等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)完全解析與運(yùn)用

1、難點(diǎn)12 等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)運(yùn)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是等差、等比數(shù)列的概念，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式的引申.應(yīng)用等差等比數(shù)列的性質(zhì)解題，往往可以回避求其首項(xiàng)和公差或公比，使問(wèn)題得到整體地解決，能夠在運(yùn)算時(shí)達(dá)到運(yùn)算靈活，方便快捷的目的，故一直受到重視.高考中也一直重點(diǎn)考查這部分內(nèi)容.難點(diǎn)磁場(chǎng)()等差數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為30，前2m項(xiàng)的和為100，求它的前3m項(xiàng)的和為_(kāi).案例探究例1已知函數(shù)f(x)=(1)求f(x)的反函數(shù)f-1(x);1x-42 (x<2).(2)設(shè)a1=1,1an+1 =f-1(an)(nN*),求an;(3)設(shè)Sn=a12+a22+an2,bn=Sn+1Sn是否

2、存在最小正整數(shù)m,使得對(duì)任意nN*,有bn<m成立？若存在，求出m的25值；若不存在，說(shuō)明理由.命題意圖：本題是一道與函數(shù)、數(shù)列有關(guān)的綜合性題目，著重考查學(xué)生的邏輯分析能力，屬級(jí)題目.知識(shí)依托：本題融合了反函數(shù)，數(shù)列遞推公式，等差數(shù)列基本問(wèn)題、數(shù)列的和、函數(shù)單調(diào)性等知識(shí)于一爐，結(jié)構(gòu)巧妙，形式新穎，是一道精致的綜合題.錯(cuò)解分析：本題首問(wèn)考查反函數(shù)，反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，這是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，(2)問(wèn)以數(shù)列求an,不易突破.1an2為橋梁技巧與方法：(2)問(wèn)由式子1an+1=1an2+4得1an+12-1an2=4,構(gòu)造等差數(shù)列1an2,從而求得an,即“借雞生蛋”是求數(shù)列通項(xiàng)的常用技巧；

3、(3)問(wèn)運(yùn)用了函數(shù)的思想.解：(1)設(shè)y=1x-42,x<2,x=4+1,y2即y=f-1(x)=4+1 (x>0)2y,1an+12(2)1an+1=4+1an2-1an2=4，1an2是公差為4的等差數(shù)列，a1=1, 1an2=1a12+4(n1)=4n3,an>0,an=14n-3.(3)bn=Sn+1Sn=an+12=1m25,由bn<,得m>,4n+1254n+1設(shè)g(n)= 2525,g(n)= 在nN*上是減函數(shù)，4n+14n+1m成立.25例2設(shè)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，它的所有項(xiàng)的和等于偶數(shù)項(xiàng)和的4倍，且第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的積是第3項(xiàng)與

4、第4項(xiàng)和的9倍，問(wèn)數(shù)列l(wèi)gan的前多少項(xiàng)和最大？(lg2=0.3,lg3=0.4)命題意圖：本題主要考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)與對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的聯(lián)系以及運(yùn)算、分析能力.屬級(jí)題目.知識(shí)依托：本題須利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式合理轉(zhuǎn)化條件，求出an;進(jìn)而利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)明確數(shù)列l(wèi)gan為等差數(shù)列，分析該數(shù)列項(xiàng)的分布規(guī)律從而得解.錯(cuò)解分析：題設(shè)條件中既有和的關(guān)系，又有項(xiàng)的關(guān)系，條件的正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，計(jì)算易出錯(cuò)；而對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)也是易混淆的地方.技巧與方法：突破本題的關(guān)鍵在于明確等比數(shù)列各項(xiàng)的對(duì)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，而等差數(shù)列中前n項(xiàng)和有最大值，一定是該數(shù)列中前面是正數(shù)，后面是負(fù)數(shù)

5、，當(dāng)然各正數(shù)之和最大；另外，等差數(shù)列Sn是n的二次函數(shù)，也可由函數(shù)解析式求最值.解法一：設(shè)公比為q,項(xiàng)數(shù)為2m,mN*,依題意有g(shù)(n)的最大值是g(1)=5,m>5,存在最小正整數(shù)m=6,使對(duì)任意nN*有bn<a1(q2m-1)a1q(q2m-1)=q-1q2-1323(a1q)(a1q)=9(a1q+a1q)4q1q+1=1q= 解得化簡(jiǎn)得3.aq2=9(1+q),a1=1081設(shè)數(shù)列l(wèi)gan前n項(xiàng)和為Sn,則Sn=lga1+lga1q2+lga1qn1=lga1n·q1+2+(n1)11=nlga1+n(n1)·lgq=n(2lg2+lg3)n(n1)lg

