第13章偏導(dǎo)數(shù)與全微分

1、第十三章 偏導(dǎo)數(shù)與全微分引言：從本章開始引入多元函數(shù)的微分理論。即將一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分的概念推廣到多元函數(shù)，形成多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和微分，并進(jìn)一步研究多元函數(shù)的微分性質(zhì)及其在幾何上的應(yīng)用。§1 偏導(dǎo)數(shù)和全微分的基本概念1、 偏導(dǎo)數(shù)一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)引入背景和意義：切線、速度函數(shù)的變化率。以二元函數(shù)為例引入多元函數(shù)的相關(guān)概念。在區(qū)域D上給定二元函數(shù)f(x,y)，任取點(diǎn)p(x,y),考察在此點(diǎn)自變量的改變所引起的函數(shù)的變化。先考慮一種最簡單的情形：單個(gè)變量的變化所引起的函數(shù)的改變。不妨僅考慮只在x方向上發(fā)生改變，設(shè)改變量為，即變量由點(diǎn)p(x,y)變到點(diǎn)q(),，則引起的函數(shù)的改變量為，由于這一

2、改變量是僅由一個(gè)變量x而不是所有變量的變化所引起的，因而稱為偏增量或關(guān)于x的偏增量。類似，可以定義關(guān)于y的偏增量 ?，F(xiàn)在，考慮這些偏增量關(guān)于相應(yīng)變量的變化率，類似一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的概念，給出如下定義。定義1.1若 存在，稱此極限為在點(diǎn)p(x,y)關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)， 記為 或 。注： 由定義可知，注意到極限的唯一性，在點(diǎn)p(x,y)關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)是點(diǎn)p(x,y)的函數(shù)，因此，也記為 (p)= 或(p)=.簡寫為、。類似可以定義關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)，。注：偏導(dǎo)數(shù)的含義：僅考慮一個(gè)變量的改變對(duì)函數(shù)增量的變化率。如對(duì)三元函數(shù)u=f(x,y,z),可以定義三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，即類似，可以推廣至任意元函數(shù)。 偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算：關(guān)于

3、偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，通常有兩種處理方式，(1)、對(duì)由一個(gè)初等函數(shù)給出的表達(dá)式，用一元函數(shù)的求導(dǎo)法；如計(jì)算關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，由于在其余方向上變量沒有發(fā)生變化，相對(duì)于x可以視為常量，因此，只需對(duì)x求導(dǎo)即可。(2)、即特殊點(diǎn)處的定義方法，如對(duì)分段函數(shù)，在分段點(diǎn)處用定義計(jì)算。例1：，求， ，及，解：將y視為常量，關(guān)于變量x求導(dǎo)，即得u關(guān)于x 的偏導(dǎo)數(shù)，即，因而，。類似，因而。例2：，求， ，。解、計(jì)算可得，.例3：，求， 。解、計(jì)算得 ， 。注、上述的計(jì)算在相應(yīng)的定義域內(nèi)都成立。 例4： 求， 解、對(duì)點(diǎn)p(x,y): ，計(jì)算得，在點(diǎn)（0，0），用定義計(jì)算為，故， ， 。偏導(dǎo)與連續(xù)：我們知道，對(duì)一元函數(shù)，可導(dǎo)

4、必連續(xù)。但，對(duì)多元函數(shù)，這個(gè)結(jié)論不再成立。以二元函數(shù)為例，設(shè)u=f(x,y)關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)存在，由定義，是指將y視為常量時(shí)關(guān)于x可導(dǎo)，因而能保證關(guān)于x連續(xù)，同樣，若f關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)存在，能保證關(guān)于y的連續(xù)性，我們還知道，關(guān)于兩個(gè)變量分別連續(xù)的函數(shù)并不一定是二元連續(xù)函數(shù)，即偏導(dǎo)數(shù)存在，甚至兩個(gè)偏導(dǎo)的同時(shí)存在性，不能保證二元函數(shù)的連續(xù)性。如上例4： ，但在點(diǎn)不連續(xù)。偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義為函數(shù)曲線的切線斜率。同樣，對(duì)二元函數(shù)，由于在幾何上，表示空間曲面，設(shè)，考察 ，由定義，若記一元函數(shù)，幾何意義為曲面與平面的交線，則由于，因而，表示曲線在的斜率，注意到曲線 為交線C：故，偏導(dǎo)數(shù)

