第1節(jié)隨機抽樣教師

1、第1節(jié)隨機抽樣一、簡單隨機抽樣設(shè)一個總體含有N個個體,從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(nN),如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都相等,就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣.最常用的簡單隨機抽樣的方法為抽簽法和隨機數(shù)法.質(zhì)疑探究:簡單隨機抽樣有什么特點?提示:簡單隨機抽樣的特點:(1)被抽取樣本的總體個數(shù)N是有限的;(2)樣本是從總體中逐個抽取的;(3)是一種不放回抽樣;(4)是等可能抽取.練習(xí)1.(寧波月考)在簡單隨機抽樣中,某一個個體被抽到的可能性是(C)(A)與第幾次抽樣有關(guān),第一次抽到的可能性最大(B)與第幾次抽樣有關(guān),第一次抽到的可能性最小(C)與第幾次抽樣無關(guān),每一次抽到

2、的可能性相等(D)與第幾次抽樣無關(guān),與樣本的容量無關(guān)解析:在簡單隨機抽樣中,每個個體被抽到的概率是相等的,與第幾次抽樣無關(guān),故選C.二、系統(tǒng)抽樣系統(tǒng)抽樣是指:當總體中個數(shù)較多時,將總體分成均衡的幾部分,然后按照預(yù)先定出的規(guī)則,從每一部分抽取1個個體,得到所需要的樣本的抽樣方法.要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本,可采取以下步驟:練習(xí)1.某學(xué)校為調(diào)查高三年級的240名學(xué)生完成課后作業(yè)所需時間,采取了兩種抽樣調(diào)查的方式:第一種由學(xué)生會的同學(xué)隨機抽取24名同學(xué)進行調(diào)查;第二種由教務(wù)處對高三年級的學(xué)生進行編號,從001到240,抽取學(xué)號最后一位為3的同學(xué)進行調(diào)查,則這兩種抽樣方法依次為(D)(A)

3、分層抽樣,簡單隨機抽樣(B)簡單隨機抽樣,分層抽樣(C)分層抽樣,系統(tǒng)抽樣 (D)簡單隨機抽樣,系統(tǒng)抽樣解析:根據(jù)抽樣的特點,可知第一種是簡單隨機抽樣,第二種是系統(tǒng)抽樣,故選D.三、分層抽樣2.三種抽樣方法的比較類別共同點各自特點相互聯(lián)系適用范圍簡單隨機抽樣抽樣過程中每個個體被抽取的機會相等從總體中逐個抽取總體中的個體數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均分成幾部分,按事先確定的規(guī)則在各部分抽取在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣總體中的個體數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層,分層進行抽取各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成練習(xí)1.陜西某地有300家商店,其中大型商店有30家,中型商店有75家

4、,小型商店有195家.為了掌握各商店的營業(yè)情況,要從中抽取一個容量為20的樣本.若采用分層抽樣的方法,抽取的中型商店數(shù)是(B)(A)2 (B)5 (C)13(D)15解析:按照分層抽樣的特點,抽取的中型商店數(shù)為×20=5,故選B.2.一個總體分為A,B兩層,用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的樣本,已知B層中每個個體被抽到的概率都為,則總體中的個體數(shù)為. 解析:設(shè)總體中的個體數(shù)為x,則=x=120.答案:120一簡單隨機抽樣【例1】 倫敦大學(xué)為服務(wù)2012倫敦奧運會從報名的24名學(xué)生中選6人組成外賓接待服務(wù)人員.請用抽簽法和隨機數(shù)法設(shè)計抽樣方案.解:抽簽法第一步:將2

5、4名學(xué)生編號,編號為1,2,3,24;第二步:將24個號碼分別寫在24張外形完全相同的紙條上,并揉成團,制成號簽;第三步:將24個號簽放入一個不透明的盒子中,充分攪勻;第四步:從盒子中逐個不放回地抽取6個號簽,并記錄上面的編號;第五步:所得號碼對應(yīng)的學(xué)生,就是服務(wù)小組的成員.隨機數(shù)法第一步:將24名學(xué)生編號,編號為01,02,03,24;第二步:在隨機數(shù)表中任選一數(shù)開始,按某一確定方向讀數(shù);第三步:凡不在0124中的數(shù)或已讀過的數(shù),都跳過去不作記錄,依次記錄下得數(shù);第四步:找出號碼與記錄的數(shù)相同的學(xué)生組成服務(wù)小組.二系統(tǒng)抽樣【例2】 某校高中三年級的295名學(xué)生已經(jīng)編號為1,2,295,為了了

6、解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,要按15的比例抽取一個樣本,用系統(tǒng)抽樣的方法進行抽取,并寫出過程.解:按照15的比例,應(yīng)該抽取的樣本容量為295÷5=59,我們把這295名同學(xué)分成59組,每組5人.第1組是編號為15的5名學(xué)生,第2組是編號為610的5名學(xué)生,依次下去,第59組是編號為291295的5名學(xué)生.采用簡單隨機抽樣的方法,從第1組的5名學(xué)生中抽出一名學(xué)生,設(shè)編號為k(1k5,kN*),那么抽取的學(xué)生編號為k+5l(l=0,1,2,58),得到59個個體作為樣本,如當k=3時的樣本編號為3,8,13,288,293.變式訓(xùn)練21:(龍巖模擬)某工廠有1003名工人,從中抽取10人參加體檢,

