空間向量基礎(chǔ)知識和應(yīng)用

1、知識網(wǎng)絡(luò) 知識要點(diǎn)梳理知識點(diǎn)一：空間向量1.空間向量的概念在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注： 空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量。 向量一般用有向線段表示，同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。相等向量只考慮其定義要 素：方向，大小。 空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示。2.共線向量（1）定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平 行向量平行于記作當(dāng)我們說向量、共線（或/）時(shí)，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線（2）共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量、（），/的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使 。3.向量的數(shù)量積（1）定義

2、：已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即 。（2）空間向量數(shù)量積的性質(zhì)： ； ； （3）空間向量數(shù)量積運(yùn)算律： ； （交換律）； （分配律）。4.空間向量基本定理如果三個(gè)向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使。若三向量不共面，我們把叫做空間的一個(gè)基底，叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。5.空間直角坐標(biāo)系：（1）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長為，這個(gè)基底叫單位正交基底，用表 示；（2）在空間選定一點(diǎn)和一個(gè)單位正交基底，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎?向建立三條數(shù)軸:軸、軸、軸,它們都叫坐標(biāo)軸.我們稱建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系, 點(diǎn)叫原點(diǎn)，向

3、量 都叫坐標(biāo)向量通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為 平面，平面，平面；6.空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中，對空間任一點(diǎn)，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)7.空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：（1）若，則 一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。（2）若，則 ， ， ， ， ， ； ， 夾角公式：（3）兩點(diǎn)間的距離公式：若，則 或 。知識點(diǎn)三：空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1. 立體幾何中有關(guān)垂直和平行的一些命題，可通過向量運(yùn)算來證明 對于垂直問題，一般是利用進(jìn)行證明； 對于平

4、行問題，一般是利用共線向量和共面向量定理進(jìn)行證明2利用向量求夾角(線線夾角、線面夾角、面面夾角)有時(shí)也很方便其一般方法是將所求的角轉(zhuǎn)化為 求兩個(gè)向量的夾角或其補(bǔ)角，而求兩個(gè)向量的夾角則可以利用向量的夾角公式。3用向量法求距離的公式 設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，則點(diǎn)B到平面的距離為（如圖）。規(guī)律方法指導(dǎo)向量法在求空間角上的應(yīng)用平面的法向量的求法：設(shè)n=(x,y,z)，利用n與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向a，b垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個(gè)三元一次方程，聯(lián)立后取其一組解，即得到平面的一個(gè)法向量（如圖）。線線角的求法：設(shè)直線AB、CD對應(yīng)的方向向量分別為a、b，則直線AB與CD所成的角為。（注

5、意：線線角的范圍00,900）線面角的求法：設(shè)n是平面的法向量，是直線的方向向量，則直線與平面所成的角為（如圖）。二面角的求法：設(shè)n1，n2分別是二面角的兩個(gè)面，的法向量，則就是二面角的平面角或其補(bǔ)角的大?。ㄈ鐖D）利用法向量求空間距離 點(diǎn)A到平面的距離： ，其中，是平面的法向量。 直線與平面之間的距離： ，其中，是平面的法向量。 兩平行平面之間的距離： ，其中， 是平面的法向量?？臻g向量是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，是處理空間線線、線面、面面位置關(guān)系和夾角的重要工具，是高考考查的重要內(nèi)容之一.運(yùn)用向量方法研究立體幾何問題思路簡單，模式固定，避免了幾何法中作輔助線的問題，從而降低了立體幾何問題的難

6、度.本文將空間向量在立體幾何中的應(yīng)用的重要考點(diǎn)和解題方法作以解析.【考點(diǎn)及要求】1.理解直線的方向向量與平面法向量.2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系.3.能用向量方法證明證明直線和平面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）.4.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角計(jì)算問題，了解向量方法在研究集合問題中的應(yīng)用.【考點(diǎn)歸納分析】考點(diǎn)1.利用空間向量證明空間垂直問題利用空間向量證明空間線線、線面、面面垂直問題是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，考查形式靈活多樣，常與探索性問題、平行問題、空間角問題結(jié)合，考查形式可以是小題，也可以是解答題的一部分，或解答題的某

7、個(gè)環(huán)節(jié)，題目容易，是高考中的重要得分點(diǎn).例1(2010遼寧理19）已知三棱錐PABC中，PA面ABC，ABAC，PA=AC=，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點(diǎn).證明：CMSN；審題要津：本題空間坐標(biāo)系易建立，可用坐標(biāo)法.證明：設(shè)PA=1，以A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,0）,因?yàn)椋?所以CMSN . 【點(diǎn)評】對坐標(biāo)系易建立的空間線線垂直判定（證明）問題，常用向量法，即通過證明所證直線的方向向量的數(shù)量積為0證明兩直線垂直.例2(2

8、010天津理19) 在長方體中，、分別是棱,上的點(diǎn)，=, = .證明平面審題要津：本題空間坐標(biāo)系易建立，可用坐標(biāo)法.解析：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè),依題意得, ,已知,于是·=0，·=0.因此，,又所以平面 【點(diǎn)評】對坐標(biāo)系易建立的空間線面垂直問題，通常用向量法，先求出平面的法向量和直線的方向向量，證明平面法向量與直線的方向向量平行或者直接用向量法證明直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，再用線面垂直判定定理即可.例3 （2010年山東文）在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，平面，、分別為、的中點(diǎn)，且.求證：平面平面.審題要津：本題空間坐標(biāo)系易建立，可用坐