5、的幾何意義為曲線C在點(diǎn)處對(duì)x軸的切線斜率；的幾何意義類似。2、 全微分和導(dǎo)數(shù)不同，一元函數(shù)的全微分考察的是函數(shù)增量和自變量增量之間的絕對(duì)關(guān)系，即二者之間是否存在主要的線性關(guān)系，也即，在x點(diǎn)可微， ，微分是指存在實(shí)數(shù)A，使得 ，此時(shí)或 ?，F(xiàn)在，將上述微分定義推廣至多元函數(shù)，仍以二元函數(shù)為例。給定二元函數(shù)，考慮、同時(shí)變化對(duì)的影響。設(shè)在點(diǎn)p處，兩個(gè)自變量的改變量為、，即變量由點(diǎn)p(x,y)變化至點(diǎn)q(),則函數(shù)的增量為，由于這個(gè)增量是由全部的兩個(gè)變量同時(shí)改變所引起的，因而，也稱此增量為函數(shù)u的全增量。類似一元函數(shù)可微的定義，考慮全增量和兩個(gè)自變量之間是否存在主線性關(guān)系，引入二元函數(shù)可微的定義。定義1

6、.2若存在、(僅與有關(guān)) 使 ，稱在點(diǎn)可微，稱為在的全微分記為du或df，因而。由定義可知，多元函數(shù)的可微和一元函數(shù)的可微，其實(shí)質(zhì)都是考察函數(shù)增量和自變量是否存在主線性關(guān)系。但要注意由一元函數(shù)的可微定義推廣到二元函數(shù)的可微定義時(shí)，其形式的變化和區(qū)別，特別是無窮小量的形式，若記，則是刻劃自變量的改變量大小的絕對(duì)量，因此，這個(gè)無窮小量是全部變量改變量大小的無窮小量。由此，可微的定義可以推廣到任意的n元函數(shù)。如u=f(x,y,z)可微是指存在A、B、C，使得其中。下面，將一元函數(shù)可微與連續(xù)性的關(guān)系及可微的必要條件進(jìn)行推廣。定理1.1（可微的必要條件）設(shè)函數(shù)u=f(x,y)在點(diǎn)p()可微，則函數(shù)u在點(diǎn)

7、p關(guān)于x、y的偏導(dǎo)數(shù)都存在，且。（A、B見定義）證明、由于在p()可微，由定義，存在A、B，使得因而，在可微定義中取，則類似可得。定理1.2（可微必連續(xù)）設(shè)函數(shù)u=f(x,y)在點(diǎn)p()可微，則必在此點(diǎn)連續(xù)。證明、由于函數(shù)u在p點(diǎn)可微，則存在實(shí)數(shù)A、B，使得，因而，即，故函數(shù)在點(diǎn)p連續(xù)。 注、 從上述兩個(gè)定理可知，可微的要求高于偏導(dǎo)數(shù)，因此，偏導(dǎo)數(shù)存在不一定保證連續(xù)性，但可微可以保證連續(xù)性。注、定理1的逆不成立，即偏導(dǎo)數(shù)存在不一定保證函數(shù)的可微。如： 在（0，0）點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在且直接計(jì)算得，但不存在極限，因而，不可微。 類似一元函數(shù)，仍以dx、dy表示自變量x、y的微分，則、， (事實(shí)上對(duì)函數(shù)則

8、其微分即)，由定理1，則函數(shù)的全微分可以寫為。注：類似一元函數(shù)，dx、dy是兩個(gè)獨(dú)立的變量，與無關(guān)，故：、。注：推廣至元函數(shù)，其全微分為。注：函數(shù)的可微和連續(xù)一樣是局部性的概念。注：可微與偏導(dǎo)：偏導(dǎo)存在不保證可微。可微性的判斷：1、用定義判斷在點(diǎn)是否可微，其方法和步驟為：先判斷偏導(dǎo)數(shù)的存在性，若在此點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)不存在，則必不可微，在偏導(dǎo)數(shù)存在的條件下計(jì)算此點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)，然后考察極限若此極限存在且為0，則可微，否則，不可微。 2、用可微的必要條件來判斷不可微性，如，若在此點(diǎn)不連續(xù)或偏導(dǎo)數(shù)不存在，則必不可微。下面通過例子說明可微性的判斷方法，進(jìn)一步說明：偏導(dǎo)與可微的不等價(jià)性。例1：考察 在點(diǎn)的可微性。解