7、試用系統(tǒng)抽樣進行具體實施.解:(1)將每個人隨機編一個號由0001至1003.(2)利用隨機數(shù)法找到3個號,將這3名工人剔除.(3)將剩余的1000名工人重新隨機編號0001至1000.(4)分段,取間隔k=100,將總體均分為10段,每段含100名工人.(5)從第一段即為0001至0100號中隨機抽取一個號l.(6)按編號將l,100+l,200+l,900+l共10個號碼選出,這10個號碼所對應(yīng)工人組成樣本.三分層抽樣【例3】 (2012烏魯木齊模擬)某高中共有學(xué)生2000名,已知在全校學(xué)生中隨機抽取1名,抽到高三年級男生的概率是0.1,現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取若干名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù),

8、相關(guān)信息如表年級高一高二高三男生(人數(shù))a310b女生(人數(shù))cd200抽樣人數(shù)x1510則x=. 解析:可得b=2000×0.1=200.設(shè)在全校抽取n名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù),則有,n=50,x=50-15-10=25.答案:25總結(jié)：(1)分層抽樣中分多少層,如何分層要視具體情況而定,總的原則是:層內(nèi)樣本的差異要小,兩層之間的樣本差異要大,且互不重疊;(2)在每層抽樣時,應(yīng)采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進行抽樣;(3)抽樣比=.變式訓(xùn)練31:某單位共有老、中、青職工430人,其中青年職工160人,中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍,為了解職工身體狀況,現(xiàn)采用分層抽樣方法進行

9、調(diào)查,在抽取的樣本中有青年職工32人,則該樣本中的老年職工人數(shù)為()(A)9(B)18(C)27(D)36解析:由比例可得該單位老年職工有90人,用分層抽樣的比例應(yīng)抽取18人.故選B.1.(高考福建卷)某校選修乒乓球課程的學(xué)生中,高一年級有30名,高二年級有40名.現(xiàn)用分層抽樣的方法在這70名學(xué)生中抽取一個樣本.已知在高一年級的學(xué)生中抽取了6名,則在高二年級的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為(B)(A)6(B)8(C)10(D)12解析:由分層抽樣的特點有3040=6x,則x=8,即在高二年級學(xué)生中應(yīng)抽取8人.故選B.2.(高考福建卷)一支田徑隊有男女運動員98人,其中男運動員有56人.按男女比例用分層抽

10、樣的方法,從全體運動員中抽出一個容量為28的樣本,那么應(yīng)抽取女運動員人數(shù)是. 解析:女運動員有98-56=42人,男女比例為5642=43,應(yīng)抽取女運動員28×=12(人).答案:123.(高考浙江卷)某個年級有男生560人,女生420人,用分層抽樣的方法從該年級全體學(xué)生中抽取一個容量為280的樣本,則此樣本中男生人數(shù)為. 解析:本題主要考查分層抽樣,因為560+420=980,所以560×=160.答案:160第2節(jié)用樣本估計總體一作頻率分布直方圖的步驟1.在樣本的頻率分布直方圖中,共有11個小長方形,若中間有一個小長方形的面積等于其他10個小長方形的

11、面積和的,且樣本容量為160,則中間一組的頻數(shù)為(A)(A)32(B)0.2(C)40(D)0.25解析:設(shè)中間一個小長方形面積為x,則x=(1-x),故x=0.2,即中間一組頻率為0.2,中間一組的頻數(shù)為160×0.2=32,故選A.2.頻率分布直方圖中縱軸表示什么含義?小長方形的面積表示什么?各小長方形面積之和等于多少?(,頻率,1)二、頻率分布折線圖和總體密度曲線1.頻率分布折線圖:連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點,就得頻率分布折線圖.2.總體密度曲線:隨著樣本容量的增加,作圖時所分的組數(shù)增加,組距減小,相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線,即總體密度曲線.練習(xí)1

12、.對于樣本頻率分布折線圖與總體密度曲線的關(guān)系,下列說法中正確的是(D)(A)頻率分布折線圖與總體密度曲線無關(guān)(B)頻率分布折線圖就是總體密度曲線(C)樣本容量很大的頻率分布折線圖就是總體密度曲線(D)如果樣本容量無限增大,分組的組距無限減小,那么頻率分布折線圖就會無限接近于總體密度曲線解析:A,總體密度曲線是頻率分布折線圖在樣本容量無限大,組距無限小時一個理想曲線,是有關(guān)系的,故A錯;B,由A解釋知道,頻率折線圖只能無限趨近于總體密度曲線,但不能說就是總體密度曲線,所以B錯;同理C也錯;如果樣本容量無限增大,分組的組距無限縮小,那么頻率分布折線圖就會無限接近于一條光滑的曲線,這條光滑的曲線就是