9、標(biāo)法.解析：以A為原點(diǎn)，向量,分別為軸、軸、軸的正方向，如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)AM=1，則AD=AB=PD=2,則B(0,2,0),C(2,2,0),D(2,0,0),P(2,0,2), M(0,0,1),則E(0,1,),G(1,1,1),F(2,1,1)，=(-1,0,),=(1,0,0),設(shè)平面EFG的法向量=（，），則=0且=0，取=1，則=0，=（0，1,0）,易證面PDC的法向量為=(2,0,0), =0, 平面平面【點(diǎn)評】對于易建立空間坐標(biāo)系的面面垂直問題，常向量法，即先建立坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，通過證明這兩個(gè)平面的法向量垂直，即得面面垂直.考點(diǎn)2.利用空間向量處理空間平行關(guān)

10、系空間線線、線面、面面平行關(guān)系問題是高考考查的另一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，考查的形式靈活多樣，常與探索性問題、垂直問題、空間角問題結(jié)合，可以是小題，也可以是解答題的一個(gè)小題，題目的難度一般不大，是高考中的得分點(diǎn)之一.例4（2010 湖南理18）在正方體，E是棱的中點(diǎn)。在棱上是否存在一點(diǎn)F，使平面?證明你的結(jié)論。審題要津：本題坐標(biāo)系易建立，可用向量法求解.解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)正方形的棱長為2，則B(2,0,0),E(0,2,1),(0,0,2),(2,0,2)，=(2,2,1),=（2，0，2），設(shè)面的法向量為=（，），則=0且=0，取=1，則=1，=，=（1，1）,假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)F

11、，使平面，設(shè)F(，2，2)（02）,則=（，2，2）， 則=0， 解得=1， 當(dāng)F為中點(diǎn)時(shí)，平面.【點(diǎn)評】對于易建立坐標(biāo)系的線面平行問題的向量解法，有兩種思路：（1）用共面向量定理，證明直線的方向向量能用平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量表示出來，即這三個(gè)向量共線，根據(jù)共面向量概念和直線在平面外，可得線面平行；（2）求出平面法向量，然后證明法向量與直線的方向向量垂直即可.對于探索性問題，通常先假設(shè)成立，設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用相關(guān)知識，列出關(guān)于坐標(biāo)的方程，若方程有解，則存在，否則不存在.注意，（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，利用點(diǎn)在某線段上，設(shè)出點(diǎn)分線段所成的比，用比表示坐標(biāo)可以減少未知量，簡化計(jì)算;(2)注意點(diǎn)

12、的坐標(biāo)的范圍.例5在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，在底面ABC中=,D是BC上一點(diǎn)，且面，為的中點(diǎn)，求證：面面.審題要津：本題的坐標(biāo)系容易建立，可用向量法.解析：以B點(diǎn)為原點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)AB=，BC=，=，則A（,0,0），(0，)，(0,0, )，(，0，)， (0，)，設(shè)D(0，0)（0），=(，0)，=(，)，=(，0，)，=（0，），設(shè)面的法向量為=(，)，則=0且=0，取=，則=，=，則=（，）， 又面，=0，解得=， =（，），設(shè)面的法向量為=(,),則=0且=0，取=1，則=，=，則=(，1)，=， ， 面面.【點(diǎn)評】對面面平行問題的向量方解法有兩種思路，（1）利用向量證明一

13、個(gè)面內(nèi)兩條相交直線分別與另一個(gè)平面平行，根據(jù)面面判定定理即得；（2）求出兩個(gè)平面的法向量，證明這兩個(gè)法向量平行，則這兩個(gè)面就平行.考點(diǎn)3利用空間向量處理異面直線夾角、線面角、二面角等空間角問題 異面直線夾角、線面角、二面角等空間角問題是高考考查的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，常與探索性問題、平行問題、垂直等問題結(jié)合，重點(diǎn)考查綜合利用空間向量、空間平行與垂直的有關(guān)定理、空間角的相關(guān)概念解決空間角問題的能力，是立體幾何中的難點(diǎn)，難度為中檔難度.例6(2010天津理19) 在長方體中，、分別是棱,上的點(diǎn)，,（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值。審題要津：本題坐標(biāo)系易建立，可以向量法.解析：如圖所示

14、，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè),依題意得,(1)證明：易得,于是, 所以異面直線與所成角的余弦值為 (2)解：設(shè)平面的法向量=，則=0且=0，不妨令=1,可得=(1,2,1),設(shè)平面的法向量=（，）則=0且=0，取=1,則=2，=1，則=（1,2,1）于是，從而，所以二面角的正弦值為【點(diǎn)評】（1）對異面直線夾角問題，先求出兩條異面直線的方向向量分別為、，在求出、的夾角，設(shè)兩異面直線的夾角，利用=求出異面直線的夾角，注意：（1）異面直線夾角與向量夾角的關(guān)系；(2)對二面角的大小問題，先求出平面、的法向量、，再求出、的夾角，在內(nèi)取一點(diǎn)A，在內(nèi)取一點(diǎn)B，設(shè)二面角大小為，若與同號，則=，若與異號，則=，注意二面角大小與法向量夾角的關(guān)系.例7（ 2010全國卷I理7）正方體ABCD-中，B與平面AC所成角的余弦值為A B C D審題要津：本題是正方體中的線面關(guān)系問題，可用空間向量法求解.解析：如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，與面的夾角為，則D(0,0,0),C(0