9、：已證：，但在點(diǎn)不連續(xù)，因而不可微。法二：計(jì)算=故極限不存在，因而不可微。注：此例說明：偏導(dǎo)存在并不一定保證可微。由此可看出偏導(dǎo)與可微的不一致性。但從另一角度看，偏導(dǎo)與全微分都是考慮函數(shù)的增量問題，那么，在偏導(dǎo)存在的條件下增加什么條件才能保證可微性呢？定理1.3設(shè)，在點(diǎn)及其鄰域內(nèi)存在且連續(xù)，則在點(diǎn)可微。分析：全增量可微性；偏增量偏導(dǎo)存在性，故本定理的實(shí)質(zhì)是由偏導(dǎo)存在性（已知偏增量）導(dǎo)出可微性（全增量），即：建立偏增量與全增量之關(guān)系，更準(zhǔn)確地說，以偏增量表示全增量，并進(jìn)一步與偏導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來。證明：考慮全增量：= =（用偏增量表示全增量） =（建立了與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，使得能充分利用偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件）

10、由于，在點(diǎn)連續(xù)，故=；=其中，故，=，由于 ，故，故在可微。例2：求在處的全微分。解：計(jì)算：，在點(diǎn)存在且連續(xù)，故。例3：計(jì)算的全微分。解：，其中：，。例4：判斷在點(diǎn)的可微性。解：由于， 故， 由于，故不可微。§2 高階偏導(dǎo)數(shù)與高階全微分 給定函數(shù)，設(shè)都存在，則仍是二元函數(shù)，故仍可繼續(xù)求偏導(dǎo)。如，若關(guān)于的偏導(dǎo)存在，稱其為對(duì)的二階偏導(dǎo)數(shù)，記為：，因而，或，若關(guān)于的偏導(dǎo)存在，稱其為先對(duì)，再對(duì)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)，記為：，因而：，類似可定義：。上述幾個(gè)導(dǎo)函數(shù)，都稱為的二階導(dǎo)函數(shù)，且為二階混合偏導(dǎo)數(shù)。類似可定義三階導(dǎo)函數(shù)：。類似還可定義元函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，如：，其二階導(dǎo)數(shù)有如下9種形式。注：對(duì)高階混

11、合偏導(dǎo)數(shù)，與求偏導(dǎo)的順序有關(guān)。如：是兩個(gè)不同的函數(shù)，不一定有相等關(guān)系。例1：計(jì)算的二階偏導(dǎo)數(shù)。例2：設(shè)，計(jì)算。解：易計(jì)算，故，。注意二者并不相等。對(duì)同樣變量不同順序的混合二階偏導(dǎo)數(shù)，如果二者相等，可以為高階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算帶來方便，那么，什么條件下二者相等，這實(shí)際是求偏導(dǎo)數(shù)的換序問題。定理1：設(shè)在連續(xù)，則。分析：由定義：其中：而，故問題的實(shí)質(zhì)是累次極限可換序，將視為的二元函數(shù)，什么條件可保證累次極限可換序？因二重極限與兩個(gè)累次極限都存在時(shí)則必相等，因而問題轉(zhuǎn)化為二重極限的存在性。 關(guān)鍵的問題：如何將轉(zhuǎn)化為二階混合偏導(dǎo)數(shù)，并利用偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)性得到的二重極限的存在性。最常用的方法以是利用一元函數(shù)的中值定

12、理，即由于，第二項(xiàng)不易處理。仔細(xì)觀察的結(jié)構(gòu)，具有對(duì)稱性，為了統(tǒng)一上述過程中的，采用技巧：統(tǒng)一使用中值定理。證明：記，則=故：。利用對(duì)稱性或，則類似可得 =，因而 故，。推論1：若有直到階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則。即混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無關(guān)。高階微分：給定，則，若du視為x,y的函數(shù)還是可微的，則可繼續(xù)關(guān)于x、y求微分，稱為函數(shù)u關(guān)于x、y的二階微分，即 （假設(shè)）注：，將視為的二元函數(shù)，繼續(xù)關(guān)于求微分，而此時(shí)是與無關(guān)的量，在此可視為常量（參量）。在高階微分存在的情況下，可歸納證明：§3 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 仍以二元函數(shù)為例討論多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)計(jì)算，由于多元復(fù)合函數(shù)的多樣性，我們以一種最基本的