13、總體密度曲線,故選D.三、莖葉圖的優(yōu)點莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個突出的優(yōu)點:(1)統(tǒng)計圖上沒有原始數(shù)據(jù)的損失,所有信息都可以從這個莖葉圖中得到;(2)在比賽時隨時記錄,方便記錄與表示.練習(xí)1.某賽季,甲、乙兩名籃球運動員都參加了11場比賽,他們每場比賽得分的情況用如圖所示的莖葉圖表示,則甲、乙兩名運動員得分的中位數(shù)分別為(A)(A)19,13(B)13,19(C)20,18(D)18,20解析:若將甲、乙兩名運動員的得分按從小到大進行排列,則第6個就是它們的中位數(shù),故選A.2.利用莖葉圖求數(shù)據(jù)的中位數(shù)的步驟是什么?(1)將莖葉圖中數(shù)據(jù)按大小順序排列;(2)找中間位置的數(shù))四、樣本的數(shù)字特征1.眾數(shù)、

14、中位數(shù)、平均數(shù)(1)眾數(shù):在一組數(shù)據(jù)中,出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).在頻率分布直方圖中,眾數(shù)是最高的矩形的中點的橫坐標.(2)中位數(shù):將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列,把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等,由此可以估計中位數(shù)的值.(3)平均數(shù):如果有n個數(shù)x1,x2,xn,那么=(x1+x2+xn)叫做這n個數(shù)的平均數(shù),平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和.2.標準差和方差(1)標準差:標準差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離,一般用s表示.s=.(2)

15、方差:s2=.3.平均數(shù)、標準差與方差反映了數(shù)據(jù)的哪些特征?(平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平,標準差、方差反映了數(shù)據(jù)對平均數(shù)的波動情況,即標準差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大,越不穩(wěn)定;反之離散程度越小,越穩(wěn)定)質(zhì)疑探究:現(xiàn)實中的總體所包含個體數(shù)往往是很多的,如何求得總體的平均數(shù)和標準差呢?提示:通常是用樣本的平均數(shù)和標準差去估計總體的平均數(shù)與標準差,這與用樣本的頻率分布來近似地代替總體的頻率分布是類似的,只要樣本的代表性好,這樣做就是合理的,也是可以接受的.練習(xí)1.已知一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,得到-1,0,4,x,7,14,中位數(shù)為5,則這組數(shù)據(jù)的方差為. 解析:由中位數(shù)5=

16、,得x=6,故=5,方差s2=(-1-5)2+(0-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(7-5)2+(14-5)2=×148=.答案:一頻率分布直方圖在估計總體中的應(yīng)用【例1】從全校參加科技知識競賽的學(xué)生試卷中,抽取一個樣本,考察競賽的成績分布.將樣本分成5組,繪成頻率分布直方圖(如圖),圖中從左到右各小組的小長方形的高的比是13642,最右一組的頻數(shù)是6.請結(jié)合頻率分布直方圖提供的信息,解答下列問題:(1)樣本的容量是多少?(2)列出頻率分布表;(3)成績落在哪個范圍內(nèi)的人數(shù)最多?并求該小組的頻數(shù)、頻率;(4)估計這次競賽中,成績不低于60分的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的百分比.解:(1)由于

17、各組的組距相等,所以各組的頻率與各小長方形的高成正比且各組頻率的和等于1,那么各組的頻率分別為,.設(shè)該樣本容量為n,則=,所以樣本容量為n=48.(2)由以上得頻率分布表如下:成績頻數(shù)頻率50.5,60.5)360.5,70.5)970.5,80.5)1880.5,90.5)1290.5,100.5)6合計481(3)成績落在70.5,80.5)之間的人數(shù)最多,該組的頻數(shù)和頻率分別是18和.(4)不低于60分的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的百分比約為（1-）×100%=93.75%.變式訓(xùn)練1-1:為了了解高一學(xué)生的體能情況,某校抽取部分學(xué)生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試,將所得數(shù)據(jù)整理后,畫出頻率分布直方

18、圖,圖中從左到右各小長方形面積之比為24171593,第二小組頻數(shù)為12.(1)第二小組的頻率是多少?樣本容量是多少?(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達標,試估計該學(xué)校全體高一學(xué)生的達標率是多少?(3)在這次測試中,學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在哪個小組內(nèi)?解:(1)由從左到右各小長方形的面積之比為24171593,且各小長方形面積之和為1,知各小長方形的面積(從左至右)分別為,故第二小組的頻率為,又第二小組的頻數(shù)為12,所以樣本容量為12×=150.(2)達標率為:+=88%.(3)因為+=<,+=<,故中位數(shù)落在第四小組內(nèi).二莖葉圖的應(yīng)用【例2】 隨機抽取某中學(xué)甲乙