6、322lg37=()·n2+(2lg2+lg3)·n2272lg2+lg3可見(jiàn)，當(dāng)n=時(shí)，Sn最大.lg372lg2+lg340.3+70.4而=5,故lgan的前5項(xiàng)和最大.=lg320.4a1=1081n11解法二：接前，,于是lga=lg108()=lg108+(n1)lg,n133q=3數(shù)列l(wèi)gan是以lg108為首項(xiàng)，以lg1為公差的等差數(shù)列，令lgan0,得2lg2(n4)lg30,n32lg2+4lg320.3+40.4=5.5.=lg30.4由于nN*,可見(jiàn)數(shù)列l(wèi)gan的前5項(xiàng)和最大.錦囊妙計(jì)1.等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、

7、等比數(shù)列問(wèn)題的既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)去應(yīng)用.2.在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形.3.“巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算量”在等差、等比數(shù)列的計(jì)算中非常重要，但用“基本量法”并樹(shù)立“目標(biāo)意識(shí)”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運(yùn)用條件，又要時(shí)刻注意題的目標(biāo)，往往能取得與“巧用性質(zhì)”解題相同的效果.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.()等比數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1,前n項(xiàng)和為Sn,若S1031，則limSn等于( )=nS53222 C.2 D.2A. B.- 33二、填空題2.()已知a,b,a+b成等差數(shù)列，a,b,ab成等比數(shù)列，且0<logm(ab)<1,則m的取值

8、范圍是_.3.()等差數(shù)列an共有2n+1項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為319，偶數(shù)項(xiàng)之和為290，則其中間項(xiàng)為_(kāi).ac4.()已知a、b、c成等比數(shù)列，如果a、x、b和b、y、c都成等差數(shù)列，則+=_.xy三、解答題5.()設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范圍；(2)指出S1、S2、S12中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由.6.()已知數(shù)列an為等差數(shù)列，公差d0,由an中的部分項(xiàng)組成的數(shù)列ab1,ab2,abn,為等比數(shù)列，其中b1=1,b2=5,b3=17.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；Tn.nnn4+b7.()設(shè)an為等差數(shù)列，bn為

9、等比數(shù)列，a1=b1=1,a2+a4=b3,b2·b4=a3,分別求出an及bn的前n項(xiàng)和S10及T10.8.()an為等差數(shù)列，公差d0,an0,(nN*),且akx2+2ak+1x+ak+2=0(kN*)(1)求證：當(dāng)k取不同自然數(shù)時(shí)，此方程有公共根； 23n(2)記Tn=C1nb1+Cnb2+Cnb3+Cnbn,求lim(2)若方程不同的根依次為x1,x2,xn,求證：數(shù)列111為等差數(shù)列. , ,x1+1x2+1xn+1參考答案難點(diǎn)磁場(chǎng)解法一：將Sm=30,S2m=100代入Sn=na1+n(n-1)d,得： 2 m(m-1)ma+d=3012 2ma+2m(2m-1)d=1

10、00124010203m(3m-1)解得d=2,a1=+2,S3m=3ma1+d=210 mm2m解法二：由S3m=3ma1+ma1+ 3m(3m-1)(3m-1)d(3m-1)d,將得d=3ma1+知，要求S3m只需求ma1+222m(3m-1)d=70,S3m=210. 2解法三：由等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式知，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，即Sn=An2+Bn(A、B是常數(shù)）.將Sm=30,S2m=100代入，得20A=22Am+Bm=30m,S3m=A·(3m)2+B·3m=210 2B=10A(2m)+B2m=100m解法四：S3m=S2m+a2m+1+a2m+2+a3

11、m=S2m+(a1+2md)+(am+2md)=S2m+(a1+am)+m·2md=S2m+Sm+2m2d.40由解法一知d=2,代入得S3m=210. m解法五：根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)知：Sm,S2mSm,S3mS2m也成等差數(shù)列，從而有：2(S2mSm)=Sm+(S3mS2m) S3m=3(S2mSm)=210n(n-1)解法六：Sn=na1+d, 2Sn(n-1)n=a1+d n2SSSS(x-1)d點(diǎn)(n, n)是直線y=+a1上的一串點(diǎn)，由三點(diǎn)(m,m),(2m, 2m),(3m, 3m)共線，易得S3m=3(S2m2m3mn2mSm)=210.解法七：令m=1得S1=30，S2