13、情形為例，導(dǎo)出最基本的求導(dǎo)法則，然后推廣至其它情形。一、 常規(guī)復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)計(jì)算給定二元函數(shù)，中間變量且，則復(fù)合為：，x、y稱為中間自變量，s、t稱為（最終）自變量，函數(shù)u通過中間自變量復(fù)合為最終自變量s、t的函數(shù)，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和微分的計(jì)算，就是計(jì)算函數(shù)關(guān)于最終自變量的偏導(dǎo)數(shù)和微分。和一元函數(shù)類似，計(jì)算的基本法則為鏈?zhǔn)椒▌t。定理1：設(shè)在點(diǎn)存在，而在點(diǎn)可微，其中，則在的偏導(dǎo)數(shù)存在，且， 這就是復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算的鏈?zhǔn)椒▌t。分析：要證明偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，須研究變量的改變量和函數(shù)的偏增量之關(guān)系，分析清楚最終自變量的改變?nèi)绾瓮ㄟ^改變中間變量，最終影響函數(shù)的偏增量。如要計(jì)算，是將視為的復(fù)合函數(shù)=，考察u

14、關(guān)于s的偏增量對(duì)自變量s的增量的變化率的極限。進(jìn)一步分析：方向上改變?nèi)绾萎a(chǎn)生，下述的變化鏈反映了它們之間的關(guān)系：，因而相對(duì)于作為的函數(shù)為偏增量，但同時(shí)，作為的函數(shù)又是全增量，由此，建立相互間的關(guān)系。證明：只證明第一式： 設(shè)=在點(diǎn)附近，只在方向上發(fā)生改變量，由于，因而在點(diǎn)，方向都發(fā)生改變：進(jìn)而影響到函數(shù)，使其發(fā)生改變（在點(diǎn)），利用在點(diǎn)可微，故，故，又，則類似可證明另一式。注：定理1中的鏈?zhǔn)椒▌t一般可以寫為，。分析公式兩端各項(xiàng)含義此鏈?zhǔn)椒▌t可以表述為 掌握了上述公式的含義，不管復(fù)合函數(shù)形式和結(jié)構(gòu)如何變化，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)計(jì)算變得非常簡單，只須準(zhǔn)確確定函數(shù)，中間變量，自變量。方法：自變量：復(fù)合函數(shù)表達(dá)

15、式中的變量；中間變量：自變量之外的變量，連結(jié)自變量與函數(shù)。例1：計(jì)算由與的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。分析：自變量，中間變量解：由鏈?zhǔn)椒▌t：例2：計(jì)算與的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。分析：自變量，中間變量解：由鏈?zhǔn)椒▌t：，注：例1與例2是典型的常規(guī)型復(fù)合函數(shù)，其特點(diǎn)是在函數(shù)與自變量的函數(shù)關(guān)系式中不含自變量，或中間變量與自變量不同時(shí)作為變量出現(xiàn)在一個(gè)函數(shù)關(guān)系中。而事實(shí)上經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)這種情況。二：其它類型復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)的計(jì)算。 基本方法：通過引入新的中間變量轉(zhuǎn)化為基本型。例4：計(jì)算由與的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。分析：自變量為，中間變量為。特點(diǎn)：中間變量與自變量一同出現(xiàn)在函數(shù)關(guān)系中；處理方法：引入新的中間變量，化為基本型。解：引

16、入函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)也可視為與，復(fù)合而成，由鏈?zhǔn)椒▌t及，；例5：計(jì)算由與的復(fù)合函數(shù)關(guān)于的一階和二階導(dǎo)函數(shù)。分析：復(fù)合函數(shù)為x的一元函數(shù)，可以計(jì)算其一階和二階導(dǎo)數(shù)。解：由鏈?zhǔn)椒▌t：（記，則）而 故 注：上述計(jì)算過程假設(shè)了出現(xiàn)的各階導(dǎo)數(shù)都存在且混合偏導(dǎo)數(shù)可以換序。例5：設(shè)，求解：引入中間變量，則可視為與復(fù)合而成，故：例6：設(shè)，證明在極坐標(biāo)變換下成立：分析：通過要證明的結(jié)論可知，結(jié)論的右邊表明，函數(shù)u為變量x、y的函數(shù)，左邊函數(shù)u為變量r、的函數(shù)，由所給的變量關(guān)系式知，函數(shù)u應(yīng)視為通過中間變量x、y復(fù)合為r、的復(fù)合函數(shù)，因此只需計(jì)算復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)代入驗(yàn)證即可，由復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)的計(jì)算公式，計(jì)算右邊比較簡