19、兩班各10名同學(xué),分別測量他們的身高(單位:cm),獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪一個班的平均身高高;(2)計算甲班的樣本方差;(3)試由乙班同學(xué)的這10個數(shù)據(jù)求解下列問題:現(xiàn)在需要從乙班的身高不低于173 cm的學(xué)生中抽取2名學(xué)生,求抽取的同學(xué)中恰好有一名同學(xué)身高為176 cm的概率.解:(1)由莖葉圖可知,甲班身高集中于160179 cm之間,而乙班身高集中于170180 cm之間,因此乙班平均身高高.(2)=170,甲班的樣本方差為(158-170)2+(162-170)2+(163-170)2+(168-170)2+(168-170)2+(170-170)2+(171-

20、170)2+(179-170)2+(179-170)2+(182-170)2=57.2.(3)設(shè)身高為176 cm的同學(xué)被抽取的事件為A,從乙班10名同學(xué)中抽取兩名身高不低于173 cm的同學(xué)有(181,173),(181,176),(181,178),(181,179),(179,173),(179,176),(179,178),(178,173),(178,176),(176,173)共10個基本事件,而事件A含有4個基本事件.P(A)=.總結(jié)：(1)莖葉圖中保留了原始數(shù)據(jù),便于記錄和表示.(2)當樣本數(shù)據(jù)較少時,用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好,而樣本數(shù)據(jù)較多時,則不方便記錄.變式訓(xùn)練21:莖

21、葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績,其中一個數(shù)字被污損.則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為. 解析:設(shè)被污損的數(shù)字為x,則甲的平均成績?yōu)?90,乙的平均成績?yōu)?,若甲的平均成績超過乙的平均成績,則90>,解得x<8.又xN,故x可取0,1,2,3,4,5,6,7,共8個.而x的所有可能取值是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,共10個,所以甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為P=.答案:三用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征【例3】 為備戰(zhàn)世界杯預(yù)選賽,我國男足甲乙兩名運動員參加了某項體能訓(xùn)練,近期的五次測試成績得分情況如圖.(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)

22、與方差;(2)根據(jù)圖和(1)中算得的結(jié)果,對兩人的訓(xùn)練成績作出評價.思維導(dǎo)引:(1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的什么特征?(提示:平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的平均水平)(2)方差反映了數(shù)據(jù)的什么特征?(提示:方差反映了數(shù)據(jù)相對于平均值的離散程度)解:(1)由圖象可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為甲:10分,13分,12分,14分,16分;乙:13分,14分,12分,12分,14分.=13(分),=13(分),=(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2=4,=(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2=0.8.(2)由&g

23、t;可知乙的成績較穩(wěn)定.從折線圖看,甲的成績基本呈上升狀態(tài),而乙的成績上下波動較小,可知甲的成績在不斷提高,而乙的成績則無明顯提高.總結(jié)：(1)平均數(shù)和方差都是重要的數(shù)字特征,是對總體一種簡明的闡述.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述總體的集中趨勢,方差和標準差描述波動大小.(2)平均數(shù)、方差公式的推廣:若數(shù)據(jù)x1,x2,xn的平均數(shù)為,方差為s2,則數(shù)據(jù)mx1+a,mx2+a,mxn+a的平均數(shù)為m+a,方差為m2s2.變式訓(xùn)練31:甲、乙兩臺機床同時加工直徑為100 mm的零件,為了檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量,從產(chǎn)品中各隨機抽取6件進行測量,測得數(shù)據(jù)如下(單位mm):甲:99,100,98,100,100,10

24、3;乙:99,100,102,99,100,100.(1)分別計算上述兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差;(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果,說明哪一臺機床加工的這種零件更符合要求.解:(1)=100(mm).=100(mm).=(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2=(mm2).=(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2=1(mm2).(2)因為>,說明甲機床加工零件波動比較大,因此乙機床加工零件更符合要求.1.(高考陜西卷)對某商店

25、一個月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進行了統(tǒng)計,得到樣本的莖葉圖(如圖所示),則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是(A)(A)46,45,56(B)46,45,53(C)47,45,56(D)45,47,53解析:由概念知中位數(shù)是中間兩數(shù)的平均數(shù),即=46,眾數(shù)是45,極差為68-12=56.所以選A.2.(高考山東卷)在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個都加2后所得數(shù)據(jù),則A,B兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是(D)(A)眾數(shù)(B)平均數(shù)(C)中位數(shù)(D)標準差解析:本題考查樣本的平均數(shù),標準差等的計算方法.根據(jù)標準差

26、的性質(zhì),易知答案為D.3.(高考廣東卷)某校100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績分組區(qū)間是:50,60),60,70),70,80),80,90),90,100.(1)求圖中a的值;(2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計這100名學(xué)生語文成績的平均分;(3)若這100名學(xué)生語文成績某些分數(shù)段的人數(shù)(x)與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分數(shù)段的人數(shù)(y)之比如下表所示,求數(shù)學(xué)成績在50,90)之外的人數(shù).分數(shù)段50,60)60,70)70,80)80,90)xy11213445解:(1)由(2a+0.02+0.03+0.04)×10=1知a=0.005.(2)估計這100名學(xué)生的平均分