12、=100，得a1=30,a1+a2=100,a1=30,a2=70a3=70+(7030)=110 S3=a1+a2+a3=210答案：210殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析：利用等比數(shù)列和的性質(zhì).依題意，S1031，而a1=1,故q1, =S532S10-S531-321=-,根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)知S5，S10S5，S15S10,也成等比數(shù)列，且它的公比為q5,q5=S5323211,即q=. 232a2limSn=1=-. n1-q3答案：B二、2.解析：解出a、b,解對(duì)數(shù)不等式即可.答案：(,8)n+13.解析：利用S奇/S偶=得解. n答案：第11項(xiàng)a11=294.解法一：賦值法.解法二：b=aq

13、,c=aq2,x=1111(a+b)=a(1+q),y=(b+c)=aq(1+q), 2222121aq(1+q)+a2q2(1+q)ay+cxac=2. + =12xyxy2aq(1+q)4答案：2a3=a1+2d=12,1211d>0 三、5.(1)解：依題意有：S12=12a1+21312S=13a+d<0131224d3. 7(2)解法一：由d0可知a1>a2>a3>>a12>a13,因此，在S1，S2，S12中Sk為最大值的條件為：ak0且ak+10,解之得公差d的取值范圍為a3+(k-3)d0即 a+(k-2)d<03kd3d-121

14、212a3=12,，d0,2k3 ddkd<2d-1224712d3,4,得5.5k7. 27d因?yàn)閗是正整數(shù)，所以k=6,即在S1，S2，S12中，S6最大.解法二：由d0得a1>a2>>a12>a13，因此，若在1k12中有自然數(shù)k,使得ak0,且ak+10,則Sk是S1，S2，2S12中的最大值.由等差數(shù)列性質(zhì)得，當(dāng)m、n、p、qN*,且m+n=p+q時(shí)，am+an=ap+aq.所以有：2a7=a1+a13=S130,131a70,a7+a6=a1+a12=S12>0,a6a7>0,故在S1，S2，S12中S6最大. 6nd解法三：依題意得：Sn

15、=na1+(n-1)d=n(12-2d)+(n2-n) 22點(diǎn)評(píng)：該題的第(1)問(wèn)通過(guò)建立不等式組求解屬基本要求，難度不高，入手容易.第(2)問(wèn)難度較高，為求Sn中的最大值Sk,1k12,思路之一是知道Sk為最大值的充要條件是ak0且ak+10，思路之三是可視Sn為n的二次函數(shù)，借助配方法可求解.它考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、邏輯思維能力和計(jì)算能力，較好地體現(xiàn)了高考試題注重能力考查的特點(diǎn).而思路之二則是通過(guò)等差數(shù)列的性質(zhì)等和性探尋數(shù)列的分布規(guī)律，找出“分水嶺”，從而得解.6.解：(1)由題意知a52=a1·a17，即(a1+4d)2=a1(a1+16d)a1d=2d2, d0,a1=2

16、d,數(shù)列abn的公比q=abn=a1·3n1 a5a1+4d=3, =a1a1 bn+1 a1 2b+1由得a1·3n1=n·a1.a1=2d0,bn=2·3n11. 2又abn=a1+(bn1)d= 01n12n12n(2)Tn=C11)=nb1+Cnb2+Cnbn=Cn (2·31)+Cn·(2·31)+Cn(2·3212nn(Cn+C2n·3+Cn·3)32n(C1n+Cn+Cn)=221(1+3)n1(2n1)= ·4n2n+, 3332n121114-2n+-()n+()nT2=limnn=limn=. limn-1n4+bnn4+23-1n1+()n-1-()n32447.解：an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，a2+a4=2a3,b2·b4=b32,已知a2+a4=b3,b2·b4=a3,b3=2a3,a3=b32,11得b3=2b32,b30,b3=,a3=. 2413由a1=1,a3=，知an的公差d=, 4810955S10=10a1+d=. 28由b1=1,b3=122,知bn的公比q=或q=, 222b1(1-q10)312當(dāng)q=時(shí),T1