17、單。證明：由于；代入即可。三：復(fù)合函數(shù)的全微分一階微分形式的不變性 設(shè)與復(fù)合成，考察將u視為x、y函數(shù)和視為s、t的復(fù)合函數(shù)的全微分形式。作為的函數(shù)，則。作為的函數(shù)，則?？疾於哧P(guān)系：由于，且；，代入可得+由此可知，不論將函數(shù)u視為x、y函數(shù)還是視為s、t的復(fù)合函數(shù)，函數(shù)的一階全微分形式一樣，稱為一階微分形式的不變性。類似一元函數(shù)，復(fù)合函數(shù)的高階微分不再具有不變性。§4 隱函數(shù)的求導(dǎo)法 雖然目前我們所遇到的函數(shù)都是顯函數(shù)，即已知用自變量表示的函數(shù)表達(dá)式，其一般形式為或更一般的元顯函數(shù)，但在工程技術(shù)領(lǐng)域，我們經(jīng)常遇到的是隱函數(shù)：即一組變量所滿足的方程或方程組，進(jìn)一步由方程（組）確定的某

18、些函數(shù)關(guān)系。這些函數(shù)關(guān)系有時(shí)能通過求解方程（組）而得到，有些不能求出其解。如：球面滿足的方程：，由此可得上半球面，下半球面，而行星運(yùn)動(dòng)的Kepler方程：，為時(shí)間，是行星與太陽的連線掃過的扇形弧度，為離心率。從天體力學(xué)的角度講，應(yīng)是的函數(shù)，但我們不能由此方程給出的顯示表達(dá)式，像這樣的例子，自然界還有很多。然而，在了解或研究這些實(shí)際問題時(shí)，通常需要我們?nèi)チ私膺@些函數(shù)更多的分析性質(zhì)，如連續(xù)性、可微性等。如何解決這些問題，這正是本節(jié)的任務(wù)。 本節(jié)，我們只介紹隱函數(shù)的求導(dǎo)方法，其理論基礎(chǔ)放在第十六章。一、單個(gè)方程所確定的隱函數(shù)的求導(dǎo) 設(shè)給定元單個(gè)方程：，在某些條件下，可設(shè)想：這個(gè)變元只有個(gè)獨(dú)立，即從中

19、可以解出一個(gè)量比如z可以用剩下的n個(gè)獨(dú)立的變量表示，因此，變量完全由這個(gè)獨(dú)立的變量所確定。由此就確定了一個(gè)函數(shù)關(guān)系，我們的目的是在不能解出函數(shù)關(guān)系的情況下，計(jì)算函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，?？偨Y(jié)這類問題為： 設(shè)由方程確定了隱函數(shù)，試計(jì)算，及高階偏導(dǎo)。分析條件：已知方程：和確定的隱函數(shù)，因此，方程中，將視為函數(shù)，因此，函數(shù)實(shí)際是復(fù)合函數(shù)，于是可根據(jù)此復(fù)合函數(shù)所滿足的方程計(jì)算，過程如下：由題意，方程可視為如下復(fù)合形式的方程：自變量為，中間變量為。由復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)計(jì)算，對(duì)方程兩端關(guān)于變量求導(dǎo)，則：，故 。從公式可知，若表達(dá)式是已知的，就可以計(jì)算隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。當(dāng)然，必須滿足條件，事實(shí)上，這個(gè)條件正是由方程確定隱函

20、數(shù)的條件。注：上述過程是典型的隱函數(shù)的求導(dǎo)過程，由此過程可看出，先確定隱函數(shù)，再求導(dǎo)。這種求導(dǎo)的思想應(yīng)該熟練掌握，不必記住公式。例1：求由方程所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。解：將視為函數(shù)形式，而方程的右端是復(fù)合函數(shù)形式，由此，兩端關(guān)于求導(dǎo)， 則，類似。例2：設(shè)，求。解：由題意：確定隱函數(shù)，用表示函數(shù)F關(guān)于第i個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù)，即若，兩端關(guān)于求導(dǎo)：（*） 解之得，類似，。 關(guān)于（*）式兩端對(duì)求偏導(dǎo)： 從上述方程中可以計(jì)算出。 注：上述例子表明，隱函數(shù)求導(dǎo)的實(shí)質(zhì)是：將方程視為復(fù)合函數(shù)方程，然后對(duì)方程求導(dǎo)即可。二：由方程組所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 由線性代數(shù)的方程組理論可知：一般由個(gè)方程可確定出個(gè)未知量，因此，