27、為:55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=7.5+26+22.5+17=73(分).(3)由頻率分布直方圖知,語文成績在50,60)之間的人數(shù)為100×0.05=5,60,70)之間的人數(shù)為s100×0.4=40,70,80)之間的人數(shù)為100×0.3=30,80,90)之間的人數(shù)為100×0.2=20,故數(shù)學(xué)成績在這幾個分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)分別為5,20,40,25,總?cè)藬?shù)為90,故在50,90)之外的人數(shù)為100-90=10.4.(高考新課標全國卷)某花店每天以每枝5元的

28、價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價格出售.如果當天賣不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理.(1)若花店一天購進17枝玫瑰花,求當天的利潤y(單位:元)關(guān)于當天需求量n(單元:枝,nN)的函數(shù)解析式;(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得如表:日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310假設(shè)花店在這100天內(nèi)每天購進17枝玫瑰花,求這100天的日利潤(單位:元)的平均數(shù);若花店一天購進17枝玫瑰花,以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率,求當天的利潤不少于75元的概率.解:(1)當日需求量n17時,利潤y=85,當日需求量n&l

29、t;17時,利潤y=10n-85,所以y關(guān)于n的函數(shù)為y=(nN).(2)這100天中有10天的日利潤為55元,20天的日利潤為65元,16天的日利潤為75元,54天的日利潤為85元,所以這100天的日利潤的平均數(shù)為(55×10+65×20+75×16+85×54)=76.4.利潤不低于75元當且僅當日需求量不少于16枝,故當天的利潤不少于75元的概率為p=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.第3節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系與獨立性檢驗一、兩個變量的線性相關(guān)1.正相關(guān)在散點圖中,點散布在從左下角到右上角的區(qū)域.對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系,我們將

30、它稱為正相關(guān).2.負相關(guān)在散點圖中,點散布在從左上角到右下角的區(qū)域,兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負相關(guān).3.線性相關(guān)關(guān)系、回歸直線如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近,就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系,這條直線叫做回歸直線.4.如何利用散點圖判斷兩變量間是否具有相關(guān)性?(散點圖呈帶狀且區(qū)域較窄,說明兩變量具有相關(guān)性,否則不具有)質(zhì)疑探究:相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系有何異同點?提示:(1)相同點:兩者均是指兩個變量的關(guān)系.(2)不同點:函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系,相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系.函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系,而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系,也可能是伴隨關(guān)系.練習(xí)1.對變量x,y有觀測數(shù)據(jù)(x

31、i,yi)(i=1,2,10),得散點圖(1);對變量u,v有觀測數(shù)據(jù)(ui,vi)(i=1,2,10),得散點圖(2).由這兩個散點圖可以判斷(C)(A)變量x與y正相關(guān),u與v正相關(guān)(B)變量x與y正相關(guān),u與v負相關(guān)(C)變量x與y負相關(guān),u與v正相關(guān)(D)變量x與y負相關(guān),u與v負相關(guān)解析:由正、負相關(guān)的定義知,x與y負相關(guān);u與v正相關(guān),選C.二、回歸方程與回歸分析1.回歸方程(1)最小二乘法:求回歸直線使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法.(2)回歸方程:方程是兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)的回歸方程,

32、其中,是待定系數(shù).2.回歸分析(1)定義:對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法.(2)樣本點的中心:在具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)中,=(x1+xn),=(y1+yn),稱為樣本點的中心.(3)相關(guān)系數(shù)r=;當r>0時,表明兩個變量正相關(guān);當r<0時,表明兩個變量負相關(guān).r的絕對值越接近于1,表明兩個變量的線性相關(guān)性越強.r的絕對值越接近于0,表明兩個變量之間相關(guān)性越弱.通常|r|大于0.75時,認為兩個變量有很強的線性相關(guān)性.練習(xí)1.設(shè)一個回歸直線方程為=2-1.5x,則變量x增加一個單位時(C)(A)y平均增加1.5個單位(

33、B)y平均增加2個單位(C)y平均減少1.5個單位(D)y平均減少2個單位解析:x=1時,y=-1.5,故選C.2.回歸直線方程恒過定點嗎?(過,恒過定點(,)三、獨立性檢驗1.列聯(lián)表:列出兩個分類變量的頻數(shù)表,稱為列聯(lián)表.假設(shè)有兩個分類變量X和Y,它們的可能取值分別為x1,x2和y1,y2,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為2×2列聯(lián)表y1y2總計x1aba+bx2cdc+d總計a+cb+da+b+c+d構(gòu)造一個隨機變量2=,其中n=a+b+c+d為樣本容量.2.獨立性檢驗利用隨機變量2來判斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗.練習(xí)1.某研究小組為了研究中學(xué)生

