chǔ)。高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點(diǎn)睛空間向量與立體幾何（三）一、考點(diǎn)（限考）概要：    3、空

23、間向量的應(yīng)用：      （1）直線的方向向量：           定義：直線l 上的非零向量以及與共線的向量叫做直線l 的方向向量。           每條直線都有無數(shù)條的方向向量；           設(shè)直線l  

24、0;         若l 的斜率不存在，則所有的向量都是它的方向向量；             若斜率存在，設(shè)直線方程y=kx+b，任意取兩點(diǎn)，其方向向量； 即所有與向量共線的向量都是直線的方向向量。 空間直線的向量參數(shù)式：如果l 為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線，那么對(duì)任一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l 上的充要條件是：存在實(shí)數(shù)t，滿足等式，其中向量叫做直線l 的方向向量。若在l 上取，則或。當(dāng)時(shí)

25、，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn),則.                                                

26、60;       每條直線有無數(shù)條的法向量：           若其斜率不存在，則所有的向量為其法向量；           若果斜率存在，設(shè)直線方程y=kx+b，由此可知其方向向量為，那么所有與垂直的向量都是其法向量 可設(shè)其法向量，則，即，所有與向量共線的向量都是其法向量。   （2）平面的法向量： &

27、#160;      定義：如果表示非零向量的有向線段所在直線垂直于平面，那么稱向量垂直于平面，記作，此時(shí)，把向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有兩大類（從方向上分），無數(shù)條。          即如果，那么向量叫做平面的法向量。       任何一個(gè)關(guān)于一次x、y、z方程的空間圖形是平面；反之，空間表示任何一個(gè)平面的方程是關(guān)于x、y、z的一次方程。Ax+By+Cz+D=0（A、B、C不同時(shí)為0

28、），稱為空間平面的一般方程。其法向量為：。       若平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，則其平面方程為：，并稱此方程為平面的截距式方程。       已知平面的法向量為，且過點(diǎn)N（x，y，z）和，則其平面方程為：。       平面法向量的求法：         最常用方法是待定系數(shù)法（也稱為內(nèi)積法）：在給定的空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)平面的法向量 也可

29、設(shè)為，或，或，在平面內(nèi)任找兩個(gè)不共線的向量，由定義，建立方程組得：，由此得到關(guān)于x,y的方程組，解此方程組，取其中一個(gè)解得法向量為。         由已知平面方程Ax+By+Cz+D=0（A、B、C不同時(shí)為0），求法向量為：。         由已知平面的截距式方程，化為一般式后，可求得法向量為：。         外積法: 設(shè)為空間中兩個(gè)不平行的非零向量

30、，其外積為：長度等于（為兩向量的夾角，0）且與皆垂直的向量，即。按“右手定則”，右手四指由的方向轉(zhuǎn)為的方向時(shí)，大拇指所指的方向規(guī)定為的方向，。           若設(shè)，則。             （注：二階行列式: ）二、復(fù)習(xí)點(diǎn)睛：    12、平面的法向量有無數(shù)個(gè)，只要找到一個(gè)就可以了，因此只需找出方程組的一組解即可。 &

31、#160;  13、平面的法向量是向量的一個(gè)重要內(nèi)容，是求直線與平面所成角、求點(diǎn)到平面距離的必備工具。由可知，要求得法向量，只需在平面上找出兩個(gè)不共線向量、，最后通過解方程組得到。    14、利用平面的法向量可通過證明直線所在向量與平面的法向量所在的角為0°或180°，求證直線與平面垂直；通過證直線所在向量與平面的法向量垂直（直線不在平面內(nèi)）證明線面平行；通過證兩平面的法向量垂直證明面面垂直。    15、向量的運(yùn)算有兩種形式：一是基向量的線性運(yùn)算，二是向量的坐標(biāo)式運(yùn)算。兩種運(yùn)算同出一轍，但運(yùn)用時(shí)各有特

32、點(diǎn)。向量坐標(biāo)式的運(yùn)算雖然簡單快捷，但有時(shí)難以建立直角坐標(biāo)系、求出各點(diǎn)坐標(biāo)，因此采用何種運(yùn)算方式，應(yīng)該根據(jù)具體的題目的具體條件，選擇最恰當(dāng)?shù)姆椒?，而不能一味地固守某種的方法。    16、對(duì)于一些較特殊的幾何體或平面圖形中有關(guān)夾角，距離，垂直，平行的問題，都可以通過建立坐標(biāo)系將其轉(zhuǎn)化為向量間的夾角，模，垂直，平行的問題，從而利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解，并可以使解法簡單化值得注意的是坐標(biāo)系的選取要合理、適當(dāng)運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算研究立體幾何中的角、距離、證明垂直等問題時(shí)，關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，進(jìn)而將向量坐標(biāo)化，建立坐標(biāo)系時(shí)，要充分利用圖形的幾何性質(zhì)。高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點(diǎn)睛

33、空間向量與立體幾何（四）一、考點(diǎn)（限考）概要：  3、空間向量的應(yīng)用： （3）空間線面關(guān)系：  設(shè)空間兩條直線的方向向量分別為，兩個(gè)平面的法向量分別為，則：                    用向量證明空間線面、面面平行的方法：  線面平行：記直線l 的方向向量為， 平面的法向量為，則要證，只要，即 （又分基向量法和坐標(biāo)向量法兩種）。 

34、;面面平行：求出平面、的法向量 ，證明。 （4）空間的角的計(jì)算：     兩個(gè)向量的夾角：  設(shè)，則；               異面直線所成的角：      異面直線所成的角的取值范圍：；      異面直線a、b所成的角，可轉(zhuǎn)化成向量的夾角，若時(shí)， =；若時(shí)， = -；  

35、    求異面直線所成的角的坐標(biāo)公式：。   直線與平面所成的角：直線與平面所成的角的取值范圍： ；常用的方法有平移法和補(bǔ)形法等；用平面的法向量求線面角：如圖，設(shè)平面 的法向量為 ，直線AB與 所成的角為 ，向量 與 所成的角為 ，則 與 分別有下列關(guān)系：       由此可知：直線與平面所成的角等于直線所在向量與平面的法向量夾角的余角或直線所在向量與平面法向量夾角的補(bǔ)角的余角，但不管那一種，總有。二面角：  二面角的取值范圍： ；  求二面角常用的方法有

36、定義法、三垂線定理等；用平面的法向量求二面角：如圖，二面角兩個(gè)半平面的法向量分別為 、 ， 、 的夾角為 ，二面角的平面角為 ，則 與 的關(guān)系分別如下：       由此可知：二面角的平面角等于法向量的夾角或等于法向量夾角的補(bǔ)角，因此，可以通過求法向量的夾角來求二面角的大小，即 。（5）空間距離的計(jì)算：兩點(diǎn)間的距離： 或 ；點(diǎn)到直線的距離：   求點(diǎn) 到直線 的距離，先過點(diǎn)A作BC ，垂足為H，再設(shè)A(X,Y,Z)， ， ，即 ，代入三點(diǎn)坐標(biāo)求出 ，即可得到 的坐標(biāo)，最后再由此求出 ，即為點(diǎn)到直線的距離。   &#