21、假設(shè)由個(gè)方程：，則任給一組數(shù)，上述方程組是以為未知量的方程組，設(shè)其有唯一解，于是，對(duì)任意的，存在唯一一組數(shù)與之對(duì)應(yīng)，由此，確定一組隱函數(shù)：現(xiàn)計(jì)算，方法同上。將每個(gè)方程都視為復(fù)合函數(shù)，則關(guān)于求偏導(dǎo)：由此可得關(guān)于的線性方程組，求解，則： 類似可以計(jì)算其它的偏導(dǎo)數(shù)。例3：計(jì)算由所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。解：對(duì)求導(dǎo)，則解之得。 從上述兩種情形看，隱函數(shù)的求導(dǎo)相當(dāng)簡單，但要注意掌握方法實(shí)質(zhì)，注意從題目中分析清楚確定的隱函數(shù)。也注意不必記公式，要做到靈活運(yùn)用。例4：設(shè)，求分析：從題型可知，確定兩個(gè)隱函數(shù)解：對(duì)兩式關(guān)于求導(dǎo)，則：，解之得。類似可得：。注：還可用微分法：利用復(fù)合函數(shù)一階微分的不變性。 法二：兩端

22、微分：解得，由微分定義得 ，。例5：從方程組中求出分析：這是5個(gè)變元，兩個(gè)方程的方程組，由方程組理論，兩個(gè)方程的方程組至多可以確定兩個(gè)變量，因此，上述5個(gè)變量，至少有3個(gè)是獨(dú)立的，而從題目中可分析出：變元獨(dú)立，確定兩個(gè)隱函數(shù)解：由題意，方程組可以確定隱函數(shù)，因此，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，對(duì)方程組的方程兩端關(guān)于求偏導(dǎo)，則 （*）解之得 ，。再對(duì)（*）兩端關(guān)于求偏導(dǎo)：求解得 。§5隱函數(shù)求導(dǎo)應(yīng)用方程的變換從上節(jié)例子可知,隱函數(shù)的求導(dǎo)并不困難,但是作為其應(yīng)用偏微分方程的變換卻是很困難的。所謂偏微分方程的變換，是指通過給定的一組變量關(guān)系，將一個(gè)已知的偏微分方程轉(zhuǎn)換為另一種形式。常見的有兩種方程

23、變換，其一為部分變換，即將一個(gè)函數(shù)的已知的關(guān)于某組變量的偏微分方程，通過給定的一組變量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為此函數(shù)關(guān)于另一組變量的偏微分方程；在這個(gè)過程中，函數(shù)不變，只是自變量發(fā)生改變。其二稱為完全變換，即將一個(gè)函數(shù)的已知的關(guān)于某組變量的偏微分方程，通過一組變量關(guān)系和一個(gè)函數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)換為另一個(gè)函數(shù)關(guān)于另一組變量的偏微分方程，在這個(gè)過程中，變量和函數(shù)都發(fā)生改變。方程變換的難點(diǎn)在于：轉(zhuǎn)換過程中，必須準(zhǔn)確把握問題的 含義，準(zhǔn)確確定函數(shù)、變量、中間變量等各種量之間的關(guān)系。 下面通過例子說明相應(yīng)的方法和技巧。1、 部分變換：例1 設(shè)，變換方程： （1）分析：由給定的方程（1）可知，方程（1）是函數(shù)關(guān)于變量x、y所

24、滿足的PDE。給定的一組變量關(guān)系為。在變量關(guān)系式中，只涉及到函數(shù)w的自變量x、y和兩個(gè)新的變量u、v,利用這組關(guān)系式可以實(shí)現(xiàn)變量x、y和u、v之間的轉(zhuǎn)換，即把自變量由x、y轉(zhuǎn)換為u、v,，這個(gè)轉(zhuǎn)換過程是通過利用隱函數(shù)理論，由方程組確定隱函數(shù)來實(shí)現(xiàn)的。因此，函數(shù)w=w(x,y)通過變量關(guān)系，轉(zhuǎn)換為w關(guān)于u、v的函數(shù)w=w(u,v)。故，函數(shù)沒變，自變量由變成了，而成了中間變量，因此，本題要求：將關(guān)于的PDE轉(zhuǎn)化為關(guān)于的偏微分方程部分變換。通過上述分析，明確了題目的目的和要求，即變換上述方程，實(shí)際上是將w關(guān)于x 、y的偏微分方程轉(zhuǎn)換為w關(guān)于變量uv的偏微分方程，相當(dāng)于用w關(guān)于u、v的偏導(dǎo)數(shù)表示w關(guān)