34、的身體發(fā)育情況,在某學(xué)校隨機抽出20名15至16周歲的男生,將他們的身高和體重制成2×2列聯(lián)表,根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),可以有%的把握認為該學(xué)校15至16周歲的男生的身高和體重之間有關(guān)系. 超重不超重合計偏高415不偏高31215合計71320獨立性檢驗臨界值表P(2k0)0.0250.0100.0050.001k05.0246.6357.87910.828獨立性檢驗隨機變量2值的計算公式:2=解析:將表中數(shù)據(jù)代入公式,有2=5.934由獨立性檢驗臨界值表可知有97.5%的把握認為該學(xué)校15至16周歲的男生的身高和體重之間有關(guān)系.答案:97.5一利用散點圖判斷兩個變量的相關(guān)關(guān)系【

35、例1】 山東魯潔棉業(yè)公司的科研人員在7塊并排、形狀大小相同的試驗田上對某棉花新品種進行施化肥量x對產(chǎn)量y影響的試驗,得到如下表所示的一組數(shù)據(jù)(單位:kg).施化肥量x15202530354045棉花產(chǎn)量y330345365405445450455(1)畫出散點圖;(2)判斷是否具有線性相關(guān)關(guān)系.解:(1)散點圖如圖所示.(2)由散點圖知,各組數(shù)據(jù)對應(yīng)點大致都在一條直線附近,所以施化肥量x與產(chǎn)量y具有線性相關(guān)關(guān)系.總結(jié)：當樣本點都落在某一條直線附近時,則這兩個變量就具有線性相關(guān)關(guān)系.變式訓(xùn)練11:在某地區(qū)的1230歲居民中隨機抽取了10個人的身高和體重的統(tǒng)計資料如表:身高(cm)14315615

36、9172165171177161164160體重(kg)41496179686974696854根據(jù)上述數(shù)據(jù),畫出散點圖并判斷居民的身高和體重之間線性相關(guān)關(guān)系的強弱.二線性回歸分析【例2】 某電腦公司有6名產(chǎn)品推銷員,其工作年限與年推銷金額的數(shù)據(jù)如下表:推銷員編號12345工作年限x/年35679推銷金額y/萬元23345(1)以工作年限為自變量x,推銷金額為因變量y,作出散點圖;(2)求年銷售金額y關(guān)于工作年限x的回歸直線方程;(3)若第6名推銷員的工作年限為11年,試估計他的年推銷金額.思維導(dǎo)引:(1)先用散點圖判斷x、y的線性相關(guān)關(guān)系;(2)求回歸直線方程;(3)作出估計.解:(1)依題

37、意,畫出散點圖如圖所示,(2)從散點圖可以看出,這些點大致在一條直線附近,說明變量x、y具有線性相關(guān)關(guān)系,所以設(shè)回歸直線方程為,則=0.5,=0.4,年推銷金額y關(guān)于工作年限x的回歸直線方程為=0.5x+0.4.(3)由(2)可知,當x=11時,=0.5x+0.4=0.5×11+0.4=5.9(萬元).可以估計第6名推銷員的年推銷金額為5.9萬元.變式訓(xùn)練21:下面是我國居民生活污水排放量的一組數(shù)據(jù):年份20042005200620072008200920102011排放量151189.1194.8203.8220.9227.7232.3若排水量近似地服從線性相關(guān)關(guān)系試估計2005年

38、我國居民生活污水排放量,并預(yù)測2013年生活污水排放量(單位:108 t).解:設(shè)2004年為第1年,2011年為第8年,列表,用計算器進行有關(guān)計算:i1234567xi1345678yi151189.1194.8203.8220.9227.7232.3xiyi151567.3779.210191325.41593.91858.44.857,=202.8,=200,=292648.68,=7294.2設(shè)線性回歸直線方程為.則=11.45.=-b×4.857147.2.回歸直線方程為=11.45x+147.2.從而當x=2時,=170.1,當x=10時,=261.7.2005年生活污水

39、排放量估計為170.1×108 t,2013年污水排放量估計為261.7×108 t.三獨立性檢驗【例3】 為了比較注射A,B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積,選200只家兔做試驗,將這200只家兔隨機地分成兩組,每組100只,其中一組注射藥物A,另一組注射藥物B.表1和表2分別是注射藥物A和藥物B后的試驗結(jié)果.(皰疹面積單位:mm2)表1:注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表皰疹面積60,65)65,70)70,75)75,80)頻數(shù)30402010表2:注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表皰疹面積60,65)65,70)70,75)75,80)80,85)頻數(shù)102520

40、3015(1)完成下面頻率分布直方圖,并比較注射兩種藥物后皰疹面積的中位數(shù)大小;(2)完成下面2×2列聯(lián)表,并回答能否有99.9%的把握認為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”.表3:皰疹面積小于70 mm2皰疹面積不小于70 mm2合計注射藥物Aa=b=注射藥物Bc=d=合計n=附2=P(2k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828思維導(dǎo)引:(1)由頻率分布直方圖求中位數(shù);(2)由2×2列聯(lián)表求2進而判斷.解:(1)如圖所示:可以看出注射藥物A后的皰疹面積的中位數(shù)在65至70之間,而

41、注射藥物B后的皰疹面積的中位數(shù)在70至75之間,所以注射藥物A后皰疹面積的中位數(shù)小于注射藥物B后皰疹面積的中位數(shù).(2)表3:皰疹面積小于70 mm2皰疹面積不小于70 mm2合計注射藥物Aa=70b=30100注射藥物Bc=35d=65100合計10595n=200由公式2=,得2=24.56.由于2>10.828,對照臨界值表得有99.9%的把握認為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”.總結(jié)：獨立性檢驗的步驟:(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制作2×2列聯(lián)表;(2)由公式2=計算2;(3)比較2與臨界值,作統(tǒng)計判斷.變式訓(xùn)練31:為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫

42、助,用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人,結(jié)果如下:性別是否需要志愿者男女需要4030不需要160270(1)估計該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例;(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)?(3)根據(jù)(2)的結(jié)論,能否提出更好的調(diào)查方法來估計該地區(qū)的老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例?說明理由.解:(1)調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助,因此該地區(qū)老年人中,需要幫助的老年人的比例的估計值為=14%.(2)2的觀測值k=9.967.由于9.967>6.635,所以在犯錯誤的概率不超過0

43、.01的前提下認為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān).(3)由(2)的結(jié)論知,該地區(qū)老年人是否需要幫助與性別有關(guān),并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異,因此在調(diào)查時,先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女兩層,故采用分層抽樣方法比采用簡單隨機抽樣方法更好.1.(高考陜西卷)設(shè)(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)是變量x和y的n個樣本點,直線l是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線(如圖),以下結(jié)論正確的是(A)(A)直線l過點(,)(B)x和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率(C)x和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間(D)當n為偶數(shù)時,

44、分布在l兩側(cè)的樣本點的個數(shù)一定相同解析:樣本點的中心(,)必在回歸直線上.故選A.2.(高考湖南卷)通過隨機詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項運動,得到如下的列聯(lián)表:男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110由2=算得,2=7.8.附表:P(2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828參照附表,得到的正確結(jié)論是(A)(A)有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”(B)有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”(C)在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”(D)在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“

45、愛好該項運動與性別無關(guān)”解析:27.8>6.635,有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”.故選A.3.(高考遼寧卷)調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位:萬元)和年飲食支出y(單位:萬元),調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系,并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程:=0.254x+0.321.由回歸直線方程可知,家庭年收入每增加1萬元,年飲食支出平均增加萬元. 解析:由回歸直線方程為=0.254x+0.321知收入每增加1萬元,飲食支出平均增加0.254萬元.答案:0.2544.(高考安徽卷)某地最近十年糧食需求量逐年上升,下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù):年份2002

46、2004200620082010需求量(萬噸)236246257276286(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程;(2)利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測該地2012年的糧食需求量.解:(1)由所給數(shù)據(jù)看出,年需求量與年份之間是近似直線上升,為求回歸直線方程,對數(shù)據(jù)預(yù)處理如下:年份-2006-4-2024需求量-257-21-1101929對預(yù)處理后的數(shù)據(jù)得=0,=3.2,=6.5,=- =3.2,由上述計算結(jié)果,知所求回歸直線方程為-257=b(x-2006)+=6.5(x-2006)+3.2,即=6.5(x-2006)+260.2.(2)利用(1)的結(jié)論,當x=2012時=6

47、.5×6+260.2=299.2(萬噸).第4節(jié) 算法與程序框圖一、算法算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟.這些程序或步驟必須是明確和有效的,而且能夠在有限步之內(nèi)完成.質(zhì)疑探究1:一個算法有什么特點?提示:算法有以下特點:(1)有限性:算法的步驟是有限的,應(yīng)在有限步驟內(nèi)求解某類問題,不能無限繼續(xù)下去.(2)確定性:算法的每一步驟和次序都必須是確定的.(3)有效性:算法的每一步驟都必須是有效的,可行的.(4)不唯一性:求解某一問題的算法可以是多個,不唯一.(5)概括性:寫出的算法必須能解決一類問題.1:下列關(guān)于算法的說法正確的有(C)求解某一類問題的算法是唯一的;

48、算法必須在有限步操作之后停止;算法的每一步操作必須是明確的,不能有歧義或模糊;算法執(zhí)行后產(chǎn)生確定的結(jié)果.(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個解析:是不正確的,正確.故選C.二、程序框圖與三種基本邏輯結(jié)構(gòu)1.程序框圖(1)程序框圖的定義程序框圖又稱流程圖,是一種用程序框、流程線及文字說明來表示算法的圖形.通常,程序框圖由程序框和流程線組成,一個或幾個程序框的組合表示算法中的一個步驟;流程線帶有方向箭頭,按照算法進行的順序?qū)⒊绦蚩蜻B接起來.(2)程序框圖中圖形符號的意義圖形符號名稱功能終端框(起止框)表示一個算法的起始和結(jié)束輸入、輸出框表示一個算法輸入和輸出的信息處理框(執(zhí)行框)賦值、計算判斷