25、于x、y的偏導(dǎo)數(shù)，然后代入原偏微分方程即可，因此，其實(shí)質(zhì)是隱函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)計(jì)算。注意到復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，在用w關(guān)于u、v的偏導(dǎo)數(shù)表示w關(guān)于x、y的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，把變量關(guān)系式中的函數(shù)u、v視為中間變量更方便，因此，復(fù)合過程視為，這是這類問題處理時(shí)的技巧。解：將函數(shù)視為函數(shù)與變量的復(fù)合。則由鏈?zhǔn)椒▌t：進(jìn)而：。故：，因而，方程（1）變?yōu)樽ⅲ鹤儞Q方程的實(shí)質(zhì)是計(jì)算原方程的偏導(dǎo)數(shù)，因而，需要將新引入的變量作為中間變量，以便利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式計(jì)算導(dǎo)數(shù)關(guān)系。例7 設(shè)，證明：分析：題目相當(dāng)于將等式左邊的偏微分表達(dá)式轉(zhuǎn)換為右端的偏微分表達(dá)式，由所給關(guān)系式，視為中間變量，便于計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)。證明：可視為與復(fù)合而

26、成，由鏈?zhǔn)椒▌t： 代入即可。 注：從上述兩個(gè)例子可知，在涉及到這類偏微分方程的轉(zhuǎn)換時(shí)，選取合適的中間變量是十分關(guān)鍵的，這可以減少計(jì)算量，根據(jù)所給的變量關(guān)系式確定中間變量是常用的技巧。2、 完全變換例3 設(shè)，變換方程： （*）分析：由方程形式知：方程（*）是函數(shù)所滿足的PDE，這個(gè)方程中涉及函數(shù)，自變量。再分析變量關(guān)系式：前兩個(gè)涉及自變量關(guān)系：，故函數(shù)=。最后一個(gè)式中，除涉及新自量，還有一個(gè)變量，此正是由、確定的新函數(shù)。因而，各種變量關(guān)系為：原函數(shù)（因變量）： 原自變量：；新函數(shù)（因變量）： 新自變量：。故問題為：將滿足的PDE（*）式，通過變量關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為所滿足的偏微分方程。關(guān)鍵：尋求與之關(guān)

27、系。希望用表示，代入（*）即可。如何實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)？通過函數(shù)關(guān)系式的求導(dǎo)來實(shí)現(xiàn)。解：由函數(shù)關(guān)系式得： （除法的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為乘法的導(dǎo)數(shù)）由孌量關(guān)系：可視為的函數(shù)。新函數(shù)也可通過與的復(fù)合視為的函數(shù)。故上式兩端可視為的函數(shù)，關(guān)于求偏導(dǎo)，分別對(duì)求偏導(dǎo)，則：上述兩式中，還涉及到，通過變量關(guān)系式將其求出：關(guān)于求導(dǎo)：關(guān)于求導(dǎo)：代入，可計(jì)算：，代入方程（*）中可得：。 總結(jié)上述變換過程，主要步驟為，先通過給定的兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式求導(dǎo)，尋求二者的偏導(dǎo)數(shù)關(guān)系；其次，通過給定的變量關(guān)系尋求變量之間的偏導(dǎo)數(shù)關(guān)系；最后代入即可。主要的技巧，盡可能各種量的除法關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔P(guān)系，以方便求導(dǎo)。注：用到幾個(gè)關(guān)系式： 注：上述處理過程

28、表明，不須具體求出變換的逆變換式。例4設(shè)，變換方程： 分析：與例3同。解：原函數(shù)，新函數(shù)與變量關(guān)系復(fù)合后也可視為的函數(shù)。故函數(shù)關(guān)系式的兩端都可視為的函數(shù)，兩端關(guān)于求偏導(dǎo)： 再求導(dǎo)： 故：，故原方程變?yōu)椋豪? 設(shè)，變換方程：為極坐標(biāo)方程。分析：方程表明存在函數(shù)關(guān)系： 由變量關(guān)系：，確定新的函數(shù)關(guān)系 目的：計(jì)算 方法：由于沒有具體的方程，通過變量的具體關(guān)系來計(jì)算。解：對(duì)關(guān)系式對(duì)求導(dǎo)：，由此算出。§6 隱函數(shù)求導(dǎo)的幾何應(yīng)用一、空間曲線的切線與法平面。 本小段解決的問題是：給定空間曲線及上一點(diǎn)，計(jì)算此點(diǎn)的切線與法平面。1：已知的參數(shù)方程形式 設(shè)給定的光滑曲線： ，l上一點(diǎn)，先計(jì)算此點(diǎn)的切線。