49、框判斷某一條件是否成立,成立時在出口處標明“是”或“Y”;不成立時標明“否”或“N”流程線連接程序框連接點連接程序框圖的兩部分2.三種基本邏輯結(jié)構(gòu)名稱內(nèi)容順序結(jié)構(gòu)條件結(jié)構(gòu)循環(huán)結(jié)構(gòu)定義由若干個依次執(zhí)行的步驟組成,這是任何一個算法都離不開的基本結(jié)構(gòu).算法的流程根據(jù)條件是否成立有不同的流向,條件結(jié)構(gòu)就是處理這種過程的結(jié)構(gòu).從某處開始,按照一定的條件反復(fù)執(zhí)行某些步驟的情況,反復(fù)執(zhí)行的步驟稱為循環(huán)體.程序框圖質(zhì)疑探究2:三種基本邏輯結(jié)構(gòu)的共同點是什么?提示:三種基本邏輯結(jié)構(gòu)的共同點,即只有一個入口和一個出口,每一個基本邏輯結(jié)構(gòu)的每一部分都有機會被執(zhí)行到,而且結(jié)構(gòu)內(nèi)不存在死循環(huán).2:下面的程序框圖的運行結(jié)

50、果是(B)(A)8(B)4(C)2(D)3解析:執(zhí)行順序結(jié)構(gòu),S=×2×4=4,輸出4.故選B.3:給出如圖程序框圖,其功能是(C)(A)求a-b的值 (B)求b-a的值(C)求|a-b|的值(D)以上都不對解析:由程序框圖知,輸出結(jié)果為|a-b|,故選C.利用條件結(jié)構(gòu)解決算法問題時需注意些什么?(注意需要注意的條件是什么,判斷后,對應(yīng)的結(jié)論是什么)4.如圖所示是某同學(xué)為求1006個偶數(shù),即2,4,6,2012的平均數(shù)而設(shè)計的程序框圖的部分內(nèi)容,則在該程序框圖中的空白判斷框和處理框中應(yīng)填入的內(nèi)容依次是()(A)i>1006?,x=(B)i1006?,x=(C)i<

51、;1006?,x=(D)i1006?,x=解析:因為要求的是1006個偶數(shù)的和,且滿足判斷條件時輸出結(jié)果,故判斷框中應(yīng)填入i>1006?;因為要求的是2,4,6,2012的平均數(shù),而滿足條件的x的和除以1006即為所求平均數(shù),故處理框中應(yīng)填入x=.故選A.5.如圖,是求實數(shù)x的絕對值的算法程序框圖,則判斷框中可填. 解析:由于|x|=或|x|=故根據(jù)所給的程序框圖,易知可填x>0或x0.答案:x>0或x01.(高考福建卷,文6)閱讀如圖所示的程序框圖,運行相應(yīng)的程序,輸出的s值等于(A)(A)-3(B)-10(C)0 (D)-2解析:當k=1時,s=2×1

52、-1=1,當k=2時,s=2×1-2=0,當k=3時,s=2×0-3=-3,當k=4時,不滿足判斷框中的條件,輸出s=-3,故選A.2.(高考安徽卷,文6)如圖所示,程序框圖(算法流程圖)的輸出結(jié)果是(B)(A)3(B)4(C)5(D)8解析:程序運行:x=2,y=2;x4滿足;x=4,y=3;x4滿足;所以x=8,y=4;此時不滿足x4,輸出y=4.3.(2012年高考廣東卷,文9)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入n的值為6,則輸出s的值為(C)(A)105(B)16(C)15(D)1解析:本小題主要考查程序框圖,由圖知i=1時,s=1×1=1,i=3時,s=1&

53、#215;3=3,i=5時,s=3×5=15,i=7時,輸出s.故選C.4.(2012年高考陜西卷,文5)如圖是計算某年級500名學(xué)生期末考試(滿分為100分)及格率q的程序框圖,則圖中空白框內(nèi)應(yīng)填入(D)(A)q= (B)q=(C)q=(D)q=解析:因為執(zhí)行判斷框“是”計算的及格的總?cè)藬?shù)M,“否”統(tǒng)計的是不及格的人數(shù),所以及格率q=.選D.第5節(jié) 基本算法語句一、輸入語句、輸出語句、賦值語句的格式與功能語句一般格式功能輸入語句INPUT “提示內(nèi)容”;變量輸入信息輸出語句PRINT “提示內(nèi)容”;表達式輸出信息賦值語句變量=表達式將表達式所代表的值賦給變量1:計算機執(zhí)行下面的程序段后,輸出的結(jié)果是(B)a=1b=3a=a+bb=a-bPRINTa,b(A)1,3(B)4,1(C)0,0(D)6,0解析:由程序可知,a=1+3=4,b=4-3=1,選B.1:賦值語句與數(shù)學(xué)等式讀法相同嗎?(不同