29、由于切線就是割線的極限位置，先計(jì)算割線。任取且，則割線的方程為：，我們希望通過割線方程的極限計(jì)算切線，即計(jì)算時(shí)方程的極限。觀察割線的方程，為保證分母在極限過程中有意義，作變換：注意到，則令，得這就是的切線方程，其方向向量為。 注：由幾何理論可知：當(dāng)中有零時(shí)，切線方程可采用參數(shù)形式或一般方程形式表示。如：時(shí)，切線的參數(shù)方程為：，切線的一般形式為兩平面之交形式：。再計(jì)算的法平面：由定義，所謂法平面就是過此點(diǎn)且與切線垂直的平面，故切線方向就是法平面的法線方向。由點(diǎn)法式，法平面方程：例1：設(shè)光滑曲線： (兩柱面之交線)，求處的切線和法平面。思路：將轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程形式，然后利用剛剛得到的結(jié)果。解：將改寫

30、為如下參數(shù)形式： ，則由公式，在處切線為法平面為：。2：已知曲線的一般方程 給定光滑曲線：及其上一點(diǎn)，且，計(jì)算在處的切線和法平面。分析：將其轉(zhuǎn)化為已知情形：參數(shù)形式或例1的形式。要將曲線的一般方程形式轉(zhuǎn)化為參數(shù)形式，需要從給定由兩個(gè)方程組成的方程組中求出三個(gè)函數(shù)，要將曲線的一般方程形式轉(zhuǎn)化例1的形式需要從上述方程組中求出兩個(gè)函數(shù)。由隱函數(shù)理論，從上述方程組能夠確定函數(shù)兩個(gè)函數(shù)，即可以轉(zhuǎn)化為例1的形式。由例1 的結(jié)論知，要計(jì)算切線和法平面，只需計(jì)算兩個(gè)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。下面是求解過程。解：由條件，則在附近，由方程組可確定隱函數(shù)，故曲線為：，利用隱函數(shù)求導(dǎo)：， 故，切線：； 法線：。例2：求兩柱面的交

31、線處的切線。解：記，則：，計(jì)算 ，故切線為：。二：曲面的切平面與法線。 問題：給定光滑曲面及，求過點(diǎn)的切平面與法線。思路：在上一小節(jié)中，我們掌握了曲線的切線的計(jì)算，能否將切平面問題轉(zhuǎn)化為線問題來討論？事實(shí)上，過作曲線，則對(duì)應(yīng)此曲線，在點(diǎn)就有切線，顯然，不僅如此，還有：，由此，我們將通過考察任一條曲線的切線的性質(zhì)，確定切平面。設(shè)為內(nèi)過的任一條曲線，設(shè)其方程為：，且，則在點(diǎn)處的切線方向?yàn)椋?，又，故，可得：，因而，即：，二者相互垂直?這一結(jié)論的含義是什么？進(jìn)一步分析：只與有關(guān)，為固定的方向，而是任一切線方向。故：上述結(jié)論表明：與任一切線都垂直，而所有這樣的切線組成了切平面，故：與切平面垂直，因而是

32、切平面的法向量。由點(diǎn)法式，切平面為： 法線： 。作為上述結(jié)論的應(yīng)用，討論幾種特殊的情形。情形1：設(shè)，此時(shí)取即可；情形2：若已知曲面參數(shù)方程：，將其轉(zhuǎn)化為情形1：即若從中確定隱函數(shù)，則，此時(shí)轉(zhuǎn)化為情形1。此時(shí)，下面計(jì)算，顯然：，為計(jì)算，考察方程：，對(duì)求導(dǎo)：，可得：，對(duì)求導(dǎo)：，可得：，故，代入得切平面為法線方程為。§7 方向?qū)?shù)與梯度背景：前面幾節(jié)，我們學(xué)習(xí)了多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，從其定義看：其研究的是多元函數(shù)沿坐標(biāo)軸方向函數(shù)的變化率。但是，在許多實(shí)際問題中，更多地需要知道多元函數(shù)在某點(diǎn)沿某個(gè)方向的變化率。如考察有界區(qū)域熱的傳播問題，如果能知道邊界上的熱交換，能幫助我們確定整個(gè)區(qū)域的熱分布；此時(shí)在邊界上，相當(dāng)于知道邊界點(diǎn)處沿外法線方向上的變化率。在工程技術(shù)當(dāng)中類似